Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных выпуклых множествах в Rn

ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения и определения Введение .............................
3
5
Глава 1. Пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций па неограниченных замкнутых выпуклых множествах
1.1. Свойства одного класса замкнутых выпуклых множеств в К” (18). 1.2. Пространства основных функций и сопряжённые к ним (21). 1.3. Описание прострапсгна .9*(I)) в терминах п^образования Фурьс-Лапласа (24). 1.4. Пространство С м{У) и сопряженное к нему (27).
Глава 2. Пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных замкнутых выпуклых множествах в Кп, допускающих голоморфное продолжение в Сп...................68
2.1. Пространства основных функций и сопряжённые к ним (68).
2.2. Вспомогательные результаты (70). 2.3. Эквивалентное описание пространства См(^)(73). 2.4. Пространство Ом (и) и сопряжённое к нему (78). 2.5. О сопряженном к пространству Е(11) (96)
Глава 3. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с оценкой роста на бесконечности и вблизи границы конуса...........98
3.1. Пространства основных функций и сопряжённые к ним (98).
3.2. Полнота полиномов в £Д.Г)(100).
Глава 4. Приложения..........................................108
4.1. Диф<|юр01щиалы1ые операторы в пространстве См (и) (108).
Дополнения...................................................113
Список литературы............................................115
в Кп и сопряжённые к ним
17
1
Основные обозначения и определения
С" - п - мерное комплексное пространство точек 2 = (^і, . . . ,2П),
С и =
Ж" - п - мерное вещественное пространство точек X = (Ж|,...,ХП), Щ € К 0' = 1
Точку 2 = (гь...,2„), где г, = ^4-іуі, хj}yjЄRi j = lt...,nJ будет записывать в виде 2 = х 4- іу, где х = (ац ,..., геп), у = (уі,..., у«). При этом х = Не г- вещественная часть 2, у = /т г - мнимая часть 2.
Для и = (мі,...,ггл)> и = (^ь • • •, уп) € СП(КП) полагаем (к,г>) = «IV! + ... + и„Нп, ||п|| = ^|Н]|2 + •*• + КГ2-
Для г > 0 пусть Вт = {£ Є К” : ||£|[ < г}, Вг - внешность шара Вг в
Кп.
Для £ € Кп(С"),г > 0 В(£,г) = {и е НДС") : ||и - СИ < г} -открытый шар в К”(С1*) радиуса г с центром в точке С Є КТ,(С").
Если X - некоторое топологическое пространство, а А - его подмножество, то символом с) А обозначается граница множества Л, А - замыкание А, іпіА - внутренность А.
Для мультииндекса а = (с*іЄ Ъ\ используются следующие
сокращения: |а| = 4- • • • 4- ап, а! = аг|!... а„!, 2Л = г*1 ... 2“" (2 =
(2,,..., 2п) € Сп), ж“ = X?1 ...*£» (ж = (ц,...,*„) Є К"),
0М с),л1
ГР — ------_--------- ГР = -----------
1 дх• • • &С* ’ г дх?1 • • • 52,7« ■
Для локально выпуклого пространства X через X' обозначаем пространство линейных непрерывных функционалов на X, через X* - сильное сопряжённое пространство.
Для открытого множества Сі в С* Я(П) - совокупность функций, голоморфных в П, р$к(С1) - совокупность функций, плюрисубгармони-ческих в С1.
С последовательностью Ь = (/лс)*1о положительных чисел Ьк с Ьо = 1
2
таких, что lim —= Ьоо, будем ассоциировать функцию
к- *оо к
гк
UJL : uL{r) = sup In — г > 0, ы/,(0) = 0. fcez+
Для выбранной последовательности (єт)т-і положительных чисел ет> убывающей к нулю, для краткости обозначаем через олп(г), г > 0.
ь- ТЇХ
Конусом в Жп называется множество С, обладающее тем свойством, что, если х 6 С, то и Хх € С при всех Л > 0. Через С обозначим замыкание конуса 6Т, через ргС - пересечение конуса С с единичной сферой. Конус С' называется компактным в конусе С, если ргС компактно содержится в ргС. Конус С” — {£ :< £, х >> 0, Ух Є С} называется сопряженным к конусу С.
Если С - конус в Кп, то Тс = К" + ІС - трубчатая область.
Если ft С Rn (SЇ С Сп), то расстояние от точки х € Kn (z € С'1) до множества ft обозначим через do(#)(</$*(■£))> расстояние от точки х Є ft (z € ft) до границы множества ft обозначим через Дц(а;)(Дя(г)).
Опорную функциию Но произволыюго множества D в R" определим но формуле: HD(y) = ьир(Є/>(- < y,t >), у Q Rn-
Преобразование Юнга функции у : Rn —» R такой, что (р(х)
lim = +оо определяется по формуле
х-оо \\х\\
<р¥{х) = sup ((ж, у) - v?(y)), X <= Rn.
уЄК"
Пространство, представимое в виде проективного предела последовательности нормированных пространств Sn, п Є N. относительно линейных непрерывных отображений дтп : Sn —> Sm, т <п, таких, что gn,n+i вполне непрерывны для каждого п, называется пространством (А/*).
Локально выпуклое пространство, представимое в виде внутреннего индуктивного предела регулярной последовательности нормированных пространств, называется пространством (LN*).
3
Введение. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к комплексному анализу, теории функций, теории распределений и теории дифференциальных уравнений. Изучаются весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных выпуклых множествах в Еп. Среди них - подклассы класса Шварца быстро убывающих функций на неограниченных замкнутых выпуклых множествах в Rn и пространства бесконечно дифференцируемых функций в открытых выпуклых конусах в JRn с определённой мажорантой роста на бесконечности и вблизи границы конуса. Для этих пространств изучается проблема описания сильного сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Л ап ласа функционалов. В работе также изучаются:
1). проблема полиномиальной аппроксимации в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в открытых выпуклых конусах в Еп с определённой мажорантой роста на бесконечности и вблизи границы конуса;
2). разрешимость линейных дифференциальных уравнений с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых пространствах быстро убывающих функций.
Большая часть работы посвящена описанию сопряженных пространств для введённых пространств бесконечно дифференцируемых функций в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов.
Как известно, описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и функционального анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских и зарубежных математиков - Г. Полна,
Н. Винера, Р. Пэли, Л. Шварца, B.C. Владимирова, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А. Мартино, В.В. Напалкова, В.В. Жаринова, В.А. Тейлора, P.C. Юлмухамстова, Г.И. Эскина, Л.М. Седлецкого, М.А. Соловьёва, A.B. Абанина, В.А. Ткаченко, X. Коматсу (И. Komatsu), Роевера (J.W. de Rocvcr), Б.А. Державца, C.B. Попенова, Ф. Хаслишсра, Р. Майзе,
4
М.М. Маннанова, В.И. Луценко, И.Х. Мусина и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс аналитических функций с определенными мажорантами роста. Тем самым, многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, теории обобщённых функций и др. могут1 быть сведены к задачам из теории аналитических функций. Такой подход систематически использовался в работах Л. Шварца, Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмаидера, А.Ф. Леонтьева, B.C. Владимирова, С. Лоясевича, Ю.Ф. Коробейника, А. Мартино, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Териовского, В.П. Пала-модова, Б.А.Тейлора, А.М. Седлецкого, Ю.Н. Дрожжинова, Б.И. Завьялова, Роевера, P.C. Юлмухаметова, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, A.B. Абанина. A.C. Крнвошеева, С.Г. Мерзлякова, Б.II. Хабибуллина, С.Н. Мелихова и др.
Цели работы.
1. Изучить весовые пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на замкнутых выпуклых неограниченных множествах в Rn и описать сопряжённые к ним пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов.
2. Описать сопряжённое пространство в терминах преобразования Фурье-Л ап л аса функционалов к щюстранству бесконечно дифференцируемых функций в Rn, заданных на открытом выпуклом конусе в Е" и удовлетворяющих определённым оценкам роста на бесконечности и вблизи границы конуса.
3. Изучить вопросы сюръектнвности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых пространствах быстро убывающих функций.
Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.
Методы исследований. В работе используются методы теории аиа-
литических функций и функционального анализа. Среди них метод L2-оценок Л.Хёрмандера в ^-задаче, теория двойственности.
Диссертация состоит из введения, четырёх глав, дополнения и списка литературы.
Содержание диссертации
Глава 1.
Пусть С - открытый выпуклый острый конус в R" с вершиной в начале. Ь - выпуклая непрерывная функция на С, удовлетворяющая условию b(ty) = tb(y), Vу Є С, Vt > 0. Введём множество
U(b,0 = {£ € R" : - < S,y > < Ь(у), Vy € С}.
Множество U{b,C) - замкнутое, выпуклое, неограниченное, не содержит целую прямую, его внутренность непуста и совпадает с множеством
V(b,C) = {t;eRn: -<t,yxb(y)} Vy€C}.
В качестве примера множества U(b,C) можно предложить следующий. Пусть К - компакт в Rn, b(y) = sup(— < y,t >) для у Є (J. Тогда
(Є*
U(6, С) = С* -+- К, где С* - сопряжённый конус к конусу С.
Пусть М = (Afjt)jg.о - неубывающая последовательность положительных чисел А/* с Mq = 1 такая, что
In Mk lim —-— = -Ьоо. k-’oo k
jJc
С последовательностью M ассоциируем функцию o;(r) = sup In —- для
kC7.) Mk
r > 0, w(0) = 0.
Обозначая для краткости lJ(b. С) через U, а V (b, С) - через V, определим пространство Gm(U) функций класса С°° на U следующим образом.
6
Пусть (ern)^=i " любая убывающая к нулю последовательность положительных чисел ст. Для каждого т Є N введём пространство Gm(U), состоящее из функций / класса С°° на Г/, для которых конечны нормы
— 1(^Л(*)1(1 + П*И)Л
Pm\f) = SUP ---------rjr—------- .
z€V,aeZ2. Єт M\a\
оо
Положим Gm(U) = pj Gm(U). С обычными операциями сложения и
тп=1
умножения на комплексные числа Gm(U) становится линейным II ро-странством. Наделим Cm(U) топологией проективного предела пространств Gm[U). В работе показано, что пространство Gm(U) - пространство (А/*) (лемма 1.4.1). Заметим, что какова бы ни были функция / Є C°°(V), для которой рт(/) < оо Vm € N, и мультииндекс а Є Z”, частная производная Daf продолжается (единственным образом) до непрерывной в U функции.
В первой главе на последовательность М налагаются условия: ii).Ml<Mk-iMk+u VA: Є N;
г2). существуют числа Нх > 1, Я2 > 1, что М*+1 < Vк 6 Ъл.\
г;{). существуют числа Qy > О, Q2 > 0, что А/* > Q\Qfck\t У к € Z+. Ранее пространство, подобное Gm((J), изучалось Роевером [33] при следующих условиях на логарифмически выпуклую последовательность М: при некоторых h > 0 и К > О (МЛ) Мр+Я < N*<MpM4t ptq€ Ъ+\
(^'3) ±^<KP-^,Pen.
Заметим, что в этом случае последовательность М - неквазианали-тическая. Кроме того, условие (А/.2) влечёт г2), а условие (А/.З) вкупе с логарифмической выпуклостью последовательности М - условие *3).
Через Я(П) обозначаем совокупность функций, голоморфных на открытом множестве Q в Ст. Пусть Тс — R” + Ю.
7
Для каждого т € N определим нормированные пространства
1/(г)|е-^>
Z& (1 + М)-»(1 +
Vb.m(Tc) = {/ € П(Гс) : ЛГП(Л = sup m- < ос},
HUTc) = {/■' 6 И(ТС) : IIFIL = sup Г )m < °о} ,
^с(у)
где z = х + iyt х € Rn, у €'С, m € N и для краткости
оо
обозначено через u>m(r), г > 0. Далее, пусть 11ь,м(Тс) = НЬт(Тс7),
т=1
оо
Vft(Tc-) = Ц,.т(Тс). С обычными операциями сложения и умножения
л»=1
на комплексные числа Нь,м{Тс) и Уь(Тс) становятся линейными пространствами. Наделим НЬ1м{Тс) (ИСП?)) топологией индуктивного предела пространств Нь,гп(Тс) (Vb,m{Tc))• В случае, когда6(у) = e||j/||(a > 0), прост ранство Н(7Ь) сеть в точности известное по работам B.C. Владимирова пространство На(С). Отметим, что пространства Нь,м(Тс) и Уь(Тс) - пространства (LN*) [22], [6].
Пусть 6т(/7) - пространство функций / € C°°(U) таких, что для любого р € Z+
!I/IU= sup |(£>“/)(*)|(1 + MF < оо.
*£У,М<р
Пусть SP(U) - пополнение S(U) по норме || • \\PfU. В S(U) введём топологию проективного предела пространств SP(U). Известно, что S*(U) топологически изоморфно пространству S-U обобщенных функций медленного росга с носителем в U (см. [2. с. 23]).
Преобразование Фурье-Лапласа функционала Ф € S*(U) (Ф € G*M(U)) определим по формуле
Ф(г) = (#,e,<fcl!>), г е Тс-
Основными результатами первой главы являются теоремы 1.3.1 и
1.4.2.
8