Сходимость почти всюду рядов Фурье и смежные вопросы

Содержание
Введение 4
§0.1............................................................. 4
§0.2 11
§0.3............................................................ 24
Глава 1. Условия конечности мажорант последовательностей операторов и сходимость рядов Фурье 35
§ 1.1. Введение................................................. 35
§ 1.2. Основная теорема......................................... 38
§ 1.3. Сходимость тригонометрических рядов Фурье и рядов
Фурье-Уолша................................................ 54
§1.4. Оценки скорости роста сумм Фурье ......................... 59
Глава 2. Поведение сумм Фурье функций с ограничениями на Ь1 -модуль непрерывности 67
§2.1. Обозначения и формз'лировки используемых известных результатов ...................................................... 67
§2.2.0 расходимости рядов Фурье функций из Ну................... 68
§2.3. Условия интегрируемости мажорант сумм Фурье............... 76
§2.4. Вспомогательные предложения .............................. 87
§2.5.0 расходимости подпоследовательностей сумм Фурье функций с ограничениями на интегральный модуль непрерывности ............................................................ 99
§2.6. Расходящиеся почти всюду подпоследовательности
сумм Фурье функций из (р(Ь) П Ну ......................... 107
Глава 3. Поведение последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье 114
2
§ 3.1. Введение.................................................. 114
§3.2. Вспомогательные утверждения................................ 118
§3.3. Основные леммы............................................. 127
§ 3.4. Сходимость почти всюду последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье .......................................138
§3.5.0 скорости роста последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье.............................................. 145
Список литературы................................................ 157
3
Введение
§0.1.
Пусть / — определенная на действительной осп 2п -периодическая вещественнозначная интегрируемая по Лебегу на периоде функция,
7Г
а* = — J f(t) cos kt dt, A: = 0,1, 2 ...,
—тт
TT
bk=nf /(0 sin <Й, А = 1,2..., (0.1.1)
— 7Г
— ec коэффициенты Фурье и
an
+ ^(а^сов Ах + кх) (0.1.2)
к-1
— тригонометрический ряд Фурье функции /. Как известно, п-ая частичная сумма 5П(/, х) ряда (0.1.2) может быть представлена в следующем виде:
п ^ ^
■$п(Ах) = у + ^(а*сс№кх + Ььвткх) = - I Оп(Т)/(х + г)сН,
где
_ sin(n. + l/2)t nU 2sin(</2)
— ядро Дирихле.
Определим также
оо
Yj(a*sinкх — bkcos кх) (0.1.3)
к= 1
— сопряженный ряд ряда (0.1.2). Тогда v -ая частичная сумма 5„(/, ж) ряда (0.1.3) представима в виде
п
5П(/, ж) = V^(a*; sin Аж — 6^ cos кх) =
к=\
4
где
со $(і/2) — соз(п + 1/2)£
— сопряженное ядро Дирихле.
Примеры разложения некоторых элементарных функций в ряды по синусам или косинусам кратных дуг были известны еще в XVIII веке. Так разложение
упоминается в работах Л.Эйлера в 1755 году (в этом параграфе результаты, для которых не указана ссылка, цитируются но [15]). Представления функций тригонометрическими рядами получались у Эйлера и других математиков того времени с помощью различных методов, зависящих каждый раз от конкретной! функции. Были, в частности, заимствованы методы, использовавшиеся при разложении функций в степенные ряды.
Идея о возможности представить в виде суммы тригонометрического ряда произвольную функцию впервые возникла, по-видимому, в 50-х годах XVIII столетия у Д.Бернулли в связи с исследованиями задачи о колебании струны. Основываясь на результатах экспериментов и руководствуясь физическими соображениями, Бернулли заключил, что решение волнового уравнения
Отсюда, фактически, следовало, что произвольная 2-тг -периодическая функция }{х) может быть представлена в виде суммы ряда (0.1.2) с неко-
7Г — X
= віп х -Ь біп 2х -г яіп Зге + ...
2
в общем случае может быть представлено в виде
со
торыми коэффициентами а* , Ь* . Однако, Бернулли не смог указать способа, с помощью которого коэффициенты ряда могли бы быть найдены. За это Бернулли подвергся критике со стороны многих современных ему математиков, которые небезосновательно полагали, что невозможность определить коэффициенты ряда (0.1.2) лишают саму идею такого представления как практической ценности, гак и теоретической значимости. Стоит заметить, что Л.Эйлер, являвшийся одним из критиков идеи Бернулли, позднее (в 1777 году) получил интегральное выражение коэффициентов суммы (сходящеюся) тригонометрического ряда путем формального почленного интегрирования этого ряда, однако мысли о том, что с помощью такого способа можно получить коэффициенты разложения произвольной функции в ряд (0.1.2), то есть получить формулы (0.1.1). в работах Эйлера нет.
Идея о возможности представления произвольной функции в виде суммы ряда (0.1.2) - (0.1.1) принадлежит Ж.-Б.Фурье и содержится в его работе мАналитическая теория тепла1', представленной в 1807 году. Исследования Фурье в области тригонометрических рядов, как и исследования его предшественников, были продиктованы необходимостью решения конкретных физических, астрономических и других естественнонаучных задач. При этом математическая строгость получаемых результатов этих исследователей мало заботила.
Однако, в начале XIX века в анализе назрела необходимость более точного определения используемых понятий и более строгого обоснования как уже в большом количестве имевшихся старых, так и получаемых новых результатов.
В этой связи возник интерес уже к чисто математической постановке задачи о сходимости рядов Фурье: какие (как можно более общие) условия надо наложить на функцию, чтобы эта. функция всюду на периоде представлялась своим рядом Фурье.
6
По-видимому, первый математически строго обоснованный факт, касающийся сходимости тригонометрических рядов Фурье, был получен в 1829 году Л.Дирихле. Результат Дирихле может быть сформулирован следующим образом: если определенная на отрезке [—7г, п] функция /(х) непрерывна всюду, кроме конечного числа точек разрыва первого рода, и имеет конечное число точек максимума и минимума, то ее ряд Фурье (0.1.2) -(0.1.1) сходится в каждой точке х 6 [—7г, 7г] к полусумме левого и правого пределов функции в этой точке; в частности, если функция непрерывна в точке X , то 5П(/, ж) сходится к /(т). Дирихле был убежден в том, что это утверждение может быть распространено на произвольные непрерывные функции. Гипотезу о сходимости в каждой точке ряда Фурье произвольной непрерывной функции долгое время пытался подтвердить П.Дюбуа Реймои. В итоге он пришел к противоположному результату: существует непрерывная функция, ряд Фурье которой расходится в одной точке (28]. Дюбуа Реймон видел, что модернизация его метода позволяет строить функции с рядами Фурье, расходящимися в двух, трех, любом конечном числе точек и даже на всюду плотном множестве.
Появление в самом начале XX века меры и интеграла Лебега привело к появлению новых задач и новых возможностей при изучении рядов Фурье. Поскольку множества расходимости рядов Фурье функций, построенных методом Дюбуа Реймоиа имели лебегову меру нуль, то задачу о поточечной сходимости рядов Фурье непрерывных и в более общем случае суммируемых (то есть интегрируемых по Лебегу) на [0. 2тг) функций, стало естественным переформулировать в следующем виде: какие условия нужно наложить на суммируемую функцию, чтобы ее ряд Фурье сходился почти всюду (то есть мера Лебега множества, где он не сходится, равна нулю).
Пусть <р : (0,+оо) (0,4-ос) — неубывающая функция. Обозначим
через (р[Ь) = (/?(£)([0, 27г)) множество всех измеримых по Лебегу 2тг-
7
периодических функций / таких, что
‘2тт
о
Естественность при рассмотрении рядов Фурье использования класса Ь2([0, 2тг)) сделала в 1900-х годах популярной следующую задачу об условиях сходимости рядов Фурье функций из Ь2 : найти как можно более медленно растущую неубывающую последовательность положи-гельных чисел {и^}^! такую, чтобы из сходимости ряда
следовала сходимость ряда (0.1.2). Числа Wk получили название множителей Вейля. Результаты в этой задаче последовательно получали П.Фату ( [29j, в качестве множителей Вейля можно взять ш* = к ), Г.Вейль ( (55J, wjg = к*), Е.Гобсон ( [34J, Wk = ке, г > 0), М.Планшерель ( [4G|, Wk = log3 к), Г.Хардп ( [33], wk = log2 к).
Г.Харди также принадлежит следующий результат о поведении на множестве полной меры сумм Фурье произвольных интегрируемых по Лебегу функций [33]: если / Е £([0,2тг)) , то для почти всех х 6 [0, 27т)
Заметим, что оценка (0.1.4), полученная в 1913 году, до сих пор не улучшена, и не доказана ее неулучшаемость (о современных результатах, связанных с (0.1.4) будет упомянуто ниже).
Пусть / Е Л([0, 27г)) . Определим тригонометрически сопряженную к / функцию /. Положим
ОС
^2 Ма1+я)
5„(/,.ї) = o(lnn).
(0.1.4)
гг
8
где интеграл понимается в смысле главного значения, то есть как lim ( / + f ) . Как хорошо известно, сопряженная функция / непосред-
^“*+0 \-7Г £ /
ственно связана с сопряженным рядом (0.1.3) функции /: если f(x) существует для почти всех значений х Е [0,2тг) и / интегрируема по Лебегу, то ряд (0.1.3) является рядом Фурье функции /.
В 1915 году H.H.Лузин опубликовал свою диссертацию "Интеграл и тригонометрический ряд" ! 12] (см. 113]), где, в частности, рассматривал вопрос о существовании сопряженной функции. В [13, с.213-215) установлено, что если / Е L2([0> 27г)), то f(x) существует почти всюду и также принадлежит L2([0, 2тг)). Отсюда, как нетрудно видеть, следует, что для произвольной д Е £2([0, 27г)) интеграл
■к
/ .
О
д(х И- а) — д(х — а) т .
v ' v -с/а, (0.1.5)
7Г
определенный как lim f , существует почти всюду и является функци-
£■-*+0 е
ей из L2([0,27r)). Одним из основных результатов работы [12] является следующий критерий сходимости почти всюду ряда Фурье суммируемой с квадратом функции: для того, чтобы ряд Фурье функции / Е L2([0,2тг)) сходился почти всюду, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
lim I 9{* + <*)-9(х-а) cosnadQ = п-> со Ja
о
71-
где д(х) = f(x), а интеграл определен как lim f . Сравнивая (0.1.5) и
S—*4-0 '£
(0.1.6) и заметив, что интегралы в этих формулах отличаются "... лишь множителем cos па , который принимает положительные и отрицательные значения, равномерно распределяющиеся на области [0,2тг], когда п стремится к +оо ..." [13, с.219], Лузин на основании этого выдвигает гипотезу
о том, что ряд Фурье любой функции 113 L2([0, 2тг)) сходится почти всюду. То есть, согласно этой гипотезе, в задаче о множителях Вейля можно взять wk = 1.
Возвращаясь к задаче об условиях существования сопряженной функции, напомним, что И.И.Привалов [1G] обобщил сформулированный выше результат Лузина, доказав существование почти всюду сопряженной функции произвольной / G £([0; 2тг)), а затем А.Н.Колмогоров [30] показал, что сопряженная функция f(x) любой суммируемой функции / удовлетворяет условию
2-
mes{х е [0, 2тг) : |/(х)| > у} < — [ \f{t)\dty у > 0.
У J о
Если же / € Тр([0,27г)), р > 1, то / также принадлежит Lp([0,27г)) (М.Рисе (48)).
В 1922 году А.Н.Колмогоров [38]. исследуя проблему Лузина, построил пример суммируемой функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду (о дальнейших результатах в этом направлении см. далее). Как отмечено в [38], построенная функция не принадлежит классу £2([0. 2п)). Результатом положительного характера в этой тематике в 20-е годы прошлого столетия явилась оценка, полученная А.И.Колмогоровым и Г.А.Селиверстовым [41] и А.И.Плеснсром [47]: если / 6 12([0.2тг)), то
5„(/,.т) = о((1пга)*) п.в. (0.1.7)
Дж.Литтлвуд и Р.Пэли [45] обобщили оценку (0.1.7) на функции из классов
U\\0,2тг)), р > 1 : если / £ 1Р([0,2л)), то
5„(/, .т) = о ((ln га)*) п.в. (0.1.8)
Оценка (0.1.8) вплоть до середины GO-х годов прошлого века оставалась
наиболее сильным и общим результатом в "положительном" направлении
10
в изучении проблемы Лузина; не было даже известно, у всякой ли непрерывной функции ряд Фурье сходится почти всюду.
§0.2.
Справедливость гипотезы Лузина была установлена Л.Карлесоном в 1966 году. В работе [25] с помощью нового метода, были получены следующие результаты:
a) если / € Ь( 1пь £)1+д([0, 2тг)) , 6 > 0 , то
5„(/, х) = о(1п1пп) п. в.
(здесь и далее для и > 0 будем полагать 1п+ и = 1п(^ + с));
b) если / 6 Ьр([0, 2тг)) при р > 1, то
5и(/,а?) = о(1п1п1пгг) п.в. ;
c) если / € Ь2([0,2л-)) , то ряд Фурье функции / сходится почти всюду. Доказательство утверждения а) с подробным изложением первой части метода Карлесона имеется в работе Н.И.Черных [22]. Ч.Феффсрманом [31] было предложено другое доказательство утверждения с). Подробное изложение этого доказательства дано в [11]. Недавно М.Лэйси и К.Тиле опубликовали [44] еще одно доказательство теоремы Карлесона (утверждения с)). Тем не менее, имеющиеся доказательства все-таки достаточно сложны как в техническом, так и в идейном плане, поэтому задача поиска более простого доказательства теоремы Карлесона и ее обобщений (о которых речь ниже) остается, на наш взгляд, по-прежнему актуальной.
П.Виллард [24], используя идеи Карлесона, перенес его метод на ряды Фурье по системе Уолша и доказал сходимость почти всюду ряда Фурьс-Уолша произвольной функции из Ь2([0,1]). Доказательство теоремы Вилларда, принадлежащее Р.Ханту [36], можно найти в книге [3, гл. 9, §9.2].
11
В 1968 год}' Р.Хант [35], развивая метод Карлссона, распространил утверждение о сходимости почти всюду тригонометрических рядов Фурье на функции из классов L^([0,27г)), р > 1, и даже для содержащего все эти классы класса L(ln+ L)2([0, 2-7r)).
Пусть
-^(Л = sup |5„(/, ж)|, *€[0,2*0.
П> 1
— мажоранта частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции / G £([0.27г)) . Обозначим через \f характеристическую функцию произвольного измеримого 2-7Г -периодического множества F :
fl, хе F,
Xf(x) =
О, х é F.
через mes F — лебегову меру множества F П [0, 2тг) . Основным результатом работы [35] является следующая оценка
mes {a; G [0, 2тг) : M(\F, х) > у} < (Вр)ру~р • mes F, (0.2.1)
где у > 0, 1 < р < ос . Вр < const • р2/{р - 1). Из (0.2.1) Хант доказал, что
1) \\M(fr)\\P<Cp\\f\\p.. 1 < р < оо, felAl0,27т));
2) ||М(/, -)||i <Cf |/(x)|(ln+ \f(x)\)4x + C, f G L(ln+ £)’([0, 2я-));
— ГГ
3) mes {x € [0, 2tt) : M(f.x) > у} < С exp (-p^) , У > 0,
/ G L°°([0,27t)).
Из утверждений 2) и 1) следует сходимость почти всюду Sn(f,x) к f(x) для функций из классов L(ln+L)2([0,27г)) и £р([0, 2тг)) , р > 1, соответственно.
12
В 1969 году П.Шёлин [49] перенес оценку (0.2.1) на случай мажоранты Mw (/, х) частичных сумм ряда Фурье гго системе Уолша. Далее в этой работе Шёлин показал, что путем оптимального выбора числа р для каждого у в оценке (0.2.1) и аналогичной оценке для случая рядов Фурье-Уолша получается оценка
mes {х е А : M{xf,x) > у] < ' mes F, 0 < у < l/e, (0.2.2)
где С — абсолютная константа, в качестве М могут быть взяты как M(f,x) — определенная выше мажоранта частичных сумм тригонометрического ряда Фурье, так и ¥и f(x) — мажоранта частичных сумм ряда Уолша, а А — период [0,2л) либо отрезок [0,1] соответственно. Приближая произвольные функции / линейными комбинациями характеристических функций и используя (0.2.2), Шёлин установил, что если / принадлежит классу L(ln+ Z/)(ln~ 1н+ L) на периоде [0, 2л) либо на отрезке [0,1], то тригонометрический ряд Фурье либо соответственно ряд Фурье-Уолша функции / сходится почти всюду.
В 1996 году автором [23] с использованием оценки (0.2.2) для тригонометрического случая было доказано, что более общее, чем в работе [49], условие / Е L(ln+L)(ln+ln+ln+L)([0,2л)) также является достаточным для сходимости почти всюду тригонометрического ряда Фурье функции /. Отметим, что при доказательстве в [23] применена конструкция, позволяющая приближать, в частности, частичные суммы тригонометрического ряда Фурье функции / частичными суммами ряда Фурье линейных комбинаций характеристических функций J2akXFk, но при этом функция /, вообще говоря, функциями akXFk не приближается. Именно за счет достигнутой с помощью этого большей свободы и удалось получить усиление результата Шёл и на [49].
В настоящей диссертации метод, использованный в [23], переносится с частичных сумм тригонометрических рядов Фурье Sn(f:x) на случай по-
следовательностей операторов более общего вида. Из полученной в главе 1 диссертации основной теоремы в качестве следствий вытекают утверждения о том, что если / Е L(ln+L)(ln+ln+ln+L) на [0,2тт) или на [0,1], то тригонометрический ряд Фурье либо, соответственно, ряд Фурье - Уолша. функции / сходятся почти всюду; как следствие основной теоремы получена также оценка скорости роста частичных сумм тригонометрических рядов Фурье функций из классов, промежуточных между L([0,27t)) и L(ln+ L)(1п+ 1п+ ln+ L)([0,2тг)).
Отметим, что опубликованный нами в работе [56] результат о сходимости почти всюду рядов Фурье - Уолша функций из L(\n+ £)(In+ ln+ln+ £)([0,1]) позднее был также получен П.Шслиным и Ф.Сориа [51].
Как уже отмечалось, А.И.Колмогоровым [38] в 1922 году был построен пример функции из класса L([0,2я*)), тригонометрический ряд Фурье которой неограниченно расходится почти всюду. Чуть позднее им же [40] была показана возможность построения суммируемой функции с рядом Фурье, расходящимся в каждой точке. Эти примеры Колмогорова послужили идейной основой для получения в дальнейшем многими авторами различных примеров интегрируемых функций с наложенными на них дополнительными условиями и "нехорошим11 поведением последовательностей частичных сумм их тригонометрических рядов Фурье, а также рядов Фурье по другим ортогональным системам. Полученные во второй половине 60-х годов прошлого столетия Карлесоном и его последова телями результаты в задаче о нахождении как можно более широкого класса tp(L) такого, что ряд Фурье каждой функции из этого класса сходится почти всюду, пробудили интерес исследователей к получению на основе колмогоровских примеров отрицательных результатов в этой задаче. В.И.Прохоренко [17] и, независимо, Й.Чень [27] построили функции из классов £(ln~ In '* L)e([0,27г)),
14