Среднее значение функции Чебышева с экспоненциальным весом в коротких интервалах

Оглавление
Обозначения................................................. 3
Введение 4
1 Оценка средних значений интегралов от произведений кусков рядов Дирихле 17
1.1 Вспомогательные леммы.................................. 17
1.2 Теоремы об оценке средних значений интегралов от произведений кусков рядов Дирихле по всем примитивным характерам данного модуля....................................... 21
2 Среднее значение функций Чебышева с квадратичным
экспоненциальным весом в коротких интервалах 31
2.1 Вспомогательные леммы.................................. 31
2.2 Теорема о среднем значении функции Чебышева с весом е(Лп2) в коротких интервалах по всем характерам Дирихле данного модуля............................................. 32
2.3 Оценка квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами в коротких интервалах .......................... 49
2
Обозначения
m,n,k,d - целые числа
Л(п) - функция Мангольдта
/г(п) - функция Мёбиуса
х{п) ~ характер Дирихле по модулю q
Xd{n) “ примитивный характер Дирихле по модулю d
е(а) = е2тга
<p(q) -функция Эйлера
т(п) -число натуральных делителей п
тГ(гг) -число решений уравнения Х\...хт = п в натуральных числах Х\, ..., хт
При ссылках теоремы, леммы и формулы нумеруются двумя индексами: номер главы, номер утверждения е-положительные сколь угодно малые постоянные;
In х = log х -натуральный логарифм х I — 1под, L = In xQ
Запись А В означает, что существует с > 0 такое, что \А\ < сВ
3
Введение
При решении ряда задач теории простых чисел возникает вопрос о поведении средних значений функций Чебышева в коротких интервалах по всем характерам Дирихле. В круг таких задач входят: оценка коротких тригонометрических сумм с простыми числами, тернарная проблема Гольдбаха с почти равными слагаемыми, тернарная проблема Эстер мана с почти равными слагаемыми, задача о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы двух простых чисел и квадрата простого числа, когда слагаемые почты равны, проблема Хуа Ло-Кен о представлении достаточно большого натурального числа в виде суммы пять квадратов простых чисел, когда эти простые почты равны.
В данной диссертации изучаются средние значения функций Чебышева с квадратичным экспоненциальным весом в коротких интервалах по всем характерам Дирихле данного модуля, то есть сумм вида
^ |ч/>2(х, х, А) - чЫ® - з/,х,А|,
X
где
Ф2{х, х, А) = ^Л(п)х(п)е(Атг2),
п<х
4
и их приложения к оценкам квадратичных тригонометрических сумм с простыми числами, переменная суммирования которых принимает значение из интервалов малой длины.
Напомним коротко о методах исследования ^{х\ц^уу А) и близких к нему сумм и тех приложениях, которые получаются из оценок сверху.
И.М. Виноградов [1]-|3] в 1937 г. создал метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами, основу которого составляют решето Виноградова и метод сглаживания двойных сумм. С помощью этого метода он впервые получил нетривиальную оценку тригонометрических сумм с простыми числами.Он доказал:
Если |а — а!у| < , (а,</) = 1 и Н = тогда справедливы
оценки
5(а, х) = Л(п)е(агп) << (од“1/2 + х+ х1/2)х£,
п<х
Э[а)х) < + хН~1(\и</)0'5 + £1^2<з,1//2(1п</)1-/2) 1п21п2:г 1п1пя.
Полученная оценка для £(а, я), в соединении с теоремами о распределении простых чисел в арифметических прогрессиях, позволила вывести асимптотическую формулу для числа представлений нечетного N в виде
N = Р\ + Р2 + Рз-
10.В. Линпик [4]-[5] исследовал средние значения функции Чебышева для вывода нетривиальной оценки линейной тригонометрический суммы с простыми числами. Он с помощью идей Г. Харди и Д. Литтлвуда [6),
применявшихся ранее в проблеме Гольдбаха и плотностых теоремах для нулей L-рядов Дирихле, дал новый вариант нетривиальной оценки линейной тригонометрической суммы с простыми числами. Тем самым Ю.В. Линником было дано новое доказательство теоремы И.М. Виноградова о трех простых числах (проблема Гольдбаха).
Н.Г. Чудаков [7]-[8] также предложил подобный метод исследования линейных тригонометрических сумм с простыми числами с помощью оценки средних значений функций Чебышева, получение которой в свою очередь основывается на распределении нулей L-рядов Дирихле в критической полосе. A.A. Карацуба [9] разработал метод решения мультипликативных тернарных задач и в соединении с методом И.М.Виноградова - оценок сумм с простыми числами, оценил самый простой случай величины t(x\q). Следствием этой оценки является теорема о распределении чисел вида р(р + от) в коротких арифметических прогрессиях.
В.Н. Чубариков [10| построил теорию кратных тригонометрических сумм е простыми числами, с помощью которой решил проблему Гильберта-Камке в простых числах.
В 1989 г. З.Х. Рахмонов [11], опираясь па метод A.A. Карапубы, элементарно доказал, что
« (х + х5/у/2 + г1/2)**-
#»»*)
Xinodq
Этим же методом Пан Чен-дои и Пан Чен-бьяо [12] доказали, что
*
<7
т{х\ Q) = TT X ШЯ-1^(у> *)1 « 0* + я5/6<2 + x1/2Q2)L4,