Поточечные принципы выбора для функций одной и нескольких вещественных переменных

Содержание
Введение.................................................... 3
I. Принципы выбора для функций одной переменной....... 15
1. Величина Лг(£,/, Т) и ее свойства.................... 15
2. Принцип выбора в терминах величины ^(е,/,Т) . . 25
3. Сравнение с известными принципами выбора .... 35
4. Слабый поточечный принцип выбора..................... 40
5. Мультиселекции ограниченной вариации................. 44
II. Принципы выбора для функций нескольких переменных . 59
6. Определения и обозначения............................ 59
7. Свойства смешанных разностей......................... 64
8. Свойства полной вариации............................. 92
9. Принцип выбора типа Хелли............................102
10. Слабый поточечный принцип выбора.....................108
Литература...............................................г , . 113
2
Введение
Диссертация посвящена исследованию поточечных принципов выбора для функций одной и нескольких вещественных переменных со значениями в метрическом пространстве, а также нахождению условий, при которых заданная последовательность функций содержит всюду или почти всюду сходящуюся подпоследовательность.
Исторически первый принцип выбора был найден Хелли ([50)) в классе всех монотонных функций, определенных на отрезке [а, Ь] вещественной оси К: равномерно ограниченная последовательность монотонных функций, определенных на отрезке [а, 6], содерэюит подпоследовательность, которая поточечно па [а, Ь] сходится к некоторой монотонной (функции. Эта теорема Хелли справедлива и для произвольного непустого множества Т из М, как это установлено, например, в (36), и для равномерно ограниченной последовательности функций, жордановы вариации которых равномерно ограничены. Условие равномерной ограниченности последовательности функций и их обобщенных вариаций лежит в основе большинства обобщений принципа выбора Хелли (для вещественных функций — [46], [56], [61), [65); для функций со значениями в метрическом или банаховом пространстве — [14], [15], [25], [26], |29], [30], [31], [33], [34],[36]). Упомянутые принципы выбора имеют многочисленные применения ([7], [10], [14], [26], [25], [29], [31], [33], [34], [36], [51], [64]), поскольку являются эффективным инструментом при доказательстве теорем существования. Например, они широко используются в теории функций, функциональном анализе, теории оптимизации, комплексном анализе и теории стохастических процессов ([7], [10], [25], [51]). Обобщения теоремы Хелли также находят свое приложение в многозначном анализе при доказательстве существования регулярных селекций для мультифункций ограниченной обобщенной вариации и исследовании нелинейных операторов суперпозиции Немыцкого ([36]).
Рассмотрим более детально некоторые из этих обобщений для вещественных функций одной переменной ([71]). Для этого нам потребуются
3
следующие определения.
Для отрезка 7 = [а. 6] вещественной оси Е, где а < 6, обозначим через Rcg(I) множество всех регулярных функций /: I —► Е, т. е. тех функций, для которых предел слева /(£ — 0) 6 Е существует в каждой точке а < £ < Ь и предел справа /(£ + 0) е Е существует в каждой точке а ^ I < Ь. Множество регулярных функций И^(7) играет важную роль, например, в теории всюду сходящихся рядов Фурье и в теории стохастических процессов. Известно, что каждая функция / Е Rcg(I) ограничена, имеет не более чем счетное число точек разрыва и является пределом равномерно сходящейся последовательности ступенчатых функций. Поскольку множество всех мотононных функций, определенных на отрезке 7, содержится в классе 11с^(7), то теорема Хслли относится к принципам выбора в классе регулярных функций.
Пусть 1р: Е&+ = [0,оо) —> Е'1' есть (р— функция, т. е. является неубывающей непрерывной функцией, такой, что (р(р) = 0 лишь при р = 0, и Пт^со (р(р) = оо. Говорим, что функция /: 7 —> Е является функцией ограниченной <р— вариации на 7 в смысле Винера ([66]) и Янга ([67)), и в этом случае пишем / 6 ВУД7), если конечна (р—вариация функции /, определяемая по правилу:
ЗД/) = зир|]>^у?(|/№) - /№-1)|): п е К, «г-! < и, * =
В частном случае, когда <р(и) = н, значение УД/, 7) является обычной вариацией по Жордану функции /, которую будем обозначать через
У(/,/)=зир|^|/№)-/№-1)|:’геК, *,■_! * = 1,...,п|;
в этом случае также используем запись ВУ(7) вместо ВУД 7). Известно ([56], [07]), что ВУД 7) С Reg(7), и, если (р выпуклая и (р{и)/и —0 при и —> +0, то ВУ(7) является собственным подмножеством ВУД7). С другой стороны, Гоффман, Моран и Уотерман ([47]) предложили следу ющую характеристику множества если / € Reg(I) и тт{/(£ —
0),/(£ -Г 0)} < /(£) ^ тах{/(£ — 0),/(£ + 0)} в каждой точке разрыва
tel функции /, то / 6 ВУ^(/) для некоторой выпуклой <р—функции (р такой, что р(и)/и —> 0 при и —► +0.
Следующее обобщение принципа выбора Хелли принадлежит Хелли ([50]), если V» = V и BV* = BV, и Мущслаку и Орличу ([об]), если V* = V* и BV* = BV^: поточечно ограниченная последовательность функций {fj} = i, отображающих I в Ш. и удовлетворяющая
условию
sup V*(/j, I) < оо, (0.1)
jeN
содержит поточечно сходящуюся подпоследовательность, предельная функция которой / лежит в ВV*(/). Заметим, что эта теорема также является приципом выбора в классе регулярных функций.
Имеются также описания регулярных функций, не связанные с приведенными выше понятиями ограниченной вариации. Одно из них принадлежит Чантурия ([12], [13]; см. также [48, раздел 11.3.7]), который ввел определение модуля вариации /, I)}%Li функции /: I —> R по
правилу:
i/(n,/,J) = sup{èl/fe) “ f(ai)h {ЗДм С I такие, что
^ ^ &2 ^ ^2 ^ ^ dii—1 ^ ^n—l ^ Щг ^ j
где ne N, и показал, что Reg(7) = {/:/—► IR | v{n, /, I) = o(n)}. Здесь условие u(n) /, I) = o(n) означает, что г/(п, /, I)/n —>• 0 при n —» оо. Используя это понятие, в работах [37], [38] Чистяков заменил условие равномерной ограниченности вариаций sup.j6N V*(/j, I) < оо значительно более слабым условием
lim v(n, fj, /) = о(га) (0.2)
3 *оо
и получил обобщение принципа выбора Хелли, в котором поточечный предел извлекаемой подпоследовательности лежит в классе Reg(J) и который содержит в себе как частные случаи все упомянутые выше принципы выбора и многие другие ([19], [20], [39]). В отличие от предыдущих
принципов выбора этот новый результат выводит за рамки регулярных функций. В самом деле, если V: [0,1] —> Ж есть функция Дирихле (т. е. Р(£) = 1, если £ рационально, и £>(£) = 0, если £ иррационально) и Sj(t) = Т>(г)Ц9 £ 6 [0,1], j е М, то Д- ф И^([0,1]) для всех ; € N и ^(п, Д, [0,1]) = пи, так что Нт:?_0О^(п,/_7-,/) = о(п), в то время как swpjGwV(fj,I) = оо. Более того, ограничение на модуль вариации функций исходной последовательности, лежащее в основе принципа выбора из [37], [38], является необходимым для последовательности {/;}, равномерно сходящейся к функции /, такой, что 1у(п: /, I) — о(п), и почти необходимым для поточечно сходящейся последовательности функций (подробнее см. [20], [38], [39]) в отличие от принципов выбора с условием (0.1).
Заметим, что при условии (0.1) или (0.2) поточечно ограниченная последовательность функций {/Д на самом деле является равномерно ограниченной. Отметим также, что все приведенные выше принципы выбора были обобщены на последовательности функций, отображающих непустое подмножество Е в метрическое пространство или даже равномерное пространство ([14], [15], [37], [19], [20], [26], [29], [30], [31], [36], [38], [39] и ссылки в этих работах) и для последовательностей монотонных функций между линейно упорядоченными множествами ([54]).
В первой главе настоящей работы развивается теория функций одной переменной и выделяется класс функций, относительно компактных в топологии поточечной сходимости без условия равномерной ограниченности каких-либо обобщенных вариаций.
Теоремы типа Хелли для функций нескольких вещественных переменных в большой степени зависят от понятий (ограниченной) вариации, используемых для этих функций, которые обобщают различные аспекты классической вариации по Жордану функции одной переменной и которых в литературе встречается достаточно много (например, [2], [3], [4], [23], [43], [51], [58], [69], и эти ссылки далеко не исчерпывающие). При некоторых подходах к многомерным вариациям ([2], [9], [22]), в той или иной мерс использующих процедуры интегрирования, принципы выбо-
6
ра типа Хелли связаны в основном со сходимостью почти всюду извлекаемой последовательности, и более сильной сходимости в этом случае ожидать нельзя; однако такая сходимость является слишком слабой для некоторых приложений (таких как в работе [36] и § 5 ниже). С другой стороны, для вещественных функций нескольких переменных имеются определения понятия вариации ([8], [51]), которые восходят к работам Витали ([63]), Харди ([49]) и Краузе ([21], [43]), такие, что имеет место полный аналог теоремы Хелли относительно поточечной сходимости извлекаемой подпоследовательности. Эти аналоги принципа выбора Хелли базируются на понятии монотонной вещественной функции нескольких переменных ([27], [51], [68]) и соответствующего обобщения теоремы Жордана о декомпозиции, согласно которой функция ограниченной вариации представима в виде разности двух монотонных функций.
Во второй главе диссертации при минимальных условиях на область значений, являющейся метрической полугруппой, установлен аналог теоремы Хелли относительно поточечной сходимости, который не опирается на теорему Жордана о декомпозиции; при этом разработана совершенно другая техника но сравнению со случаем вещественных функций (для функций двух переменных см. работу [24]). Отметим, что большинство подходов к многомерным вариациям теряет смысл, если предположить, что значения функций лежат в метрическом пространстве. С этой целью приведено развитие понятия полной вариации функции нескольких переменных со значениями в метрической полугруппе в смысле Витали, Харди и Краузе, которое введено Чистяковым ([32]) и обобщает классическое определение вариации по Жордану для функций одной переменной и понятия полной вариации в смысле Хилдебрандта (|51|) для вещественных функций двух переменных и Леонова ([8]) для вещественных функций произвольного конечного числа переменных.
7
Переходим к изложению основных результатов диссертации.
В главе I (§§1-5) рассматриваются функции одной вещественной переменной со значениями в метрическом пространстве, устанавливается несколько вариантов поточечного принципа выбора. В главе II (§§б-10) для функций нескольких вещественных переменных со значениями в метрической полугруппе изучены свойства полной вариации в модификации Витали, Харди и Краузе и получены два варианта теоремы тина Хелли для функций со значениями в метрической полугруппе и рефлексивном сепарабельном банаховом пространстве.
В § 1 для числа £ > 0 и функции /: Т —► X (в другой записи f £ Хт)у отображающей непустое множество Т вещественной прямой IR в метрическое пространство (Xyd), вводится понятие величины N(e> /, Т) € {0} UNU {оо} (для Т = [а, 6] и X = R см. [45, часть III)), как супремума множества тех номеров п G N, для которых в множестве Т существует набор из п неналегающих отрезков концы s* и U которых лежат
в Т, г = l,...,7i, таких, что d(f(si)yf(ti)) > е для всех г = 1,...,гг (с соглашением о том, что sup0 = 0). Если 0 ф Е С Т и / € Хт, то N(e, /, Е) = N(e,f\е,Е), где /|е' Е —> X есть сужение функции / на множество Е. Поведение введенной величины рассмотрено на некоторых классах функций ограниченной обобщенной вариации и множестве непрерывных функций.
Основные свойства величины N(e,f, Т) для произвольной функции f е Хт собраны в лемме 1.1. Перечислим некоторые из них:
1) N(62, f,T) ^ N(euftT) для 0 < Е\ < £2 (монотонность по первому аргументу) ;
2) N(e>f,Ei) ^ N(s,f,E2) для 0 ф Е\ С Е2 С Т и всех е > 0 (монотонность по третьему аргументу);
3) если {fj} = С Хт сходится поточечно на Т к некоторой
функции / G Хт, то N(e,f,T) ^ Иш^оо N(eJj,T) для всех е > 0 (полунепрерывность снизу);
4) для £ > 0 и точек sut из Т, s < t, величина nt = N(ey /, (-оо, £]ПТ) конечна тогда и только тогда, когда величины ns = N(e, /, (—оо, s] П Т)
8
и nS)t = Ar(e,/, [s,t] ПТ) конечны, и з этом случае существует число п* Е {0,1} такое, что щ = n5 + 4- п* (полуаддитивность).
Еще одним важным свойством величины N(e,f,T) является то, что с ее помощью можно описывать регулярные функции на отрезке Т — [а, 6], т. е. имеющие односторонние левый и правый пределы (в смысле, указанном ниже). Пусть S — фиксированное всюду плотное подмножество [а, 6]. Обозначим через С/5 ([а, 6]; X) множество, состоящее из всех функций /: [а, Ь\ —> X, для которых выполнены условия Коши относительно 5, я именно:
lim d(f(s), /(С)) = 0 в каждой точке т Е (а, 6]
И
lim d(f(s)>f(t)) = 0 в каждой точке т € [а, 6).
S3s,i—»т-ЬО
Тогда справедливо следующее равенство (теорема 1.3)
Us(WМ\Х) — {/: [а,b] —> X \ N{s,f,S) < 00 для всех е > 0}.
Последовательность {fj} = {fj}JL 1 О Хт называется поточечно относительно компактной, если замыкание в X последовательности {/}(£)} компактно при любом t Е Т. В § 2 устанавливается первый основной результат — следующий поточечный принцип выбора:
Теорема 2.1. Если 0 ^ Т С IR, (X,d) — метрическое пространство и {fj} С X — поточечно относительно компактная последовательность функций такая, -чгяо
/V(£) = lim iV(£, /j, T) < oo для ecerc е > 0, (2.1)
j—*oo
то {fj} codepotcum подпоследовательность, которая сходится поточечно па Т к некоторой функции } Е ХТ, удовлетворяющей условию iV(e,/,T) < N(e) для всех е > 0.
В теореме 2.2 показано, что в отличие от многих известных принципов выбора (например, [45], [46], [50], [56], [61], [65]) условие (2.1) является необходимым для равномерно сходящейся последовательности {fj}.
9