Группы автоморфизмов полей и их представления

Оглавление
Глава 0. Введение I
0.1. Некоторые общие обозначения, соглашения и цели 11
0.2. Основные результаты и
1. Структура (3 и
1.1. Замкнутые, открытые и максимальные собственные подгруппы; теории Галуа и
1.2. Автоморфизмы О Ш
2. Как переводить геометрические вопросы на язык теории представлений? Ш
2.1. 8тпс IV
2.2. А<1т IV
2.3. Хс VI
2.4. Фс и когомологии гладких представлений \х
2.5. Дифференциальные формы 1х
3. От линейных представлений к полулинейным х
3.1. Нормирования и ассоциированные функторы ((Р6]) хп
3.2. Допустимые полулинейные представления хп
4. Обозначения, соглашения и терминология XV
4.1. Поля, их расширения, автоморфизмы и т.д. ' XV
4.2. Общие обозначения ху1
4.3. Топологические группы, их представления, меры и т.д. XVI
Глава 1. Структура С и теории Галуа 1
1. Некоторые сведения о замкнутых подгруппах в С 2
1.1. Теория Галуа 2
1.2. Топологическая простота <3° и то, что с ней связано 4
1.3. Пересечения поднолей и оболочки подгрупп 8
2. Максимальные открытые подгруппы 10
2.1. Ещё одна теория Галуа 14
3. Нормирования и связанные с ними подгруппы 15
3.1. Нормирования и максимальные подгруппы 18
4. Объединение компактных подгрупп 20
4.1. Теория Куммера 22
4.2. Формальные ряды 26
5. «Платная» локально компактная «подгруппа» (5вб 27
5.1. Явная формула для модуля ® 28
6. Автоморфизмы (3 при п = 1 28
Глава 2. Общие свойства гладких представлений С и их реализации 33
1. Алгебры Гекке и соответствия 36
1.1. Центры алгебр Геккс 42
1
2
Оглавление
2. Инварианты подгрупп и тензорные произведения 43
3. Морфизмы между некоторыми Gr-модулями, матричные коэффициенты и
сепарабельное замыкание 45
3.1. Два замечания о (7-модулях F/k и Fx/kx 45
3.2. Морфизмы между некоторыми (7- и (?°-модулями 46
3.3. Некомпактность носителей матричных коэффициентов 48
4. Несколько примеров (ко-)гомологических вычислений 48
4.1. Примеры вычислений групп расширений и торсорои 48
4.2. Пример вычисления коинвариантов и внутреннею функтора 'Нот 50
5. Гладкие представления G как пучки и их ацикличность
(У.Янисеи, М.Роиинскин) 51
5.1. Доминантная топология 51
5.2. «Ацикличность«« некоторых ограничений (7-модулей 52
5.3. Когомологии Чеха 52
5.4. Ацикличность «юомегрических» (7-модулей и когомологическая размерность
категории Srnc 54
5.5. А1-инпариантность некоторых предпучков 55
6. Представления, коиндуцированные с открытых подгрупп 56
6.1. Чисто трансцендентные расширения квадратичных расширений 57
Глава 3. Гомотопически инвариантные представления G 61
0.2. Возможные связи со смешанными мотивами 63
1. Категория Тс 64
1.1. Категория Тс и доиусгимые представления 64
1.2. Функтор Т 66
1.3. Объекты Tg уровня 1 71
1.4. Описание мотивной фильтрации на группах Чжоу нуль-циклов 73
1.5. Внутренний Нот 73
1.6. Стабилизаторы 76
2. «Формула Кюпнета» и тензорная структура 76
2.1. Тензорная структура на Тс 76
2.2. «Формула Кюннета» для произведений с кривыми 78
2.3. Некоторые иодкаюгории в Тс-, тензорные структуры на них и их варианты 79
3. Геометрическая конструкция допустимых подставлений 80
3.1. Представления, котрагредиентные к мотивным 82
3.2. Проектор A*(jq 84
3.3. Функторы В* и 9$ 9 86
3.4. «Поляризация» на Z?n(fc(X) <g>* F) и поляризуемые (7-модули 88
4. Нормирования, связанные с ними функторы и полулинейные представления 90
4.1. Функтор «глобализации» 90
4.2. Функтор «специализации» 96
4.3. Ограничения на объекты Тс и на факторы объектов 1с 0 F 98
5. Полнота функтора ®FX 99
5.1. Соотношения между Тс{к) и полулинейными представлениями 100
6. «Гомотопическн инвариантные» представления как невырожденные модули 101
6.1. Алгебра Гекке полупростой подкатегории категории Tq 101
7. Ограничения объектов Тд на специальные подгруппы Галуа, и 2-индукция 102
Оглавление
З
7.1. Следы и центральные функционалы 103
8. Категории 1& и А(1т<& 106
Глава 4. Полулинейные представления С? 109
1. Обозначения настоящей главы и план изучения категории Л 110
1.1. Обозначения 110
1.2. Схема изучения структуры категории А 111
1.3. Включение 6£п С б££ 112
1А. Фу н ктор 5П 112
2. Примеры полулинейных представлений 113
2.1. Полугруппы с одной образующей 113
2.2. Бесконечная симметрическая группа 113
2.3. Лилейные и полулинейные представления 114
3. Некоторые полулинейные представления групп, исчерпываемых своими
компактными подгруппами 115
3.1. Эндоморфизмы и стягивания 115
3.2. Локальная задача: &((£))-полулииейные представления N 116
4. Чисто трансцендентные расширения: редукция к локальной задаче 118
5. Две леммы о «слабых гомоморфизмах» 121
6. Категории 6£“ полулинейных представлений РСЬ„+і и когерентные пучки на 124
7. Эквивариантность неприводимых когерентных РСХ-пучков 127
8. «Положительность» допустимых полулинейных представлений 129
9. Расширения в 6£“ ив А 131
9.1. Расширения в 6£“ 134
10. Категория А в случае к — . . 136
10.1. Группы ЕхЬ в А 141
11. «Когерентные» пучки в гладкой топологии 143
12. А/А>т 145
13. Разное 146
13.1. Забывающий функтор 146
13.2. «Простота» категории С, или тривиальность универсальных факторов 147
14. Дифференциальные с}юрмы 148
14.1. (Иолу)линейные представления пары (С, в) 149
14.2. Примеры полулинейных представлений & 154
Литература 155
Приложение Л. Полулинейные представления над Кп степени один некоторых подгрупп
группы Кремоны 159
1. Случай РвЬ 159
2. Случай подірушіьі группы Кремоны, порождённой РСЬ и некоторой инволюцией 161
Глава О
Введение
Теория Галуа возникла в работах Н.Х.Абеля и Э.Галуа как теория групп перестановок корней многочленов. Р.Дедекинд ввёл ноля и кольца, и начал рассматривать группы Галуа как группы автоморфизмов расширений полей. Ему же принадлежит идея о том, что группу Галуа следует считать топологической группой. Окончательно в случае алгебраического расширения эта идея оформилась в работе В.Крулля [К1(, а для произвольных расширений - в работах И.Джекобсона, И.И.Пятсцкого-Шапиро, И.Р.Шафареиича и др. И этих работах было построено естественное взаимнооднозначное соответствие между промежуточными под-полями произвольного расширении, над которыми объемлющее поле является расширением Галуа, и компактными подгруппами группы автоморфизмов этого расширения. Аналогичное соответствие было построено и для открытых компактных подгрупп. В случае гелгебраически замкнутого объемлющего поля было установлено, что группа автоморфизмов расширения локально компактна тогда и только тогда, когда степень трансцендентности этого расширения конечна. Детально изучались группы автоморфизмов алгебраически замкнутых полей, состоящие из элементов конечного порядка, см. историю этого вопроса в начале §4 главы 1.
Все вышеупомянутые подгруппы являются группами автоморфизмов алгебраических расширений, т.е. обычными группы Галуа. С другой стороны, многие топологические группы являются группами автоморфизмов расширений полей. Так автоморфизмы полей функций алгебраических многообразии над топологическими полями содержат группы точек алгебраических групп над этими полями. Кроме того, группы точек р-адических групп при р < оо (а также над конечными аделями) возникают ещё как группы автоморфизмов полей автоморф-ных функций. Изучались также группы непрерывных автоморфизмов топологических нолей, например, рядов Лорана.
Пусть Р\к- расширение полей счётной (что будет основным случаем) или конечной степени трансцендентности и С = (У**)* - группа его автоморфизмов. Следуя (Лас, ПШ-Ш, ЯЬ, I] (и обобщая случай алгебраического расширения из [К1]), мы считаем С топологической группой, базу открытых подгрупп которой сосгавляют стабилизаторы конечных подмножеств Р. При этом С становится вполне несвязной хаусдорфовой группой.
Следуя очень общей идее о том, что «достаточно симметричная» (математическая, физическая или иная) система определяется представлением своей группы симметрий, можно попытаться сравнить различные «геометрические категории над к», в которых Р интерпретируются как «предельный объект», с различными категориями представлений С.
Чтобы теория представлений С? была достаточно богатой, поле Р должно быть «достаточно большим». По этой причине Р будет обычно алгебраически замкнутым. Таким образом, Р -«ноле функций универсальной башни ^-многообразий размерности, не превосходящей степени трансцендентности расширения /г|/с». Тогда каждое совершенное подполе Ь в Р} содержащее к, совнадаег с полем инвариантов подгруппы группы С, и С содержит, в частности,
группы Сщ := А1й(£|/:) в качестве подфакторов.
\
ii
0. Введение
Как правило (но умолчанию, если не оговорено противное), к будет считаться алгебраически замкнутым (чтобы избежать рассмотрения уже достаточно сложной теории Галуа) характеристики нуль. Исключение составляют §1 главы 1, с. 2 и §1 главы 3, с. 64.
0.1. Некоторые общие обозначения, соглашения и цели. Пусть F|A: - алгебраически замкнутое расширение счётной или конечной степени трансцендентности п, 1 < п < эо, алгебраически замкнутого поля нулевой (по умолчанию) характеристики, и G = - его
группа автоморфизмов, снабжённая топологией, определённой выше.
Мы изучаем структуру G, её линейные и полулинейные представления (с открытыми стабилизаторами), и их связи с алгебраической геометрией (бирациональной геометрией, мотивами, дифференциальными формами и пучками) и автоморфными представлениями. В частности, мы изучаем аналоги известных результатов теории представлений р-здических (и вообще, локально компактных) групп в случае группы G.
0.2. Основные результаты. Основные результаты диссертации можно условно разбить па следующие пять групп.
(1) Структура группы G.
(2) Соответствия между подгруппами С и объектами, связанными с нолем.
(3) Бирациоиальные инварианты многообразий и их связь с гладкими представлениями G; общие факты о гладких представлениях.
(4) Разнообразные типы мотивов и их связь с некоторой абелевой категорией Тс гладких представлений G.
(5) Гладкие полулинейные представления, их связи с линейными представлениями и с гомотопическими инвариантами алгебраических многообразий и с категорией Тс-
1. Структура G
Как известно ([Jac, ПШ-Ш, Sh, 1|), группа G локально компактна тогда и только тогда, когда п < оо. Скажем, что топологическая группа топологически проста, если любая её замкнутая нормальная собственная подгруппа тривиальна.
Теорема 0.1 (Теорема 1.11). (1) Подгруппа G° группы G, порождённая всеми ком-
пактными подгруппами, открыта и топологически проста, если п < оо.
(2) Если п = со, то G° плотна о G, uG топологически проста.
ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Теорема 0.1 верна для любого расширения F\k алгебраически замкнутых полей произвольной характеристики, см. теорему 1.11. Если п = 1 и char(fc) ^ 0, то сепарабельное замыкание иодполя к(х) в F порождено <7°-орбнтой х для любою х Е F \к, см. §3.1, предложение 2.16, с. 45.
2. Рассуждение [La] показывает, что G проста как дискретная группа, если степень трансцендентности F над к несчётна.
3. Если п < оо, то левое действие G на одномерном ориентированном Q-векторном пространстве правоинвариантных мер на G задаёт сюръективный гомоморфизм, модуль, х G —* QJ, тривиальный на G°. Однако, я не знаю даже, тривиальна ли дискретная группа ксгу/С0. Если она тривиальна при п — 1, то она тривильна и в общем случае, см. лемму 1.18.
1.1. Замкнутые, открытые и максимальные собственные подгруппы; теории Галуа. Классический морфизм ß : {иодноля в F над к} «-» {замкнутые подгруппы G), заданный формулой К GV|k-, инъективен, обращает включения, преобразует композит нолей в
2. Как переводить геометрические вопросы на язык теории представлений?
ііі
пересечение подгрупп. Он сохраняет единицы: к*-* С. Образ (3 стабилен относительно перехода к над-/под- группам с компактными факторами; /3 отождествляет подноля, над которыми Р алгебраично, с компактными подгруппами О (|Лас, ПШ-Ш, БЬ, I)).
В частности, если п = 1, то собственные подгруппы в образе (3 - компактные подгруппы.
моноидалыюй структурой.
Изучение гладких представлений (7 и стабилизаторов их векторов приводит к изучению открытых подгрупп С. В предложении 1.28 построен морфизм частично упорядоченных ассоциативных коммутативных унитарных моноидов (преобразующий пересечение подгрупп в алгебраическое замыкание композита нодполей)
Он однозначно определяется тем условием, что СИ и степень трансцендентности <*((/)
над к минимальна.
В предложении 1.28 показано, что
а) при гг = оо любая собственная открытая подгруппа (7 содержится в максимальной открытой собственной подгруппе С7;
б) для любого нетривиального алгебраически замкнутого расширения £ ^ Я поля к конечной степени трансцендентности в Я нормализатор в <7 подгруппы Ор\/, (который, очевидно, открыт) максимален среди собственных подгрупп (7;
в) н случае п = оо все максимальные открытые собственные подгруппы - такого вида.
Как следствие, получается полная, хотя и не очень явная, теория Галуа алгебраически
замкнутых расширений счетной степени трансцендентности (о чём спрашивал Крулль в |К2)), т.е. конструкция всех подгрупп Н группы (7, совпадающих с группами автоморфизмов Р над неподвижными лодполями
Другой вид замкнутых, но не открытых, максимальных подгрупп предоставляют стабилизаторы дискретных нормирований ранга один в случае произвольной степени трансцендентности. Они могут использоваться для построения функторов на категориях гладких к-многообразий но представлениям (7, см. §3.1, с. хй.
1.2. Автоморфизмы Группа Є - довольно жёсткая в том смысле, что группа её непрерывных автоморфизмов «того же размера», что и (7. А именно, она совпадает с группой автоморфизмов поля Я, сохраняющих к. Если п ^ 2, то это следует из результатов Ф.А.Богомолова. Если ті = 1, это показано в §6 главы 1.
Было бы очень интересно описать класс «рациональных» представлений (7, т.е. таких, класс изоморфизма которых не меняется под действием никакого автоморфизма (7. В частности, ЄСЛИ /уСГ - ПОЛЄ аВТОМОрфнЫХ фуНКЦИЙ (ВСЄХ уровней), ТО фуНКТОр Я°(Єр|£, —) должен сопоставлять предстгшлениям (7 автоморфные представления.
2. Как переводить геометрические вопросы на язык теории представлений?
В зависимости от вида геометрических вопросов, мы будем рассматривать одну из следующих четырёх категорий представлений группы (7: Ф<з С Бтс Э Тс Э Асіт, приблизительно соответствующих бирациональной геометрии над к и её более ограничительному («менее функ-ториальному») варианту, бирациональным мотивным вопросам, таким как структура групп Чжоу 0-циклоп, и «конечномерным» бирациональным мотивным вопросам, таким как описание «классических» мотивных категорий.
Отображение Я *-> Я7/, обратное к в слева, обращает порядок, но оно не согласовано с
iv
0. Введение
2.1. Smc- Как правило, «алгебро-геометрические данные» D над F состоят из конечного числа полиномиальных уравнений, в которых участвует конечное число коэффициентов а 1,..., а2\ € F, и группа С действует на множестве «аналогичных» данных. Тогда стабилизатор D В G открыт, поскольку содержит G\F|*(ai aN)-
Пример таких данных доставляют F-подмногообразия какого-нибудь fc-многообразия X. В частности, Q-векторное иросгранство Q[X(F)] 0-циклов на Ху := X х* F является G-модулсм. Это представление огромно, но с него мы только начинаем.
Заметим, что оно - гладкое, т.е. его стабилизаторы открыты, так что все представления, которые мы будем рассматривать, будут гладкими.
Обратно, любое гладкое представление G с циклическим вектором является фактором G-модули «общих» 0 циклов на Ху, т.е. 0-циклов вне объединения дивизоров на X, определённых над к, для подходящего неприводимого многообразия X размерности < п над к. Это следует из
леммы 2.4. Этот модуль - то же, что и представление ^[G/Gy^i] = Q[{L «—i F}] (Q-векторное пространство с базисом, заданным множесгвом всех вложений поля L в F над к), индуцированное тривиальным представлением Gy\L, для некоторого поднолн L поля F, конечного типа над к.
Замечания. 1. Поскольку Q[X(F)] = 0х€:;с(О|({&(а:) ^ F}], представление Q[X(F)] отражает, скорее, класс X в группе Гротендика Ko(Vavk) разбиений многообразий над к, чем само X.
2. Мне неизвестно, определяется ли бирациональный тип многообразия X представлением
Q[{A(X) F}] общих 0-циклов на Ху группы G. Существуют не бирациональные многообра-
зия X и Y, G-модули общих 0-циклов которых имеют одни и те же неприводимые подфакторы,
см. Гл. 2, §6.1. Например, если отображение X —*• Y конечно в общей точке, то обратный образ
/к /к
индуцирует вложение Q|{&(y) «-+ F}) «-* Q[{A:(X) *-» F}J. С другой стороны, если X = 2х?*, Y = Z' х Р1 и У/ - двулистное накрытие Z, то имеется вложение и в обратном направлении
Q[{fc(X) > F}] *—* (2({А(У) F}]. Объединяет X и У в этом примере то, что их примитивные
мотивы (см. ниже) совпадают (и зануляются). Но и это, видимо, не очень существенно.
3. Из W — Q[{fc(X) ^ ^)! можно извлечь размерность X (dimX = min{7 ^ 0 | WGf& ± 0, где degtr(L|/:) = 7}) и такие «бирациональные мотивиые» инварианты ос точностью до изо-гений», как А1Ь(Х), Г(Х, см. теорему 0.6 (3-5), предложение 3.27 и лемму 3.13.
4. Если W = Q[X(F)], то Q[{fc(X) ^ F}] - ненулевой фактор W по подмодулю, порождённому всеми W F,L с degtr(L]/:) < q, при максимально возможном q(= dimX).
Обозначим через Smc категорию гладких представлений группы G над нолем Q.
Из топологической простоты группы G (теоремы 0.1) следует, что в случае п = со любое конечномерное гладкое представление G тривиально.
2.2. Асіт. Рассмотрим теперь более конкретную геометрическую категорию: категорию мотивов.
(Эффективным) чистым коварнантным мотивом называется пара (X, тг), состоящая из гладкого проективного многообразия X над к с неприводимыми компонентами Х^ и проектора л- = 7г2 € 0^ В^іт х* (Ху ХьХу) в алгебре соответствий на X но модулю численной эквивалентности. Морфизмы определены формулой Нош((Х', я'), (X, 7г)) = . 7Г^ • В6'тХі(Ху XI; X-)
2. Как переводить геометрический вопросы на язык теории представлений? v
Категория чистых ковариантных мотивов имеет аддитивную и тензорную структуры:
(Я',тг')ф(Л» := {Х'ЦхУфж), (Х'У)®(Х,тт) := (X' хкХУ У кп).
Примитивным q-мотивом называется такая пара (Л', тг) как выше, где dim ЛГ = q и Нот (У х Р1, (Х,7г)) := 7г • ßq(X Xfc У х Р1) = 0 для любого гладкого проективного многообразия Y над к размерности < q. Например, из теоремы Лефшетца об (1,1)-классах следует, что категория чистых примитивных 1-мотивов эквивалентна категории абелевых многообразий над /с, морфизмы которой тензорно умножены на Q. Как показал Яннсеы в [J1], категория чистых мотивов абелева и полуироста. Из этого результата вытекает, что любой чистый мотив допускает «примитивное» разложение 0i; Му®L®', где Му - иримитивш»ій j-мотнв и L = (Р1,Р1 х {0})
- мотив Лефшетца (см. замечание на с.87).
Замечание. Заменив численную эквивалентность произвольным адекватным отношением эквивалентности, мы получим (нссвдоабслсву тензорную) категорию (гомологических) мотивов Гротендика.
Определение. Представление W топологической группы называется допустимым, если оно - гладкое, и неподвижные подпространства Wu конечномерны для всех открытых подгрупп U.
Обозначим через Adm категорию допустимых представлений группы G над Q.
Теорема 0.2 (|Plj). Adm - подкатегория Cepjxi категории Siiiq-
Другими словами, Adm абелева, замкнута относительно взятия иодфакторов (в случае тг = оо именно в этом заключается нетршшальноеть утверждения) в категории представлений G, и относительно расширений в категории гладких предегавлений G.
Теорема 0.3 ([Р1])- Существует вполне строгий (функтор В* щги п = оо:
чистые ковариантпые 1 в* Г градуированные полупросгые допустимые fc-мотивы J \ представления G над Q конечной длины
Градуировка соответствует степеням мотива L о *примитивном» разложении о wine.
Грубо говоря, функтор Б* = 0fadeii определяется как пространство 0-цнклов над F по модулю «численной эквивалентности над к». Точнее, В* = lim Нот ([£]рг,т <g; L0J, —)
L *
- градуированная прямая сумма про-представимых функторов. Здесь L пробегает все иодполя в F конечного типа над к, и [£]pr,m - (фактор мотива любой гладкой проективной модели L над к но сумме всех подмотивон вида М ® L для всех эффективных мотивов М.
Таким образом, категория Му становится полной подкатегорией категории гравированных иолупростых допустимых представлений G над Q конечной длины.
Примеры. Могив точки Spec(fc) переходит в тривиальное представление Q в степени 0. Мотив гладкой собственной кривой С над к переходит в Q ф Jc(F)/Jc{F) 0 <Щ1], где Je -якобиан С, и Q[l) обозначает тривиальное представление в степени 1.
Гипотеза 0.4. Функтор В* - эквивалентность категорий.
Разумеется, было бы интереснее описать аналогичным образом абелеву категорию ММ смешанных мотивов над к, полупросгые объекты которой - чистые. Это - ещё одно основание для изучения категории Adm допустимых представлений G.
vi
0. Введение
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.5 ([Р1]). Если п = оо, то для любого W Ç. Adm, любого абелева многообразия А над к и, гипотетически, для любого эффективного мотива М E^5L№lV) = 0 Ext>,»M(Q,M) = 0
FvH (âiÜl UA — Honiy,(/t(fc),tPc) Fvt1 (H*(A\ — Д(<О01УоЛ/_____
CjXlAdm\ A(k) » vy ) ~ Нотс(Л(Р)/Л(Л)ЛУ/1У°') m " U0mMM(W{A),M/WoM)
Extf^AW/Aik), W) = 0 Exl%M(Hl(A), M) = 0
Поскольку A{F)/A{k) - каноническое прямое «//i »-слагаемое В*(Л), мы видим, что допустимые представления конечной длины должны быть связаны с эффективными мотивами. По крайней мере, Kxt’bi между некоторыми неприводимыми объектами двойственны.
2.3. Тс- Формальные свойства категории Adm оставляют’ желать лучшего. Например, чтобы доказать теорему 0.2 и предложение 0.5, а также предъявить аргумент в пол1»зу гипотезы 0.4, исиользуегся включение Adm в бблыиую полную подкатегорию в категории гладких
представлений G.
Определение. Объект W G Smc называется «гомотопически инвариантным» (в бираци-ональном смысле), если WGf= WGplL' для любого чисто трансцендентного иодрасширения L'\L в F|/c. Обозначим через Та полную подкатегорию в Smc с «гомотоиически инвариантными» объектами.
Замечание. Можно показать, что в этом определении достаточно рассматривать только L' конечного типа над к, см. лемму 3.3.
Типичный объект категории Тс ~ Q-векторное пространство CHq{Xp)^ циклоп коразмерности <7^0 на схеме X х у. F но модулю рациональной эквивалентности для любого гладкого многообразия X над к. (Это следует из свойства спуска: CH'{Xf)^l = CH*(Xi)q.)
С другой стороны, если F - алгебраическое замыкание F(t) в некотором алгебраическом расширении поля F((t)), то, вообще говоря, CH*(Xp)q g Тс, т.к. Fap\L(x) § Р°*г1*(*) при х £ L. Например, если X - эллиптическая кривая и2 — F(v), то Ar(rc)((t)) В P(xt)1/2 £ k((t))(x) и [« ~ P(xt)1/2,^ Xt\ е CHc(XK{xt))) С СНо(Хк[х)т), но Ï СИо(Хщ)а-
Теорема 0.6 ([Р1], п = оо). (1) Категория Тс - подкатегория Серра в Smc-
(2) Adm С Тс, т.е. любое допустимое представление G «гомотопически инвариантно».
(3) Функтор включения Тс «-» Smc допускает левый и правый сопряжённые функторы I, -<«> : Smc —* le-
/к
(4) Объекты Cfc(X) := TQ[{/c(X) <—» F}] для всех бирациопалъпых классов X неприводимых многооб])азий над к задают систему проективных образующих категории Тс-
(5) Для любого гладкого собственного .многообразия X над к имеется каноническая фильтрация Сцх) Э F1 D F2 D , канонические изоморфизмы Сцх)/Х1 ~ Q и Fv/Т2 = А1Ь(АГ/.’)д, и неканоническое расщепление Сцх) — Q © Alb(A»Q ф F2.
Член F2 этой фги\ыпрации определён однозначно этими условиями и условием Homc(F2,Q) = Ношс(Х2, A(F)/А(к)) = 0 для любого абелева многообразия Л 7шд к.
(G) Для любого гладкого собственного многообразия X над к имеется каноническая сюръ-екция Сцх) —* CHq(Xf)q, инъективная, если X унирациопально над кривой (ив некоторых других случаях, когда «известна» CHq(X), например, если X - фактор чётномерной гиперповерхности Ферма степени dim X+2 или dim Х+3, для которого СНо{Х) - циклическая).
(7) D Тс существуют (ко-) пределы.
2. Как переводить геометрические вопросы на язык теории представлений?
V і і
Следующие две гипотезы связывают мотивы Чжоу и кэлеровы дифференциалы (точнее, голоморфную часть когомологий де Рама, см. предложение 0.11 ниже) через категорию Т
Гипотеза 0.7 ({PI]). Для любого гладкого собственного неприводимого многообразия X над к естественная сюръекция Сцх) —* CHq(X х* F)q - изомор<ризм при п = оо.
ЗАМЕЧАНИЯ. 1. Из теоремы 0.6 (6) можно вывести описание категории абелевых многообразий над к с группами морфизмов, тензорно домноженными на Q, как полной подкатегории категории Admc С Тс в терминах фуикториальной возрастающей фильтрации «уровня» N. на гладких G-модулях, введённой в начале §1.2 главы 3, с.6‘6.
2. Из гипотезы Блоха и Бейлинсона ([В2] и |В1], Lecture 1) о «мотнвной» фильтрации на группах Чжоу и из «стандарт ной» гипотезы Гротсчідика о полупростоте (утверждающей, что численная и гомологическая эквивалентности совпадают на гладких собственных многообразиях) вытекает, что «численная» эквивалентность совпадает с рациональной на циклах на спектре тензорного произведения двух полей над общим подиолем, т.е. что сюръективный гомоморфизм локализации СНя{Ущ х-кУ[Ь'\) —* СНж(Ь®кЬ')<$ «убивает» численно тривиальные циклы (см. [Б1| §1.4, или |Р4| Ргор.1.1.1), или эквивалентно, что CH^{L^kF)^ совпадает с 2Р(М) := (М), где М - максимальный примитивный j-нодмотив мотива (Ур,], Ду{/]) для
любой гладкой собственной модели У\ц расширения Ь\к.
В сочетании с гипотезой 0.7, из этого следовало бы при п = оо, что
(а) В* - эквивалентность категорий (гипотеза 0.4), см. также «следствие» 0.8.1 ниже;
(б) любой неприводимый объект Тс допустим; и
(в) G-модули дг£ W полупросты для любого W Є Тс (гипотеза 3.10). где N. - функториальная возрастающая фильтрация «уровня», определённая в начале §1.2 главы 3, с. 66.
Действительно, для некоторого набора подиолей L С F конечного типа и степени трансцендентности j над к имеется сюръективный морфизм ®LQ(G/Gp|/J gr^W, который пропускается через 0/,pr^G^, см. предложение 3.9, с. 66. Если С/, = СЩ[Ущ хк F)<q, то gr^Ci, = CHi(L F)q, так что £ пропускается через 0L CW{L <8>к F)q.
Наконец, ИЗ полупростоты, существуют проекторы 7Г£, и изоморфизм 0£,©^((Ущ,?Гх,)) gr^W. Это доказывает (в), а взяв неприводимое W (которое совпадает с дг‘У W при некотором j), получим также (а) и (б).
3. Для любой пары W[,W2 € Smc положим Wi <S>i := T{W\ <%> \V2). Как показывает пример W\ = W2 = Q[F \ fc], IV3 = Q, эта бинарная операция пс ассоциативна на Smc-
Из гипотезы 0.7 следует «формула Кюннега» - канонический изоморфизм СцххкУ) —* Ck(X)®lCk(Y) Для любых гладких неприводимых /г-многообразий X, У. Б §2, с.76, содержатся некоторые доводы в пользу этого «следствия», которые доказывают «формулу Кюниета» в случае, когда X - кривая.
Из «формулы Кюннста» следовало бы, что ограничение на Тс - коммутативная и ассоциативная тензорная структура на Тс (согласованная с внутренним функтором Tiom, см. замечание 1в) нас.ЗЗ и предложение 3.25), и что класс проективных объектов стабилен относительно <g>j.
Было бы интересно найти «полупростой градуированный» вариант с тем, чтобы сделать В* тензорным функтором.
Гипотеза 0.8 ([Р2]). Любой неприводимый объект Тс содержится в алгебре S7Jr|fc, если п = со и к алгебраически замкнуто.
«Следствие» 0.8.1 (IP2J, п = оо). • Любой неприводимый объект категории Тс
допустим. Другими словами, «Тс ~ Adm».
0. Введение
• Если численная эквивалентность совпадает с гомологической, то В* - эквивалентность категорий.
Доказательство. Пусть W - неприводимый объект Xq. Найдётся гладкое проективное многообразие У над к и сюрьекция С^{у) —» W. Если предположить справедливость гипотезы, то представление W вкладывается в для некоторого целого q ^ 0. Поскольку из предложения 3.27 следует, что Нот^СцурП^.) = Г(У, Пу^.), любой гомоморфизм С^{у) —♦ пропускается через Adimy(Yjr), где А* - пространегво циклов «но модулю гомологи'ческой эквивалентности (де Рама) над кь. Точнее, A*(Yf) - образ пространства CHq{Yf)q в //^^(У/.-)-Из конечномерности сингулярных когомологий гладких комплексных многообразий следует допустимость Adimy (У/.-), а значит, и допустимость его фактора W.
Чтобы установить, что 3* - эквивалентность категорий, достаточно показать, что любое неприводимое допустимое представление W группы G - компонента степени нуль в В*(М) для некоторого мотива М. Поскольку W - фактор Л£1,тУ(У}р)| это следует из того факта, что yjdimy(Yp) совпадает с компонентой степени нуль в В*(У), если численная эквивалентность совпадает с гомологической. □
Гипотеза 0.8 - одна из основных мотивировок для изучения полулинейных представлений G, см. §3 чиже. Она имеет также следующее геометрическое следствие, предположенное С. Блохом.
«Следствие» 0.8.2 ([Р2]). Если Г(Х, Qj^.) = 0 для гладкого собственного многообразия X над к, то отображоше Альбапезе индуцирует изоморфизм CHq(X)0 А1Ь(Х). В этом случае Сцх) = CHo(Xp)q. (Обратное утверждение общеизвестно, см. |Ми, Рой].)
Доказательство. Согласно предложению 0.6 (5), З^Сцх) отщепляется от циклического G-модуля Ск(Х): Сцх) — Q © AlbX(F)Q Ф 1*Де Alb - многообразие Альбанезе. Так
что если G-модуль ~ ненулевой, то он цнклпчен, и следовательно, имеет ненулевой
неприводимый фактор W 6 Те- Из гипотезы 0.8 следует, что существуют целое q > 0 и вложение W
Однако, из предложения 3.27 следует, что HomGr(Cjt(x),nj.|fc) = Г(А,ft*;*), и значит, Hom(j(G*(x),^^fc) = Homc(Q ф AlbX(F)Q,llJ.|fc), если <7^1, так что q ^ 2. Это значит, что HomG(Cjt(x),^/r|fc) = r(X,Q^|fc) - ненулевое для некоторого q ^ 2. □
Замечания. 1. Имеется некоторая локально компактная группа 0 и непрерывный инъективный гомоморфизм с плотным образом 0 —* G такие, что Xq допускает явное описание как полная подкатегория в Sm&y замкнутая относительно перехода к подфакторам (но не замкнутая относительно расширений), см. §5, с.27.
Пусть © - точный справа аддитивный функтор на Smc• Предположим, что 0 пропускается через точный справа аддитивный функтор 0 на Sm&. Поскольку группа 0 локально компактна, в категории Sm® достаточно проективных объектов, и значит, определены левые производные точных справа аддитивных функторов на Sm&. Поэтому можно рассмотреть композиции забывающего функтора Smc —♦ Sm& с функторами LqQ. Как именно они связаны с левыми производивши функтора © (если последние существуют), мне не известно. Однако в любом случае, они преобразуют короткие точные последовательности в Smc 1} длинные точные последовательности в 1с- Основной пример © ~ это функтор X, см. §8 главы 3.
2. Хс эквивалентна категории невырожденных модулей над некоторой ассоциативной алгеброй с ндемпогентамн, см. §6, с.101.
2. Как переводип. геометрические вопросы на язык теории представлений?
ix
3. Категория Zg эквивалентна категории гомотопически инвариантных пучков в доминантной топологии на к, см. ниже.
2.4. Фс и когомологии гладких представлений. Как объяснялось в §2.2, (но крайней мере некоторые) неприводимые допустимые представления соответствуют неприводимым чистым мотивам и Ext-группы между определёнными неприводимыми допустимыми представлениями двойственны к ожидаемым значениям Ext-rpynn между соответствующими чистыми мотивами. В связи с этим возникают такие проблемы, как
• найти другие группы и Ext«j и сравнить их с гипотетическими значениями
соответствующих групп
• расширить Adm (или Tq) и связать полученную ббльшую категорию Ф с категорией эффективных смешанных мотивов таким образом, чтобы в частности Ф содержала такие (недопустимые) объекты, как F*/k* (играющий роль мотива Тэйта, поскольку Extimo(/'’x/A:x,Q) = Hom(fc*,Q), см. следствие 2.23), и чтобы объект <Q> был по-прежнему проективным.
Если возможно описать абелеву категорию ММк способом, аналогичным гипотезе 0.4 (или хотя бы теореме 0.3), то для этого, видимо, нужно рассматривать категорию гладких G~ модулей конечной длины без подфакторов определённого вида (например, изоморфных F/к). Однако, расширение 0 —> Fx/к* —» Divq —+ PiCg —► 0 индуцирует ненулевой элемент в Ext5m<3(i4(F)//l(k), F*/kx ) для любого абелева ^-многообразия А, так что рассмотрение весов показывает, что в любом случае связь между ММк и SmG не может быть слишком прямой.
В качестве «верхней оценки» для Ф .можно взять следующую полную аддитивную подкатегорию Ф(? в 5тс- Пусть QI - категория гладких ^-многообразий, морфизмы которой -композиции гладких морфизмов и замкнутых вложений вида X «-+ X х У, задаваемых к-
точками У. Объекты Фg ~ пределы вида F{F) := lim ^r(Spec(.4)), где Т функтор на QI, и
л—*
А пробегает конечно порождённые гладкие /с-иодалгебры F. Примеры объектов Фо включают ®>Ûj*,fcï A(F)q для любой коммутативной А-группы А, и Q[{L F}] для любого L\k
конечного типа, но не включают Q({L ■С Я}]0 := ker[Q[{L Я}] —^ Q]-
Теорема 0.9 (|JRj). Ext^c(Q, W) = 0 для любого W G Фс и для любого W G Tq.
В доказательстве используется интерпретация гладких представлений как пучков в доминантной топологии на к, а их когомологий - как когомологий Меха.
Более подробно, пусть 'Dmк - категория гладких морфизмов гладких к-схем. Снабдим Dmk топологией, в которой покрытиями считаются доминантные морфизмы. Тогда Smc эквивалентна категории пучков векторных пространств на сайте
Чтобы взглянуть на гладкое представление группы G «более геометрически», хотелось бы, чтобы оно соответствовало «более геометрическому» пучку, например, пучку в гладкой топологии на к. Эго возможно, если свойства функторов (—)„ из §3.1 достаточно хороши. (Но разумеется, получившийся пучок может быть нулевым.)
2.5. Дифференциальные формы. Чтобы сравнить различные теории когомологий Я*, можно связать с ними некоторые представления G, такие как Я’(Я) := lim где U
пробегает спектры гладких подалгебр F, конечнопорождбнных над к, или образ Щ(F) в II*(F) предела ШпЯ*(Х), где X пробегает гладкие собственные модели иодполей F, конечного типа над к.
X
0. Введение
Ясно, что H*(F) - допустимое представление G над IP {к). Из стандартной гипотезы о полупростоте следовало бы, что это представление лолупросто. Если H*(F) иолупросто, то в замечании 2 на c.vii можно опустить ссылку на стандартную гипотезу о полупростоте.
В случае когомологий де Рама Н* — Н^/к присоединённые факторы (убывающей) филь-
■грации Ходжа на H%n/k c(F) - Н™7Р = 1ппсокег|Я>’-1(£>, П^Г') —* И"(Х, П$£)]. W (X, D) пробегает .множество пар, состоящих из гладкого собственного многообразия X с к(Х) С F и дивизора с нормальными пересечениями D на X с гладкими неприводимыми компонентами. В частности, Нр\к = рсг С /Л c(jP) “ <3-подмодуль, порождённый прост ран-ствами Г(АГ,{2од) регулярных дифференциальных форм на всех гладких проективных к-многообразиях X с нолем функций, вложенным в F.
Другой мотивировкой ДЛЯ изучения дифференциальных форм является вычисление интегралов. Интеграл мероморфной дифференциальной формы со на некотором алгебраическом комплексном многообразии X можно вычислять, переводя со на другие многообразия при помощи соответствий. В координатах это выглядит как алгебраическая замена переменных. Можно считать, что все поля функций содержатся в некотором общем поле F. При этом задача описания свойств (итерированных) интегралов от о; (от ші,... ,сддг) становится связанной с определением структуры С-подмодуля, порождённого ш (соотв., (л)1 <%> ■ ■ ■ ■£> CJjv), в алгебре кэлсровых дифференциалов (соотв., в &>*,. • • • HJ.jfe).
Предложение 0.10 (Предложение 4.68). Предположим, что мощность к не превышает континуума. Зафиксируем вложение і: к <—► С в поле комплексных чисел. Тогда
• существует С-аптилинейпый канонический изоморфизм (зависящий от с) Прр\
С — tfpfj. С;
• представление H^kc(F) (а значит, и fiJr|fciPeiJ полі/просто для любого 1 ^ п < оо.
Напомним (теорема 0.6(3)), что для любого W є Smc его максимальный иодобъект в 1с, «гомотопически инвариантная» часть W, обозначается W(°\ Следующий факт ещё раз подтверждает когомологическую природу объектов 1с, поскольку с ^dR/fc(C(^)-
Предложение 0.11 (Предложение 3.27). Если п = оо, то =
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 0.12 (Предложение 4.70). Для любого 1 < п < оо представление //jR^fc(F) по модулю суммы подмодулей изоморфных Fx/kx - прямая сумма по всем классам изогении А простых абелевых к-многообразий |А:| копий A(F)/A(k). В частности, рег полупросто.
Это наводит на мысль, что а) классы изоморфизма неприводимых подфакторов Щ(Р) -те же, что и у ^рц. р<)г, б) они естественно отождествляются с неприводимыми эффективными примитивными мотивами, и в) классы изоморфизма неприводимых подфакторов H*(F) связаны с более общими неприводимыми эффективными мотивами, такими как мотив Тэйта Q(-l) в случае H'dll/k(F).
3. От линейных представлений к полулинейным
Представление группы G имеет также естественную структуру F-векторного пространства, снабжённого полулинейным действием G.
Определение. Полулинейное представление группы G над F - это F-векторное пространство V с аддитивным действием G: G х V —* V таким, что g(fv) = gf ■ gv для любых g Є G, v €V и f є F.
3. От лшшйных представлений к полулинейным
XI
Обозначим черта С категорию гладких полулинейных представлений (? над Е.
Как известно после работ Гильберта, Тэйта, Сена, Фонтана..., мощным средством изучения представлений Галуа являются полулинейные представления. Мы попытаемся их применить в контексте представлений группы (2.
Нас интересуют линейные представления <2, особенно неприводимые, и в ещё большей степени, неприводимые «гомотопичсски инвариантные» представления, т.е. объекты
Имеются строгие забываюнщс функторы втс С £тс(&), допускающие левые сопряжённые функторы расширения коэффициентов до Е: втс С <5тс(£), где 6тс{к) - категория гладких представлспий <2 над к, так что \У е-» £ог(1Г <3>Р), или \У <-» Гог(IV 0к Р)-Функтор Р®к строг, но не полон. Например, если 17 С (2р|*. - открытая подгруппа и / € (РХ/к*)и \ {1}, ТО [сг] »—> <Т/ - [сг] определяет элемент Епс1с(^[ф?|^.Д/]), КОТОрыЙ не лежит в подпространстве Еп<1^Ш(7(д.)(А:(6?р|д;/С/]). Другой пример: к = Еп<15тс(к){Р) § Епс!с(Р^кР) 2
к 0 к, т.к. Р(2>кР = Зут?..Р© Д*£ Р. Однако функтор Тс(к) С вполне строгий (лемма 3.70), и любой объект И/Г € Тс{к) восстанавливается по V/ Р € С (лемма 0.14).
Хотя функтор Р®к И не сохраняет неириводпмоегь, ДЛЯ ЛЮбОГО ненрИВ0ДИМ010 IV € $7Пс; объект IV Е € С допускает' неприводимый полулинейный фактор V с включением XV С V.
Таким образом, любой неприводимый объект Это содержится в неприводимом объекте С, и задача описания неприводимых объектов Бтс разбивается на описание а) неприводимых объектов С и б) их линейных подмодулей.
Приведём два довода в пользу того, что С в некоторых отношениях проще, чем Бтс-
• Все представления А(Р)/А(к) группы С? для всех абелевых многообразий А над к (т.е. соответствующие всем чистым 1-мотивам) содержатся в одном неприводимом объекте
категории С. А именно, любая, достаточно общая, 1-форма г/ е Г(Л, ЗДц.) задаёт
вложение А(Р)/А(к) £1^, посылая точку к(А) Р в егг) е
• Из теоремы 90 Гильберта следует, что категория С обладает счётной системой циклических образующих: Рт := Е[(2/<2якш] = Р[{Кт /•’}], где Кт - чисто трансцендентное расширение к в Р степени т.
Вообще говоря, для произвольной группы полулинейных представлений может оказаться
«гораздо больше», чем линейных, см. пример группы Доо — Ф/2 на с.115.
Более того, множество классов изоморфизма неприводимых объектов С имеет мощность
континуума, если к счётно.
(,Доказательство. Пусть Р' - алгебраически замкнутое подполе в Е|/с конечной степени
трансцендентности. Для каждого одномерного представления <р : —> кх зафиксируем
^ /
неприводимый фактор У^ е С представлении Е[(2/(2/-р.-/] ц] V5- Заметим, что в К™
имеется подпредставление СТрт., изоморфное (р. Скажем, что р ~ ф, если У^ = Уф. Если С* С /
(р ~ фу то в имеется подпредставление йр'\ь изоморфное ф. Поскольку |Уф пг' | = \к\,
классы эквивалентности имеют мошдость ^ \к\. Заметим, что имеется не менее 2^ только тех
ИЗ р, которые пропускаю 1СЯ через модуль группы Поэтому если к счетно, то множество
классов эквивалентности р имеют мощность ^ 2М, что и требовалось.
Верхняя оценка ^ 2^1 для множества циклических объектов С следует из того, что имеется
счётно много образующих Рт категории С, каждая из которых имеет мощность |Л:|.)
С другой стороны, мне не известно никакой процедуры, которая бы могла выдать настолько много неприводимых объектов С} хотя бы гипотегически. Поэтому было бы естественно