Геодезические потоки инвариантных метрик на однородных пространствах групп Ли

СОДЕРЖАНИЕ
Введение (постановка задачи, обзор литературы и формулировка полученных результатов)............................................ 4
Часть 1 Потоки геодезических инвариантных метрик на однородных пространствах 3-мерных групп Ли................................... 19
1.1 Равномерные решетки Г в трехмерных группах Ли <7..............19
1.2 Интегрируемость потоков геодезических на однородных пространствах групп МкМ2 27
1.3 Топологическая энтропия геодезических потоков на Т*Г\С и
их неитегрируемость в случае О = 8Ь(2, К)......................38
Часть 2 Четырехмерные группы Ли и потоки геодезических на их однородных пространствах............................................ 48
2.1 Равномерные решетки в 4-мерных группах Ли.....................48
2.2 Левоинвариантные метрики и соответствующие геодезические
потоки.........................................................59
2.3 Интегрируемость геодезических потоков на ТТ\С.................70
2.3.1 Интегралы движения геодезических потоков Т*С .... 70
2.3.2 Интегрируемость геодезических потоков на Т*Г\С в случае разрешимых групп С......................................74
Содержание
3
2.3.3 Многозначная интегрируемость и неинтегрируемость по
Батлеру..................................................81
2.4 Топологическая энтропия геодезических потоков на Т*Г\С и
их неинтегрируемость в случае полупростой С симметрий ... 85 Список литературы....................................................95
ч
ВВЕДЕНИИ
Изучение вопроса о лиувиллевой интегрируемости гамильтоновых систем, и в частности геодезических потоков, имеет давшою историю. Интегрируемость означает, что существует максимальный набор функционально независимых интегралов движения, попарные скобки Пуассона которых обращаются в нуль. Одним из наиболее известных примеров интегрируемых систем является геодезический поток инвариантной метрики на 50(3), связанный с задачей о вращении твердого тела; эта задача впервые была рассмотрена Эйлером в 1758 году (см. [24]). В связи с появлением метода (ДА)-пары в теории гамильтоновых систем, список интегрируемых геодезических потоков был существенно расширен (см. [14,15]). Полная классификация вполне интегрируемых ^-инвариантных гамильтоновых систем с транзитивной простой группой Ли О конфигурационных симметрий получена И. В. Микитюком и
А. М. Стениным (см. семинар им. И. Г. Петровского и [34]). Динамические системы, исследованные в упомянутых выше работах, обладают полным ин-волютивным набором аналитических интегралов движения.
Проблема топологических препятствий к интегрируемости была поставлена В. В. Козловым; он также обнаружил первое известное препятствие, доказав, что если на ориентированном замкнутом двумерном многообразии существует аналитически интегрируемый геодезический поток, то это многообразие гомеоморфно либо сфере §2, либо тору Т2 (см. [6,7]). Как было показано
5
В. Н. Колокольцовым (см. [8]), это верно также для геодезических потоков на двумерных многообразиях, интегрируемых при помощи гладких интегралов, являющихся вещественно-аналитическими функциями от импульсов. Обобщение теоремы Козлова на многообразия большей размерности было получено И. А. Таймановым (см. (22,23]). Ряд работ Г. П. Патернайна (см. (35,36]) посвящен изучению топологической энтропии интегрируемых геодезических потоков. В работе [36] Патернайн доказал, что если геодезический поток на компактном односвязном римановом многообразии интегрируем, то фундаментальная группа такого многообразия имеет субэкспоненциальный рост; некоторые другие аналогичные условия были описаны в [23].
Патернайн предложил использовать топологическую энтропию для поиска топологических препятствий к интегрируемости, разделив задачу на две:
1) доказательство обращения в нуль топологической энтропии интегрируемых геодезических потоков и 2) нахождение топологических препятствий для обращения в нуль топологической энтропии потока. По второй задаче уже имелись результаты М. Л. Громова и И. Н. Иомдина (см. [33,38]), а также Е. И. Динабурга, который доказал, что если фундаментальная группа многообразия имеет экспоненциальный рост, то топологическая энтропия геодезического потока любой гладкой метрики на многообразии положительна (см. [5]).
Другое направление — это построение полного набора интегралов для гамильтоновых систем, и в частности для геодезических потоков. А. Тимм(ТЫтт) в работе [37] предложил метод нахождения набора интегралов в инволюции, используя инвариантность гамильтоновой системы под действием группы G. Так же имеется связь между интегрируемостью гамиль-
6
тоновой системы с группой симметрий <7 и полным коммутативным набором функций на дуальной алгебре О* к алгебре Ли группы (2. С. Т. Садэтов (см. (18]) доказал гипотезу Мищенко-Фоменко, а именно, на любой вещественной или комплексной алгебре Ли существует полный коммутативный набор полиномов.
Серия примеров интегрируемых геодезических потоков на однородных нильмногообразиях с нулевой топологической энтропией была построена Л. Т. Батлером (см. [30]). Используя “трюк” Батлера, А. В. Болсинов и Тай-манов опровергли гипотезу Патериайна и построили первый пример интегрируемого геодезического потока с положительной топологической энтропией (см. [27]). В [4] приведена серия таких потоков для некоторых метрик и любой размерности группы Ли. Батлер расширил класс нилыютентных примеров и рассмотрел п-ступенно нильпотентные группы вида М к также доказав обращение в нуль топологической энтропии (см. [31]). Батлером в работе [32] были построены примеры геодезических потоков на нильмногообразиях с положительной топологической энтропией, которые, однако, не являются интегрируемыми.
В связи с этим отметим, что А. М. Степин высказал предположение о связи топологической энтропии интегрируемых геодезических потоков на однородных пространствах групп Ли с существованием гиперболической компоненты присоединенного представления у этой группы Ли.
В работах [11,12] исследована интегрируемость и топологическая энтропия геодезических потоков на однородных пространствах трехмерных групп Ли. В работе [13] исследована топологическая энтропия геодезических потоков на однородных пространствах четырехмерных групп Ли.
7
Основная цель данной диссертации — исследование геодезических потоков на однородных пространствах трехмерных и четырехмерных групп Ли, установление их интегрируемости, вычисление топологической энтропии.
Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям
— доктору физико-математических наук, профессору Анатолию Михайловичу Степину за постановку задач, ценные обсуждения и постоянное внимание к работе, и кандидату физико-математических наук Сергею Викторовичу Тихонову за полезные обсуждения и содействие в научной работе.
Краткое содержание работы
Работа состоит из двух частей и введения. Во введении дан обзор работ, в которых изучаются препятствия к интегрируемости гамильтоновых систем, приведены основные определения, а также излагаются основные результаты. Первая часть посвящена изучению геодезических потоков на однородных пространствах трехмерных групп Ли. Во второй части исследуются геодезические потоки на однородных пространствах четырехмерных групп Ли. Использовано описание трехмерных и четырехмерных групп и их дискретных подгрупп из [3,19].
В параграфе 1.1 дан перечень рассматриваемых трехмерных групп Ли и соответствующих дискретных кокомпактных подгрупп Г в них. Случай 1
— нильпотентная группа Гейзенберга Н\. Случай 2 — разрешимая группа ^ = 1 к К2, где Е действует гиперболическими поворотами на М2. Случай 3 — разрешимая группа £2 = Е х Е2, где Е действует поворотами на Е2. И, наконец, случай 4 — 8Ь(2,Е). Далее приводится описание левоинвариантных римановых метрик на этих группах. Во всех случаях кроме 8Ь(2, Е) приво-
8
дится описание всех левоинвариантных метрик, а для SL(2, R) доказывается следующее утверждение.
Утверждение 1.1.2 Для случая SL(2,R) левоинвариантные метрики, имеющие одиопараметрическую группу присоединенных симметрий, состоят из метрик, инвариантных относительно правых сдвигов на элементы подгруппы сопряженной с S1 = SO(2,R).
В параграфе 1.2 исследуется интегрируемость соответствующих геодезических потоков. Геодезическому потоку на TG соответствует гамильтонова система на T*G с функцией Гамильтона получаемая с помощью преобразования Лежандра. Приводятся нетеровские интегралы для действия группы G левыми сдвигами на самой себе, из них строятся наборы интегралов движения 7ь/2,/з = # для гамильтоновых систем на TrG. Также доказывается для всех случаев, кроме SL(2,R), что гамильтоновы системы и, следовательно, геодезические потоки интегрируемы на TG.
Определение 1.2.1(Butler, [29]) Пусть (L2n,u>) симилектическое многообразие и Хн — гамильтоново векторное поле на L2n с гладкой функцией Гамильтона Н. Пусть (L2n,d>) — накрытие L такое, что: (1) и = 7t*cj, где тг — проектор; (2) на L задано пуассоновское действие группы Ли S. Пусть Р : L —► S* отображение момента для действия 5. Предположим, что функция Н = тг*Н является 5-инвариантной. Если существует инволютивный набор п— 1 функционально независимых функций /i,..., /п_i Е Coc(S*) такой, что /i оР,..., fu-ioP “опускается” на Ь2п и вместе с функцией Гамильтона Н является функционально независимым набором на всюду плотном, открытом подмножестве L2n, тогда говорят, что векторное поле Хц почти полностью совместно интегрируемо (almost completely collectively integrable[ACCI]). Мы