Оглавление
Введение.............................................................. 3
ГЛАВА 1. Графики операторов.......................................... 12
1.1. Определения и обозначения................................... 12
1.2. Тригонометрические операторы Ат и \7г....................... 15
1.3. Представления алгебр фон Неймана,
индуцированные графиками.................................... 25
1.4. Характеристическая матрица.................................. 31
Глава 2. Приложения метода графиков.................................. 41
2.1. Характеризации свойств операторов в терминах графиков . . 41
Общий случай................................................ 41
Случай Н = К 0 К............................................ 60
2.2. Верхняя грань замкнутых операторов.......................... 84
2.3. Графики суммы, произведения и отношения операторов ... 91
Аналитический подход........................................ 91
Алгебраический подход....................................... 95
2.4. Прямые интегралы ...........................................107
2.5. Графики тензорного произведения и прямой суммы..............113
Глава 3. Меры па ортопроекторах......................................117
3.1. Определения.................................................117
3.2. Ортоидеалы и их свойства....................................119
3.3. О проблеме линейности для неограниченных мер................125
3.4. Проблема линейности для мер на ортоидеалах..................131
Литература..........................................................136
2
Введение
Актуальность темы. Один из основных методов при изучении неограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах заключается в переходе от заданного оператора к ассоциированному с ним семейству ограниченных линейных операторов. В качестве известных примеров такого подхода можно привести характеризацию симметрического оператора его преобразованием Коли, характеризацию самосопряженного оператора семейством значений его резольвенты или однопараметрическим семейством ортопроекторов, ассоциированным с его спектральным разложением единицы. В один ряд с вышеперечисленными инструментами изучения неограниченных операторов также следует поставить и метод графиков, который, однако, не получил столь широкого освещения в литературе. Частично восполнить этот пробел является главной целью предлагаемой работы.
Впервые графики операторов были введены фон Нейманом [1] при изучении фундаментальных свойств неограниченных линейных операторов. Позднее М.Х. Стоуном [2] было введено понятие характеристической матрицы, ассоциированной с графиком замкнутого оператора, что позволило свести изучение неограниченных замкнутых операторов к исследованию ограниченных операторов.
Метод графиков оказался особенно полезным в теории возмущений линейных операторов и в изучении сходимости неограниченных операторов (| 3, §IV.2], [4, § VIII.7], [5], [6]). С использованием граф-топологии было дано обобщение метода градиента для обычных линейных уравнений с ограниченным оператором на случай линейных уравнений с произвольным замкнутым неограниченным оператором [7]. Более того, в теории автоматического контроля граф-метрика оказалась наиболее подходящей метрикой для описания критериев устойчивости систем с обратной связью [8].
3
С применением графиков В. М. Мануйловым [9] был построен К-теорный непрерывный целочисленный инвариант для широкого класса неограниченных симметрических операторов. Также стоит упомянуть, что графики легли в основу теории прямых интегралов для неограниченных операторов ([10], [11]), что позволило свести изучение этой теории к исследованию прямых интегралов от ограниченных операторов.
Кроме того, техника графиков нашла неожиданное применение при исследовании проблем продолжения ортоаддитивных отображений, заданных на ортопроекторах. Так, Г. Дай [12] с помощью метода графиков показал, что проекторный ортоизоморфизм между \У*-алгебрами определенного типа продолжается до прямой суммы *-изоморфизма и *-антиизоморфизма. С другой стороны, Г. Д. Луговой совместно с А. Н. Шерстневым [13] с использованием конструкций, основанных на графиках компактных операторов, было показано существование неограниченной ортоаддитивиой меры на ортопроекторах подходящей алгебры фон Неймана, которая не продолжается до веса.
В данной работе продолжена разработка техники графиков замкнутых операторов, а также приведены приложения инструмента графиков к теории неограниченных операторов.
Другое направление исследования предлагаемой работы связано с проблемой линейности в некоммутативной теории меры. Данная проблема состоит в изучении возможностей продолжения ортоаддитивных мер на ортопроекторах алгебры фон Неймана до линейных функционалов.
Впервые проблема линейности была поставлена и решена для факторов и унитарно инвариантных мер в классических трудах фон Неймана и Мюррея [14], [15]. В полном объеме программа продолжения таких мер до интеграла реализована И. Сигалом [16]. Проблема линейности для ограниченных ортоаддитивных мер, не обязательно унитарно инвариантных, была сформулирована Дж. Макки [17] в виде гипотезы, что каждая ортоадцитив-ная вероятностная мера на ортопроекторах алгебры всех ограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах продолжается до линейного функционала. Несколькими месяцами ранее выхода из печати статьи
4
Дж. Макки положителг>ное решение этой проблемы было получено А. Гли-зоном [18]. Для ограниченных мер на ортопроекторах алгебр фон Неймана, в том числе и конечно-аддитивных, указанная проблема получила исчерпывающее решение благодаря усилиям ряда математиков четверть века спустя ([19], [20], [21], [22]).
Проблема линейности для неограниченных мер на ортопроекторах алгебр фон Неймана в контексте их продолжения до весов была сформулирована А. Н. IПерстневым [23]. Несколькими годами позже Г. Д. Луговой в совместной работе с А. Н. Шерстневым [24] было получено положительное решение этой проблемы для неограниченных (7-аддитивных мер на ортопроекторах алгебры всех ограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах. Затем этот результат был распространен на случай произвольных полуконечных алгебр фон Неймана М. С. Матвейчуком [25]. В 1992 году А. Н. Шерстневым [26] был поставлен вопрос о возможности продолжения неограниченных конечно-аддитивных мер на ортопроекторах алгебр фон Неймана до веса. Несколько лет спустя Г. Д. Луговой и А. Н. Шерстневым [13] был дан отрицательный ответ на этот вопрос.
В настоящей работе продолжено исследование проблематики линейности для неограниченных конечно-аддитивных мер на ортопроекторах и конечно-аддитивных мер на ортоидеалах алгебр фон Неймана и получен ряд новых результатов.
Цель работы. Основными целями предлагаемой работы являются:
1. Разработка инструмента графиков замкнутых операторов в гильбертовых пространствах.
2. Изучение с помощью графиков свойств замкнутых операторов, действующих в гильбертовых пространствах.
3. Исследование возможности продолжения до веса неограниченных конечно-аддитивных мер на ортопроскторах и конечно-аддитивных мер на ортоидеалах алгебр фон Неймана.
[Методы исследований. В диссертационной работе используются методы из следующих областей:
1. Теория неограниченных замкнутых операторов в гильбертовых пространствах.
2. Спектральная теория и функциональное исчисление для самосопряженных операторов.
3. Некоммутативная теория меры для алгебр фон Неймана.
Научная новизна. Все полученные результаты являются новыми и снабжены подробными доказательствами. Они дополняют известные факты из теории графиков замкнутых операторов в гильбертовых пространствах и теории некоммутативной меры в алгебрах фон Неймана.
Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в различных областях теории неограниченных линейных операторов в гильбертовых пространствах и некоммутативной теории неограниченных мер.
Основные результаты диссертации. Основные результаты работы следующие:
1. Построены новые представления алгебр фон Неймана, ассоциированные с графиками замкнутых операторов. Установлена их связь с размножением алгебр фон Неймана.
2. В терминах графиков получен ряд исчерпывающих характеризаций различных свойств замкнутых операторов и их подклассов.
3. Изучены основные бинарные операции, определенные на замкнутых операторах, в контексте графиков этих операторов. Приведено применение метода графиков к теории прямых интегралов.
4. Доказано, что для произвольного кардинального числа п ^ 2 существует алгебра фон Неймана типа /п и ограниченная полу конечная конечно-аддитивная мера на идеале этой алгебры, которая не продолжается до веса.
5. Установлено, что в произвольной алгебре фон Неймана, не содержащей прямых слагаемых типа /т„ где п — кардинальное число, не
6
меньшее 2, всякая конечно-аддитивная мера на идеале этой алгебры продолжается до веса.
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации, представлялись
1. на молодежной научной конференции "Лобачевские чтения-2005" (Казань, 2005 г.);
2. на международной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2007 г.);
3. на молодежной научной конференции "Лобачевские чтения-2008" (Казань, 2008 г.);
4. на международной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009 г.);
5. на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета им. В. И. Улья нова-Ленина (2005-2009 гг.).
Публикации автора. Результаты диссертации опубликованы в четырех тезисах [56]-[59] и одной статье [60] из списка ВАК общим объемом 27 страниц.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и грех глав. Общий объем диссертации 141 страница. Библиографический список использованных источников содержит 55 наименований.
Содержание работы. Во введении проводится общий обзор исследований, связанных с темой диссертационной работы, указываются цели, преследуемые автором при написании работы, перечисляются основные результаты, полученные автором, приводится краткое изложение содержания работы.
Первая глава посвящена изучению графиков замкнутых операторов, действующих в гильбертовых пространствах.
В разделе 1.1 приводятся общие для всей работы соглашения и обозначения.
7
В разделе 1.2 вводятся операторные аналоги Ду и V7- тригонометрических функций cos и sin, а также изучаются их свойства.
В разделе 1.3 строятся различные представления алгебр фон Неймана, индуцированные графиками замкнутых операторов. Кроме того, устанавливается связь этих представлений с размножением алгебр фон Неймана. Основные результаты данного раздела сформулированы в теоремах 1.4 и
1.5.
В разделе 1.4 вводится понятие стоуновской характеристической матрицы замкнутого оператора и находится ее явный вид в терминах тригонометрических операторов. В теореме 1.6 дана характеризация ортопроекторов, являющихся графиками некоторых замкнутых операторов. В предложении 1.9 устанавливается взаимосвязь между основными понятиями, связанными с замкнутым оператором, и элементами его характеристической матрицы.
Во второй главе рассматриваются различные приложения техники графиков к теории неограниченных операторов.
В разделе 2.1 приводятся характеризации различных свойств замкнутых операторов и их подклассов в терминах графиков. Впервые исследование в данном направлении было начато М. X. Стоуном [2]. Им были найдены характеризации ограниченных, самосопряженных, нормальных, унитарных операторов, действующих в гильбертовом пространстве, в контексте их характеристических матриц. Описание некоторых классов замкнутых операторов с помощью тригонометрических операторов были даны В. Кауфманом ([27], [28]). Автором получен ряд новых результатов, дополняющих результаты М. X. Стоуна и В. Кауфмана. В терминах характеристических матриц и тригонометрических операторов получены исчерпывающие характеризации таких подклассов замкнутых операторов, как классы ограниченных (теоремы 2.3 и 2.4), обратимых (теоремы 2.8 и 2.9), компактных (теорема 2.10), фредгольмовых (теоремы 2.12, 2.13 и 2.14), эрмитовых (теорема 2.20), нормальных (теорема 2.23), самосопряженных (теорема 2.24), положительных (теорема 2.25), аккретивных (теорема 2.26), инволютивных (теорема 2.28), присоединенных к алгебре фон Неймана (теорема 2.31), т-измеримых (тео-
8
рема 2.32), принадлежащих к идеалу (теорема 2.33) и других типов операторов.
В разделе 2.2 вводится новая операция верхней грани двух замкнутых операторов. С использованием техники графиков получен ряд интересных свойств этой операции (теоремы 2.34 и 2.35). Во многом эти свойства аналогичны свойствам операции сложения ограниченных операторов. Однако, как показано в замечаниях 2.8 и 2.9, имеют место и некоторые аномалии в контексте такого сравнения.
Раздел 2.3 посвящен описанию графиков суммы, произведения и отношения замкнутых операторов. Подобного рода исследование было начато Ленноном [11]. Им с помощью техники биграфиков были найдены характеристические матрицы полусуммы т?{А 4- В) и произведения В А двух произвольных замкнутых операторов А и В в виде предельных выражений, составленных из элементов характеристических матриц операторов А и В. Автором получены аналогичные формулы для суммы А + В (теорема 2.37) и отношения В/А (теорема 2.38) замкнутых операторов А и В.
Во второй части раздела используется алгебраический подход: получены представления графиков произведения АВ (теоремы 2.39 и 2.42), отношения В/А (теоремы 2.40 и 2.43) и суммы А + В (теоремы 2.41 и 2.44) в виде решеточных многочленов от графиков замкнутых операторов А и В. Кроме того, в терминах графиков А и В даны критерии замыкаемости и плотной определенности произведения, отношения и суммы замкнутых операторов
В разделе 2.4 получено применение техники графиков к теории прямых интегралов замкнутых операторов. Ленноном [11] было показано, что если замкнутые операторы А и В разложимы, то тогда справедливы формулы
Автором получены аналогичные результаты для отношения замкнутых операторов В/А и их верхней грани Л V В.
А и В.
если замыкаем А В.
если замыкаем А 4- В
9
В разделе 2.5 приводится явный вид характеристической матрицы тензорного произведения замкнутых операторов в терминах характеристических матриц этих операторов (теорема 2.47), полученный X. Косаки [50]. С использованием этого результата автором получены формулы тригонометрических операторов для тензорного произведения А&В замкнутых операторов в терминах тригонометрических операторов А и В (теорема 2.47). Кроме того, приводятся аналогичные формулы для графика прямой суммы замкнутых операторов (предложение 2.4).
Третья глава посвящена исследованию проблемы линейности для неограниченных конечно-аддитивных мер на ортопроекторах и конечноаддитивных мер на ортоидеалах алгебр фон Неймана.
В разделе 3.1 даются обозначения и определения, связанные с проблематикой линейности.
В разделе 3.2 изучаются свойства ортоидеалов, имеющие отношение к проблеме линейности, а также выводятся свойства ортоидсалов, представляющие самостоятельный интерес.
В разделе 3.3 изучается вопрос о возможности продолжения до веса неограниченных полу конечных конечно-аддитивных мер на ортопроекторах алгебр фон Неймана. Г. Д. Луговой и А.Н. Шерстневым [13] с использованием техники графиков было показано существование неограниченной полуконечной конечно-аддитивной меры на ортопроекторах в подходящей алгебре фон Неймана, не продолжающейся до веса. Автором предложен упрощенный и конструктивный способ доказательства этого факта, причем без привлечения метода графиков (теорема 3.3). В предложении 3.6 получен критерий возможности продолжения до веса двузначных неограниченных конечно-аддитивных мер в терминах ортоидеалов, ассоциированных с этими мерами. В теореме 3.4 установлено, что в произвольной алгебре фон Неймана М., не содержащей прямых слагаемых типа 1п, где п — кардинальное число, не менынсе 2, всякая конечно-аддитивная мера // на ортопроекторах этой алгебры такая, что J|l = {р Є МРГ : д(р) < -Ьоо} является идеалом, продолжается до веса, причем этот вес определяется единственным образом
10
на конусе, порожденном идеалом J^1, и принимает на нем лишь конечные значения.
Раздел 3.4 посвящен исследованию возможности продолжения до веса полуконечных конечно-аддитивных мер на ортоидеалах алгебр фон Неймана. Доказано, что для произвольного кардинального числа п ^ 2 существует алгебра фон Неймана типа 1п и ограниченная полуконечная конечноаддитивная мера на идеале этой алгебры, которая не продолжается до веса (теорема 3.5). В теореме 3.6 приводится аналог теоремы 3.4 для конечноаддитивных мер на ортоидеалах. В теореме 3.7 установлено, что всякая конечно-аддитивная мера на ортоидеалс алгебры всех ограниченных линейных операторов В(Н), содержащем трехмерный ортопроектор, продолжается до иолу конечной конечно-аддитивной меры на ортоидеале этой алгебры.
11
Глава 1
Графики операторов
1.1. Определения и обозначения
Приведем перечень общих для всей диссертации соглашений и обозначений. Через М, К, С обозначаются соответственно множества натуральных, действительных и комплексных чисел. В записи высказываний используются общепринятые логические символы: 3 — существует, V — для любого, — равносильно, =Ф — влечет. Применяются также стандартные теоретико-множественные обозначения: е, С , О, П, и, \.
Пусть Я — произвольное гильбертово пространство. Будем использовать следующие обозначения: (-,*) — скалярное произведение в II, || • || — норма в II, 0 — нулевой вектор в II, Е — замыкание линеала Е С II в топологии нормы, Я1 — ортогональное дополнение линеала Е в Я, Е + Я — сумма линеалов Я, Я С Я, Я®ЯиЯ©Я— ортогональная сумма и ортогональная разность линеалов Я, Я С Я соответственно.
Пусть X, У — гильбертовы пространства, и Т : X —> У — линейное отображение. Тогда Х>(Т) — область определения Т, 71(Т) — множество значений Т, кегГ — ядро оператора Т , Т~1 — обратный к Т оператор (если существует). Оператор Т называется плотно заданным, если Т>(Т) = X. В этом случае существует сопряженный к Т оператор, который обозначается через Т\ причем справедливо тождество
кег Т ф Я~(Т*У = X (В У-
12
- Київ+380960830922