Стереотипные алгебры и двойственность для групп Штейна

2
Оглавление
Введение 12
(a) Общие сведения о диссертации.................... 12
Актуальность темы......................................... 12
Цель работы............................................... 19
Тезисы, выносимые на защиту............................... 19
(b) Краткое описание результатов.................... 20
Задача обобщения понтрягинской двойственности, .... 20
Особенное положение банаховых пространств в функциональном анализе.......................................... 22
Стереотипная теория, как альтернатива банаховой........... 25
Преобразование Гротендика и стереотипная аппроксимация. 28
Проективные стереотипные алгебры и модули................. 30
Стереотипные алгебры Хопфа................................ 32
Жесткие алгебры Хопфа..................................... 34
Оболочка Аренса-Майкла стереотипной алгебры............... 35
Понтрягинская двойственность в комплексном анализе и
ее обобщение....................................... 38
Голоморфная рефлексивность квантовой группы 1аг 4- Ь\ .42
Благодарности....................................................... 42
Соглашения и обозначения............................................ 42
1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВ 49
§ 1 Псевдополнота и псевдонасыщенность.......................... 49
(a) Вполне ограниченные и емкие множества................... 49
(b) Псевдополнота и псевдопополнение (функтор V)............ 50
Функтор V............................................. 52
Инъективный ряд....................................... 53
Конструкция Хч........................................ 56
(c) Псевдонасыщенность и псевдонасыщение (функтор Д) ... 57
Функтор А............................................. 59
Проективный ряд....................................... 60
Конструкция .......................................... 63
§ 2 Функтор двойственности *.................................... 63
(a) Двойственность между вполне ограниченными и емкими множествами .................................................. 64
(b) Равностепенная непрерывность функционалов и операторов 64
(c) Отображение %х : X —> X** и двойственность между псевдополнотой и псевдонасыщенностью........................... 65
(с!) Двойственность между функторами V и Д.................. 68
Двойственность между V и А............................ 68
Двойственность между инъективным и проективным рядом. 71
Двойственность между V и Д............................ 75
§ 3 Таблица инвариантов......................................... 76
2 СТЕРЕОТИПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 78
§ 1 Стереотипные пространства................................... 78
4
(a) Определение и примеры....................... 78
(b) Категория стереотипных пространств ©1е 80
Непосредственное подпространство и непосредственное фактор-
пространство...................................... 80
Прсдабелевость категории б!е............................. 84
Полнота категории б!е.................................... 85
§2 Важные классы стереотипных иространсв........................... 86
(a) Пространства Банаха и Смит..................... 86
Определение и характеризация пространств Банаха и Смит. 86
Пространство Смит, порожденное компактом................. 87
Проективные системы Банаха и инъективные системы Смит. 89
Банахово представление пространства Смит................. 92
(b) Пространства Фреше и Браунера ....................... 94
Определение и характеризация пространств Фрешс и Браунера................................................ 94
Пространство Браунера, порожденное расширяющейся последовательностью компактов.......................... 96
Инъективные системы пространств Банаха, порожденные
компактами........................................ 97
(c) Двойственность между различными классами стереотипных пространств.............................................103
§3 Функторы У : X и г : {Х}У)......................................105
(a) Вполне ограниченные множества в У : X...............105
(b) Сохранение полной ограниченности операциями *, V, Л, V, Д 108
(c) Дроби р : а............................112
(О) Дроби В : А ................................115
5
(e) Отображения l^:Y : Ал и 1 |:У :A*.......................... 115
(f) Пространство билинейных форм Z : (X, Y)...................118
§4 Функторы У 0 X и X 0 (X, У)......................................121
(a) Внутреннее пространство линейных операторов У 0 X ... 121
(b) Пространство билинейных форм Z 0 (X, У)...................124
(c) Связь между пространствами операторов и форм................125
(d) Композиция Р о а и дробь Р 0 а....................... 126
Композиция /? о а................................... 126
Дробь р 0 а......................................... 126
§5 Тензорные произведения...........................................127
(a) Определения и предварительные свойства X (8> У и X О У . 127
Проективное тензорное произведение X ® У.............127
Инъективное тензорное произведение X О У.............131
Примеры тензорных произведений.......................132
(b) Тензорные произведения морфизмов, тождества и моноидаль-ная структура в категории ©te.........................133
(c) Преобразование Гротендика @л,у : X ® У -> X О У .... 134
§ 6 Стереотипная аппроксимация.......................................136
(a) Пространство операторов £(Х) 136
(b) Стереотипная аппроксимация .................................138
(c) Сохранение стереочип ной аппроксимации тензорными произведениями ................................................. 140
(d) Аппроксимация, как категорное условие в (©tc, ®) и (©te, G) 142
(e) Пространства с базисом................................147
3 СТЕРЕОТИПНЫЕ АЛГЕБРЫ И МОДУЛИ 152
6
§ 1 Стереотипные алгебры......................................... 152
(a) Проективные стереотипные алгебры......................... 152
Функциональные алгебры...................................154
Групповые алгебры....................................... 154
Представления групповых алгебр.......................... 157
(b) Инъективные стереотипные алгебры......................... 160
Функциональные алгебры.................................. 161
§ 2 Стереотипные модули ...........................................162
(a) Теорема о представлении.................................. 162
(b) Модули вида Е ® X и. Е <Э X.............................. 164
(c) Модули над алгеброй С(Х)................................. 166
§3 Категории стереотипных модулей д©1е и ©1ед.................... 177
(a) Сопряженный модуль........................................ 177
(b) Непосредственный подмодуль и непосредственный фактор-модуль ........................................................178
(c) Предабелевость категорий д©1е и ©1ед..................... 182
(б) Мономорфизмы, эпиморфизмы, иммерсии и субмерсии в категориях и ©1сд............................................... 183
(е) Полнота и кополнота категорий д©1е и ©1ед................ 183
А
(О Пространство морфизмов V 0 X и структура относительных категорий в /1©1е и ©1ед.................................. 185
§4 Стереотипные алгебры Хопфа.....................................186
(а) Стереотипные алгебры Хопфа................................186
Алгебры, коалгебры и алгебры Хопфа в симметрической
моноидальной категории............................ 186
Стереотипные алгебры Хопфа.............................. 187
7
Двойственность стереотипных алгебр Хопфа.............188
Дуальные пары......................................... 190
(b) Примеры алгебр Хопфа: групповые алгебры.................190
<
Алгебры Хопфа O(G) и 0*(G) на группе Штейна G. . . . 191
Алгебры Хопфа 7Z(G) и 11* (G) на аффинной алгебраической группе G 193
(c) Обозначения Свидлера и свойство стереотипной аппроксимации ...................................................... 193
(d) Групповые элементы .........................................196
4 ДВОЙСТВЕННОСТЬ ДЛЯ ГРУПП ШТЕЙНА 199
§ 1 Многообразия Штейна: прямоугольники в 0{М) и ромбы в (9*(Л/)199
(a) Многообразия Штейна.................................... 199
(b) Внешние огибающие на М и прямоугольники в О(М) . . . 200
Операции ■ и о.........................................200
Внешние огибающие на М................................ 203
Прямоугольники в О(М)..................................205
(c) Лемма о полярах.........................................206
(d) Внутренние огибающие на М и ромбы в 0*(М)...............209
Операции ♦ и о.........................................209
Внутренние огибающие на М..............................211
Ромбы в 0*(М)..........................................212
(e) Двойственность между прямоугольниками и ромбами .... 214
§ 2 Группы Штейна и связанные с ними алгебры Хопфа..............216
(а) Группы Штейна, линейные группы и алгебраические группы 216
8
(Ь) Строение алгебр Хопфа 0(£), (?*((?)> 7£(£), Я*(С) для главных абелевых групп Штейна.......................................220
Алгебры 0{Ъ) и <Э*{Ъ).....................................220
Алгебры 7г(Сх), 7г*(Сх), 0(<СХ), 0*(СХ)...................223
Цепочка 7г(С) С О (С) С О* (С) С 11* (С)..................229
§3 Функции экспоненциального типа на группе Штейна..................237
(a) Полухарактеры и обратные полухарактеры на группах Штейна .............................................................237
(b) Субмультипликативные ромбы и дуально субмультиплика-тивные прямоугольники...........................................242
(c) Голоморфные функции экспоненциального типа.................247
Алгебра ОехР(С) голоморфных функций экспоненциального типа..................................................247
Алгебра 0^.р(0) экспоненциальных аналитических функционалов.................................................250
(с!) Примеры....................................................254
Конечные группы...........................................254
Группы Сп.................................................254
Группы С1_П(С)............................................255
(е) Инъекция : ОхР(С) -> 0(0)..................................257
Ц) Ядерность пространств Оехр(С) и 0*хр(С) 258
(ё) Голоморфные отображения экспоненциального типа и тензорные произведения пространств С?ехР(б?) и Оехр(С) .... 263
(Ь) Структура алгебр Хонфа на Оехр(Сг) и 0*хр(0)...............272
§ 4 Оболочки Аренса-Майкла и голоморфная рефлексивность . . . 272
(а) Оболочка Аренса-Майкла.........................................272
Оболочка Аренса-Майкла как предел банаховых фактор-
алгебр........................................273
Алгебры Аренса-Майкл а..............................277
(b) Отображение Ьжс : 0*((7) —> С?*хр(С) - оболочка Аренса-Майкла ..............................................281
(c) Отображение Ьс : Оехр(С) —> О (С*) - оболочка Аренса-Майкла для групп с алгебраической связной компонентой единицы . 281
(б) Голоморфная рефлексивность...........................288
§ 5 Голоморфная рефлексивность, как обобщение двойственности Понт-рягииа.......................................................292
(a) Двойственность Понтрягина для абелевых компактно порожденных групп Штейна..................................292
(b) Преобразование Фурье как оболочка Аренса-Майкла .... 293
Конечная абелева группа.............................295
Комплексная плоскость С.............................295
Комплексная окружность С*...........................298
Группа целых чисел Z................................301
Доказательство теоремы 4.5.2........................305
(c) Диаграмма вложения...................................305
5 ГОЛОМОРФНАЯ РЕФЛЕКСИВНОСТЬ КВАНТОВОЙ ГРУППЫ ‘аг + 6’ 307
§ 1 Голоморфная рефлексивность квантовой группы 1аг + Ь' .... 307
(a) Квантовые комбинаторные формулы.....................................................307
(b) Алгебры Хоифа косых многочленов и близкие конструкции 308
10
Тензорные произведения Х<эЩС), X 07£(С), X 07£*(С),
А 07г*(С)............................................308
V?
Алгебры косых многочленов А О 7£(С) и косых степенных
рядов А 0 71Ж(С).....................................309
Квантовые пары в алгебре Хопфа..............................310
Алгебры Хопфа Н 0* ЩС) и Н* П*(С)...........................312
Цепочки Я 0* ЩС) С Я 0* С{С) С Я 0* О* (С) С Я 0*
тгцс)
и Я 0£ 7г(€) С Я 0* О(С) С Я 0* (9*(С) С Я 0*
7гЦС)................................................319
(с) Квантовая группа ‘аг + 6' = Щ(СХ к С).........................324
Группа Сх к С аффинных преобразований плоскости. . . 324
Стереотипные алгебры ЩСХ х С) и И*(СХ х С)..................325
Стереотипные алгебры 0(СХ сх С) и 0*{СХ х С)................329
ЩСХ сх С), 7г*(Сх сх С), 0(СХ к С) и 0*(<СХ к С) как
алгебры Хопфа........................................330
Алгебры Хопфа Щ(СХ к С), 7г;(Сх к С), Оя(Сх к С),
С;(СХ сх С)..........................................332
Щ(СХ к €) как алгебра с образующими и определяющими
отношениями..........................................337
(с!) Рефлексивность Щ(СХ ех С)....................................338
Диаграммы рефлексивности для Щ(СХ к С)...............338
7г?(С* х С) 4 0?{СХ х С) при |<?| = 1.......................339
7г(сх) ©I, я(С) 4 0(СХ) ©I, 7г*(с) при ы /1.................340
С*(СХ) ©** К(С) Д 7£*(СХ) ©? 7?*(С) при произвольном д.343
11
Литература 348
Введение
12
(а). Общие сведения о диссертации
Актуальность темы. Теория двойственности Л. С. Понтрягина для коммутативных локально компактных групп [58) с момента своего появления на свет в 1930-х годах много раз была объектом обобщения на некоммутативный случай. Исследования в этой области продолжаются и в настоящее время, и теперь их можно разделить на два главных направления:
1. Прежде всего, это подход, продолжающий линию Т. Таннаки [68] и М. Г. Крейна [47], согласно которому двойственность в гармоническом анализе следует понимать, как взаимную связь между группой и всевозможными ее представлениями. Эволюция этой идеи привела ныне к интерпретации двойственности, как связи между алгеброй Хоифа (современным аналогом группы) и тензорной категорией ее модулей (аналогом категории представлений группы)1. Это направление развиваюсь в работах Н. Тацуумы [69],
A. J1. Розенберга |61, 62), Н. Сааведры Ривано [64], П. Делиня [31], Дж. Милна [32], А. Джойала, Р. Стрита [33, 34], Д. Н. Иеттера [40], К.-Х. Ульбриха [71], П. Шауэпбурга [80] и других.
2. Второе направление родилось, наоборот, как альтернатива результатам Таннаки и Крейна. Его движущим мотивом явилась неудовлетворенность тем, что в теории Таннаки-Крсйна нарушается ионтрягинская симметрия между группой G и двойственным ей объектом G (который перестает быть группой), а целью объявля-
1 Первоначальное представление об этом подходе можно получить по главе “Representations and quasitensor categories” в .монографии В. Чари и А. Прессли [82], или но главе “Fiber functors and Tanaka-Krcin duality” в моногорифни П. Этингофа и О. Шиффманна [84].
13
лась нахождение такого обобщения двойственности, при котором двойственный объект сохранял бы ту же природу, что и исходный (более ясное представление о том, что понимается под этой симметрией, дает приводимая ниже диаграмма категорий (0.0.2), аналоги которой для более широких классов групп и представляют собой объект поиска при этом подходе). Пионерами в этой области следует считать двух советских математиков, Л. И. Вай-нермана и Г. И. Каца [22, 23, 24], и двух математиков из Франции,
М. Энока и Ж.-М. Шварца [36, 37, 38], которые в 1973 году, работая двумя независимыми группами, показали, что такая задача в принципе разрешима. Ими было построено исторически первое обобщение ионтрягинской теории, сохраняющее симметрию между С и О, - теория алгебр Каца, - изложение которой можно найти в монографии М. Енока и Ж.-М. Шварца [35]. Впоследствии работа в этом направлении продолжилась, поскольку, с одной стороны, в теорию вносились улучшения, а с другой, после открытия в 1980-х годах квантовых групп, сразу же приобретших широкую популярность, понтрягинскую двойственность стали обобщать и на этот класс, причем эта работа не окончена и поныне; возникшая на этой волне теория локально компактных квантовых групп в настоящее время активно разрабатывается усилиями С. Л. Вороновича, С. Вааса, А. Ван Даале, Л. Вайнермапа, Й. Кустерманса,
В. Пуша, II. Солтана и других [49].
Одновременно с этим делением на “симметричную" и “асимметричную" составляющие, в теории двойственности с самого начала обозначи-
14
лась разница между “алгебраической” и “аналитической” системами технических приемов, и одна из существенных черт ее выражается в том, что но мере расширения класса рассматриваемых групп, которое можно изобразить движением по цепочке
конечные группы
п
аффинные алгебраические группы
П (0.0.1)
группы Ли П
локально компактные группы
исследователю приходится усложнять и/или искажать исходные алгебраические конструкции и идеи. Как это происходит, удобно проиллюстрировать на примере конструкции групповой алгебры.
1) Мы начнем с конечных групп. Как известно, групповая алгебра конечной группы С (пусть над полем С) может быть определена, например, формулой
Сс = (Ся)'
(в которой Сс обозначает алгебру функций и : С —> С, а X' - пространство линейных функционалов / : X —> С на конечномерном векторном пространстве X). Определенный таким образом объект Сс действительно будет групповой алгеброй в том смысле, что но нему легко восстанавливается сама группа С, а представлениям группы С будут взаимно однозначно соответствовать представления алгебры Со- В дополнение к этому (и это оказывается весь-
15
ма важно) будет обладать структурой алгебры Хопфа, и вместе это позволяет строить теорию двойственности для конечных групп в обоих упомянутых выше направлениях - как асимметричный вариант (который в данном случае можно просто считать частью теории Таннаки-Крейна, поскольку конечная группа всегда компактна), так и симметричный ее вариант, который удобно изображается в виде следующей диаграммы категорий2:
(0.0.2)
(здесь с - функтор вложения, О - двойственная по Понтрягину группа, а штрих ' - по-прежнему, переход к сопряженному пространству линейных функционалов).
2) При переходе от конечных групп к аффинным алгебраическим возникает первая трудность: групповую алгебру (то есть алгебру, по которой восстанавливается С, и представления которой взаимно однозначно соответствуют представлениям С?) для алгеб-
2 Коммутативность диаграммы (0.0.2) означает просто изоморфизм функторов. По-видимому, теория двойственности для конечных групп, описываемая этой картиной, является продуктом коллективного математического сознания. В явном виде упоминание о ной содержится в монографии А. А. Кириллова (46). В неявном же виде формулируемое здесь утверждение присутствует в работах Г. И. Каца 1960-х годов, в частности, в [44].
16
раических групп определять не принято (из-за ее существенной "неалгебраичности”), и этот объект заменяется на двойственный - алгебру регулярных функций (многочленов) на G, которую мы условимся обозначать 7Z(G). Эта алгебра оказывается алгеброй Хопфа, причем по ней также восстанавливается группа G, а ее копредставлепиям соответствуют представления G. Это позволяет строить теорию двойственности, но, в отличие от предыдущего случая, только ее асимметричный вариант.: алгебра Хопфа 71(G), как любая другая алгебра Хопфа над С, порождает С-линейную жесткую абелеву моноидальную категорию £ своих ко-нредставлений, но которой затем с помощью теоремы К.-Х.Ульбриха3 |71] становится возможным восстановить саму алгебру Хопфа 7£(G).
3) Следующий переход к группам Ли и локально компактным группам мы объединим в одном пункте, поскольку качественной разницы между этими классами с точки зрения того, что обсуждается, нет. Общая теория двойственности здесь представлена в асимметричном варианте результатами Н. Тацуумы [69] (в которых теория Таннаки-Крейна обобщается на произвольные локально компактные группы), а в симметричном варианте уже упоминавшейся теорией Вайнермана-Каца-Энока-Шварца [35]. В обоих случаях объекты, выполняющие роль групповых алгебр, выбираются как подкласс среди образований, именуемых алгебралш Хопфа-фои Ней-мапй4, однако обычными алгебрами Хопфа они перестают быть,
■^Формулировку теоремы Ульбрнха с наброском доказательства можно найти п учебнике В. Чари и А. Прессли |82, Theorem 5.1.11]
*В теории Вайнсрмала-Каца-Энока-Шварца такие объекты называются алгебрами Каца, а и теореме Тацуумы они присутствуют неявно, однако их роль была выявлена позже Дж.Эрнестом |85|, введшим в употребление сам термин “алгебра Хопфа-фои Неймана”.
. 17
поскольку в их определении используются сразу два тензорных произведения - одно (проективное тензорное произведение банаховых пространств) для операции умножения, другое (тензорное произведение алгебр фон Неймана) для коумножения. В этом проявляется искажение исходных алгебраических определений, о котором мы говорили.
Вывод, который можно сделать из этих замечаний, заключается в следующем. Если под гибкостью теории (в противоположность ее жесткости) понимать возможность формулировать ее результаты в устоявшихся терминах, при необходимости, переходя к терминологии соседних областей математики, и без усложнений, оправданность которых остается неочевидной, то из приведенных теорий только первую - двойственность для конечных групп (из пункта 1) - следует признать гибкой (поскольку в ней с одной стороны нет необходимости искажать алгебраические определения, в частности, определение алгебры Хопфа, а с другой, она содержит достаточно средств, чтобы при необходимости переходить от асимметричной картины к симметричной, а внутри каждой из них выбирать удобную точку зрения, переходя если нужно от групповой алгебры Сс функционалов к двойственной ей алгебре Сс; функций, и наоборот). Важно, помимо прочего, что эта гибкость позволяет интерпретировать теорию двойственности для конечных групп, как частный случай остальных, то есть асимметричной теории двойственности для алгебраических групп (из пункта 2), и обеих теорий для локально компактных групп (из пункта 3). Однако, переходя от пункта 1 к пунктам 2 и 3, мы видим противоположную картину: жесткость теорий пункта 2 и 3 не дает возможности считать двойственность
для алгебраических групп частным случаем двойственности для локально компактных групп (хотя цепочка (0.0.1) рождает именно эти интуитивные ожидания). Очевидная генетическая связь между этими теориями не обретает форму строгих логических формулировок, и это оправдывает поиски новых точек зрения, способных, во-первых, объединить алгебраический и аналитический подходы в теории двойственности, и, во-вторых, - устранить дисбаланс между симметричной и асимметричной ее составляющими.
Это намерение можно проиллюстрировать следующей таблицей, в которой плюсы означают, что для данного случая построена определенная теория, а минусы и вопросительный знак - что ее пока нет:
классы групп асимметричные теории симметричные теории
конечные + +
алгебраические + —
группы Ли:
комплексные — ?
вещественные — —
локально компактные + +
Конечной целью исследований в этой области (если это осуществимо) можно объявить заполнение всех ячеек таблицы плюсами таким образом, чтобы, в духе сказанного выше но поводу гибкости, при переходе к более широкому классу групп следующая теория обобщала предыдущую, а вся картина в целом выглядела узлом, связывающим четыре затрагиваемые здесь области математики - алгебраическую геометрию, комплексный анализ, дифференциальную геометрию и общую топологию. Целыо же настоящей диссертации является заполнение ячейки с вопросительным знаком.
19
Цель работы. В диссертации строится теория двойственности для достаточно широкого класса комплексных групп Ли, удовлетворяющая следующим двум условиям, смысл которых мы обсуждали выше:
1) симметричность (двойственный объект имеет ту же природу, что и исходный),
2) гибкость (употребляемые конструкции являются алгебраическими, в частности, в качестве групповых алгебр используются алгебры Хопфа в подходящих моноидальных категориях).
В качестве такого класса групп выбран класс компактно порожденных групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы, а базой для построений служит разработанная автором теория стереотипных пространств и алгебр, основные результаты которой также представлены в диссертации.
Тезисы, выносимые на защиту. Все полученные результаты являются новыми и состоят в следующем.
• Найдена широкая категория ©1с локально выпуклых пространств, называемых стереотипными, позволяющая строить удобную теорию топологических алгебр, свободную от некоторых недостатков традиционной теории.
• Показано, что ©1с является полной и кополной предабелевой категорией.
• Показано, что @1с обладает структурой замкнутой симметрической моноидальной категории, и что для всякой алгебры А в этой кате-
20
гории соответствующие категории д©и ©1сд левых и правых А-модулей являются относительными категориями над категорией 01с.
• Показано, что свойство стереотипной аппроксимации в категории ©к наследуется пространствами операторов и тензорными произведениями.
• Описана структура модулей над алгеброй С(Х) операторов на стереотипном пространстве X со свойством стереотипной аппроксимации.
• Получено обобщение двойственности Понтрягина с категории коммутативных компактно порожденных групп Штейна на категорию (необязательно коммутативных) компактно порожденных групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы.
(Ь). Краткое описание результатов
Задача обобщения понтрягинской двойственности, о которой мы говорили в пункте 2 на с. 13, формулируется строго на языке теории категорий с помощью следующих двух определений.
Определение 0.0.1. Условимся контравариантный функтор У1 и /I* : Я —> Я на заданной категории Я называть функтором двойственности на Я, если его квадрат (ковариантный функтор А н-» А** : Я —> Д) изоморфен5 тождественному функтору А м- А. Это удобно изображать диаграммой
5Изоморфизм функторов А н-> А и А Л** означает, что существует семейство изоморфизмов ix : X -> X** такое, что для любого морфизма : X -> У справедливо равенство: <р** = 1у о у о г^1.
21
(коммутативность которой означает изоморфизм функторов)6:
у*^ (°0'3)
Определение 0.0.2. Пусть нам даны:
(a) три категории Я, £, Ж, с двумя полными и точными ковариант-ными функторами Л : Я -» £ и В : £ -> 9Л, определяющими цепочку вложений:
Я С £ С Ж,
(b) два функтора двойственности /<" К* : Я —> Я и М М* : 9Л —>
9Я такие, что функторы К »->• В(А(К*)) и К изо-
морфны7. Это удобно изображать диаграммой (где опять коммутативность означает изоморфизм функторов):
(0.0.4)
ж ^ж
ят т*
£ £
»Т . ^
я- -^Я
Такую конструкцию мы будем называть обобщением двойственности • с категории Я на категорию £.
Теперь задачу, о которой говорилось в пункте 2 на с. 13, можно корректно сформулировать так:
бПримером функтора двойственности является кнк раз переход С н-* 6’в к двойственной но Понтря-гину абеле1юй локально компактной группе: естественным изоморфизмом между (?*• и С будет отображение *(;(х)(х) = х(х). Наоборот, скажем, н категории банаховых пространств функтор А' >-> X’ перехода к сопряженному банахову пространству не является двойственностью (потому что существуют нерефлексивпые банаховы пространства).
7Изоморфизм функторов К *-> В(Л(К*)) и К !-> (в(Л(ЛГ)))‘ означает, что существует семейство изоморфизмов jx • (^Д(Л(Х))^ -> В{Л{Х*)) такое, что для любого морфизма <р : X —> У справедливо равенство: гх ° (вММ))' = д(л(х-)) ОЗУ. 4
22
? Существуют ли обобщения двойственности Поптрягина с категории абелевых локально компактных групп на категорию произвольных локально компактных групп, и если да, то какие?
Диаграмма категорий (0.0.4) при такой постановке вопроса принимает вид
ап > ап (о.о.б)
Т Т
А руководящим примером здесь служит обобщение нонтрягинской двойственности с категории абелевых конечных групп на категорию всех конечных групп, представленное упоминавшейся выше диаграммой (0.0.2).
Особенное положение бапаховых пространств в функциональном анализе. Трудности построения “общей” теории двойственности, о которых мы говорили в пункте “актуальность темы”, проистекают, но мнению автора, из укоренившейся в функциональном анализе традиции считать, что содержательную теорию алгебр в этой дисциплине можно построить только если эти алгебры будут банаховыми8. Поскольку банаховых алгебр Хопфа в математике объективно имеется мало, это и приводит исследователя к необходимости искажать определения, чтобы приблизить имеющиеся объекты к нужной идее, и последствия этого мы наблюдаем в теории двойственности.
8Теорию алгебр фон Нейманна автор также считает ил люстрацией этого тезиса, несмотря на то, что банахова топология на алгебре фон Нейманна считается не столь важной, как другие, более слабые топологии, поскольку эти топологии тоже привязываются к банаховой структуре, а не задаются, как объекты широкой категории, позволяющей строить удобную теорию топологических алгебр в духе того, о чем пойдет речь ниже на с.24.
Корни этой традиции в свою очередь лежат в том факте, что до последнего времени теория топологических векторных пространств предоставляла только одну категорию, позволяющую строить удобную теорию топологических алгебр - категорию банаховых пространств. Эти слова звучат полемически, но имеют вполне точный смысл, который можно объяснить, предложив читателю решить следующее упражнение:
? Дайте определение топологической алгебры и топологического модуля так, чтобы выполнялись следующие условия:
1) все топологические алгебры и топологические модули долж-ны быть топологическими векторными пространствами, удовлетворяющими какому-нибудь условию полноты;
2) операции умноо/сения доло/сны быть непрерывны в каком-нибудь разумном смысле;
3) если X - топологический модуль над топологической алгеброй А, то кольцо Епс1л(^0 эндоморфизмов X над А люжно наделить естественной структурой топологической алгебры относительно Вашего определения.
Математик, далекий от этих проблем, будет вероятно удивлен, узнав, что единственным решением этой задачи, предлагавшимся функциональным анализом до последнего времени, была теория банаховых алгебр (и модулей). Объяснение этому содержится в следующем наблюдении, выражающем на категорном языке идею, к которой мы подводим читателя:
! Класс 03 ап ба.наховых пространств над полем С (или Е,) обладает следующими категорными свойствами, которыми не обла-
24
дает никакой другой из известных до последнего времени более
широких классов топологических векторных пространств:
1) 03 ап образует замкнутую симметрическую моноидаль-ную категорию (относительно проективного тензорного произведения 0);
2) банаховы алгебры представляют собой в точности моноиды. а банаховы модули - действия этих моноидов* в категории 03ап;
3) для каэ/сдой банаховой алгебры А классы л 03 ап и 03 ап л левых и правых банаховых модулей над А образуют относительные категории10 над категорией 03ап.
Ориентируясь на это наблюдение, условимся говорить, что некая категория локально выпуклых пространств Я позволяет строить удобную теорию топологических алгебр, если она обладает теми же свойствами, что и ОЗап, то есть если в ней задано некое тензорное произведение 0, превращающее Я в замкнутую симметрическую моноидальную категорию, и для каждой алгебры Л в Л (определенной как моноид относительно этого тензорного произведения) классы АЯ и ЯА левых и правых Л-модулей (также очевидным образом определенные через 0) образуют относительные категории над Я.
Теперь должно быть понятно, что естественный путь к решению проблемы двойственности соискатель видит в том, чтобы заменить категорию ОЗап банаховых пространств на какую-нибудь другую подходящую категорию Я, также позволяющую строить удобную теорию топологических
иОпределение моноида и его действил в моноидальноП категории см. в монографии (52].
10Определение относительной категории см. в справочнике: [13].
25
алгебр, при условии, разумеется, что такая категория найдется.
Стереотипная теория, как альтернатива банаховой. Такая категория действительно была найдена в 1990-х годах и описана соискателем в серии статей [1]-[12]. Объекты, из которых она состоит, называются стереотипными пространствами, и определяются они следующим образом.
Определение 0.0.3. Пусть X - локально выпуклое пространство над С. Обозначим через X* пространство линейных непрерывных функционалов / : X —» С, наделенное топологией равномерной сходимости на вполне ограничен! множествах в X. Пространство X называется стереотипным, если естественное отображение
г* : X -> (**)*> »*(*)(/) = /(*), х 6 X, / 6 X*
является изоморфизмом локально выпуклых пространств (в этом определении нетрудно узнать модификацию поитрягипского свойства для абелевых групп). Справедлив следующий
Критерий стереотипности12: Пространство X стереотипно тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
(г) X псевдогюлно: всякая вполне ограниченная направленность Коган сходится в X;
(ii) X псевдонасыщено: всякое замкнутое выпуклое уравновешенное емкое13 мпоо/сество D в X является окрестностью нуля.
Класс ©tc стереотипных пространств образует категорию с линейными непрерывными отображениями в качестве морфизмов. Понятно, что
11 Определение вполне ограниченного множества см. ниже на с.49.
12(8, 9), см. также ниже теоремы 1.2.5 и 1.2.7.
13Определсиие емкого множества см. ниже на с.49.
26
функтор X н-> X* в ней будет двойственностью (в смысле определения 0.0.1). Помимо этого категория 61е обладает следующими тремя группами свойств, заслуживающими, по мнению соискателя, эпитета удивительный, в особенности если учесть то, как долю математическое сообщество их на замечало.14
1°. Первое важное (и глубоко неочевидное) свойство стереотипных пространств состоит в том, что они образуют необычайно широкий класс: они включают все квазиполные бочечные пространства (в частности, все пространства Фреше и все рефлексивные в обычном смысле пространства). Поэтому не будет сильным преувеличением сказать, что все локально выпуклые пространства, реально используемые в функциональном анализе, стереотипны. Наглядно это можно продемонстрировать картинкой:
2°. Категория ЄНе снабжена стандартным набором операций, позволяющих строить новые пространства из уже имеющихся (переход к подпространству, фактор-пространству, инъективному и проективному пределу). Этим теория стереотипных пространств напоминает теорию Лебега, где
1 'В приводимом ниже списке свойство 1° впервые отмечено в работах Б. С. Брудовского |16|, Уотерхауса [73] и Браунера |15|. Авторство остальных свойств принадлежит соискателю |9).
Ґ
Л
СТЕРЕОТИПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Ґ
Л
квазиполные бочечные пространства
пространства
У
V
У
V
(0.0.6)
27
класс рабочих объектов (измеримых множеств) снабжается стандартными операциями, следование которым позволяет оставаться в рамках этого класса. В категорных терминах эти свойства формулируются так:
— ©1е - предабелева категория (то есть аддитивная категория, в которой каждый морфизм имеет ядро, коядро, образ и кообраз);
— категория ©1е полна и коиолна (то есть каждая проективная и каждая инъективная система имеют предел в ©1е).
3°. Наконец, категория ©и позволяет строить удобную теорию топологических алгебр, в том смысле, который мы вкладывали в эти слова на с.24. Точнее, в ©и имеется естественный способ наделять множество Мог(Х, У)10 морфизмов (линейных непрерывных отображений) : X —>• У структурой стереотииного пространства:
УХ У Е ©1с Мог(Х, У) е ©1с (0.0.7)
Это позволяет определить два естественных тензорных произведения в
©1е: для любых двух стереотипных пространств X, У € ©1е равенства
>
X ®У := Мог(Х, У*)*, X О У := ЬАог{Х\ У)
определяют стереотипное проектх1вное тензорное произведение X $ У и стереотипное инъективное тензорное произведение X © У.
:53десь мы используем символ Мог(Х, У) дли наглядности, но на с. 121 для этого стереотипного пространства вводится специальное обозначение: У 0 X.
28
Справедливы следующие тождества, естественные по X, У, Z: С®Х^Х^Х®С, <£®Х^Х^Х®С
Х®У^У®Х, X О У = У О X
(X ® У) ® Z S X ® (У ® Z), {X О У) О Z = X О (У G Z)
(X ® уу ^ У* о X*, {X О уу &У*®ХЖ
Мог(Х ®У,Х) = Мог (X, Мог (У, £)), Мог(Х, У ® Z) = Мог(Х, У) 0 Z
Из них, в частности, следует, что ©te является симметрической монои-дальной категорией как относительно ®, так и относительно О. Поэтому в ©te можно определить понятие моноида16, или. что то же самое, алгебры относительно ® или относительно О.
Пусть А - алгебра относительно ®, и пусть ^©te и ©te^ обозначают категории всех левых и правых модулей над А. Как и в случае с ©te, оказывается, что в д©te и в ©te^ имеется естественный способ наделить множество Могл(Х, У) морфизмов (р : X У структурой стереотипного пространства:
VX, У € лвк (уХ, У е etcA) Могл(Х, У) Е ©te
Это наделяет л<^е и ©1ел структурой относительных категорий над категорией ©te.
Преобразование Гротендика и стереотипная аппроксимация. Пусть X и У - стереотипные пространства. Для любых х £ X и у Е У элементарные тензоры х ®у € X ®У и х® у Е X ®У определяются формулами
х ® у 6 х © Y = Мог(ЛГ, К*)* : {x®y)(tp) = f(ip(x)) (v:X^>Y*) xOyeXQY = Mor(X*, Y) : (x О y)(f) = f(x) ■ у (f £ X*)
1ССм. подстрочное примечание 9.
29
Теорема 0.0.1.17 Для любых стереотипных пространств X и У существует единственный морфизм стереотипных пространств
@ху
называслтй преобразованием Гротеидика, удовлетворяющий тоэ/сдеству
©ху(х ® у) = х 0 у хЄХ,уЄУ (0.0.8)
Система морфизмов ©л'.у является естественным преобразованием функтора ® в (функтор О.
Обозначим символом С{Х) пространство морфизмов из X в X
С(Х) := Шг(Х,Х) (0.0.9)
Согласно (0.0.7), это будет стереотипное пространство. По составу элементов С{Х) есть просто пространство линейных непрерывных операторов на X, а топология на £(Х) представляет' собой некое усиление топологии равномерной сходимости на компактах, а точнее - результат применения к этой топологии так называемой операции псевдонасыщения (см. [8],[9]).
Определение 0.0.4. Говорят, что стереотипное пространство X обладает свойством стереотипной аппроксимации, если тождественный оператор в С(Х) приближается конечномерными (в топологии пространства С(Х)). Это равносильно тому, что для любого стереотипного пространства У преобразование Гротендика
@ху : X ® У —► X О Г,
является биморфизмом стереотипных пространств (то есть инъективным отображением с плотным образом). Пространств со свойством стереотипной аппроксимации довольно много, потому что это свойство лежит между
,7[9, теорема 7.8), ниже и тексте эго теорема 2.5.11.
зо
классическим свойством аппроксимации и существованием базиса в X:
стереотипная классическая
базис
аппроксимация аппроксимация
Следующий результат может служить иллюстрацией тезиса, что стереотипная теория упрощает не тол їжо теорию двойственности (приложения в этой области мы опишем позже), но и весь функциональный анализ, поскольку позволяет уменьшить количество контрпримеров в этой дисциплине. Хорошо известно, что если банахово пространство X обладает классическим свойством аппроксимации, то то же самое не всегда верно для его банахова пространства операторов Н(Х): как показал А. Шанков-ский [77], контрпримером здесь служит пространство В(Н) ограниченных операторов на гильбертовом пространстве II. В стереотипной теории этот и подобные контрпримеры исчезают:
Теорема 0.0.2.18 Стереотипная аппроксимация наследуется пространствами операторов и тензорнъши произведениялш: если стереотипные пространства X и У обладают свойством стереотипной аппроксимации, то пространства Мог(Х”, У), X®У и Х®У также обладают этим свойством.
Следствие. Если X обладает стереотипной аппроксимацией, то С{Х) тоо/се обладает стереотипной аппроксимацией.
Проективные стереотипные алгебры и модули.
Определение 0.0.5. Проективной стереотипной алгеброй А называется моноид, а проективным модулем М над А - действие этого моноида19 в
1Й[9, теорема 9.9), «иже в тексте это теорема 2.6.7.
^Относительно определения моноида и его действия в моноидальной категории см. подстрочное примечание 9.
31
симметрической моноидальной категории (01с,®).
На привычном языке это означает, что А - стереотипное пространство, снабженное операцией умножения (а, Ь) а-Ь (а, Ь Є А), удовлетворяющей следующему условию непрерывности: для всякого компакта К С. А и любой окрестности нуля и С А найдется окрестность нуля V С А такая, что К • V СЬГ и V • К С и. А М - стереотипное пространство с операцией умножения (а, х) »-> а • х (а Є А, х Є М), для которого условие непрерывности модифицируется так: для любых компактов К С А и Ь С М и любой окрестности нуля и С М найдутся окрестности нуля V С М и С А такие, что # • V С и и V/ • Ь С [/.
Примерами проективных стереотипных алгебр являются банаховы алгебры, алгебры Фреше, а также алгебра С(Х) операторов на произвольном стереотипном пространстве X, то есть стереотипное прос транство, определенное выше формулой (0.0.9) с обычной операцией композиции:
(<роф)(х) = <р(ф(х))
Если зафиксировать Л”, то для всякого другого стереотипного пространства Е тензорные произведения Е® X и Е®Х будут стереотипными модулями над стереотипной алгеброй С(Х). Эти два модуля связаны между собой преобразованием Гротендика
@Егх і Е ® X —> Е О X.
Если X обладает стереотипной аппроксимацией, то это отображение будет биморфизмом (то есть плотным вложением), поэтому связь между Е ® X и Е 0 X удобно представлять себе как вложение с плотным образом
Е ® X С Е ® X,
32
в котором Е®Х и£оХ можно в первом приближении мыслить как специального рода пополнения алгебраического тензорного произведения Е®Х относительно двух разных топологий (одна из которых слабее другой).
Следующий результат является ответом стереотипной теории на классическую проблему описания модулей над алгеброй операторов (см. обзор и [59]}:
Теорема 0.0.3.20 Для любого стереотипного пространства X со свойством стереотипной аппроксимации всякий проективный стереотипный модуль М над С{Х) лежит между Е® X и ЕОХ для некоторого однозначно определенного стереотипного пространства Е:
Е®Х С М С Е®Х.
Следствие. Если X - ядерное пространство Фреше с базисом, то для всякого модуля Фреше М над стереотипной алгеброй операторов С(Х) существует единственное (с точностью до изоморфизма) пространство Фреше Е такое что М изоморфен проективному тензорному произведению пространств Фреше Е и X:
М = Е§>Х
Стереотипные алгебры Хопфа. Если в определении алгебры Хопфа (см. напр. [14] или [82]) заменить векторные пространства на объекты некоторой симметрической моноидальной категории Я (а тензорное произведение векторных пространств ® на тензорное произведение в этой категории Я), то получится объект, который также называется алгеброй Хопфа, или моноидом Хопфа [64, 81, 67] (в категории Л). Алгебры Хопфа в симметрических моноидальных категориях стереотипных пространств (01е, О) и
20|11|, ниже и тексте это теорема 3.2.5.
33
(ві;с, ®) называются соответственно инъективнъши и проективными стереотипными алгебрами Хопфа. Справедлива эквивалентность:
II - проективная стереотипная алгебра Хопфа <*=>
Н* - инъективная стереотипная алгебра Хопфа
Примерами инъективных стереотипных алгебр Хопфа являются стандартные функциональные алгебры на группах - С(Є) (непрерывных функций), £{С) (гладких функций), 0(0) (голоморфных функций), 11(0) (многочленов), см. ниже примеры 3.1.3-3.1.6. Их двойственные алгебры - С*(С) (мер Радона), £*(£) (распределений), 0*(Є) (аналитических функционалов), IV(О) (потоков) - являются примерами проективных стереотипных алгебр Хопфа, см. ниже примеры 3.1.7-3.1.10. Следующий результат показывает, что последние четыре алгебры естественно рассматривать как групповые алгебры в стереотипной теории:
Теорема 0.0.4.21 Для всякого стереотипного пространства X диаграммы (где 6 - естественные вложения в виде дельта-функционалов)
устаналившот взаимно-однозначные соответствия между
- непрерывными действиями 7г : (? —» С(Х) произвольной локально
21[9, теорема 10.12|, ниже в тексте это теорема 3.1.11.
ЦХ)
ЦХ)
С(Х)
є
I