ВВЕДЕНИЕ.
Диссертация состоит из двух глав.
Первая глава посвящена изучению приближения функций тригонометрическими полиномами, свойств наилучших приближений в метрике Lp, свойств коэффициентов наилучших приближений в метрике Lp. Получены условия сходимости, равномерной сходимости, равномерной ограниченности и равномерной ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения в L\ для некоторых классов функций.
Вторая глава посвящена изучению продолжений непрерывных функций, заданных на компактах метрических пространств.
Перейдем к подробному изложению результатов первой главы. Пусть f(x) - 27г- периодическая функция, имеющая ряд Фурье
оо
^ -h ^ cos кх + bk sin кх. (0.1)
к=1
Обозначим Tn(f\x\p) = -f У2 coskx -f- sinkx - тригонометриче-
k=i
ский полином наилучшего приближения функции / в Lp, 1 < р < оо. Для удобства положим Tn(f\x) — Tn(f\x\ 1) — полином наилучшего приближения функции / в L1 и Sn(f;x) = Tn(f\x\ 2) — частичная сумма ряда (0.1). Если функция f(x) непрерывна на интервале (0,27г), то полиномы наилучшего приближения Т„(/; х) единственны (см. [9, с. 452-454)).
Пусть {<2r}fcl0 — последовательность чисел. Условимся обозначать Аак = ак - a*+i, А’а* = А t-1a* - Al~}cik+i, к- 0,1,..., i = 1,2,....
Будем называть последовательность {а*г}£10 ^-монотонной, если все разности, до q-го порядка включительно, неотрицательны: А*а& > 0, к = 0,1,..., i = 1 ,.q. Для удобства выражения иногда вместо фразы 3-монотониая будем писать - трижды монотонная, и так далее, 2-монотонную последовательность принято называть выпуклой. Для n-монотониости последовательности достаточно потребовать только ее стремление к нулю и неотрицательность всех п-х разностей. Очевидно, что достаточно потребовать только неотрицательности всех п-х разностей.
Б. Падь (1938 г., см. [16]; [12], с. 92: [6], с. 50) доказал, что если коэффициенты Фурье а*., 0 < А: < оо, четной 2тг-периодической функции /(х) образуют неотрицательную трижды монотонную стремящуюся к нулю последовательность, то коэффициенты а£ полиномов Тп(/; х) вычисляются по формулам:
оо
ак — (—(ak+2l(n+i) - Я-м-(2Н-2)(тн-і))і к = 0, neN,
1=0
(см. также [12, с. 92]). Более того, верно равенство
/(&•) - Tn(/; х) = cos (п + 1)х ^у + ск cos >
где
оо
С£ = 2Ул~1) °А:+(2/+1)(гН-1)>
и последовательность - выпукла.
Также для нечетной 2 тг периодической функции #(ж) bk sin (&ж) Надем же (1938 г., см. [16]; [12], с. 103; [6], с.
50) было установлено, что если 6* образуют неотрицательную дважды монотонную стремящуюся к нулю последовательность и ряд сходится, то коэффициенты полиномов Тп(д\ х) вычисляются по формулам
оо
1>к = 52 (bk+2l(n+l) - A- f (2/+2)(тг+1)) j к = 1,...,П. (0.2)
/=0
Более того, верно равенство
оо
^(ж) -* Тп(<7;х) = sin(n + 1)хУ^XjDj(x),
j=Q
где
оо
= 2 52 Д^'+(2/+1)(п+1)‘
/=о
со
2
В главе 1 исследуются вопросы сходимости, равномерной сходимости, равномерной ограниченности и равномерной ограниченности снизу тригонометрических полиномов наилучшего приближения Т„(/;х) в L для функций, которые разлагаются в ряд Фурье по косинусам с монотонно убывающими коэффициентами. Находятся также точные значения следующих величин
. 1/2 + а\ cos х -b • • • + ап cos пх mm mm min — ------------------------------------
n>0 1>аг>->ап>0 я; 1/2 + аХ H----Ь dn
И
bi sin x -}- • • • 4- bn sin nx
mm mm mm -------------------------------.
n>o і>Ьі>->Ьп>ожє[о,7г) b\ -f- • • • -j- bn
В § 1 главы 1 доказаны следующие теоремы
Теорема 1.1. Если bn 0. А2Ьп > 0, ряд if сходится и
g(x) = Y^k=ibks'm(kx), то для равномерной ограниченности полиномов Тп(д\ х) необходимо и достаточно, чтобы числа nbn были ограничены.
Теорема 1.2. Если Ьп ^ 0, А2Ь„ > 0, ряд SfcLi if сходится, и g(x) = sin (кх), то для равномерной сходимости полиномов
Тп(д\х) необходимо и достаточно, чтобы nbn —» 0 при п —» оо.
Теорема 1.3. Если bn 0, Д26„ > 0, ряд J2kLi if сходится и 9ІХ) = SfcLi bk sin (кх), то последовательность полиномов Tn(g\x) сходится при любом х. Равномерная сходимость будет на промежутке (<$; 2л — J) при любом достаточно малом 5.
Теорема 1.4. Если ф 0, А2а/. > 0, А3а* > 0 и /(х) = +
SfeLi ak c°s {кх), то последовательность полиномов Тп(/;х) сходится при любом х не кратном 2тт. Равномерная, сходимость будет на промеоісутке (6,2л — (5) при любом 6 Є (0,7г).
Теорема 1.5 Пусть ak і 0, А2ол > 0, А3а^ > 0, к = 0,1,..., и f(x) = тр- + Y^kLi ак cos (&х) ♦ Тогда для равномерной сходимости полиномов Тп(/;х) необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд + SfcLi акг и шо э,се самое условие необходимо и достаточно для равномерной ограниченности полиномов Тп(/;х).
В § 2 главы 1 доказаны теоремы
Теорема 1.6. Пусть невозрастающая последовательность неотрицательных чисел удовлетворяет условиям
Аап > О, Д2ап > 0, Д3оп > 0 (Vn > 0),
оо
f{X) = у + COS (te)
А: —1
U
ап = 0(п~1) при п —► оо.
Тогда полиномы наилучшего приближения Tn(f;x) функции f(x) равномерно ограничены снизу.
Теорема 1.7. Пусть монотонно стремян щяся к пулю последовательность положительных чисел {сп}п=0 удовлетворяет условию
sup ПС,, = оо.
п> 1
Тогда молено построить стремящуюся к нулю последовательность
{1 оо
°n/n=0 rnaKf 47710
Дап > 0, Д2ап > 0, Д3ап > 0, а„ < сп (Vn > 0),
функция
оо
/(*) = -7Г + °k COS (**)
Л=1
положительна, f € LjJ* при всех р € (0. ос), ?to полиномы паилучгиего приближения Tn(f\x) не являются равномерно ограниченными снизу, 7710 есть
inf штТп(/;ж) = —оо.
п>0 х
В § 3 главы 1 доказаны теоремы
Теорема 1.8 Пусть {an}£L0 — последовательность неотрицательных чисел и выполнены условия
АаТ[ > 0, Д2ап > 0, Д3ап > 0, Д4ап >0, п = 0,1....
4
Пусть
со
f{x) = У + YL пк cos (кх).
Тогда полиномы Тп(/;.т) — равномерно ограничены снизу.
Теорема 1.9 Для любого а > 0, кроме, может быть, одного значения (*о = 0.985.., которое будет определено ниже, существует та-
13 § 4 главы 1 строится пример непрерывной функции, имеющей монотонно убывающие коэффициенты Фурье, такие, что ее полиномы наилучтего приближения в метрике Ь°° имеют немонотонные коэффициенты Фурье.
В § 5 главы 1 построен пример функции /(х), коэффициенты Фурье которой образуют монотонно убывающую последовательность, но коэффициенты всех полиномов наилучшего приближения /(X) в Ь Тп (/; ж) = 2,1 (/;х; 1) не обладают свойством монотонного убывания.
Пусть даны числа 1 > а\ > > ... > ап > 0,
— ядро Дирихле.
В § б главы 1 доказаны теоремы
Теорема 1.11. а). Для любого х и для любого натурального п существует такое к — 0,1, что верно равенство
последовательность 7ю последовательность
La (fli,..., &n) — 2 *“ 1
Тп(х\ &1,..., ап) 1
б).
Тп{х\ Я-1,..., Qn) 1
о
Пусть даны числа 1 = &i > b2 > ... > bn >0,
Мп(х\ b2,...ybn) = sin x -Ь 62 sin 2x + ... + 6n sin no:,
Ln{b'2i •••> ^n) = 1 + 62 + ... + &aj
Dn(x) = sin:z; + ••• + sill 77.:?;
сопряженное ядро Дирихле.
Теорема 1.12.
Mn(x;b2,—,bn) mm —-— ----------- — =
л€[0,»г],1>б2>...>Ьи>0,1г>0 Ln (62, ...,6n)
(3 - >/33) V 30 - 2\/33 v 7 ---— = /10 = -0.184.
64
Следствие. Пусть a* 4- 0, /с = 0,1,..., | 0, A; = 1,2,... u ряды ^ +
,г SfcLi сходятся. Тогда для всех х выполнено неравенство
оо - / ОО \
Y + ак cos кх - ~ з (if + а*) >
к=1 V Л=1 /
•?? для всех х € [0, л)
ОО / ОС
У", &Л Sin кх > но I Ь*
fc=l \к=1
Перейдем к подробному изложению результатов второй главы. Пусть Е - компакт в метрическом пространстве X, f - непрерывная функция, заданная на Е. Определенная при всех S > 0 функция
wE(/; <5) = sup |/(ii) - Дх2)| (0.3)
*1,*2€Е, p(xi,x2)<<5
6
называется модулем непрерывности функции f(x) на множестве Е.
Напомним, что функция <^(£) называется модулем непрерывности, если она возрастает, непрерывна, а?(0) = 0 и a>(£i 4- £2) < ^(^l) +^(^2), V(^i, 62 > 0. Обозначим через Lip(E;u>) - класс функций, заданных на Еу таких, что выполнено неравенство
|/(*i) - /(*2)1 < w(p(®i,*2)) (Va;ba;2 6 Е).
Напомним, что если Е - выпукло, то модуль непрерывности непрерывной функции / на Е всегда является модулем непрерывности в смысле приведенного выше определения.
Заметим также, что если Е - выпукло, то (см. ниже) любую непрерывную функцию / на Е можно продолжить на все метрическое пространство X с сохранением модуля непрерывности (см. ниже).
Компакт Е в банаховом пространстве X условимся называть С-выпуклым, если любую непрерывную функцию, заданную на Е, можно непрерывно продолжить на все пространство X так, чтобы выполнялось равенство юх{/, £) = <Дб(/, Для любого положительного 5.
Известно (теорема Титце-Урысона см. [8J), что любую непрерывную функцию /, заданную на замкнутом множестве Е, можно непрерывно продолжить па X с сохранением ее максимума и минимума.
Е. Макшейн (1934 г., см. [15]) доказал, что если / 6 Ыр(Е\о;), то функции
F+{x) = inf (f{y)+u(p(x,y)))
у£Е
и
К(*) = sup (f(y) - ш(р(х,у))), у€Е
задающие продолжения / с Е на X, принадлежат классу Lip(X\cS). Этот же результат доказали Chipser Л и Geher L. (1955 г.)
Мильман В.А. (1997 г., см. [10]) доказал, что если и - непрерывная неубывающая функция, такая, что - не возрастает, то любую
функцию / £ Lip(E\ со) можно так продолжить на все пространство X, что это продолжение F(x) будет принадлежать классу Ыр(Х;со) (при этом не обязательно io’(ü) = 0).
Если Е - выпуклый компакт и / - непрерывная функция на Е, то функция сое{/, £) является модулем непрерывности, а значит, удо-
7
- Київ+380960830922