1
Оглавление Введение ..........................................2
1 Обзор результатов и постановка задач ..........2
2 Основные результаты диссертации ..............13
Глава I. Компактность и квазианалитичность
§1 Теорема Альфорса об искажении и другие геометрические факты .....................................27
§2 Обобщение теоремы Левинсона-Щёберга .........31
§3 Классы Карлемана на дугах. Критерий квазианалитичности .........................................40
Глава II. Условие Левинсона и неполные системы экспонент на дугах..........................47
§ 1 Вспомогательные утверждения ................47
§2 Существование биортогональной системы. Теоремы
продолжения ......................................55
§3 Теорема единственности для рядов Дирихле ....64
Глава III. Усиленно не полные и усиленно свободные системы экспонент на системе дуг...............................................69
§1 Краткий обзор результатов ...................69
§2 Предварительные сведения ....................72
§3 Основной результат ..........................75
Литература
85
Введение
2
1. Обзор результатов и постановка задач
Диссертация посвящена изучению вопросов, связанных с квазианалитичностью классов Карлемана на дугах и двойственной задачей о компактности семейства F\j = {/} аналитических в некоторой области D функций /, удовлетворяющих вне некоторой дуги 7 из D оценке вида
|/(г)| < M(dist{z,i)), (1)
где dist(zy 7) = inf|z — <|, М = М(р) — убывающая на
te 7
(О, ос) функция, не ограниченная в окрестности нуля. Предполагается, что функция М удовлетворяет некоторому би-логарифмическому условию, которое называется условием Левинсона. Данное условие естественно возникает во многих вопросах комплексного анализа, спектральной теории и теории операторов, в теории целых и субгармонических функций, рядов экспонент, в теории интерполяции (см., н-р, в [1]).
Пусть D — область в С, H(D) — пространство функций /, аналитических в D, наделенное топологией компактной сходимости, то есть топологией, определяемой системой норм
ll/Ik = sup \f(z)\,
z€K
3
где К С С Д то есть К — компактное подмножество области Д К С И. Эта топология может быть задана и при помощи счетного семейства норм
11/11» = тах |/(г)|,
где
кп =
Следовательно пространство //(-О) метризуемо. Компактные подмножества в #(Д называются компактными семействами аналитических функций. Другими словами, семейство Лг = {/} функций / Е Н(И) называется компактным в Д если из каждого бесконечного под множества Т множества N можно выделить последовательность, равномерно сходящуюся на каждом компактном множестве К С С В. Предельная функция / по теореме Вейерштрасса будет аналитичной в Д но, вообще говоря, не принадлежащей семейству N.
Имеет место следующий критерий компактности, обычно называемый принципом компактности (теорема Монтеля) [2], [3]: семейство N = / функций / Е #(Д компактно в О тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено внутри Д то есть для любого компактного множества К, К С С Д существует число С = С (К), такое, что ||/||/с < С для всех / Е N.
В 1938 году Н. Левинсон [4] доказал теорему, которая явилась „далеко идущим обобщением принципа максимума модуля для аналитических функций44[5].
Ьей: дБ) > —,
I п
4
Теорема (Н. Левинсон). Пусть М(у) положительная, монотонно убывающая в полуинтервале (0,6] функция, М(у) | ос при у | 0, М(Ь) = е. Пусть, далее, Им — семейство функций, аналитических в прямоугольнике
удовлетворяющих в Р оценке \F(z)\ < М(\у\). Если
то для любого 6 > 0 существует постоянная С, зависящая только от 6 и М(у), такая, что для всех функций / € Рм в прямоугольнике
справедлива оценка \f(z)\ < С.
Отметим, что независимо от Левинсона (по-видимому, одновременно с ним) эту теорему в несколько иной форме доказал Шёберг (N. Sjoberg) [б]. Впоследствии, Ф. Вольф (F. Wolf) распространил теорему Левинсона-Шёберга на более широкий класс функций [7]. Имеются другие варианты и различные обобщения этой теоремы. В [5] предложено другое, более простое доказательство этой теоремы Левинсона. Приведем одну из версий данной теоремы.
Теорема (Y. Domar).[8],[9] Пусть D = {z = х 4- гу :
а < х < а9у —b<y<b},a Ь(у) — измеримая по Лебегу
р = { Z = X + iy : \х\ < а,\у\ < Ь } ,
ь
(2)
о
Рб — {z — х + гу : |ж| < а — <5, |у| < Ь}
5
функция, Ь(у) > е (—6 < у < Ь), и
ь
! 1п1пЬ(у)с1у < оо. (3)
-6
Тогда имеется убывающая функция т(5), зависящая только от Ь(у) и конечная для д > О, такая, что если ф(г) аполитична в О и
\ф(г)\ < Ь[1тг\ (4)
то
|/(г)| < т{длз1{х^дВ)\ г Е О.
Следствие. Пусть Т — {/} — семейство аналитических в О (функций, удовлетворяющих условию (А). При условии (3) семейство функций J является компактным.
Как показано П. Кусисом, условие (2) для справедливости теоремы Левинсона и необходимо [8].
Теорема Левинсона нашла многочисленные применения в различных областях анализа, в первую очередь в комплексном анализе, спектральной теории функций и теории операторов (см., н-р, в [8]-[14]).
Цель диссертации — доказать теорему типа Левинсона в случае, когда семейство Им = {/} аналитических функций / вблизи некоторой дуги 7 подчинено оценке (1). Эта задача представляет особый интерес с точки зрения её применения к известным проблемам квазианалитичности классов Карлемана и полноты систем экспонент на дугах. Как
6
известно, в случае отрезка 7 = [а, Ь\ исчерпывающие ответы на эти проблемы получены в теоремах Мюнца. [15] и Даижуа-Карлемана [16].
Пусть {Мп} — положительная последовательность, I — отрезок вещественной оси. Классом С](Мп) называется множество всех бесконечно дифференцируемых на отрезке I функций /, удовлетворяющих условию
тах|/^(х)| < СуМп (п > 0).
В общей ситуации в качестве I можно брать любой интервал, полуинтервал (конечный или бесконечный). Отметим, что при Мп = п\ класс С/(МП) совпадает с множеством аналитических на I функций.
В 1912 году в [17] Адамар поставил следующую проблему [18]:“Указать такие условия, которым должны быть подчинены Мп, чтобы всякая бесконечно дифференцируемая функция класса С/(МЛ) на интервале /, обращающаяся в нуль вместе со всеми производными в некоторой точке из /, была тождественно равна нулю“. Такой класс называется квазианалитическим.
Таким образом, класс С/(МП) называется квазианалитическим, если ДЛЯ некоторого Х0 Е I из условий
/<п>(х0) = 0(п = 1,2,3,...)
следует, что / = 0 на I.
В [19] Данжуа показал, что при Мп = (п1п п... 1прп)п (1пр п — р-ая итерация логарифма) класс 67(АД) будет квазианалитическим. Им была высказана гипотеза, что усло-вие ~щг ~ 00 Достаточно для квазианалитичности
- Київ+380960830922