ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................................3
ГЛАВА I. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ХАРДИ-ЛИТТЛВУДА В НЕКОТОРЫХ
КЛАССАХ ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ...................................... 18
§1.1. Формулировка и доказательство вспомогательных утверждений 18
§ 1.2. Оценка производной аналитической функции в произвольной области
комплексной плоскости.......................................26
§1.3. Обобщение теоремы Харди-Литтлвуда для односвязных областей с
кусочно-гладкой границей....................................29
§1.4. Обобщение теоремы Харди-Литтлвуда для односвязных областей с
асимптотически конформной границей..........................72
§1.5. Обобщение теоремы Харди-Литтлвуда для дополнения ограниченных выпуклых областей................................................80
/
/
ГЛАВА II. ОГРАНИЧЕННЫЕ ПРОЕКТОРЫ И ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ............................................................87
§2.1. Некоторые оценки градиента гармонической функции...........88
§2.2. Ограниченные проекторы в весовых пространствах гармонических
функций.....................................................92
§2.3. Ограниченные проекторы в весовых пространствах измеримых
функций.....................................................95
§2.4. Линейные непрерывные функционалы в пространствах аналитических функций.........................................................107
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
112
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Хорошо известно, что пространства Харди и Бергмана занимают особое место в общей теории функциональных пространств. Однако, если по теории классов Харди в течение почти векового исследования получены результаты практически исчерпывающего характера, то ряд центральных задач теории классов Бергмана все еще ожидает своего решения.
Тем не менее, в последние десятилетия теория классов Бергмана бурно развивается. Свидетельством тому опубликованные в течение относительно короткого времени несколько монографий, посвященных указанному направлению (см., например, [30], [35], [32], [43]). Проблемы, рассматриваемые в данных работах, как правило, находят решение для классов функций, аналитических в круге или области с достаточно гладкой границей. Однако, как известно, специфика комплексного случая особенно проявляется при анализе задач в областях общего вида, в частности, областях, граница которых содержит угловые точки или имеет особенности других типов. Поэтому, можно сказать, что тематика диссертационной работы является весьма актуальной.
Исследования, проводимые в диссертационной работе, так или иначе, связаны с теорией сингулярных интегральных операторов. Начало развития этого направления можно отнести к классическим теоремам И.И. Привалова (см. [41]), А.Н. Колмогорова (см. [37], [36]) и М. Рисса (см. [42]) об ограниченности сингулярных интегральных операторов с ядрами Коши в различных пространствах функций.
Приведем обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы, для этого введем необходимые обозначения и определения.
Пусть S = {z g C:|z|<l} - единичный круг на комплексной плоскости С,
Г = {z е С: |z| = 1} - его граница; G - некоторая односвязная область на С; d(w,dG) - расстояние отточки w до границы dG. Пусть также #((/), h(G) -
множества всех аналитических и гармонических функций в G соответственно; LPp (G) - класс измеримых по Лебегу в области G функций / таких, что
[|/МГd*{w,dG)dm2(w)< -н»,0 </><+оо,Д >— 1, (0-1)
G
где dm2 - плоская мера Лебега; hp(G) - множество гармонических в G
функций м, для которых справедливо условие (0.1); Ар (G) - подпространство
пространства состоящее из аналитических функций; Нр - класс Харди
в единичном круге S; hp - класс Харди гармонических в S функций. Обозначим, кроме того, L% (G) = Lp (G), h fi (G) = hp (G), (G) = Л P(G).
Для и e /1(5) пусть также Mp(r,и) =
ч 1/
^ ]\u(reia)\p dc7
\ -Я
Из классической теоремы М. Рисса известно, что если и е кр, 1 < р < +оо, и V - гармонически сопряженная с и функция, у(0) = 0, то
Мр(г,у)<с{р)Мр(г,и), 0йг<\9\<р< +со.
При 0<р<1 такая оценка неверна. Так, извсстпая теорема А.Н.
Колмогорова утверждает: если и <= И1, тогда для сопряженной с ней функции у, у(0) = 0, справедливо неравенство
Мр(г,у)^с(р)Мх(г,и), 0 < г < 1, 0<р<1.
Г. Харди, Д. Литтлвуд доказали (см. [33]): если и, у - гармонически сопряженные функции в единичном круге Я, у(0) = 0, и 0 < р < 1, то из условия эир М р(г,и)<+оо вытекает
0<г<1
Более ТОГО, существует функция М0(2) такая> ЧТО sup Мp(ryli0)<+ 00, но в то
0<г<1
же время для функции v0(г), гармонически сопряженной с ней, справедлива
1/
оценка Mp(r,v0)>c0
1 Л/р
In-------
1 -г
, с0 > 0.
Вышеуказанная теорема М. Рисса эквивалентна ограниченности
интегрального оператора с ядром Коши Р(/)(я)=— [г є в
2ю*т£-г
пространстве Ьр (Т) при всех 1 < р < +оо.
В то же время, из результатов А.Н. Колмогорова следует, что интегральный оператор с ядром Коши не отображает пространство і) (Т) в Я1.
В работе Д. Ньюмена [38] было установлено, что не только интеграл типа Коши не отображает пространство Ь[ (Г) на Н1, но и вообще не существует
ограниченного линейного оператора, выполняющего указанное отображение.
Учитывая, что интегральный оператор с ядром Пуассона отображает пространство і) (Т) в класс А1, вышеуказанный результат можно сформулировать следующим образом: не существует никакого ограниченного линейного интегральною оператора, отображающего А1 на Я1.
В случае пространств типа Бергмана картина совершенно иная. Еще в 1981 г. Ф.А. Шамоян установил (см. [24], [23]), что можно построить линейный
п (г \ 2(77 + 1) (і-|С|2Г
ограниченный интегральный оператор с ядром Я„(^,2)=—— —_ ' ,
(1 -£гУ
отображающий пространство А^(£) в (5), Д>-1, при всех
Р + 2
О < р < 1, т] >------1. Для 1 < р < +со данный результат можно вывести
Р
непосредственно из вышеуказанной теоремы М. Рисса. Заметим, что ядра впервые были введены в работах М.М. Джрбашяна [4], [3].
Естественно, возникает вопрос: существует ли ограниченный линейный интегральный оператор, выполняющий вышеуказанные отображения в случае областей, отличных от единичного круга, и если существует, то при каких р ?
Изучению данных проблем при 1<р<+ со, то есть, по сути, обобщению вышеуказанной теоремы М. Рисса в случае областей с общими границами, посвящено большое количество работ. Обратим внимание но этому поводу на статьи П.Х. Татояна [12], А.М. Шихватова [25], [26], A.A. Соловьева [9], [10], Я. Бурбса [28], X. Хсдснмальма [34].
Отмстим, что в вышеперечисленных работах рассматривались проекторы,
т: \ 1 Ч'ХмУу'М ^
строящиеся на основании ядра Бергмана K(w,p) = i—±rjT v Ст}
я'О-У'СФМУ
где ?// - функция Римана, конформно отображающая область G на единичный круг S, выполняющие отображения в пространствах Бергмана без веса, то есть в пространствах AP(G).
Так, например, A.A. Соловьев анализировал проблему существования ограниченного проектора в случае односвязной области, граница которой является кусочно-гладкой кривой; А.М. Шихватов - в областях с утлами. Задача оказалась решена с существенными ограничениями для величины угла. Оказывается, если граница области G состоит из конечного числа гладких дуг,
образующих между собой в точках стыка внутренние углы —, — <а-. <-ко,
аі 2
У = 1,2,...,/и, m-m{G\ а — min а ,•, то проектор Бергмана, отображающий
IS jüm J
пространство Лебега на соответствующее пространство аналитических функций, ограничен, в отличие от областей с гладкой границей, не при всех р, а
только при р е
2 2 4
+ а 1-а;
, если — < а < 1, и при 1 < р < -ко, если а > 1.
2
В работе X. Хеденмальма [34] установлено, что оператор с ядром Бергмана действует из Lp (G) в AP(G) для произвольной односвязной области
Г4 >
G со спрямляемой границей, но только при р0 < р<- , где р0 е — ;2 .
Ро —1 L3
С вышеуказанной проблемой тесно связана задача оценки LP -нормы
аналитической функции через норму сс производной. В этой связи напомним известную теорему Харди-Лигглвуда (см., например, [31]): если /еЯ(5),
О </><+оо, /(0) = 0, ß > —1, то при некоторых положительных постоянных с,,с2 справедливы неравенства
CiJ|/(z)|/'0-|z|)/,c/m2(z)ä
S
^ J|/'00Iр (• - W>>P dm2 (z) < с2 J |/(z)|p (1 - \z\)ß dm2 (z). s s
Проблемы обобщения данной теоремы на области, отличные от единичного круга, рассматривались в работах как российских, так и зарубежных ученых.
Отметим, например, результаты Ж. Детраз (см. [29]), распространившую оценки для областей с границей класса С1; К.П. Исаева, P.C. Юлмухаметова (см. [6]), которые доказывают аналог оценки Харди-Литтлвуда для дополнения выпуклых ограниченных областей, но только при р = 2.
В диссертации исследуются Lp -весовые пространства аналитических и
гармонических в односвязных областях функций. Рассматриваются вопросы, связанные с возможностью обобщения вышеуказанной теоремы Харди-Литтлвуда на области с границей более общего вида в пространствах аналитических функций с весом, представляющим собой степень расстояния до границы. Кроме того, решение указанной проблемы позволяет в явном виде
построить ограниченные интегральные проекторы, действующие в Lp -весовых пространствах аналитических и гармонических функций, при всех 0 < р < +со.
Цель работы.
1) Получить обобщение теоремы Харди-Литтлвуда об LP - весовых оценках нормы аналитической функции через соответствующую норму ее производной для более широких классов областей.
2) Построить ограниченный проектор, отображающий Z/7-весовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство аналитических функций в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей при всех 1 < р < -ко.
3) Построить ограниченный проектор, отображающий LP -весовое пространство гармонических функций в соответствующее пространство аналитических функций при всех 0 < р < -ко в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.
Методика исследования. В работе- применялись общие методы комплексного и функционального анализа, теории сингулярных интегральных операторов. Важную роль играют интегральные представления исследуемых классов посредством специальных воспроизводящих ядер.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
1) Доказана оценка сверху LP -нормы производной n-го порядка аналитической функции через соответствующую норму самой функции при всех 0 < р < -ко в весовом пространстве аналитических в произвольной области функций.
2) Получены оценки LF -нормы аналитической функции через норму производной n-го порядка функции при всех 0 < р < +со в весовом пространстве аналитических функций как в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей, гак и в случае области с асимптотически конформной границей.
3) Построен ограниченный проектор, отображающий Lp -весовое пространство измеримых функций на соответствующее пространство
9
аналитических функций при всех 1 < р < 4-оо в случае односвязной области с кусочно-гладкой границей и в случае односвязной области с асимптотически конформной границей.
4) Построен ограниченный проектор, отображающий //-весовое пространство гармонических функций в соответствующее пространство аналитических функций при всех 0 < р < +со для областей вышеуказанных классов.
5) Описаны пространства, сопряженные к //-пространствам аналитических
функций со степенным весом, в случае односвязных областей рассматриваемых классов.
Теоретическая значимость. В диссертации исследуются весовые пространства аналитических в односвязных областях функций: изучаются проблемы ограниченности интегральных операторов в данных пространствах; вопросы оценки // -нормы аналитической функции через соответствующую норму ее производной в указанных весовых пространствах; задачи описания линейных непрерывных функционалов в весовых пространствах аналитических функций.
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в комплексном анализе, в гармоническом анализе, в теории операторов, в теории функциональных пространств, в теории сингулярных интегральных операторов.
Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов. Также они могут употребляться специалистами в области комплексного и функционального анализа при исследовании вопросов, связанных с тематикой диссертации.
Достоверность научпых результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с
- Київ+380960830922