Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов

Содержание
Введение 3
1 Неядерные возмущения абстрактных дискретных операторов
и формулы следов 36
1.1 Основная теорема о возмущениях 38
1.2 Формулы следов для возмущений
Гильберта-Шмидта 56
1.3 Формулы следов для относительно компактных
возмущений 61
1.4 Примеры 70
2. Спектральные свойства возмущения оператора
Лапласа-Бельтрами 81
2.1 Асимптотика собственных чисел возмущения
оператора Лапласа-Бельтрами на сфере 81
2.2 Формула следов возмущения оператора
Лапласа-Бельтрами 103
З Регуляризованный след двумерного гармонического
осциллятора 120
3.1 Локализация спектра 123
3.2 Сумма третьей поправки теории возмущений 126
3.3 Асимптотическое представление Рп (х,у) 134
3.4 Асимптотика ядра Вп(х,у) 144
3.5 Асимптотика второй поправки
теории возмущений 153
3.6 Формула следов 163
Синеок литературы 172
Введение
Настоящая работа посвящена исследованию регуляризоваиных следов абстрактных дискретных операторов, а также исследованиям спектра и формул следов возмущении некоторых операторов в частных производных математической физики: оператора Лапласа-Бельтрами и двумерного гармонического осциллятора.
Теория следов линейных операторов берет свое начало с одного из фундаментальных фактов конечномерной теории: инвариантности матричного следа линейного оператора Ь и совпадения его со спектральным следом:
.V N N
/к) = У= ^2 ^к'
*=1 А*=1 к=1
где {А/..} - собственные числа оператора Ь, а {/л}£=1, {дк}ь=1) “ Два произвольных базиса пространства.
Далее этот результат был перенесен на случай бесконечномерных операторов со следом, иначе называемых ядерными, а именно доказано (см. [34]), если Ь ядорный оператор, то для любой пары {/*}*115
ортоиормированных базисов справедливо
00 со
Е^/ьЛ) = Е(^-л), (0.2)
к-1 к= 1
и также верно равенство
00 оо
Е 9к) = Е , (0-3)
к=1 к=1
3
г
►
где {/ifc} - собственные числа оператора L. известное как теорема В.Б. Лидского ( [18], [36]). Таким образом, этими результатами классическая теория была завершена, так как они охватывают весь класс операторов, имеющих след.
Дальнейшее, развитие теории следов привело к рассмотрению понятия инвариантности следа на операторы, не имеющие следа, которое начато в цикле работ И.М. Лифшица, завершенном работой [39], мотивировано некоторыми вопросами квантовой статистики и теории кристаллов.
Так как для неядерных операторов L ряд из матричных элементов расходится, из теории расходящихся рядов естественно следует следующая постановка:
указать класс операторов и соответствующую пару базисов {/a}aLi> {<7а}£=р таких, что будет справедлив аналог равенства (0.2) - соотношение'
Для дискретных операторов выбор одного базиса естественно предопределяется спектральной постановкой (0.3), то есть выбирается базис из собственных векторов {/7а}£і оператора Ь, конечно, в предположении его существования. Для подбора второго базиса оператор Ь представляется в виде суммы Ь = Ьо + У, причем оператор V в каком-то смысле подчинен оператору второй базис строится из собственных векторов {/а}ь=і оператора Ьо. Тогда формула (0.4) приобретает
00
(0.4)
4
следующий вид
00
£ РЛ, Л) - (£«ь, Ра)] = £ [(Цо + У)/к, Л) - ((ІЙ1.7,)] =
где Л/с - собственные числа оператора Ь0, Цк ~ собственные числа оператора Ь. Отсюда видно, что степень подчиненности оператора V оператору Ьо фактически является мерой близости базисов {/а.}£=1 и
Отметим, что в общем случае если оператор Ьо имеет кратное собственное число, то при возмущении оно расщепляется на группу собственных чисел оператора £, близких в смысле возмущения V, поэтому суммирование в (0.5) (соответственно, в (0.4) ) нужно понимать в смысле суммирования со скобками:
где - кратность собственного числа А* оператора £0, Рк ~ оператор проектирования на собственное подпространство, соответствующее собственному числу Аь //н, і — 1, 2,..., щ - группа собственных чисел, па которую распадается собственное число А* при возмущении V, Эр - след ядерного оператора.
Начало теории регуляризованиых следов было положено в 1952 -1953 г. в работах И.М. Лившица |39], М.Г. Крейна |34| и И.М. Гель-фанда, Б.М. Левитана |1б|. М.Г. Крейном в работе [34] для достаточно
оо
= £ [А* + (V/*, Л) - Як] = о, (0.5)
Л.' ик
(0.6)
А:= 1
широкого класса функции </? и самосопряженного ядерного возмущения V оператора Lo была доказана формула
00
Sp ми + V) - v(L0)) = J vf Шt)dt, (0.7)
-оо
где Ç(t) - так называемая функция спектрального сдвига. Там же установлено равенство
00
1 É(0dt = SpV,
-со
которое означает справедливость формулы (О.Т) для p(t) = t. Откуда, в случае дискретности оператора L0. следует, что справедлива формула
оо
£ (л* - Л,) = Sp V, (0.8)
к~-ос
которая совпадает с (0.5) для ядерпых V. Аналогичный результат для диссипативных ядерных операторов был получен в работе [1|. Обзор развития формул регуляризованных следов, связанных с функцией спектрального сдвига, которая позволяет рассматривать операторы со спектром произвольной природы, от М.Г. Крейном до современного состояния можно найти в работе [10]. Лишь отметим, что результаты этой теории в применении к дискретным операторам всегда уступали результатам прямых исследований.
И. М. Гельфанд и В.М. Левитан [1G] для оператора Штурма-Лиувилля задачи Дирихле е потенциалом q(r) получили формулу, названную
6
Bnocjі едств и и формулой Гсльфапда-Лев am ана:
ос
л
где с« = £ / у(х)6х. И почти сразу Л. А. Дикий в работе' [211 показал “ о
что формула Гельфанда-Левитана эквивалентна тождеству
~ ( 2 } о \
'У'' I /лк — к2 I q{x) sin2 kxdx I = 0.
bl \ о /
т.е. равенству вида (0.5). Оказалось, что в работе И. М. Гельфанда и Б.М. Левитана член (VД, Д) в формуле (0.5), который есть
для оператора Штурма-Лиувилля, самим методом - разложение характеристического определителя и следа резольвенты оператора по степеням, а затем сравнивания коэффициентов при одинаковых степенях - был разбит на две части, и главный член, образующий расход и [цийся ряд, оставлен в левой части формулы (0.5), а сходящаяся часть просуммирована и сумма записана в правую часть.
Такой подход, при котором член (V/к, Д) разбивается на расходящуюся и сходящуюся части, первая из них выражается в терминах собственных чисел и параметров оператора Ьо, а вторая, сходящаяся, часть суммируется и выносится в правую часть, долгое время оставался центральным в многочисленных исследованиях. На этом ну ги
о
7
открывается связь теории следов с теорией дзета - функций операторов.
И. М. Гельфанд [15] предложил использовать метод, основанный на исследовании асимптотического разложения следа револьвенты по параметру и впервые для оператора Штурма-Лиувилля получил ([юр-мулы регуляризованных следов высших порядков:
с»
£ (/С - Ак(п)) = В(к),
п=1
где А*(п) - расходящаяся часть разложения по степеням собственных чисел А„, В(к) - сумма сходящейся части разложения которая в конечном виде выражается через и ее производные.
Л.А.Дикий [22], [20] существенно развил идею И. М. Гельфапда и, впервые используя дзета-функцию оператора, также получил формулы следов высших порядков для оператора Штурма-Лиувилля. Отмстим важное обстоятельство: в работе [20] Л. А. Дикий выдвинул гипотезу, что если самосопряженный оператор Ь отличается от оператора Ьо "малым"оператором еУ:
Ь — Ьо 4* еУ,
6 - малый параметр и /хн, п= 1, 2,..., - собственные числа оператора Ь, п = 1, 2,..., - ортоиормированные собственные функции оператора Ьо, соответствующие собственным числам А„, тогда при достаточно большом к будет
эс
(/‘.I - А„ •• еХ™ е*А^) - 0
>? = 1
8
где \{п] = (V/,„/n), АІ2) = Yj , ■ ■ ■ - поправки теории воэму-
mysn
щоний ( см. [35, гл. б, §38, с. 169]). Л.А. Дикий доказал справедливость этой гипотезы для оператора Штурма - Лиувилля и его квадрата.
В начале 60-х годов ряд интересных результатов в виде (0.5) был получен в работах Ч. Хальберга, Р. Гильберта и В. Крамера [101], [96]. В этих работах авторы, предполагая, что для ограниченного возмущения V дискретного самосопряженного оператора Lq с ядериой резольвентой ряды
оо со
£(r/t>/4), £(w--a*)
А-1 к=1
сходятся, доказали равенство
ОО 00
Х>*-А *) = £(V/t,/t).
к=1 к—1
В качестве примера впервые рассмотрены обыкновенные дифференциальные операторы второго порядка на конечном отрезке с иераспа-дающимнся краевыми условиями, обобщающие формулу Гельфаида -Левитана. А в работе Гильберта и Крамера [97] для самосопряженных операторов Lq и V, удовлетворяющих условиям Lq1, VLq 1 Є Sl (Sl - класс ядерных операторов) получены регуляризоваиные следы с несколькими поправками теории возмущений, в подтверждение выше упомянутой гипотезы Л.А.Дикого. Далее в работах М. Г. Гасымова и Б. М. Левитана [13], [14] впервые рассматривались сингулярные дискретные операторы Штурма-Лиувилля, то есть операторы на некомпактном многообразии. Следует отдельно отметить работу М. Г.
9
Гасымова [13], где доказана теорема :
Пусть Ь0 ~ самосопряженный дискретный оператор, V - самосопряженный оператор такой, чт.о Ь = Ьо -4- V - дискретный самосопряженный оператор и существует
где {//,„} а {Ап} собственные числа, а и {/п} - базисы из собственных функций операторов Ь и Ьо, соответственно.
В качестве приложения для оператора Штурма-Лиувилля на оси с финитным потенциалом ц(х) с нулевым средним доказана формула
а на полуоси с дополнительным условием дифференцируемости д(х) в окрестности нуля получена формула
Для сингулярных дискретных обыкновенных дифференциальных операторов крупное продвижение в теории регуляризоваиных следов было сделано А. Г. Костюченко в ого докторской диссертации |33|. Для положительного дифференциального оператора в Ь2(Ш), порожденного дифференциальным выражением
Тогда
т т
т
т
1У = (-1)"У2т) + Р2т-2(^)у(2"'-2) + • • ■ + Ро(х)у,
10
возмущенного оператором умножения функцию д(х) Є Ь\ с финитным носителем и с нулевым средним, доказано, что
п~\
А для оператора четвертого порядка на полуоси с граничными условиями:
с дополнительным требованием, что функция (](х) имеет ограниченную вариацию в некоторой окрестности нуля, получена формула
В связи с завершением исследований регулярных дифференциальных операторов второго порядка с середины 60-х годов основным направлением исследований многих математиков стало распространение теории следов на обыкновенные дифференциальные операторы выше второго порядка. Наиболее сильные результаты в этом направлении получены В.А. Садовничим [56), [57|. [58], [59|; особо следует подчеркнуть результат для обыкновенного дифференциального оператора четвертого порядка, полученный методом тета-функции. Исключительным продвижением в теории следов стало применение методов теории функций в исследовании дзета-функции оператора в работах В.Б.Лидского и В.А.Садовннчего [37], [38]. В этих работах был разработан метод вычисления регуляризованных сумм корней специального класса функций включающего в себя характеристические
ос
- А„) = 0.
3/(0) = //'(0) = 0,
и
определители многих спектральных задач, в том числе почти все задачи для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов. В частности, этот метод дал возможность решать целый ряд важных задач в других областях математики. Развитие этого направления теории следов, в основном, было завершено в работах В.А.Садовничего, В.А.Любишкпна и Ю.Беллпбаесп [08], |73|, в которых функции класса К. расширены до функций класса тина синуса, включающего все характеристические определители регулярных обыкновенных дифференциальных операторов.
С конца 70-х годов на псовый план выдвигается изучение следов операторов в частных производных, однако даже первую поправку теории возмущений (У/к./к) из-за сложной структуры спектра операторов в частных производных не всегда удается эффективно исследовать, не говоря о последующих поправках теории возмущений. В связи с этим возобновились активные исследования формул следов вида (0.5) и близких к ней (с вычитанием нескольких поправок теории возмущений). Пионерскими работами в этом направлении стали работы В.А.Садовничего и В.В.Дубровского |63|, |64|. Абстрактная 'теорема работы [63] позволила получить формулу следов для степени З + е, е > 0, оператора Лапласа задачи Дирихле на прямоугольнике, возмущенного оператором умножения на функцию р{х,у)\ при некоторых условиях на потенциал эта формула следов приобретает вид, весьма сходный с формулой Гсльфанда - Левитана для оператора Штурма-
12
Лиувилля:
V"/ х ч р(0,0)Ч-р(а,0)+р(0,6)+р(а,6)
2_^№п лп) - 1б
Работа В. А.Садовничего и В.А.Лтобишкттна (72] сыграла определяющую роль на дальнейшее развитие теории; в пей рассмотрено возмущение самосопряжепного дискретного оператора Ь0 конечномерным оператором специального класса:
г
Уи = В*«./*)»,
А-1
І к и Як ~ некоторые векторы. Отмстим, что так как векторы Д, вообще говоря, не принадлежат области определения оператора Ь(]. то оператор V не обязательно ограничен. В этой работе для оператора
и. функция распределения спектра которого имеет асимптотику
іУ(Л) = сЛ + 0(Хр), , с > О, ре (0; 1),
доказана формула
„Ч™ - Ад.) =
°° к=1 j=l
где 0 < <7; < 2 - некоторые числа, Д € Т>[Ьц), Є (/і).
Далее, отметим работы В.А. Садовничего и В.А. Любишкина |б9], |70), [71], В.А. Садовничего, В.А. Любишкина, В.В. Дубровского [74], В.В. Дубровского [23], [24], [25], В.А. Любишкина и Г.В. Козлова [28],[29], В.Е. Подольского [50|, [51]. Во всех работах, посвященных исследованию абстрактных операторов методом контурного интегрирования
13
резольвентного уравнения, формула (0.5) (или более общая, с регуляризацией несколькими поправками теории возмущений) была доказана для различных классов операторов, на которые, помимо других условий, обязательно накладывались условия: оператор Ь$ - самосопряженный, его собственные числа удовлетворяют условию
|А„| > спУЫ
с некоторым 6 > 0 (различным в разных результатах), а возмущающий оператор V ограничен. Наиболее сильный результат из вышеперечисленных был получен в работах В.В.Дубровского [24), [25|. В работе [24] справедливость формулы (0.5) была установлена для самосопряженного оператора Ь$ с Л'(А) = 0(Х{>). р < 1/2. возмущенного произвольным ограниченным оператором V, а для возмущения V из класса Гильберта-Шмидта формула доказана при р < 1. В |25| для ограниченного Г при р < 1 получены формулы следов для п-й степени собственных чисел возмущенного оператора, регуляризовап их с (/ - 1)-й поправкой теории возмущений, где / >
Ряд интересных результатов получил М. Достанич |93| для самосопряженного возмущения оператора Ьц с регулярным поведением спектра; последнее позволяет использовать для оценок поправок теории возмущений несколько иную технику, чем метод контурного интегрирования. Для ограниченного самосопряженного возмущения формула следов (0.5) была доказана М. Достаничем в случае, когда
^71-Н — Хп
а при более слабом условии
£(V, І - А*)-1 = 0(1)
к=1
та же формула была доказана для случая ЛГ(А) ~ сХр, 0 < р < 2/3. Отметим, что із этой работе рассмотрен и случай неограниченных возмущений при особой регулярности спектра невозмущенного оператора. А именно, получена формула (0.5), если
^ Хц+1 “ Хп - п ^ ^ -, /Л
й - „(1-р)/р - С2’ 0 < р < 1/2,
И
ЦГ/ІІ <соЦ/^/11, о </?< 1/2-р.
Принципиальный прорыв в теории следов был сделан в серии статей В.А. Садовничего и В.Е. Подольского |76|, [75] и В.А. Садовничего. С.В. Конягина и В.Е. Подольского [77). Особо отметим одну из
центральных в данной тематике работу |75|. В пей впервые в общем
виде исследован случай неограниченных возмущений: формула следов с вычитанием / поправок теории возмущений доказана при условии, что оператор VLq'\ П < S < 1, ограничен, а оператор -
ядериый. ш Є [0; 1), ы + ô < I, cü > S/l. В частности, отсюда вытекает, что для ограниченного V формула (0.5) имеет место, если резольвента оператора Lq - ядериый оператор, что существенно улучшает вышеупомянутые результаты В.В. Дубровского и М. Достаннча.
В этой же работе для компактных возмущений V таких, что VLq -ограниченный, a L(/b<5) - ядериый операторы, установлена справед-
15
СО 00
и = {<р : </>(:!•) = J eu:ig(t)dt, J \tv g(t)\dt < 00}
ливость формулы (0.5); эти условия позволяют рассматривать случаи, когда у невозмущенного оператора />о наибольшее расстояние между собственными числами стремится к пулю.
Л.С. Коилиенко [31] и М. Достаним |92| изучали обобщения формулы (0.7) для возмущений из класса Гильберта-Шмидта. В работе |92| доказано, что для каждой функции из класса
СО 00
м,
-ОС -00
существует функция ограниченной вариации rj(t), удовлетворяющая условию
w ІИ2
V '' ^ 2^’
-ОС
такая, что справедлива формула
ОО
Sp (v(Lo + V)- ір(Ьо) - MLod+ xV) U)) = I <p"{i)dg{t). (0.9)
-OO
Отмстим также, что A.M. Савчуком и A.A. Шпаликовым [54], [55] исследовались асимптотика собственных значений и формула следов для оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом.
Одной из важнейших задач теории следов является задача, поставленная в СО-с годы И.М. Гельфандом - изучить асимптотику спектра и получить формулы следов для оператора Лапласа-Бельграми на сфере. Долгое время для дифференциальных операторов на компактных многообразиях с периодическим бихара.ктериетическим потоком не удавалось сколь-либо содержательно исследовать спектр, и, лишь
16