Инварианты и представления классических супералгебр Ли и их приложения к квантовым интегрируемым системам

Оглавление
Введение ' 3
Глава 1. Классическая теория инвариантов и супералгсбры Ли 11
1. Введение 11
2. Инварианты супералгсбр Ли д!(V) 12
3. Инварианты супералгебр Ли е1(И) 16
4. Инварианты супералгебр Ли 05р(У) 19
5. Инварианты суиералгебр Ли рс(У) 27
6. Инварианты суиералгебр Ли ере (К) 31
Глава 2. Супералгебры и проективные представления симметрических
групп 35
1. Введение 35
2. Основные определения. 36
3. Алгебры Гельфанда-Цетлина 43
4. Проективные представления симметрических групп 53
5. Проективные аналоги симметризаторов Юнга 63
6. Централизаторная конструкция Янгиана для супералгебр Ли
серии (^(п) 72
7. Доказательство Теоремы 6.2 80
8. Доказательство Теоремы 6.5 90
Глава 3. Кольца Гротендика классических суиералгебр Ли 99
1. Введение 99
2. Основные классические сунералгебры Ли и обобщенные
системы корней 101
3. Кольцо 7(д) и суперхарактеры д 102
4. Геометрия множества старших весов 104
5. Доказательство основной Теоремы 111
6. Явное описание колец </(д) 114
7. Специальный случай /1(1,1) 129
8. Группоид Вейля 131
9. Инвариантные полиномиальные функции 134
10. Явное описание алгбер /(д) 142
Глава 4. Супералгебры Ли и деформированные квантовые интегрируемые системы
145
1. Ввведсние 145
2. Обобщенные системы корней и квантовая задача КМС 149
3. Конструкция квантовых интегралов для классических серий 155
4. Алгебра Лд,д и гомоморфизм Хариш-Чандры 162
5. Обобщения : эллиптическая и разностная версия 171
С. Алгебра дуальная к обертывающей алгебре 173
7. Сферические функции и инвариантные дифференциальные
операторы на симметрических суперпространствах 178
8. Проективные функции Шура как бисферические функции на
некоторых симметрических сунерпространствах 183
Глава 5. Деформированные интегрируемые системы как
ограничения бесконечномерных классических систем 200
1. Введение 200
2. Симметрические функции и полиномы Джека 201
3. Сдвинутые полиномы Джека. 204
4. Операторы Данкла—Передника и гомоморфизм Хариш-
Чандры 207
5. Обобщенный дискриминант и деформированный КМС 209
6. Сдвинутые симметрические функции и квантовые интегралы
деформированной задачи КМС 215
7. Фильтры и КМС инвариантные идеалы в Л 220
8. Комбинаторные формулы 223
9. Полиномы Макдональда и сдвинытуе полиномы Макдональда226
10. Операторы Передника--Данкла и гомо.мо]>физм Хариш-Чандры 229
11. Деформированный оператор Макдональда-Рудженарса как ограничение 230
12. Сдвинутые супернолиномы Макдональда и гомоморфизм Харищ-т 1андры 240
13. Комбинаторные формулы 242
Литература 245
2
Введение
Связь между классической теорией инвариантов и теорией представлений групп Ли впервые была открыта в первой половине 20-го века в фундаментальных работах И. Шура, Р. Брауэра и Г. Вейля и оказала огромное влияние на развитие как теории инвариантов, так и теории представлений. Итог первого этапа развития этой теории был подведен в основополагающей книге Г. Вейля "Классические группы их инварианты и представления" [61). В этой книге были описаны инварианты, зависящие от произвольного числа векторов и ковекторов, а также централ иза-ториыс алгебры классических серий простых групп Ли и, вычислены характеры неприводимых представлений. Дальнейшее развитие теория инвариантов и терпя централизаторных алгебр получили в работах Дж. Бирмана, Ч. Венцля, А. Рэма, Дж. Мураками, П. Ханлона Д. Валеса, Т. Аракавы, И. Макдональда, М. Назарова, К. Прочези, К. Кончини. Ж. Дьсдоне и Р. Хау др. Особенно следует отметить работы Р. Хау [03]. Его обобщение двойственности Шура-Вейля получило название метода дуальных пар. Открытием в 80-х годах прошлого века квантовых групп ознаменовало новый этап в развитии этой теории, существенно расширив синеок централизаторных алгебр и дуальных нар. Примерно в это же время возникает и теория сунемногообразий, что приводит к естественным попыткам обобщения двойственности Шура-Вейля и метода дуальных пар на "суперслучай". В работах автора теория двойственности была обобщена на случай как общей линейной супералгебры Ли, так и на случай ее нечетного аналога, что позволило сделать существенный прогресс в теории проективных представлений симметрических групп. Важный шаг в развитии этой теории был сделан в работе А. Вершика и автора [159|, на основе обобщения понятия алгебры и базиса Гельфанда- Цетлина. Возникающие при этом естественные нечетные аналоги элементов Юнга-Юциса-Мерфи были использованы для более простого вывода ортогональной формы Юнга для проективных представлений симметрических групп и постоения [143] проективных аналогов сим-метризаторов Юнга. В работе [100| проективный вариант двойственности Шура-Вейля был использован для доказательства гипотезы Г. Ольшанского о возможности централизаторной конструкции Янгиапа супералгебр Ли серии ц.
Заметим, что в случае простых классических алгебр Ли двойственность Шура-Вейля равносильна описанию инвариантов зависящих от
з
конечного числа векторов и ковекторов, т.е. так называемой классической теории инвариантов. Аналог такой теории для супералгебр Ли был развит в работах автора [140], [141], [144], [145]. Оказалось, что описание алгебр инвариантов в этом случае выглядит достаточно просто, что являются довольно неожиданными, так как в отличии от полупростых алгебр Ли, конечномерные представления простых супералгебр Ли не являются вполне приводимыми. Как и в случае полупростых групп Ли классическая теория инвариантов может быть рассмотрена как начало общей теории инвариантов для супералгебр Ли. В качестве известных примеров применения классической теории инвариантов для супералгебр Ли отметим описание сферических функций связанных с модулями Вейля и описание централизаторных алгебр. Цснтрализаторпые алгебры и дуальные пары Хау классических супералгсбр Ли изучались в работах А. Рэма, Д. Муна, М. Ямагучи [169, 170], С. Ченг и В. Ванг |29, 30] и др. Доказательство того, что эти алгебры являются действительно централизаторными легко следует из супераналога классической теории инвариантов.
Следующей центральной темой диссертации является исследование связей между теорией представлений супералтобр Ли и теорий квантовых интегрируемых систем. Впервые наличие таких связей было открыто в работах |146] и (147]. Эти работы послужили началом снтематического исследования квантовых интсгрирысмых систем с точки зрения суперал-герб Ли и наоборот, использованию методов квантовых интегрируемых систем в теории представлений сунералгебр Ли. В частности в диссертации строится теория супераналогов полиномов Макдональда и исследуются ее связи с теорией представлений классических сунералгебр Ли. Впервые предельные случаи таких аналогов (супсрфупкции Шура) появились в работах А. Воришка и С. Ксрова (164] по асимготической теории представлений симметрической грзшпы и в более общем виде (супсрполиномы Джека) в работе С. Керова, А. Окунькооа и Г. Ольшанского [65]. Связь этих полиномов с теорией представлений была найдена в работах [146] и [147], где было показано, что при определенных значениях параметра суперполиномы Джека являются сферическими функциями на некоторых симметрических суперпространствах, а так же, что суиериолнномы Джека являются собственными функциями некоторого дифференциального оператора второго порядка. Оказалось также, что некоторые частные случаи этого оператора были рассмотрены ранее в работах А. Вссслова, М. Фейгина и О.Чалых [166] ,[165],[23] под названием деформированных квантовых систем Калоджеро-Мозсра-Са-зерленда. Аналогично, в работе [148] классические проективные функции Шура были интерпретировалы как сферические и бисферические функции на определенных симметрических суперпространствах.
1
Следующим сстестваиным шагом было построение общей теории деформированных квантовых интегрируемых систем связанных с системами корней простых супералгсбр Ли. Соответствующее обобщение понятия системы корней было введено В. Ссргаиовой под названием обобщенной системы корней. В работе [149J было показано, что по каждой обобщенной системе корней можно естественным образом построить квантовую интегрируемую систему. Высшие интегралы в этой работе были построены с помощью явной индуктивной процедуры. Другой способ построения интезралов был предложен в работах |138j, (136]. В этих работах было показано, что деформированная квантовая интегрируемая система Калоджеро-Мозера типа А (включая и разностный аналог) может быть получена как ограничение соответствующей бесконечномерной системы. Естественной областью действия интегралов этих квантовых систем, является некоторое кольцо, которое является естественной деформацией кольца конечномерных представления соответствующей супералгебры Ли. Это послс?днее кольцо было описано в работе (137) (в качестве следствия получено описание кольца инвариантных полиномов [142]). При общем значении параметров структура деформированного кольца Грогендика как модуля над алгеброй интегралов допускает явное описание. Тем самым возникает естеетвеннй базис в этом кольце, различные специализации которого могут быть связаны с важными классами конечномерных представлений супералгсбр Ли. Опишем теперь содержание дисертации по главам.
Первая глава посвящена построению "суиераззалога1'классической теории зшвариантов. Предметом классической теорзш инварззантов является описание инвариантных (относительно заданной группы) полиномиальных функций зависящих от заданного чззела ззекторов и ковекторов из некоторого фиксированного представления. Для супералгсбр Ли ес-тественной является следующая постановка задачи.
Пусть V будет конечномерным суззерзіроетранством над Сид произвольная .матричная супералгебра Ли, т.е., подсупсралгебра Ли в gf(V). Под классической теорией инвариантов для g мы подразумеваем оззиса-иие g-инвариаитпых элементов алгебры
ai™ = s{vf ф ri(K)4 в vk е ЩИ)*1),
где для g модуля L, Lp обозначаег прямую сумму р копий L. На алгебре 2lJ’J естественным образом действует сунералгебра Ли g((£/)0gl(W) и ее обортывазощаи алгебра 93 = ^/(gf(t/)0gl(n/)), где dim IJ = (р, ry), dim W =
(k, I). Элементы из 93 коммутируют с естественным действием gt(V’). Оззи будут называться операторами поляризации. Следовательно алгебра инвариантов (21 £’7)° является модулем над алгеброй 93. Так как алгебра 21 £'7 является полупростым 93 модулем, то и алгебра инвариантов также является полупростым 93 модулем. В каждом случае мз>з явно описываем разложение алгебры инвариантов на зіростьіе 93 модули, и оказывается, что это разложение всегда имеет простой спектр. Мы также описываем
минимальное множество образующих. Для классических серий простых алгебр Ли минимальное множество образующих М обладает тем свойством, что его линейная оболочка является модулем над 23. В случае супералгебр Ли, не всегда удается описать в простом виде минимальное множество образующих. Поэтому, в случае супералгебр Ли мы даем описание минимальных ЯЗ подмодулей порождающих алгебру инвариантов. Оказывается, что в качестве минимального множества образующих можно взять любой базис этого модуля. Таким образом в каждом случае вместо описания множества образующих мы описываем некоторый модуль на алгеброй операторов поляризации, который порождает алгебру инвариантов. Явное описание образующих основанное на снмметризато-рах Юнга приведено в работах (141j,[145|. Но это описание выглядит все еще недостаточно простым. Интересной представляется задача описания инвариантов в полном кольце частных алгебры
Главный результат второй главы состоит в перенесении индуктивного метода построения теории представлений, - метода алгебр Гельфанда-Цетлнна, - развитого в работах А. Вершнка и А. Окупькова на случай ^2~градуированных алгебр, и*в частности, позволяет использовать этот метод для построения иолунормальной и ортогональной формы Юнга для проективных представлений симметрических групп. Проективные представлення симметрических групп изучались многими авторами; мы используем этот пример для иллюстрации нового подхода к задаче о представлениях Ег-градуированных цепочек алгебр. Прежде всего, определяются условия простоты ветвления представлений цепи полупростьгх Зйг-градуированных алгебр. Наиболее существенную роль играет обобщение понятия алгебры Гельфанда-Цетлина, для цепы 21 = /1(1) С Л(2) С • • • С А(п) полупростых Хг-градуированных алгебр. Прежде всего, следует обобщить понятие центра и определить, так называемый, суперцентр ^-градуированной алгебры.
Понятие алгебры Гельфанда-Цетлина цепи расслаивается для Z2-градуироваипых алгебр на несколько понятий, поскольку и отличие от неградупрованного случая алгебра SGZÇ2)), порожденная суперцентрализаторами последовательных подалгебр цепи, называемая далее супер-алгеброй Гыьфанда-Цетлина не совпадает с алгеброй SZ(2)), порожденной суперцентрами алгебр А{к). Алгебры SGZ(2)), вообще говоря, не коммутативны даже в случае простого ветвления, но их структура оказывается стандартной: это есть тензорное произведение коммутативной алгебры и алгебры Клиффорда. Между алгебрами SGZ(%)) и SZ(%)) находится место для обычной алгебры Гельфанда-Цетлина - GZ(2)) -четной части цени 2). Анализ представлений и характеров этих алгебр составляет суть метода. В пятой секции строятся аналоги енмметризато-ров Юнга для проективных представлений симметрических групп. Заметим, что аналоги симметризаторов Юнга для алгебры Н* были построены в работе М. Назарова, следуя идеям И. Чередника в случае обычных симметризаторов Юнга. Здесь предлагается другая конструкция таких
G
аналогов основанная на предыдущих результатах. Оставшаяся часть второй главы посвящена централизаторной конструкции Янгиана, для супералгебр Ли серии q. Это возможно наиболее интересный супераналог общей линейной супералгебры. Мы описываем обратный предел последовательности централизаторных алгебр в терминах Янгиана .
В третьей главе дается описание колец конечномерных представлений. Мы предполагаем, что знание структуры кольца представлений поможет пролить дополнительный свет на проблему вычисления характеров конечномерных представлений, которая до сих нор остается не полностью решенной. Определим кольцо экспоненциальных суперинва-рииптов ./(о), заменяющее кольцо инвариантов группы Вейля в случае классических алгебр Ли:
•7(9) — {/ € Z[Po]ll/° : Dnf G (ee—1) для любого изотропного корня л}
где (са — 1) обозначает главный идеал в Z[Pq]w° порожденный е“-1и производная Da определяется свойством Da(c— (с*, ß)cß. Это кольцо является вариантом кольца инвариантных полиномов для супералгебр Ли расмотрснном в работах Ф. Березина, автора и В. Каца. Для специального случая супералгебры /1(1,1) необходимо слегка изменить определение, так как в этом случае изотропные корни имеют кратность 2.
Основным результатом является следующая теорема
ТЕОРЕМА 0.1. Кольцо Гротендика K(q) конечномерных представлений основной классической супералгебры Ли $ изоморфно кольцу J(ß). Изоморфизм задается отображением суперха/хсктсра Sch : K(q) —> </(0).
Как следствие мы получаем описание кольца инвариантных полиномов [142) для классических простых конечномерных сунералгебр Ли и, следовательно описание центров обертывающих алгебр для основных классических супералгебр Ли. Заметим,что В. Кацем был предложен совсршенпо другой мегод описание центров обертывающих алгебр основных классических супералгебр Ли (полное доказательство справедливости этого метода для сулералгебр Ли было недавно дано М. Горелик |57|). Следует также отметить, что кольца Гротендика основных классических супералгебр Ли допускают естественную деформацию с точки зрения квантовых интегрируемых систем. Инересным представляется вопрос о применеппмости такой деформации к методу В. Каца.
В четвертой главе строится общая теория деформированных квантовых операторов Калоджеро-Мозера-Сазсрлснда (КМС), обобщающая классические результаты Олыпанецкого и Персломова. Оказывается что существуют несимметричные обобщения классической квантовой КМС задачи. Первая серия таких ,1дефор\шрованных"обобщений Лп(т) была найдена А. Веселовым, М. Фейгином и О. Чалых. Позже теми же авторами была найдена другая серия Сп(т, I). Хотя эти деформации появились
7
также в контексте WDW уравнения, их алгебраическая природа оставалась неясной. Принципиальный шаг в выяснении природы этих деформаций был сделан автором в работах [146, 147|. В этих работах было доказано, что деформированный квантовый оператор КМС типа Дп(т) для специальных значений параметра может быть интерпретирован как радиальная часть оператора Лапласа-Бельтрами на определенном симметрическом супернространстве. В четвертой главе систематически развивается теория деформированных квантовых операторов КМС связанных с системами корней простых конечномерных супералгебр Ли обладающих матрицей Картана. Описание основано на понятии обобщенной системы корней, которое было введено В. Сергаповой. Согласно классификации В. Сергаповой имеется две бесконечные серии таких операторов связанных с обобщенными системами корней И типа Л(п, тп) и ВС(п, т), и три исключительных случая, соответствующих исключительным системам корней (7(1,2), Л 13(1,3) и 17(2,1, Л). Система типа Л(тг,т) может быть рассмотрена как взаимодействие двух типов частиц с массами 1 и | соответственно и параметром взаимодействия зависящим от к. Когда т = 1 (т.с. когда вторая группа частиц состоит только из одной частицы) такая система была впервые рассмотрена А. Веселовым, М. Фейгиным и О. Чалых. В случае общих пит соответствующий оператор был впервые введен в [14G] но рациональный предел этого оператора был рассмотрен ранее Ю. Берестом и А. Якимовым, когда они искали преобразования типа Дарбу для систем Калоджеро-Мозера. Система ВС(п, т) может быть интерпретирована подобным же путем с предположением симметрии системы относительно начала координат. Хотя она зависит от 5 параметров только три из них независимы. Система ВС(п, т) с т = 1 и р — 0 была впервые рассмотрена в А. Веселовым М. Фейгиным и О. Чалых. Случай rn = 1 является специальным, так как только в этом случае все параметры могут быть целыми. Оператор ВС(п}тп) для общих т, п так же как и деформированные системы относящиеся к исключительным системам (7(1,2), АВ{\, 3) и D(2,1, Л) прежде не рассматривались. Далее в этой главе дается интерпретация общей теории в случае симметрических суперпространств. В настоящею время не существует развитой теории такого типа несмотря на то, что классификация симметрических суиерпространств была получена В. Сергаповой около 20 лет назад. Работы |14Gl п [147) можно рассматривать как первый этап в построении такой теории. В этих рабо тах были рассмотрены некоторые суперпространства связанные с супералгеброй Ли gl. Методы этих работ являются естес твенным развитием методов работ П. Этингофа и А. Кириллова (мл.), в которых дана интерпретация полиномов Джока и Макдональда с точки зрения теории представлений алгебр Ли. В работах [146], [147] были вычислены также сферические функции связанные с модулями Вейля и показано, что они являются собственными функциями для алгебры радиальных частей операторов Лапласа. Оказалось, что оператор второго порядка совпадает с деформированным оператором
8
Калоджеро-Мозера при значениях параметра к = 1,1/2. Кроме того доказывается, что супераналоги полиномов Джека введенные С. Керо-вым, А. Окуньковым и Г. Ольшанским являются собственными функциями этого оператора. Показано также, что при значениях параметра к = 1,1/2 эти полиномы можно интерпретировать как сферические функции связанные с модулями Вейля.
В оставшейся части главы рассматриваются симметрические супер-пространства связанные с супералгеброй ц. В работе [148| рассмотрены два таких суиернространства и построены две алгебры радиальных частей операторов Лапласа. Доказывается, что эти алгебры изоморфны и минимальный порядок дифференциального оператора входящего в эти алгебры равен трем. Полиномиальные общие собственные фукции этих операторов совпадают с проективными функциями Шура. Эти функции также интерпретируются как бисферичсские и сферические функции для неприводимых представлений появляющихся в разложении тензорной алпКЗры тождественного представления. Как следствие мы получаем есстественную интерпретацию результатов полученных ранее Р. Стем-бриджем в контексте алгебр Гекке.
Главный результат пятой главы состоит в том, что мы интерпретируем деформированные квантовые системы Калоджеро-Мозера типа А как ограничения нсдеформированиых бесконечномерных систем того же типа. В частности, это позволяет получить более концептуальное доказательство интегрируемости квантовых деформируемых систем Калоджеро-Мозера тина Л(п, т). Первая половина главы основана на разульта-тах работы [138]. В этой работе было показано, что оператор типа А(п> т) может быть описан как ограничение обычною оператора Калоджеро-Мозера от бесконечного числа переменных па определенное подмногообразие.
Для доказательства используется теория полиномов Джека и теория сдвинутых полиномов Джека развитая в недавних работах А. Окунько-ва, Г. Ольшанского, Ф. Кнопка и С. Сахи. Доказывается также, что квантовые интегралы построенные в работе [149) могут быть получены как ограничение определенных интегралов обычной задачи Калоджеро-Мозера от бесконечного »гасла переменных. Рассматривается также более общая задача об описании идеалов в алгебре симметрических функций инвариантных относительно всех квантовых интегралов. Оказывается, что прямоугольные диаграммы выделяются тем свойством, что соответствующая фактор алгебра не имеет делителей нуля. Приводятся также комбинаторные формулы для суперполиномов Джека и их сдвинутых аналогов. В общем случае доказывается, что инвариантные идеалы находятся в биекции с фильтрами в множестве диаграмм Юнга. Понятие фильтра было введено А. Регсвом в связи с исследованием идеалов в тензорной алгебре. Следующий! параграф основан на результатах работы [136], которая является естественным обобщение результатов работы
9
[138]. Показывается, что деформированный оператор Макдональда-Ру-дженариса может быть описан как ограничение обычного оператора Макдональда-Рудженариса от бесконечного числа переменных на определенное подмногообразие.
ю
Глава 1
Классическая теория инвариантов и супералгебры Ли
1. Введение
Пусть V будет конечномерным суперпространством над Сид произвольная матричная супералгебра Ли, т.е., подсупералгебра Ли в gl(V’). Под классической теорией инвариантов для g мы подразумеваем описание g-инвариантных элементов алгебры
2tJ'J = S{VP 0 U{V)q © V*k © H{Vyl),
где для g модуля L, Lp обозначает прямую сумму р копий L. Если от языка супералгебр Ли прейти к языку супергрупп, то предыдущее описание эквивалентно описанию инвариантных морфизмов на сунерсхе-ме точками которой являются наборы из к четных и / нечетных векторов, а также р четных и q нечетных ковскторов. Легко проверить, что
Я.™ = щи, V, W) = S(U ® V ф V* ® W)
где U и W суперпросггранства такие, что dim£/ = (/>, «7), dim W — {к, I). Из этого изоморфизма видно, что на алгебре Щ'] естественным образом действует супералгебра Ли gl(f/) © gl(W) и, следовательно ее обертыва-ющая алгебра 23 = f/(gl(£/) © gl(W)). Элементы алгебры 23 будут называться операторами поляризации.. Важным обстоятельством является то, что операторы пояризацпи коммутируют с естественным действием gl(K) и алгебра 21™ является полупростым 23 модулем.
Следовательно алгебра инвариантов (2lJJ)0 также является полупростым модулем над алгеброй 23. В каждом случае мі л явно описываем разложение алгебры инвариантов на простые 23 модули, и оказывается, что это разложение всегда имеет простой спектр.
Для классических серий простых алгебр Ли минимальное множество образующих алгебры инвариантов М обладает тем свойством, что его линейная оболочка является модулем над 23 (174]. В случае супералгебр Ли это утверждение также верно, но не всегда удается описать в простом виде минимальное множество образующих. Поэтом}', в случае супералгебр Ли мы даем описание минимальных 23 подмодулей порождающих алгебру инвариантов. Оказывается, что в качестве минимального множества образующих всегда можно взять любой базис такого модуля.
11
Таким образом в каждом случае вместо описания множества образующих мы описываем некоторый модуль на алгеброй операторов поляризации, который порождает всю алгебру инвариантов. Поскольку в общем случае описание базисов в модулях со старшим весом сложно, то в тех случаях, когда модуль не допускает простого описания, мы не дам явного описания всех образующих, а ограничиваемся описанием старших векторов в этих модулях. Доказательство того, что алгебра инвариантов порождается заданным модулем М состоит в следующем. Сначала мы описываем множество Л и множество П С Л в разложении алгебры инвариантов и модуля М
а = 0з\ м = 0аА
АЄЛ АЄП
на неприводимые модули над аліеброй операторов поляризации. Тем самым возникает естественный гомоморфизм
ір: 5(М) —- 3.
Затем, в алгебре 5(М) для каждою Л є А мы описываем явно некоторый вектор у\, образ которого порождает подмодуль 3А, и тем самым алгебра инвариантов порождается модулем образом модуля М.
2. Инварианты супералгебр Ли ді(V)
Чтобы сформулировать основные результаты работы в удобном виде, нам цужно напомнить некоторые понятия из теории разбиений [84] и супераналогов модулей Вейля (139]. Пусть г, а- будут неотрицательными целыми числами. Обозначим через Л(г, а) множество разбиений, которые удовлетворяют условию Ar.fl < А.
Теорема 2.1. Пуст Ь Судет суперпространством размерности (г, я), тогда теїиорния алгебра Т(Ь) является вполне приводимым модулем над супералгеброй Ли 0І(£)
т(£) = 0 ь9к = 0 « £Л &=0 А
где 5А - неприводимый модуль над симметрической группой порядка |А], а Вх- неприводимый модуль над супсралгеброй Ли д!(£), называемый супермодулем Вейля соответствующим разбиению А. Модуль Ьх -ф. О если, и только если А Є Я (г, я).
Замечание 2.2. Для удобства формулировок мы будем пользоваться обозначением Ьх и тогда когда А £ Я (г, а) считая, что в этом случае, Ьх = 0. Например ЬО =0, если г = а = 0. Кроме того, если имеется сумма вида фдедЬ\ то о случае пустого множества Л мы считаем такую сумму равной пулю. Таким образом о формулировках теорем
12
ниже встречаются нулевые слагаемые. Мы не уточняем условия обращения в ноль соответствующего модуля, так как ото существенно удлиняет формулировки теорем.
Применим общую схему описанную выше к супералгебре Ли д1 {У). Седующая лемма дает описание множества А в этом случае.
ЛЕММА 2.3. Пусть У*' - модуль Вейля сооветствующий диаграмме А и У*(1 модуль Вейля соответствующий диаграмме р. Тогда
О
л,(у*вН,т = |1’ е“иА = м
V. / 10. если А ф р
II) Алгебра инвариантов как модуль над алгеброй операторов поляризации имеет разложение
21(«7,К,ИО0 = ®Г/Л®И^А
А
где сумма берется по всем А таким, что АП4-1 < т.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство первого утверждения следует из изоморфизма д1(У) модулей
Vх ® V'“ = Нотв1т(У“, Кл)
Далее согласно [142] имеем
щи, V, И') = Б(УР © П(уу © Ущк © П(К)*1) = 5(1/ ®У)%> 5(К* <Х> IV) = ф их ® Vх ® V*" <8> \УР
\,ц
Следовател ьно
щи, У, IV)9 = ф их ® и^А
А €//(п,т)
Лемма доказана. □
В этом случае мы полагаем А/ = 1/М ® И7'1), так что множество II состоит в этом случае из одного элемента. Заметим, что из леммы
2.3 следует, что существует единственный с точностью до константы гомоморфизм д1((/) © 01(ИО модулей
(1) 4>п ,т : М—>
Следующая лемма описывает явно соответствующие старшие векторы в алгебре 5(М). Для этого введем йг-градуировашюе множества, являющеюся объединением “четных” и “нечетных ” элементов (нечетные элементы имеют сверху черту):
Т = Го11Г1 = {1,... Л 5 = 50Ц51 =
13
В пространствах II, IV выберем базисы так, что четность базисного вектора совпадает с четностью его индекса:
Обозначим:
2*5 — Щ 0 Ш.ч.
Обозначим также через Ь+((7) борслсвскую подалгебру состоящую из всрхнстрсугольиых матриц в выбранном базисе (сначала четные векторы, потом нечетные), а через Ь~(И) борелевскую подалгебру состоящую из нижнетреугольиых матриц в выбранном базисе.
Лемма 2.4. Пусть и, IV супсрпространства различностей (р, у), (к, I) соответственно, где р, к > п, I > у > гп и А € Н(п) т). Тогда :
I) Алгебра Ь'{М) содержит ненулевой подмодуль изоморфный IIх 0 IVх м <рп,т{их 0 IVх) ф 0.
II) Белиц < I, тогда старший вектор модуля их0\Ух относительно подалгебры Бореля Ь~(И) ф Ь~(1У) имеет вид
II г.гПлГ-ГК^'
(*,1)<=Р *=1
где г = тш{р, А:},
2ц 212 ... гц *\\ 2x2 ... гц
221 222 ... гц -^21 *22 ... гц
; | ; , Шу = ; 1
2»2 ... гц 2Я *32 ... гуу
р является частью диагушммы А содержащейся в прямоугольнике (/р), и является частью диаграммы А такой, что щ =< А, — I > для I = 1,..., г и ру =< А' — р >, для j = 1,..., д, где < х >= £ тах(0, х).
ш) Если у > I, тогда старший вектор модуля IIЛ®И/А относительно подалгебры Бореля Ь“(Г/) (!) Ъ+{\У) имеет вид
,;л = П ^ПдГ^’ГК^1
Ы)ер *'=1
где г = тт{р, к}, р является частью диагра^имы А содержащейся в прямоугольнике (ук), V является частью диаграммы А такой, что их =< А* — у > для i= 1,... ,г и /1у =< А'- — к >, для = 1,...,I.
Доказательство. Для доказательства первого утверждения достаточно показать, что рп,т(уа) Ф 0» для вектора VА указанного пунктах И) или гп). Для доказательства этого утверждения расмотрим гомоморфизм
ф : 21 (и, V, IV) —» 5(^о Ъ V ф 0 IV)
такой, что -ф(и1 0 V) = ф{У{ 0 IV) = 0. Тогда легко проверить, что
ф о <^(г»л) ф 0- □
14
Следующая теорема является основным результатом этой секции. TROPEMA 2.5. Пусть g = д1(К). Тогда:
Алгебра инвариантов порождена подмодулем М = UW ® WfA\ и любой базис модуля М является минимальным множеством об])азую-щих.
Доказательство. Пусть U, W суперпространства размерностей (/;, q), (к, I) соответственно. Во первых сведем доказательство к случаю, когда р, к > п, I > q > тп. Для этого воспользуемся следующим предложением.
Предложение 2.G. Пусть Фи : U —► U\ и ф]у : W -> \\\ сюръек-тивные гомоморфизмы и
ф : Щи, V, W) —> Щих, V, Wi)
соответствующий гомоморфизм алгебр. Тогда для любой супералгсбры g С 0l(V) справедливо равенство
Ф(щи, V; и')°) = а(с^1, v, wi)e
Доказательство лекго следует из того факта, что g модуль U\ 0 V ф V*($W\ является прямым слагаемым g модуля UQVa®W. Поэтому в случае когда р, k > п, I > q > т естественный гомоморфизм
<р : S(M) —* Щи, V, Wy
является сюрьектнвным по леммам 2.3, и 2.4. Минимальность следует из того, что элементы любого базиса модуля М имеют степень 1 в естестет-венной градуировке алгебры 2l(t/, V, W). Это доказывает Теорему 2.5.
□
Приведем теперь явное описание инварианов. Для этого введем градуированное множество, являющееся объединением “четных” и “нечетных " элементов (нечетные элементы имеют сверху черту):
I = /о II I\ =
В пространствах U, W, V, выберем базисы так, что четность базисного вектора совпадает с четностью его индекса:
{w»}seS, W<€/.
В V*, выберем базис {e^}j€/ левый дуальный к {с*}*е/- Обозначим:
xti = ut ® а; x*is = ct <8 ws.
Пусть vs будет вектор столбец с координатами ..., и v*t будет вектор строка с координатами хц,... ,xtm. Определим следующие элементы
(и*,нд) = У" хцх*я для любого .ч € S, t € Т.
Следствие 2.7. Элементы (и?,ия) = Е»б/s е s> t € Т составляют базис модуля М и порождают алгебру Щи, V, Ж)0.
15
Следующая теорема описывает соотношения между инвариантами и является следствием описания старших векторов.
Теорема 2.8. Ядро гомморфизма
¥?:5(М)—♦ Щи,У,\У)9
как идеа.1 порождено подмодулем £/р <3> \УР, где р - прямоугольник ]химера (п + 1) х (т 4-1).
Доказательство. Сначала докажем следующее вспомогательное утверждение. Пусть Л - любая диаграмма и А Э Л. Тогда идеал порожденный модулем IIх <8 IVх содержит модуль их 8 IVх. Предположим, что д < /. Нетрудно проверить, что достаточно показать, что вектор г/д принадлежит идеалу порожденному модулем IIх ® И/А. Далее, чтобы доказать это последнее утверждение достаточно показать, что вектор
<(*') *(м)
П ГТ ■ • •»^) П (^1 • • • )
(а,1) ер >=1
принадлежит этому же идеалу, где
2112 • • • гщ
ги, 221% • • • &21і
2Иі 2іі2 • • ■ гцг
2\к\ 2і*:2 • •• *\кі
II / ч %2к\ 22к2 • • ■ *2кі
2ікі 2ікч ■ ■ • 2ікі
Но как легко проверить, этот вектор аннулируется алгеброй Ь+(С/), и следовательно принадлежит модулю их 8 IVх. Аналогично р&чбира<гтся случай <7 > /. Легко видеть, что ядро совпадает с
0УА®1УЛ
А Эр
и следовательно по предыдущему порождено Цр 8 \УР. □
3. Инварианты супералгебр Ли
В этом случае кроме градуировки по степени полинома алгебра инвариантов имеет еще одну Ъ градуировку
аду,ио0 = ®а(с/щио?
гєг
где
Щи, V; И')® = {/ Є Щи, V, | х/ = гз1г(х)/, х Є б((V)},
ю
в частности 21 (Г/, V, ТУ)® совпадает с алгеброй 01(У) инвариантов и каждое 21(£7, К W)*, для г € Z является модулем над этой алгеброй.
Следующая лемма описывает 5((У) инварианты в модулях УЛ0(У‘)м.
Лемма 3.1. Пусть Vх модуль Вейля сооветствующий диаграмме А и У*м модуль Вейля соответствующий диаграмме р. Тогда
dim (VA в К*'Л5К1,) = / ССЛи А = ШШ tA’= ^ + г"> ^ + тГ>
V / 1о, для оставшихся А, р
здесь г целое положительное и р € Н(п,т), />„ > т.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим два случая а) \ — р\ Этот случай уже был рассмотрен в предыдущем параграфе.
Ь) Пусть А ф р и ха, Ху будут старшими весами модулей Vх, Vй относительно подалгебры Бореля Ь+(У). Если 7 = (1,..., 1, — 1,..., —1), тогда хх-Ху = ку где к € Z. Пусть А* > 0; тогда (хм)т > 0 и рп > т. Тогда Ап = к + рп > го, т.е., оба разбиения содержат прямоугольник п х т. Случай А: < 0 рассматривается аналогично. Лемма доказана.
□
Положим A/io = UW 0 И^1) и для г > 0
А/г = 1/(та+г)п ® и^(п+г), м_г = f/^(n+r) ® иДт+г>’\
М = 0 А/г
геХ
Из леммы 3.1 следует, что для любого целого г сущес твуют гомоморфизмы образы которых определены однозначно.
Mr —> Щ(/, V, W)*, М —> щи, V, ТУ)0,
Лемма 3.2. Предположим, что р, к > п, q,l >т. Тогда :
i) алгебра S(M) содержит пенулевой подмодуль изоморфный Vх 0 W*1, где А,р указаны в формулировке леммы 3.1.
ii) y>{Ux 0 W*) ф 0.
iii) Пусть тг, г > 0 - старший вектор модуля А/г опиюсителъно подалгебры b+(f/) ф Ь'(ТУ), тогда вектор
•*-тгЦдГ-**1 П“?'-'*"
г—1 j=m
является старшим относительно той же подал?.е.бры и принадлежит модулю IIх 0 И/м
iv) Пусть 7iir, г < 0 - старший вектор модуля Мг относительно подалгебры b~{U) © Ь+(ТУ), тогда вектор
„л = тг П ДГ",,+1 П
is=l j=m
17
является старшим относительно той же подалгебры и принадлежит модулю Vх 0 W11
Доказательство леммы проходит но той же схеме, что и доказательство леммы 2.4.
Следующая теорема является основной в этой секции.
Теорема 3.3. Пусть 0 = з((У). Тогда:
і) Если пт = 0, то алгебра ЩИ, У, ТУ)0 порождена подмодулем M_i© Мо Э Мі и любой базис этого модуля является минимальным, множеством образующих.
и) Если пт > 0, то алгебра Щи, V, ТУ)3 порождена подмодулем М и любой базис этого модуля является минимальным множеством образующих.
Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 6.1 можно предполагать, что р = к > n, q = 1>т. Достаточно показать, что гомоморфизм
сюрьективен. По Лемме 3.1 алгебра ЩП, V, W)sl изоморфна прямой сумме модулей вида Ux<g>W*t, (А, /г) Є Л. Следовательно достаточно показать, что любой такой подмодуль содержится в образе гомоморфизма но это следует из леммы 5.2. Докажем утверждение о минимальности. Для этого заметим, что алгебра ЩИ, V, ТУ)*1 имеет биградуировку
ад, у, wyl = 0 ад.к.ио?!*
r£jA, lceZ>о
где
ад, V, W)% = {/ Є щи, V, wy11 xf = rstr(x)f, deaf = k, x € oHV)}
Пусть n, тп > 0. Рассмотрим ненулевые слагаемые модуля М, и пусть В = {/£}- объединение базисов ненулевых модулей £/(т+г)" 0! И/т(П+Г), если г > 0 а модулей (/т(п+г) 0 1У(т+г)п если г < 0 , если г = 0 то выбираем базис модуля 0ІУО. Уже было доказано, что В является множеством образующих алгебры инвариантов. Докажем его мппималь-ность. Для этого рассмотрим множество В = В \ {/Г} и предположим, что оно является множеством образующих. Тогда существует ненулевой многочлен F, такой, что /J = F(f?f,..., рассмотрим два случая г = 0 и г ф 0. Пусть г — 0, тогда псе г і = ••• = гдг-о и сравнеіше степеней показывает, что степень F равна 1. Это противоречит линейной независимости /£. Пусть теперь г ф 0. Тогда сравнение обеих градуировок даст равенства
г = пН hr,v, 2nm-f-|r|(n+m) = 2nmlV-f(Jri|-f Hrffl)(n+m)+£>
18
где s некоторое целое неотрицательное число. Так как п,тп > 0, то отсюда легко следует, что N = 1, s = 0, degF = 1. Но это противоречит линейной независимости Д.. Тем самым доказана минимальность множества В в случае п, тп > 0. Пусть пт = 0, в этом случае положим В = {/{~* }U{/£}U {/Д}. Легко проверить, что это множество является множеством образующих. Минимальность доказывается аналогичным способом. □
Приведем теперь явное описание инвариантов. Мы не можем дать полное описание базиса в модулях Мг в случае пт Ф 0, г ф 0 и поэтому ограничиваемся описанием старших векторов в этих модулях.
Положим
Д = det(xti)Me/o; Д* = det(x*.)j,s6/o; ш =det(^)M€/l; шя = det(ar^P)iie€/1.
Следствие 3.4. i) Пусть р>п, 1>т тогда полиномы
/г = (ДТи/ J] «, V,), tell, «€/о
являются инвариантами принадлежящими модулю МГ, г > 1.
ii) Пусть q > m, к > п тогда полиномы
/_* = AV)* п К’.®«)-
tÇ/o, «e/i
являются инвариантами принадлежящими модулю Л/_Г| г > 1.
Заметим, что описание соотношений в этом случае остается открытой задачей.
4. Инварианты супералгебр Ли озр(К)
Всюду в этом параграфе через g мы будем обозначать супералгебру Ли $(V), а через b ее подсупералгебру Ли озр(У). Важным обстоятельством является то, что 05р(У) может быть описана как множество неподвижных элементов инволютивного автоморфизма супералгебры 0, который мы обозначим через 0. Пусть 0i = g_ Ф g+ будет разложением нечетной части на неприводимые 0о модули.
Лкммл 4.1. Пусть М будет до -модулем. Положим 0+(М) = 0. Тогда мы имеем изоморфизм b модулей
Доказательство. Пусть 0 - инволютивиый автоморфизм супералгебры g для которого подалгебра b является неподвижной подалгеброй. Тогда переходом к координатам проверяется, что 0(0+) = 0_. Следовательно, х+0{х) линейно порождают bi для х € 0_ . Пусть
<р : indbbo{M) — Ш°тС(,д+{М),
19
гомоморфизм индуцированный естественным вложением модуля М. Рассмотрим фильтрацию
М = 1/о С Ь\ С • • • С 2>у-1 С Гу = т^®оф5+(М),
где N = (Пт#-, а Г* является линейной оболочкой х\.. .Х/[т), где *1,..., XI € 0-, 771 6 М, I < к. Докажем индукцией но к, что Ьу. С 1т<р. Случай к — 0 является очевидным. Пусть Ьу- С /ту?, тогда (х+0(х))1^ С /ту? но 0(х)Ьк С Ь/с-1, поскольку 0(х) € 0+. Следовательно , хЬк С /ту? и /*+1 С /ту?. Таким образом гомоморфизм у? сюръективен. Но так как 0(0+) = 0_, то = с/ггпЬ1. Следовательно оба индуцированных
модуля имеют одинаковую размерность и гомо.мрфизм у? является изоморфизмом.
□
ЛВММА 4.2. Пусть д - конечномерная супералгебра Ли, (Пт# 1 = N и представление 0о б Л;Ч (91) будет тривиальным. Тогда для любого конечномерного до модуля М существует изоморфизм векторных пространств :
(мм^(М))в с- М00.
Доказательство. Докажем, что имеет место изоморфизм д-моду-лей [тдд0(М))* ~ гти1д0{М*). Рассмотрим фильтрацию модуля пг^дДЛ/) такую же как и в предыдущей лемме
0 = Ь-1 С М = Ь0 С Ь\ С • • • С Гу = гпг/®0(М).
Легко понять, что все Ьу, г = 0,1,..., N являются 0о модулями. Выберем в 01 базис х/,... ,ху. Поскольку представление 0о а ЛАГ(01) тривиально, то отображение
М —» Гу/Гу_1, т —* х 1... тут (то<1 Гу-ц)
индуцирует изоморфизм до-модулей : М* ^ (Гу/Гу-т)*. Следовательно, МЫ имеем вложение 00-модулей
ЛГ — (Гр/Гр-О* — V•
Это отображение индуцирует гомоморфизм гт/д0(М*) —> Г*. Рассмотрим билинейную форму соответствующую этому гомоморфизму:
(М*) х гп^ЩМ) —> С (т*,Х1 ....Ту771) = т*(т) Гог га* е М*, т е Л/.
Докажем, что ядро слева у этой формы тривиально. Предположим, что это неверно и пусть и будет ненулевым элементом из левого ядра формы. Рассмотрим фильтрацию
0 = Т-1 С Мв = Т0 С Тх С • • • С Гу = гпс/ЩЛГ)
20
на модуле ind^M*) аналогичную фильтрации на модуле ind^M). Так как и Ф 0, то существует 0 < к < N такое, что и Е Т* но и ф Тк- \■ Тогда
и = ^2 хй • ■ • xikmh...ik + ик-и где й,..., г* € [1,2,..., TV] и € М*.
Для заданных i\,..., г* положим
v(m) *= ®jlf..., xjtm, where {ji ...jt) = (1,TV) \ , t*}.
Тогда
(tft,v(m)) = (.т*а ...**> v(m)) = imj,...ijk(m) = 0.
Так как m является произвольным , то ifc = 0. Следовательно и = щ~i € Tfc_i и мы пришли к противоречию. Следовательно ядро формы слева равно пулю, и в силу конечномерности форма невырождеиа и расматриваемый гомоморфизм является изоморфизмом. Далее,
(indJo(M))0 = (гтТвДЛГ))*0 = (ЛГ)'00 = Л'/00
и лемма доказана. □
ЛЕММА 4.3. Пусть 0 конечномерная супералгебра Ли и U конечномерный g модуль, а Ь С 0 ее подсупсралгебра и W С U- Ъ подмодуль. Предположили, что существует ге0 Е Wo такой, что отображение
0 х W —* U : (х, w) —* Xu.'о 4- w
сюръективно. Тогда естественное отображение
S(U’)B —* S(W")b
инъективно.
Доказательство. Пусть Uk - линейная оболочка элементов вида x(u)()v)-\-w, где v Е Sk~l(V) и w £ Sk(W). Докажем во первых, что Uk =
Sk(V), для к = 1,2, Дтя этого рассмотрим множество М состоящее
из пар неотрицательных целых чисел (m, I) таких, что т, / > 0 и наделим множество М следующим полным порядком : (т, /) > (если и только если, либо т 4- I > т! 4- если же т + I = тЧ V, то I > V. Докажем теперь индукцией но введенному полному порядку следующее утверждение :
<V Е и к
для всех пар (m, I) таких, что v Е Sl(V) п т -r I = к. Заметим, что равенство Uk = Sk(V) следует из предыдущего утверждения как частный случай при m = 0. Это утверждение очевидно для пар (m,0) Е М. Пусть (m,/) Е М и т > 0. Предположим также, что для всех меньших пар утверждение верно и v € Sl(V), тогда так как (т>1) > (0, J), то v = Xj(woVi) 4- w, где Vi € Sl~lV и w Е S*(W). Следовательно
= w^y^Xi^WQVi) ч- Wolw -
21
ІІО, ПО предположению индукции іл|) ЦУі <Е ит+1, поэтому IV0*1! Є ит+і, что доказывает требуемое утверждение в случае т > 0. Если т = 0, то (0,1) > (1,1 - 1) > (0,/ - 1). Поэтому, для VI Є и, ь'2 € (и)
по предположению индукции имеем
VI = ЯІІУО + И/І У2 = Х2(и,'оУз) + Ш2
где из Є 31~2(и), Ш1 € И7, и>2 Є 6,/-1(?7). Далее, из равенства
иіо2 = і^з) + хДи/ош.ч) + - ичдоаггСиі) - шохі шз
и индуктивного предположения следует доказываемое утверждение. Следовательно, как уже было замечено (У* = 6,А:(К). Пусть теперь / € 5* ((/*). Мы можем рассматривать / как линейный функционал па Зк(и). Если он является о инвариантным и его ограничение на $к(\У) равно нулю, то по предыдущему получим для V € £(£/)
/(«О = /(]£ *(^0«*) + = X) /(*(адо«|)) + /(«О ~ 0
і і
Лемма доказана. , □
Существование четной овр(К)-инвариантной формы определяет изоморфизм алгебр и овр(У)-модулей 'Л™ а 01р+кд+і- Следовательно мы можем ограїшчиться случаем р = у — 0 и рассматривать только алгебру 21*^. Далее, поскольку все рассматриваемые 0 модули являются тензорными, то они допускают продолжение действия 5о(1^о) до действия ортогональной группы О(Ко), что позволяет определить градуировку
на алгебре инвариантов
(Я?,/)8 = {/ є Кі I Я/ = /. 9 є О(Ко)}
(21?,/)? = {/ є Я?,, І з/ = аеїш, о Є о(г0)}
Следующая лемма позволяет описать ограничения на диаграммы Л, для которых модуль Вейля содержит инвариантный вектор. Обозначим через Аеь множество разбиений Л таких, что Лі, і = 1,... является четным числом.
ЛЕММА 4.4. Пусть У*х модуль Вейля соответствующий диаграмме А Є Н(п, т). Тогда
I .човр(У) < 1, если А Є Kv dim J = 1 если А € Aev + (т -f l)n U Лси + (т)”
0, в противном случае