Развитие теории многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами

Оглавление
Введение .......................................................... б
Глава 1 Канонические многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и порождаемые ими алгебры ... 27
§1.1 Обозначения и предварительные сведения....................27
1.1.1 Обозначения .......................................... 27
1.1.2 Нетеровы операторы и их свойства ..................... 29
1.1.3 Сферические гармоники .................................30
1.1.4 Операторы с однородными степени (—1) ядрами .......... 32
1.1.5 Операторы с однородными степени (—гг) ядрами ......... 36
§ 1.2 Нетеровость парных интегральных операторов
с однородными ядрами ......................................37
1.2.1 Критерий иетеровости парных операторов ............... 37
1.2.2 О плотности множества иетеровых операторов ........... 46
1.2.3 Нетеровость и обратимость оператора Л/ — К ........... 49
§ 1.3 Алгебра, порожденная парными интегральными операторами с однородными ядрами ......................................... 51
1.3.1 Композиции операторов с однородными ядрами ........... 51
1.3.2 Алгебра 21 и фактор-алгебра 21/Т(£р(Мп)) ..............53
1.3.3 Критерий иетеровости в алгебре 21 .................... 63
1.3.4 О принадлежности классу операторов локального типа .. 65
1.3.5 Матричный случай ..................................... 66
§ 1.4 Алгебра, порожденная операторами XI - К ................ 67
§1.5 С*-алгебра, порожденная интегральными операторами
с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига ................................................... 72
1.5.1 С7*-алгебра, порожденная мультипликативными сдвигами 73
1.5.2 Вспомогательные утверждения........................... 75
1.5.3 С*-алгебра С и ее структура .......................... 80
г.
1.5.4 Критерий обратимости и иетеровости в алгебре С ...... 82
§ 1.6 Интегральные операторы с однородными ядрами
в пространстве Ьр(Шп) .................................. 86
1.6.1 Критерий нетеровости оператора XI — К .............. 86
1.6.2 Алгебра Л и ее матричный аналог .................... 90
1.6.3 Вольтерровский случай................................94
Глава 2 Многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами ........................ 99
§2.7 Интегральные операторы с однородными ядрами
и стабилизирующимися коэффициентами......................99
2.7.1 Оценка для нормы.....................................99
2.7.2 Класс функций Ао и теоремы о компактности.......... 101
2.7.3 Операторы с коэффициентами из класса А........... 104
§ 2.8 Интегральные операторы с однородными ядрами
и радиальными слабо осциллирующими коэффициентами . 108
2.8.1 Класс радиальных слабо осциллирующих функций ...... 108
2.8.2 Свертки со слабо осциллирующими коэффициентами ... 109
2.8.3 Нетеровость и индекс модельных операторов ......... 111
2.8.4 Теорема о коммутаторе.............................. 116
2.8.5 Критерий нетеровости в алгебре 93 ................. 119
§2.9 С^-алгебра, порожденная интегральными операторами
с однородными ядрами и коэффициентами вида \х\га ...... 123
2.9.1 С*-алгебры, порожденные динамическими системами ... 123
2.9.2 С*-алгебра 93 и ее структура....................... 125
2.9.3 Критерий обратимости и нетеровости в (7*-алгебре 93 ... 129
2.9.4 Некоторые частные случаи .......................... 132
2.9.5 Нетеровость одного класса парных операторов ....... 134
Глава 3 Проекционный метод и предельное поведение
спектров и псевдоспектров ................................. 136
3
§3.10 Проекционный метод для интегральных операторов
с однородными ядрами.................................... 136
3.10.1 Определение проекционного метода.................... 136
3.10.2 Вспомогательные утверждения......................... 138
3.10.3 Критерий применимости проекционного метода
к парным многомерным операторам ..................... 140
3.10.4 Проекционный метод для операторов из Ьр(Шп) ........ 147
§3.11 Усеченные интегральные операторы с однородными ядрами
и их свойства........................................... 149
3.11.1 Композиции усеченных операторов .................... 149
3.11.2 Предел норм усеченных операторов ................... 153
§3.12 Псевдоспектры многомерных интегральных операторов
с однородными ядрами.................................... 162
3.12.1 Алгебра 91 и предел норм обратных операторов ....... 162
3.12.2 Предел псевдоспектров усеченных операторов.......... 167
3.12.3 Матричный случай ................................... 170
3.12.4 Дополнение к одномерному случаю .................... 172
§3.13 Предельное поведение спектров и сингулярных
значений усеченных операторов .......................... 175
3.13.1 Предел спектров усеченных операторов................ 175
3.13.2 Предел множества сингулярных значений .............. 179
Глава 4 Многомерные интегральные операторы
с биоднородными ядрами.......................................181
§4.14 Нетеровость и индекс многомерных интегральных операторов
с биоднородными ядрами ................................. 181
4.14.1 Операторы Винера-Хопфа с компактными коэффициентами на полупрямой .............................. 181
4.14.2 Операторы Винера-Хопфа с компактными коэффициентами в квадранте ................................ 185
4
4.14.3 Вложение С^-алгебры Ял в С*-алгебру 188
4.14.4 Критерий нетеровости ................................ 193
4.14.5 Вычисление индекса................................... 197
4.14.6 Аналог теоремы С. Ошера ............................. 199
§4.15 Проекционный метод для интегральных операторов
с биоднородными ядрами .................................. 201
§4.16 Псевдоспектры, спектры и сингулярные значения усеченных
интегральных операторов с биоднородными ядрами ...........212
§4.17 Многомерные интегральные операторы с биоднородными
ядрами, порожденные парными операторами ..................221
4.17.1 Вспомогательные результаты .......................... 221
4.17.2 Вложение С*-алгебры 21п в С*-алгебру УИГ) ........... 222
4.17.3 Нетеровость и индекс ................................ 226
Глава 5 Многомерные интегральные операторы с квази-
однородными ядрами и некоторые другие обобщения .. 230
§5.18 Многомерные интегральные операторы с квазиоднородиыми
ядрами .................................................. 230
§5.19 Интегральные операторы с ядрами, имеющими смешанный
характер однородности.....................................240
5.19.1 Теорема об ограниченности ........................... 241
5.19.2 Критерий обратимости и нетеровости .................. 247
§ 5.20 Интегральные операторы с однородными ядрами
на плоскости ............................................ 254
5.20.1 Постановка задачи и теорема об ограниченности ....... 254
5.20.2 Критерий нетеровости................................. 256
5.20.3 Проекционный метод................................... 261
Литература ...................................................... 263
5
Введение
Данная работа посвящена многомерным интегральным операторам с однородными и биоднородными ядрами, которые рассматриваются в пространствах суммируемых функций. Наши исследования с одной стороны примыкают к классической теории интегральных операторов, а с другой — тесно связаны с общей теорией банаховых алгебр, спектральной теорией и теорией проекционных методов.
Основным объектом исследования является действующий в пространстве Ьр(Вп(а)), 1 < р ^ оо, оператор
®П (а)
где Вп(а) = {я € Еп: |я| ^ а}, причем 0 < а ^ оо, а функция к(х,у) определена на М71 х Еп и удовлетворяет следующим условиям:
1° однородность степени (—п), т. е.
к(ах,ау) = а~пк(х,у), \/а > 0;
2° инвариантность относительно группы вращений 50(п), т. е.
к(и(х)>и{у)) = к(х,у), Уи е 50(тг);
3° суммируемость, т. е.
гдев! = (1,0,
Примерами функций, удовлетворяющих условиям 1°-3°, могут служить функции
(0.1)
к = J |&(ег,у)||у| п/р<1у= ! \к(х,ех)\\х\ и/,/йх<со,
6
где х • у — скалярное произведение векторов хи^и
О < а < п,
причем первая функция удовлетворяет условию 3° при 1 < р < оо, а вторая — при 1 < р < п/а.
Условия 1°-3° являются основополагающими и используются во всех главах, за исключением последней. Кроме того, мы будем всюду предполагать, что оператор Ка «многомерный», т. е. считать, что п ^ 2. Операторы вида (0.1) будем называть каноническими многомерными интегральными операторами с однородными ядрами.
Нетрудно видеть, что если 0 < а < оо, то оператор Ка подобен оператору К\. Поэтому в дальнейшем рассматриваются только операторы К і и Кос. При этом для того, чтобы упростить обозначения, мы будем писать К вместо К і И К вместо К ос.
В диссертации также рассматриваются многомерные интегральные операторы с биоднородными ядрами, т. е. операторы вида
где А € С. а функции х,у) (у = 1,2,3,4) удовлетворяют условиям 1°-3°, причем степень однородности в условии 1° равна (—щ), если у = 1,3 и (—н-г), если j = 2,4. Такие операторы рассматриваются нами в пространстве £,2(Шщ(а) х ВПа(а)). При этом, как и ранее, по-существу выделяются два случая: а — I и а = оо.
Изучение вышеуказанных классов операторов естественно проводить наряду с исследованием порожденных ими банаховых алгебр, поскольку такие важнейшие характеристики оператора как свойство иетеровости, обратимость, спектр и некоторые другие, имеют алгебраический характер.
(Аа(р)(х, у) = А<р(х, у) + J к\(х} г)<р{г> у) Л +
в П1(в)
+
В„2(а)
Впі(о) ВП2(я)
7
В дайной работе строятся и описываются банаховы алгебры, в частности С^-алгебры, порожденные различными классами многомерных интегральных операторов с однородными и биоднородными ядрами.
В заключительной главе изучаются интегральные операторы, ядра которых имеют более общий характер однородности, а именно, операторы с квазиоднородными ядрами и операторы с ядрами, имеющими смешанную структуру однородности.
История вопроса
Одномерные интегральные операторы с однородными степени (-1) ядрами рассматривались еще Г. Харди и Дж. Литтлвудом. Им посвящена монография Л.Г. Михайлова [54|. Различные аспекты теории таких операторов отражены в трудах Н. К. Карапетянца и С. Г. Самко [41, 111, 112], И. К. Карапетянца и A.B. Гиля [10, 40], А. П. Солдатова [81], С. Г. Самко и A.A. Килбаса [42], Р.В. Дудучавы [26], В.И. Голубова [11]. М.А. Встил-гириева [5, б], М. В. Цалюк [88, 89], Я. Б. Рутицкого [72]. Однако, действующие в Lp-пространствах одномерные операторы с однородными ядрами представляют собой по-существу тот же самый объект, что и операторы типа свертки, так как сводятся к последним с помощью экспоненциальной замены. Это позволяет перенести все результаты, справедливые для операторов типа свертки, на интегральные операторы с однородными степени (—1) ядрами.
Многомерная ситуация принципиально сложнее, причем в отличие от многомерных сингулярных интегральных операторов у рассматриваемых нами операторов подвижные особенности всегда имеют порядок меньший, чем размерность пространства. (По этой причине операторы с однородными ядрами иногда называют операторами с неподвижными сингулярными особенностями.) В конце 60-х — начале 70-х годов Л. Г. Михайловым и его
8
сотрудниками было начато изучение многомерных интегральных операторов с однородными степени (—п) ядрами, при дополнительном предположении инвариантности ядер относительно всех вращений вЕпх Еп. Ими были получены достаточные условия ограниченности таких операторов в различных пространствах функций, предложена схема исследования нете-ровости и вычисления индекса, а также указаны некоторые достаточные условия компактности ([4], [56]—[59|).
Дальиейшее развитие теория многомерных интегральных операторов с однородными ядрами получила в работах Н. К. Каранстянца. Отказавшись от условия инвариантности ядра относительно группы вращений, Н.К. Карапетянц установил достаточные, а в случае неотрицательного ядра и необходимые, условия ограниченности операторов с однородными ядрами в /^-пространствах, а также получил оценки снизу для норм таких операторов ([33. 36]). Он также получил достаточные условия ограниченности операторов в гельдеровских классах [37]. Кроме того, в работах Н. К. Карапетянца рассматривались операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами, и были описаны некоторые классы коэффициентов, обеспечивающие компактность таких операторов в пространствах суммируемых и гельдеровских функций [34]. Эти исследования были подытожены в его докторской диссертации [39] и частично нашли отражение в монографии [111].
Начиная со второй половины 90-х годов теория канонических многомерных интегральных операторов с однородными ядрами преимущественно развивалась по трем направлениям. Первое направление связано с описанием банаховых алгебр, порожденных этими операторами. Рассматривались также алгебры операторов с однородными ядрами и переменными коэффициентами. Другое направление — это исследование вопросов применимости к каноническим операторам проекционных методов и выяснение связи между спектральными характеристиками исходного и «усеченного»
9
операторов. Третье — это изучение тензорных произведений операторов с однородными ядрами (т. е. изучение операторов с биоднородными ядрами) и порожденных ими С*-алгебр. Все три направления отражены в работах автора [127]—[148] и в данной диссертации. Кроме того, в последней главе рассматриваются некоторые классы интегральных операторов, ядра которых удовлетворяют условиям более общим, чем условия 1°-3°.
В заключение краткого исторического обзора отметим, что интерес к интегральным операторам с однородными ядрами в значительной мере связан с приложениями. Такие операторы находят применение в механике [26], в краевых задачах теории аналитических функций [81], в теории операторов, коммутирующих с растяжениями [79], при исследовании мультипликативных дискретных сверток [27, 28], в дифференциальной геометрии
[126], в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами и т. д.
Особенно подчеркнем тесную связь многомерных интегральных операторов с однородными ядрами с некоторыми задачами математической физики. Такие операторы естественным образом возникают, если применять метод потенциалов к уравнениям вида
ди .
тт Ь Ь(х)и = О
дхк
в области С, содержащей точку х — 0; при этом предполагается, что функции а* (я), Ь(х) ограничены в С. Так, например, применение метода потенциалов к уравнению Шредингера
|х|2Дгх + Ь(х)и = 0, жбМ3 приводит к интегральному оператору вида
[Вф)(х) = 6(®) I |ж|2^ у[ Оу, х € К3.
Подробно эти вопросы изложены в монографии Л. Г. Михайлова [55].
10
Основные научные результаты
В диссертационной работе получены следующие основные результаты.
1) Проведено полное исследование банаховых алгебр, порожденных каноническими многомерными интегральными операторами с однородными ядрами (в том числе парными операторами), а также С*-алгебры, порожденной операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига. Для всех этих алгебр построено символическое исчисление, в терминах которого получены необходимые и достаточные условия нстеровости и (или) обратимости операторов и формулы для вычисления индекса нетсровых операторов.
2) Для многомерных интегральных операторов с однородными ядрами и переменными коэффициентами найдены весьма слабые условия на коэффициент, обеспечивающие компактность таких операторов. Получены необходимые и достаточные условия нстеровости (а в некоторых случаях и обратимости) операторов с однородными ядрами и радиальными осциллирующими в нуле и на бесконечности коэффициентами. Исследованы банаховы алгебры, порожденные такими операторами.
3) Разработана теория проекционных 2ч-1етодов для канонических интегральных операторов с однородными ядрами, включая парные операторы. Кроме того, исследовано предельное поведение спектров, е-псевдоспектров и сингулярных значений усеченных интегральных операторов.
4) Изучена С*-алгебра, порожденная многомерными интегральными операторами с биоднородпыми ядрами: для нее построено операторнозначное символическое исчисление, в терминах которого получен критерий нетеровости операторов, и установлена топологическая формула для вычисления индекса. Найден критерий применимости проекционного метода к интегральным операторам с биоднородпыми ядрами и описано предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов.
11
5) Получен критерий нетеровости многомерных интегральных операторов с квазиоднородными ядрами и дана формула для подсчета их индекса. Установлены необходимые и достаточные условия обратимости и нетеровости интегральных операторов с ядрами, имеющими различный характер однородности по разным группам переменных.
Содержание работы
Данная работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на 20 параграфов, и библиографического списка, включающего список использованной литературы и список работ соискателя.
Первая глава посвящена изучению условий нетеровости и обратимости интегральных операторов вида XI — Ка, где Ка — оператор (0.1), обобщающих их парных операторов, а также описанию банаховых алгебр, порожденных такими операторами. Подчеркнем, что исследование операторных алгебр является предметом внимания многих математиков на протяжении нескольких последних десятилетий. Не претендуя на полноту изложения, упомянем таких известных авторов как И. М. Гельфанд, М. Г. Крейн, И. Ц. Гохберг, И. Б. Симоненко, Б. А. Пламепевский, А. Б. Ан-тоневич, Н. Я. Крупник, А. Я. Хелемский, Н. К. Никольский. В настоящее время многие операторные алгебры полностью описаны. Некоторые аспекты этих исследований отражены в монографиях [1, 14, 15, 48, 61, 69, 80, 104, 110], а полный список работ по этой тематике содержал бы, вероятно, сотни наименований. Однако, алгебры, порожденные многомерными интегральными операторами с однородными ядрами, ранее не рассматривались.
В § 1.1 собраны необходимые обозначения, предварительные сведения, а также вспомогательные результаты, касающиеся одномерных интегральных операторов с однородными степени (—1) ядрами.
12
§ 1.2 посвящен многомерным парным интегральным операторам с однородными ядрами, т. е. операторам вида
А = XI - КХР - К2<Э,
где Л € С, Р и (£ — операторы умножения на характеристические функции внутренности и внешности единичного шара соответственно. Для таких операторов получены необходимые и достаточные условия нетеровости и формулы для вычисления дефектных чисел и индекса. Для решения этой задачи используется специальный метод, основанный на теории сферических гармоник, который позволяет осуществить редукцию многомерного интегрального уравнения, соответствующего оператору Л, к бесконечной диагональной системе одномерных уравнений. Этот метод является одним из основополагающих в теории операторов вида (0.1) и неоднократно применяется в дальнейшем. Кроме того, в этом же параграфе получен критерий обратимости и нетеровости оператора XI — К.
В § 1.3 исследуется банахова алгебра 21, порожденная всеми операторами вида XI — КіР — К2<3 + Т, где Т — компактный в Ьр(Ш.п) оператор. Для алгебры 21 построено символическое исчисление, т. е. каждому оператору А Є 21 поставлен в соответствие его символ — некоторая вектор-функция 0>а2,л(т’0)> непрерывная на компакте 2ДхЕ (здесь Z.f.xR — компактификация хЕ одной точкой оо) и такая, что (7і,л(оо) = сг2)д(оо).
В терминах этого символа получены критерий нетеровости операторов и формула для вычисления индекса. Методика решения этой задачи основана на исследовании фактор-алгебры 21/Т(£р(Еп)), где Т(Ьр(Шп)) — множество всех компактных операторов, действующих в Ьр(Шп). При этом ключевым моментом является описание пространства максимальных идеалов коммутативной алгебры 21 /Т(Ьр(Цп)) (см. пункт 1.3.2). В заключительной части параграфа изучен матричный аналог алгебры 21.
В § 1.4 рассматривается банахова алгебра 2), представляющая собой
13
наименьшую замкнутую подалгебру банаховой алгебры £(£Р(МП)), содержащую все операторы вида XI — К. Очевидно, что £) является замкнутой подалгеброй алгебры 21. Доказывается, что алгебра £> коммутативна, а ее пространство максимальных идеалов, снабженное топологией Гельфанда, гомеоморфно компакту Ъ+хЖ. Для операторов из этой алгебры получен критерий обратимости и нетеровости.
В теории операторов свертки важную роль играют операторы сдвига. Такая же роль в теории операторов с однородными ядрами отводится мультипликативным сдвигам. С этой точки зрения естественно расширить алгебру операторов с однородными ядрами посредством присоединения операторов мультипликативного сдвига. Эта задача решается в § 1.5, где изучается (7*-алгебра (£, порожденная всеми операторами К и всеми операторами мультипликативного сдвига вида
{ибЧ>)[х) = 5-п'2ч>(х/5), 5> 0.
(в этом параграфе предполагается, что операторы действуют в Ь2(Жп)). Описана структура С*-алгебры £. На основе этого для С*-алгебры £ построено символическое исчисление, в терминах которого установлен критерий обратимости и нетеровости операторов из этой алгебры.
Заключительный параграф первой главы (§1.6) посвящен операторам вида (0.1) при а = 1, т. е. действующим в пространстве где Вп —
единичный шар. Здесь получены необходимые и достаточные условия нетеровости оператора XI—К у и указаны формулы для вычисления его дефектных чисел и индекса. Также рассматривается банахова алгебра Я, порожденная всеми операторами вида XI — К + ТУ где Т — компактный в ТР(ВП) оператор. Установлен изоморфизм фактор-алгебры Я/Т(Ьр(Вп)) и алгебры £>, введенной в § 1.4. Опираясь на этот факт, для алгебры Я построено символическое исчисление, и получен критерий нетеровости операторов.
В этом же параграфе впервые рассмотрены многомерные вольтерров-
14
ские интегральные операторы с однородными ядрами, и исследована порожденная ими банахова алгебра Ш.
Во второй главе изучаются многомерные интегральные операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентам и. Хорошо известно, что поведение коэффициента может существенно влиять на свойства рассматриваемого оператора. По этой причине имеется немало работ, в которых исследуются операторы свертки, Винера-Хопфа, сингулярные интегральные операторы с теми или иными коэффициентами (см., например,
ники). В работе [34] рассматривались операторы с однородными ядрами и коэффициентами, которые в некотором смысле «стабилизируются» в нуле и на бесконечности. В данной главе вводится более широкий класс «стабилизирующихся» коэффициентов (§2.7), а также впервые рассматриваются интегральные операторы с однородными ядрами и коэффициентами, осциллирующими в нуле и на бесконечности (§§ 2.8-2.9). Мы также исследуем банаховы алгебры, порожденные такими операторами. ■
В §2.7 введен класс А, состоящий из всех функций а е Ьоо(Шп), для каждой из которых существуют такие числа ао и аоо, что для любого компакта П С М” выполняются условия
а также класс Ао = {а Є А: ао = = 0}. Доказывается, что если
а Є Ао, то оператор МаК, где Ма — оператор умножения на функцию а, компактен в Др(£п); если же а Є А, то
где 'Г — компактный оператор. На основе этого равенства показано, что при р Ф оо банахова алгебра 21', порожденная всеми операторами вида XI 4- МаК 4- Т, совпадает с алгеброй 21 из § 1.3.
[3, 23, 31, 78, 91, 92, 93, 94, 98, 99, 107, 125] и цитированные в них иоточ-
п
п
Ма К = а0КР + аооКд 4- Т,
15
В первой части §2.8 вводится класс Пгаа(Мп), состоящий из всех функций /(х) = /о(М), х 6 Еп, где /о(<) — ограниченная и непрерывная на М+ функция, слабо осциллирующая в муле и на бесконечности. Затем рассматриваются многомерные интегральные операторы с однородными ядрами, имеющие коэффициенты из этого класса. Исследование таких операторов включает два принципиально важных момента. Во-первых, показано, что метод редукции многомерного случая к одномерному, развитый нами в §1.2 для парных операторов, можно эффективно применять и для операторов с радиальными коэффициентами. Во-вторых, доказана теорема, устанавливающая компактность коммутатора МаК — КМа> где а 6 Пгас1(М”)- Последнее позволило исследовать банахову алгебру, порожденную операторами с однородными ядрами и коэффициентами из класса ПГаа(^п)* Для этой алгебры построено символическое исчисление, получен критерий нетеровости операторов, а также формула для вычисления их индекса.
§2.9 посвящен исследованию С^-алгебры ЯЗ, порожденной многомер- ' ными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами умножения на осциллирующие функции вида |афа(= ега1пИ). Отметим, что коэффициенты |ж|га играют в теории операторов с однородными ядрами ту же роль, что и коэффициенты вида ехоЛ в теории операторов свертки. Упомянутая алгебра ЯЗ существенно некоммутативна. У такой алгебры не существует скалярного символа и при ее исследовании возникают серьезные затруднения. Для их преодоления используется подход, основанный на теории С*-алгебр, порожденных динамическими системами ([1, Гл. II], [2]). Этот подход позволяет построить для С*-алгебры ЯЗ операторное символическое исчисление, в терминах которого получен критерий обратимости и нетеровости операторов из этой алгебры. Кроме того, выделен один класс операторов из алгебры ЯЗ, для которых указано эффективное скалярное условие обратимости.
16
Перейдем к изложению результатов третьей главы. Проекционные методы решения операторных уравнений являются важной составляющей современной теории операторов, причем с развитием компьютерной математики и численных методов их значение только возрастает. Классическая теория проекционных методов нашла отражение в известной монографии И. Ц. Гохберга и И. А. Фельдмана [15]. Впоследствии А. В. Козаком [44] было установлено, что вопрос о применимости проекционного метода можно свести к исследованию обратимости элементов некоторой банаховой алгебры. Это дало новый импульс проекционным методам и близким аспектам теории операторов. Современное состояние теории проекционых методов отражено в монографиях S. Prössdorf, В. Silbermann [120], A. Böttcher,
В. Silbermann [104], R. Hagen, S. Roch, В. Silbermann [109, 110]. Отметим также ряд работ ростовских математиков [16, 45, 46, 67, 68, 74].
В свою очередь, развитие теории проекционных методов приводит к проблеме сопоставления спектральных свойств исходного и усеченного операторов. В настоящее время для операторов свертки, Винера-Хопфа и Теп- '• лица предельное поведение спектральных характеристик усеченных операторов изучено достаточно полно (см., например, [29, 52, 95, 96, 100, 101, 102, 105, 118, 123, 124]). Целыо данной главы является разработка проекционных методов для интегральных операторов с однородными ядрами, а также исследование предельного поведения спектров, псевдоспектров и сингулярных значений усеченных операторов.
В §3.10 строится теория проекционных методов для канонических интегральных операторов с однородными ядрами в скалярном и матричном случаях. Основным результатом является теорема 10.1 — критерий применимости проекционного метода к матричному парному интегральному оператору по системе проекторов {Ртьт2} (0 < Ti < 1,1 < То < оо) при п —> 0, Г2 —> оо, где проектор РТ1>Г2 задается в пространстве вектор-
17
функций (р = (<^1, ..., ips) формулой
tp(х), Ti < \х\ < r2,
О, \х\ < Ti V \х\ > т2.
В качестве следствия этой теоремы получены необходимые и достаточные условия применимости проекционного метода к оператору XI — К. В заключительной части параграфа из основной теоремы выводятся критерии проекционного метода для оператора XI — К и его матричного аналога.
§3.11 носит промежуточный характер. Здесь рассматривается несколько различных и важных для дальнейшего вопросов. В качестве основных выделим следующие два результата. Во-первых, доказана теорема о композиции усеченных операторов вида Кт = РТКРТ, где проектор Рт (О < т < 1) определяется формулой
где Т и Ь — компактные операторы, а Яг — некоторый оператор специального вида (см. формулу (11.1)). Подчеркнем, что данный результат (теорема 11.2) самым существенным образом используется в следующем параграфе.
В §3.12 исследуется предельное поведение 5-псевдоспектров усеченных операторов Кт при г —► 0. Напомним, что е-псевдоспектром оператора Л £ С(Х), где X —- банахово пространство, называется множество
По-видимому, впервые пссвдоспектры усеченных операторов Теплица и Винера-Хопфа рассматривал Н. Landau [115, 116] в контексте физических
Во-вторых, найден предел при т —> 0 нормы операторов вида
(0.3)
= РТ(Х1 - К)РТ + РтТРт + RrLRr,
8р,(Л) - {А € С : А € Эр(Л) или ||(А-А/)"1|| > 1/е}.
18
задач. Значительно позднее эти вопросы изучали L. Reichel и L. Trefethen [122] и S. Reddy [121]. Весьма активное изучение псевдоспектров началось после публикации в 1994 году работы A. Böttcher [100]. При этом почти всегда предполагалось, что операторы действуют в пространстве Ь2. Случай, когда операторы действуют в Ьр при р ^ 2, принципиально сложнее и рассматривался лишь в [102] и [52].
В §3.12 также предполагается, что операторы действуют в пространстве Lp(Вп), где 1 < р < оо. Основным результатом этого параграфа является теорема 12.3, согласно которой для любого є > 0 справедливо равенство
limSp£(/Cr) = Sp£(/OuSp£(K),
г-+0
где К — интегральный оператор, ядро к(х,у) которого связано с ядром к(х,у) оператора К формулой
к{х,у) = k{y,x)(\y\/\x\)n/v~n/vf.
(Здесь и далее предел по параметру семейства множеств понимается в смысле определения 12.1.) Вышеуказанный результат обобщается па матричный случай. Показано также, что для спектров аналогичное утверждение, вообще говоря, не имеет места.
В последнем параграфе третьей главы (§3.13) исследуется предельное поведение спектров и сингулярных значений усеченных операторов АГ-, действующих в пространстве Рт(Ь2{Шп)). Доказано, что если ядро оператора К помимо условий 1°—3° удовлетворяет еще условию
k{y,ei) = eak{e1,y),
где 0 — некоторое вещественное число, то спектр оператора К аппроксимируется спектрами усеченных операторов Кт. Кроме того показано, что множество Т,(К) сингулярных значений оператора К всегда аппроксимируется множествами Т,(Кт) сингулярных значений операторов Кт.
19
Четвертая глава посвящена многомерным интегральным операторам с биоднородными ядрами, т.е. операторам вида (0.2), некоторым обобщениям этих операторов, а также С-алгебрам, порожденным такими операторами. Для операторов из этих алгебр выясняются условия нетеровости, и в топологических терминах вычисляется индекс. Кроме того, изучается вопрос о применимости проекционного метода и описывается предельное поведение спектральных характеристик усеченных интегральных операторов с биоднородными ядрами.
Отметим, что исследования данной главы тесно примыкают к теории операторов Теплица и Винера-Хопфа в четверть-плоскости, а также к теории бисингулярных операторов. Не претендуя на полноту изложения, отметим работы [19, 21, 25, 51, 63, 64, 65, 66, 67, 76, 106, 108], близкие к тематике этой главы. Технической основой четвертой главы является аппарат тензорных произведений С-алгебр, развитый в работах T. Turumaru, Е. Effros, Е. Lance, М. Takesaki и др. Современное изложение теории тензорных произведений можно найти, например, в [53].
Остановимся немного подробнее на результатах § 4.14. В нем рассматривается С*-алгебра &пиТг2 = ЯП1 ® Яп2, где Яа3 — наименьшая С-подалгебра С*-алгебры £(L2(Bnj)), содержащая все операторы вида XI — /С + Т, здесь Т — компактный оператор. (В общем случае, т. е. когда 1 ^ р ^ оо, алгебра Яп(= Я) рассматривалась в §1.6.) Для С*-алгебры Дпь«2 построен операторнозначный полный символ, в терминах которого найдены необходимые и достаточные условия нетеровости операторов. Кроме того, построен скалярный слабый символ, в терминах которого указано эффективное необходимое условие нетеровости.
Наибольшую сложность представляет задача вычисления индекса операторов из алгебры Япип2- Одним из ключевых моментов для решения этой задачи является лемма о вложении С*-алгебры ЯПз в С*-алгебру W^r) операторов Винера-Хопфа с компактными коэффициентами (лемма 14.2).
20
С помощью указанной леммы строится мономорфизм С-алгебры Дщ.н2 в С'-алгебру WD 0 W^, опираясь на который для нетеровых операторов из алгебры ЯпиП2 получена топологическая формула для вычисления индекса.
В заключительной части этого параграфа установлен аналог теоремы
С. Ошера, т. е. описан класс интегральных операторов с биоднородными ядрами, для которых нетеровость равносильна обратимости.
В §4.15 изучается применимость проекционного метода к оператору
А = A(Д 0 Д) + (К 1 0 Д) + (Д 0 К2) + (К3 ® К4), (0.4)
где А € С, операторы Д, /Д, К$ действуют в пространстве Д2(ВП1), а операторы Д, /Д, /Д действуют в L2(BU2). Для оператора А получен критерий применимости проекционного метода по системе проекторов {РТ1 0 РТ9} при Т\ —> 0, т~2 —* 0, где РТ} (j = 1,2) — проектор, который определяется в пространстве Д2(ШЦ) формулой (0.3). Этот критерий является следствием более общего утверждения (теорема 15.1), которое существенно используется и в следующем параграфе.
§4.16 посвящен исследованию предельного поведения спектров, псевдоспектров и множества сингулярных значений усеченных операторов
Лш = (рп ® Рг2) {Рп О Р-к),
где А — оператор вида (0.4). С оператором А ассоциированы операторы
А\ = А(Д 0 Д) + (К\ 0 Д) + (Д 0 К2) + (Кз 0 7Д),
Л2 = А(Д 0 Д) 4- (/Д 0 Д) + (Д 0 К2) ~Ь (Кз 0 /Д),
где Kj — оператор, транспонированный к оператору /Д. Доказывался, что для любого е > 0 справедливо равенство
lim Sp£(j4Tl,T2) = Spe(/4) U Sp£(>l1) = Spe(.4) U Sp£(^2).
r2-*0
21
Если оператор А является самосопряженным, то аналогичное равенство справедливо для спектров. Показано также, что предел при т\ —*• 0, г2 —> О множества сингулярных значений Е(АТ1>Т2) «с точностью до нуля» совпадает с множеством Е(А) и Е(Д), где г = 1 или г = 2.
В §4.17 изучается (7*-алгебра 21 ПиПг = 21П1021 „2, где 2Ц — наименьшая С*-подалгебра С*-алгебры £(Е2(КП-»)), содержащая все парные операторы вида XI — КхР — Кгф 4- Т, здесь Т — компактный оператор (в общем случае, т.е. когда 1 < р ^ оо, алгебра 21п(= 21) рассматривалась в § 1.3). Для алгебры 2(ПьП2 в основном исследуются те же вопросы, что и для алгебры ЯпиП2 в §4.14. А именно, для С-алгебры 21П1>П2 строится операторнозначное символическое исчисление, в терминах которого получены критерий нетеровости операторов и топологическая формула для вычисления их индекса.
В главах 1-4 предполагалось, что ядра изучаемых интегральных операторов удовлетворяют условиям 1°-3°. При этом наиболее важными являются условия 1° и 2° (условие 3° нужно для того, чтобы обеспечить ограниченность оператора вида (0.1) в £р(Вп(а))). Представляется вполне естественным отказаться от условий 1° и 2°, заменив их более общими условиями. Этим вопросам и посвящена пятая глава. В §§ 5.18-5.19 мы отказываемся от условия 1° и рассматриваем операторы, ядра которых имеют более общий характер однородности, а в § 5.20 отказываемся от условия инвариантности ядра относительно группы вращений 50(п). Отметим, что ранее Н.К. Карапетянцем изучались интегральные операторы с ядрами, имеющими сложный характер однородности ((а, 6)-однородность, квази-однородность), причем без предположения типа 2° (см. [33, 39]). Однако, его результаты касались только ограниченности этих операторов. Наши исследования главным образом направлены на выяснение условий нетеровости и обратимости рассматриваемых операторов.
В §5.18 изучаются многомерные интегральные операторы с квазиодно-
к
родными ядрами, т. е. с ядрами удовлетворяющими условию
11иу) = /ха?(х, у), V \1 > О,
где и > О, V ф 1, а € М. Исследование таких операторов осуществляется в контексте исследования операторов вида
А = XI - К - В,
где В — интегральный оператор с квазиоднородным ядром, инвариантным относительно всех вращений. Оператор А рассматривается в весовом 1/р-пространстве с весом |гс|^~п/р, причем показатель р связан с показателями квазиоднородности и и а. Для оператора А получены критерий нетеровости и формула для вычисления индекса. В заключение рассмотрены парные операторы, обобщающие оператор А.
В прикладных задачах нередко возникают интегральные операторы с ядрами, имеющими различную структуру однородности по разным группам переменных. В связи с этим в §5.19 рассматриваются многомерные интегральные операторы, ядра которых имеют смешанный характер однородности: по части переменных ядро однородно степени (—п) и инвариантно относительно группы вращений б'О(п), а по оставшимся переменным ядро покоординатно однородно. Для таких операторов установлены достаточные условия ограниченности в /^-пространстве, а также получен критерий обратимости и нетеровости.
Перейдем к § 5.20. Во всех предыдущих параграфах на ядро интегрального оператора накладывалось условие его инвариантности относительно группы вращений 50(п). Это условие играет ключевую роль, так как позволяет осуществить редукцию многомерного случая к одномерному. В данном параграфе мы рассматриваем интегральные операторы с однородными степени (—2) ядрами на плоскости и при этом заменяем условие инвариантности относительно всех вращений более слабыми условиями. Новые условия, однако, также обеспечивают редукцию двумерного оператора
23
к бесконечной последовательности матричных одномерных операторов. Для двумерных интегральных операторов с ядрами, удовлетворяющими новым условиям, получены критерий истеровости, формула для индекса, а также критерий применимости проекционного метода.
Завершая обзор этого параграфа, отметим работу [22], в которой также изучались интегральные операторы с однородными ядрами на плоскости бе:з предположения инвариантности ядра относительно всех вращений.
Часть исследований по теме диссертации была выполнена при поддержке следующих грантов:
— «Методы обращения операторов типа потенциала и функциональные пространства дробной гладкости» (РФФИ, проект 98-01-00261-а);
— «Операторы типа потенциала с осциллирующими ядрами или символами, аппроксимативные обратные операторы и функциональные пространства, связанные с ними» (РФФИ, проект 00-01-00046-а);
«Интегральные операторы с каноническими ядрами, сингулярные интегральные операторы на банаховых пространствах и порождаемые ими алгебры» (РФФИ, проект 06-01-00297-а);
— «Псевдодифференциальные операторы и их приложения» (Внутренний грант Южного федерального университета, проект К-07-Т-143/8).
Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались: на международной конференции «Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление», посвященной памяти Ф. Д. Гахова (Минск, 1996 г.); на международной школе по геометрии и анализ}', посвященной памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002 г.); на международной конференции «Математическая гидродинамика: модели и методы», посвященной 70-летию В. И. Юдовича (Ростов-на-Дону, 2004 г.); на 3-й и 4-й международных конференциях «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2003 и 2006 гг.); на международной конференции
24
«Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007 г.); на XIV и XVI международных конференциях «Математика. Образование. Экономика.» (Новороссийск, 2006 и 2008 гг.); на Воронежской весенней математической школе «Понтрягин-ские чтения — XIX» (Воронеж, 2008 г.); на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию В. А. Садовничего (Москва, 2009 г.).
С докладами о результатах диссертации автор выступал: на семинаре академика РАН В. А. Ильина в Московском госупиверситете (2008 г.); на семинаре проф. А. П. Солдатова и проф. А. М. Мейрманова в Белгородском госупиверситете (2008 г.); на заседании Ростовского математического общества (2008 и 2009 гг., руководитель — проф. A.B. Абанин), а также многократно на семинарах кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского госуниверситета — Южного федерального университета (руководители — проф. С. Г. Самко, проф. Н. К. Карапетяпц, проф. А. И. Задорожный).
Вес основные результаты данной диссертации опубликованы в работах
[127]—[148], из которых 19 работ являются публикациями в журналах из официального перечня ВАК РФ по докторским диссертациям. Результаты, выносимые на защиту, получены соискателем самостоятельно. Из совместных работ в диссертацию вошли результаты, полученные лично соискателем, за исключением нескольких утверждений вспомогательного характера, которые включены в работу для полноты изложения и не выносятся на защиту (при этом соответствующие доказательства модифицированы соискателем).
В совместной работе (127] Н.К. Карапстянцу принадлежит метод доказательства теоремы 1. В диссертации это утверждение (теорема 6.1) получено как следствие более общей теоремы, принадлежащей соискателю.
25