Резольвента оператора дифференцирования и ее применение в некорректно поставленных задачах

Оглавление
Введение......................................................3
Глава 1. Резольвента оператора дифференцирования и ее свойства
1.1 Приближающие свойства резольвенты оператора :у,^(0) = 0 на отрезке [£,1].............................................18
1.2 Приближающие свойства резольвенты оператора Ь2 : у',у(У) = 0 на отрезке [ОД - е]..............................................33
1.3 Приближение функций и их производных на отрезке [ОД] с помощью операторов Пг.................................................45
Глава 2. Применение резольвент для решения некорректно поставленных задач
2.1 Решение задачи восстановления функций вместе с их производными.. ................................................................48
2.2 Решение интегрального уравнения второго рода с неограниченным обратным оператором................................................57
2.3 Решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода.........66
Глава 3. Дополнение. Решение интегрального уравнения Вольтерра первого рода с помощью сумм Фейера................................ 90
Литература........................................................100
Р
Введение
В данной работе, отправляясь от резольвенты простейшего дифференциального оператора первого порядка, построены семейства интегральных операторов, позволяющих равномерно аппроксимировать непрерывные функции и их производные любого порядка на отрезке [0,1]. Затем эти семейства используются для аппроксимации решений некорректно поставленных задач.
Математическая задача называется корректно поставленной, если решение ее существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то задача называется некорректно поставленной. Особый интерес представляют некорректно поставленные задачи, в которых не выполняется третье требование корректности. В данной работе рассматриваются именно такие задачи, то есть некорректность понимается в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность решения предполагаются заранее.
Теория некорректно поставленных задач начала разрабатываться срав-, иительно недавно - с 60-х годов прошлого века: со времен Адамара ошибочно считалось, что такие задачи не представляют интереса для исследований. Однако, оказалось, что неустойчивые (некорректные) задачи возникают при описании многих физических явлений (см. [1-4]): в геофизике, спектроскопии, астрофизике и т.д., а также в теоретических исследованиях, например, в теории приближений.
Основоположниками теории некорректно поставленных задач являются российские ученые: А. Н. Тихонов, М. М. Лаврентьев, В. К. Иванов. В их работах [5-7] были заложены основы методов приближенного решения таких задач, которые получили дальнейшее развитие как в нашей стране, так и за рубежом.
Большой вклад в теорию некорректно поставленных задач внесли Агеев А. Л., Апарцин А. С., Арестов В. В., Бакушинский А. Б., Васин В. В., Васильев Ф. П., Денисов А. М., Мельникова И. В., Морозов В. А., Романов В. Г., Ягола А. Г. и многие другие математики (см. обзоры в 1-4,8,9,
3
а также работы [10-14]).
Из работ близких к исследованиям данной работы, укажем публикации [15-20] (см. также цитированную литературу в указанных работах).
Многие некорректно поставленные задачи приводятся к решению уравнения
Аи — /, (1)
где А - линейный ограниченный оператор, действующий из пространства Х\ в пространство Х2 (X] и Х2 - банаховы), и такой, что обратный оператор А~1 существует, но неограничен.
При таких условиях уравнение (1) называется операторным уравнением первого рода. Задача приближенного решения уравнения (1) рассматривается обычно в следующей постановке.
При указанных выше предположениях об операторе А предполагается еще, что правая часть / задана ее 6 -приближениями /<$ в метрике пространства Х2, т.е. вместо / нам известны такие, что \\/& — /||х2 < Требуется по /б и 6 построить последовательность элементов щ так, чтобы
- и\\Хх —>• 0 при 5 -э 0.
Для нахождения приближенных решений некорректно поставленных задач применяются методы, называемые методами регуляризации. Метод регуляризации для уравнения (1) состоит из двух частей [21, с. 56].
1. Строится семейство линейных операторов Та, зависящих от параметра а, действующих из пространства Х2 в пространство Х\ и обладающих свойствами:
а) каждый из операторов Та определен на всем пространстве Х2\
б) ЦТ^Цхз-^Х! < оо при каждом значении параметра а;
в) для любого и € X1 выполняется сходимость:
||ТаИлх — и||х, —» 0 при а —)• 0 (2)
(операторы Таобладающие свойствами а),б),в), называются регуляризиру-ющими [1, с. 44]).
2. Параметр а согласуется с погрешностью 6 (а = а(^)) так, чтобы
а(5) —)■ 0 и 0 ПРИ ^ (3)
Тогда элементы из = Та{&)1б будут являться приближенными решениями уравнения (1).
В дальнейшем мы будем пользоваться известной из теории некорректно поставленных задач теоремой В. К. Иванова.
4
Для пояснения предварительно отметим, что условия (2) и (3) являются достаточными для сходимости:
-IТа/б — и\\Х1 —У 0 при а —> 0, 6 —> 0.
Это следует из оценки:
\\Та/б ~ и\\Х1 < й\\Та\\х2->х1 + ||ТаАи - и\\хх> (4)
Если рассмотреть вместо нормы \\Та/& — гфд-, величину
Д(*,Та,и) = вир{||Та/* - и\\Х1 : ||/Л - Аи\\х, < 5}, (5)
то эти условия будут являться и необходимыми.
Теорема 0. 1 [221. Для того, чтобы &.(5/.Га, и) —> 0 при а -» 0, 6 —» 0, исобходшло и достаточно, чтобы ||ТЛАи — ^||д, —> 0 при а —> 0 и 5\\Та\\х2->Х1 -> 0 при а 0, 6 -> 0.
В данной работе рассматриваются две хороню известные некорректно поставленные задачи: задача восстановления непрерывных функций и их производных в случае, когда функция задана ее приближением в среднеквадратичной метрике и задача решения уравнения первого рода с приближенно заданной правой частью.
В качестве пространств Хх и Х2 при решении уравнения первого рода берутся конкретные пространства: Х\ = Ср[0,1], р > 0 - целое, а для Х2 рассматривается два случая: а) Х2 = Ь2[0,1], б) Х2 = С[0,1].
Основным отличием данных исследований от работ других авторов является то, что здесь получены некоторые модификации методов регуляризации по сравнению с традиционным определением. Именно, приближающие функции берутся из более широкого пространства, чем пространство, которому принадлежит точное решение.
Интерес к некорректно поставленным задачам постоянно поддерживается их разнообразными и многочисленными приложениями.
Поэтому всегда актуальной является задача построения методов приближенного решения, простых по конструкции, эффективных с точки зрения исследования их приближающих свойств.
Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы из 36 наименований.
В нумерации формул, примятой в данной работе, первая цифра обозначает номер главы, следующие цифры - порядковый номер данной формулы.
5
Во введении обозначено направление исследований, приведены некоторые утверждения и обозначения, используемые в дальнейшем, и приведены основные результаты.
В главе I вводятся в рассмотрение и исследуются операторы, имеющие вид: — АЯл(£), где Ь - оператор дифференцирования. Я\{Ь) - его резольвента, Л - спектральный параметр. Операторы указанной структуры и различные конструкции из них изучаются с точки зрения их приближающих свойств по отношению к непрерывным и непрерывно дифференцируемым какое-то число раз функциям, заданным на отрезке [0,1].
Приближающие свойства операторов вида — \КДВ), где В - некоторый оператор, известны и ранее (см., например, [23,24]).
В данной работе в качестве В берутся простейшие дифференциальные операторы первого порядка.
В параграфе 1.1 рассматривается дифференциальный оператор Ь\\ 1у = У'> 2/(0) = 0 и ег0 резольвента 11\(Ь\). Она имеет вид:
Вводится оператор = гЯ^т{Ь{), г > 0, и также операторы ПкЕ1]г,
жающие свойства.
Лемма 1. 2 и лемма 1.4. Если и(х) € С1[0,1], то имеет место сходимость:
\\гОкК.г{Ь,)и-и^{х)\\с[сЛ —> 0 при г —у оо, к = 0,1, е - произвольное малое полооюителъиос число.
Лемма 1.7. Для и(х) € С{0,1] справедливы соотношения:
Для приближения производных рассматриваются еще операторы Г)т£1\г при &>2ияг = 1,...,& — 1. Они имеют интегральный вид (лемма 1. 8) и для них справедлива
х
0
к = 1,..., где Е)к£1\ги = {^1ги)хк\ = О = — п изучаются их прибли-
||Г2*ги - 'а||с{с>1] -> 0 при г -> ос, к— 1,...
б
Лемма 1.9. При к > 2, т = 1,... к — 1 для любой функции и(х) Е С*"1 [0,1] справедливы соотношения:
||От0.к1ти - м(т)||с[Е|1] -» О при г -> оо, (6)
где Г)т£11Ги определены в (1.21)-(1.22).
В параграфе 1.2 главы I аналогичная работа проделывается для оператора Ь2- 1у = у\ 2/(1) = 0. Его резольвента имеет вид:
1
Лх{Ь2)и = - [ ем*'()иЦ)<и.
X
Вводится оператор И2г = — г11г(Ь2), г > 0 и операторы ОкП2г, к = 0,1,....
Лемма 1. 2а и лемма 1.4а. Если и(х) 6 С* [0,1], I > 0, целое, т.о имеет место сходимость:
|| — гПкЛ(Ь2)и — 1^(я)||сМ] 0 пРи г °°)
к = 0,1,е - произвольное малое положительное число.
Далее, рассматриваются операторы ^ — 1,2,...
Лемма 1. 7а. Для и{х) Е С[0,1] справедливы соотношения:
11п2ги - и||С[0,1-£)-> 0 при г -> оо, к = 1,2,...
Для приближения производных рассматриваются операторы /)тГ22Г.
Лемма 1.9а. При к > 2, т = 1,... ,к — 1 для любой функции и(х) 6 С^“1[0,1] справедливы соотношения:
\\ЭтЯ,к2ги - м(т)||С(о,1-е1 0 при г-»оо,
где ит^2ги определены в лемме 1. 8а.
С целью получить приближения к функциям и их производным на всем отрезке [0,1], в параграфе 1.3 главы 1 вводятся в рассмотрение операторы:
о -/ ^2гП для *€[0,1/2],
гЧ \ &1Ги для х € [1/2,1].
7
(Задание разрывной на отрезке [0,1] функции в таком виде здесь и в дальнейшем означает, что мы не обращаем внимания на то, как именно ома задана в точке х = 1/2, поскольку это несущественно).
На базе операторов строятся операторы:
Пкп „ _ / ОкО,2ги для х Є [0,1/2],
-г ^ £)Ч2і ги для х Є [1/2,1],
о(*),# _ / ^2ги АЛЯ х Е [0,1/2], г ' \ $1\ги для х є [1/2,1],
ПтЫкУ = Г ЯтІЇ2ги АЛЯ X Є [0, 1/2],
' \ Вт{2кги для х Є [1/2,1].
Для них справедливы следующие теоремы.
Теорема 1.1. Для любой функции и{х) Є С1\0,1], / > 0, выполняется сходимость:
||£>*Г2ги - «(<:)||лте[0,1] -> 0 при г-¥ оо,
к = 0,1,... Д.
Теорема 1. 2. Для любой функции и(х) Є С*"1 [0,1] при к > 1, т = 0,.... к — 1 выполняется сходимость:
-* 0 При Г -» 00.
Достоинством операторов в теореме 1. 2 является их интегральный вид, что важно для приложений.
В главе II приближающие свойства операторов, рассмотренных в главе I, применяются для аппроксимации решений некорректно поставленных задач.
В параграфе 2.1 рассматривается задача нахождения равномерных приближений к непрерывной функции и (ж) или ее непрерывной производной гл^(гс) на отрезке [0,1] по заданному приближению /Дх) в метрике пространства Д>[0,1]- Это - частный случай задачи восстановления функции, впервые поставленной Морозовым В. А.[15). Эта задача рассматривалась многими авторами (см., например, [15-18)).
Основные результаты параграфа сформулированы в теореме 2.2.
8