Содержание
Введение.........................................................3
ГЛАВА 1. Независимые отображения................................15
1.1. Обозначения и терминология.................................15
1.2. Теорема Оттавиани и ее усиление............................17
Глава 2. О равенстве в задачах Монжа и Канторовича..............24
2.1. Задача Монжа-Канторовича...................................24
2.2. Предварительные сведения...................................27
2.3. Совпадение инфимума Монжа и минимума Канторовича 29
ГЛАВА 3. Приближение функционалов типа энтропии.................40
3.1. Случай общих пространств с мерой .........................40
3.2. Случай метрических пространств.............................48
Литература......................................................54
3
ВВЕДЕНИЕ Общая характеристика работы
Актуальность темы. Тематика работы находится на стыке теории меры, функционального анализа и теории вероятностей и затрагивает три направления, в которых возникают задачи, связанные с приближением функционалов на пространствах с мерами. Первое направление относится к классической задаче Монжа-Канторовича о перемещении масс (называемой также транспортной задачей). Эта задача была поставлена Монжем еще в 1781 году, но значительно развитие эта тематика получила только после работ Л.В. Канторовича в 40-х годах прошлого столетия (см.1,2,3). Канторович предложил новый подход к задаче Монжа, поставив более широкую задачу, тесно связанную с первоначальной. К ней оказались применимы идеи разработанной Канторовичем теории линейного программирования. Связь задач Монжа и Канторовича выражена, в частности, тем фактом, что минимум функционала в задаче Канторовича совпадает с инфимумом функционала в задаче Монжа. В последние два десятилетия в этом направлении появились новые плодотворные идеи, в том числе в.работах М. Талаграна4, Я. Бренье5, Р. Маккэна6. Эти исследования положили начало обширной математической теории, имеющей яркие приложения в теории вероятности, функциональном анализе, дифференциальных уравнениях, физике, метеорологии. Систематическое изложение этой теории можно найти в книгах7,8,9. В диссертации
1 Monge G. Memoire sur la Théorie des Déblais et des Remblais. Hist. Acad. Sei. Paris, 1781.
■^Канторович Л.В. О перемещении масс. ДАН СССР. 1942. Т. 37, N 7-8. С. 227-229.
^Канторович Л.В. О задаче Монжа. Успехи матсм. наук. 1948. 'Г. 3. С. 225-226.
^Talagrand М. Transportation cost for Gaussian and other product measures. Geom. F\inct. Anal. 1996. V. 6. P. 587-600.
5Brenier Y. Polar factorization and monotone rearrangement of vector valued Junctions. Comm. Pure Appl. Math. 1991. V. 44. P. 375-417.
^Gangbo W. McCann R.J. The geometry of optimal transportation. Acta Math. 1996. V. 177. P. 113-
161.
~Rachev S.T., Ruschendorf L. Mass transportation problems. V. 1,2 Springer, New York, 1998.
^Villani C. Topics in optimal transportation. Amer. Math. Soc., Rhode Island, 2003.
^Villani C. Optimal transport, old and new. Springer, New York, 2008.
4
установлено совпадение инфимума Монжа и минимума Канторовича в случае вполне регулярных топологических пространств с метризуемыми компактами и непрерывной неотрицательной функции стоимости. Этот результат обобщает теорему итальянского математика Прателли10, в которой равенство установлено для полных сепарабельных метрических пространств.
Второе из указанных трех направлений связано с приближением нелинейных интегральных функционалов. Такие проблемы возникают во многих приложениях (см.11’12,13). В частности, в работах14,15 при помощи таких приближений определяется функционал, называемый грубой энтропией, который является измененным вариантом энтропии Гиббса. Грубая энтропия задается как энтропия условного математического ожидания функции при условии конечного разбиения. С помощью грубой энтропии можно попытаться решить некоторые теоретические проблемы, связанные с энтропией Гиббса. Например, во многих конкретных динамических системах имеется рост грубой энтропии с течением времени, причем характер роста определяется динамическими свойствами системы. При этом важным оказывается вопрос сходимости грубой энтропии при измельчении разбиения. Грубая энтропия не всегда приближает энтропию Гиббса. Для сходимости необходимы дополнительные условия на исходное пространство с мерой. Естественно возникает вопрос о приближении указанным способом функционалов более общего вида.
^Pratelli A. On the equality between Manges’s infimum and Kantorovich’s minimum in optimal mass transportation. Annales Inst. H. Ро1псагё (В). 2006. V. *13, N 1. P. 1-13.
Козлов В.В. Ансамбли Гиббса и неравновесная статистическая механика. НИЦ „Регулярная и хаотическая динамика”, Институт компьютерных исследований, Москва - Ижевск, 2008.
Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустылышк Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. Наука, М., 1966.
^Левии В.JI. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике. Паука, М., 1985.
^Козлов В.В., Трещев Д.В. Топкая и грубая энтропия в задачах статистической механики. Теорет. матем. физ. 2007. Т. 151, N 1. С. 120 -137.
^TVeschev D., Piftankin G. Gibbs entropy and dynamics. Chaos (Amer. Inst, of Physics). 2008. V. 18, N 2. P. 1-11.
5
В диссертации рассматривается широкий класс функционалов, включающий энтропию. Для функционалов из этого класса вводятся естественные приближения, определяемые подстановкой в функционал условного математического ожидания исходной функции. Устанавливаются достаточные условия сходимости этих приближений.
Наконец, последнее из упомянутых выше трех направлений связано с понятием независимости случайных величин. При построении систем независимых случайных величин на заданном вероятностном пространстве возникают препятствия, которые носят фундаментальный характер. В случае, когда вероятностное пространство есть отрезок с мерой Лебега, одно из таких препятствий было обнаружено итальянским математиком Г. Оттавиани в 1947 году (см.10). Препятствие заключается в том, что если в системе независимых случайных величин имеется хотя бы одна абсолютно непрерывная функция, то все остальные окажутся функциями с конечным числом значений. Если же в системе есть две непрерывные функции / и д, то / должна принимать все свои значения на любом непустом прообразе вида д~1 (а), где а - число (см. 17,18). Эти результаты частично объясняют, почему не существует классических систем независимых случайных величин из непрерывных функций, задаваемых простыми формулами, и почему в качестве простейших систем независимых случайных величин на отрезке приходится рассматривать системы функций типа Радсмахера. Свойство абсолютной непрерывности не имеет аналогов в случае общих вероятностных пространств, и для таких пространств не было известно аналогов теоремы Оттавиани. Кроме того, не была ясна роль абсолютной непрерывности даже в случае отрезка. В диссертации обнаружено свойство, которое отвечает за то, что с данным отображением могут быть независимы только отображения с
18Ottaviani G. Sulla indcpcndcnza delle funzioni misurabili. Atti Accad. Lincei. Rend. Cl. sci., fis. mat. e natur. Roma. 1947. V. 2. P. 393-398.
^Sengupta, H.M. On continuous independent functions. Q. J. Math., Oxf. Ser. 1948. V. 19. P. 129-132.
i8Scngupta, H.M. On continuous semi-indcpcndcnt functions Q. J. Math., Oxf. II. Ser. 1954. V. 5, P. 172-174.
б
конечным числом значений. Это свойство формулируется для общих вероятностных пространств. В случае отрезка оно следует из абсолютной непрерывности.
Цель работы. Исследовать связь задач Монжа и Канторовича в случае мер на общих топологических пространствах. Исследовать сходимость конструктивных приближений нелинейных интегральных функционалов. Изучить условия существования нетривиальных случайных величин на заданном вероятностном пространстве, независимых с данной случайной величиной.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Для заданной случайной величины на вероятностном пространстве дано достаточное условие общего вида, при котором не существует нетривиальных случайных величии, независимых сданной случайной величиной.
2. Доказано совпадение инфимума Монжа и минимума Канторовича в случае вполне регулярных топологических пространств с метризуемыми компактами и неограниченной ценовой функции.
3. Получено достаточное условие сходимости приближений при помощи условных математических ожиданий для нелинейных интегральных функционалов типа энтропии.
Методы исследования. В работе применяются методы теории меры, функционального анализа, топологии, теории вероятностей, а также некоторые оригинальные конструкции.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в различных вопросах теории меры, нелинейного анализа, теории случайных процессов и их приложений.
- Київ+380960830922