СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.......................................................................4
ГЛАВА 1. ОБОБЩЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ........................................15
§1. Один операторный аналог интеграла типа Коши. Свойства его аналитичности и
непрерывности.................................................................15
§2. Квазианалитические свойства обобщённого интеграла типа Коши и
квазигармонические свойства его действительной и мнимой частей................23
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБОБЩЁННОГО АНАЛОГА ИНТЕГРАЛА ТИПА
ТЕМЛЯКОВА В ПРОСТРАНСТВЕ С2...................................................35
§3. Обобщённый аналог интеграла типа Темлякова и его представление в виде кратных
интегралов в случае единичного бикруга........................................35
§4. Формулы перехода от кратного интегрирования к повторному для обобщённого
аналога интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга..................42
§5. Предельные значения обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в точках остова
единичного бикруга............................................................47
§6. Области аналитичности обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в случае
единичного бикруга............................................................52
§7. Исследование квазианалитических свойств обобщённого аналога интеграла типа
Темлякова.....................................................................61
ГЛАВА 3. ОБОБЩЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ТИПА ТЕМЛЯКОВА...................................68
§8. Формулы кратного интегрирования обобщённого интеграла типа Темлякова......68
§9. Выражение обобщённого интеграла типа Темлякова через повторные интегралы в
различных областях пространства Сг............................................73
§10. Предельные значения обобщённого интеграла типа Темлякова в точках остова единичного бикруга............................................................76
2
§ 11. «Подвижные» области аналитичности обобщённого интеграла типа Темлякова.81
§12. Некоторые квазианалитические свойства обобщённого интеграла типа
Темлякова..................................................................87
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................................94
ЛИТЕРАТУРА.................................................................96
3
ВВЕДЕНИЕ
Теория интегральных представлений аналитических функций одного и многих комплексных переменных является быстро развивающейся ветвью одномерного и многомерного комплексного анализа в связи с широким применением результатов исследований при решении прикладных задач в гидроаэродинамике, квантовой теории поля, математической физике и математической статистике. Указанные задачи приводятся к пространственным краевым задачам, теория решения которых формировалась в работах Ф.Д. Гахова, Н.И. Мусхелишвили и др.
Теория интегральных представлений многомерного комплексного анализа включает ряд аналогов формулы Коши одного комплексного переменного (формулы Мартинелли - Бохнера, Бергмана - Вейля и др., а также наиболее общее интегральное представление М.Лере).
Значительную роль в этой теории сыграли установленные в 1954 году A.A. Темляковым (см. [1]-[8]) интегральные представления для функций дв>-х комплексных переменных, аналитических в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей, которые впоследствии были названы интегральными представлениями Темлякова I и II родов (см., например, [65]). От других интегральных представлений функций двух комплексных переменных интегральные представления Темлякова I и II родов отличает целый ряд замечательных свойств:
1) знаменатель ядра относительно переменных w и z в интегральном представлении Темлякова I рода есть многочлен первой степени;
2) последний внутренний интеграл этих представлений есть либо интеграл Коши одного комплексного переменного (интегратьное представление Темлякова I рода), либо некоторый линейный дифференциальный
4
оператор этого интеграла (интегральное представление Темлякова II рода).
Позднее И.И. Бавриным был установлен ряд интегральных представлений для аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных (см. [67]). В случае одного комплексного переменного были получены общие интегральные представления, являющиеся обобщением классической интегральной формулы Коши, в частности интегральные представления для звёздных и выпуклых областей. На основе этих интегральных представлений A.B. Нелаевым (см., например, [50]) были построены обобщённые операторные аналоги интеграла типа Коши и в ходе исследований выявлен ряд свойств, существенно отличающий рассматриваемые интегралы от интеграла типа Коши (см., например, [52]). В работе [61] Х.Ц. Дзсбисов рассмотрел операторный аналог интеграла типа Коши специального вида, исследования которого продолжались и в дальнейшем (см., например, [68], [69]).
Значительный вклад в теорию интегральных представлений Темлякова внёс Л.А. Айзенберг (см [9]-[16]), который, рассмотрев в качестве плотности в интегралах Темлякова произвольную функцию, суммируемую по Лебегу на границе определяющей области, на основе интегральных представлений Темлякова ввёл понятие интегралов типа Темлякова и сделал первые успешные шаги в их изучении. Так, например, для интегралов типа Темлякова им была получена первая формула перехода от кратного интегрирования к повторному, изучались граничные свойства интегралов типа Темлякова и поведение этих интегралов вне области аналитичности и ряд других вопросов.
Исследования Л.А. Айзенберга положили начало теории интегралов типа Темлякова, которая получила своё дальнейшее развитие в работах В.И. Боганова (см., например [17]-[24]), ГЛ. Луканкина (см., например [20], [54], [55]) и других авторов. В.И. Богановым была выяснена структура множеств разбиения отрезка интегрирования, получен конструктивный способ их нахождения (см. [19], [21]), начаты исследования
5
предельных значений в точках окружностей особенностей интеграла типа Темлякова I рода (см., например, [18], [20]), найдены достаточные условия существования так называемых «подвижных» областей аналитичности указанного интеграла (см. [22]), а, кроме того, получено интегральное представление, которое включило в себя интегральные представления Темлякова обоих родов (см. [23]). Г.Л. Луканкиным было введено более широкое понятие интегралов типа Темлякова, проведено их исследование в точках остова области D типа А (см. [54]), решён целый ряд краевых задач типа задач линейного сопряжения, а также найдены условия представимости функции вне области аналитичности интегралом типа Темлякова.
На протяжении последних десятилетий продолжались исследования интеграла типа Темлякова. Так, например, С.Ю. Колягиным были выявлены «подвижные» области аналитичности интеграла типа Темлякова при определённых условиях, налагаемых на его плотность (см., например, [35], [43], [44]) и получены формулы для вычисления предельных значений интеграла типа Темлякова ([32]-[34], [39], [42]).
При исследовании интегралов типа Темлякова вне области аналитичности наиболее эффективным оказался метод линейных дифференциальных операторов, впервые применённый А.Т. Хвостовым (см., например, [26], [27]). Этот метод получил ряд уточнений и дальнейшее развитие в работах A.B. Нелаева (см., [45]-[47], [49], [51], [52]). Кроме того, A.B. Нелаев распространил метод линейных дифференциальных операторов на общий случай п (л > 1) комплексных переменных, что позволило провести эффективное исследование нескольких классов функций одного и многих переменных (см., например, [48]-[50], [52]).
В настоящей диссертации впервые исследуются некоторые интегралы, которые обобщают имеющиеся в научной литературе исследования обобщённых интегралов типа Коши в одномерном случае и интеграла типа Темлякова I рода в случае многомерном, то
6
есть являются обобщениями известных операторного аналога интеграла типа Коши и интеграла типа Темлякова I рода, а также изучается обобщенный аналог интеграла типа Темлякова I рода.
Целью работы являются:
1. Исследование свойств функций, представимых обобщённым интегралом типа Коши;
2. Изучение обобщенного аналога интеграла типа Темлякова I рода, а также обобщенного интеграла типа Темлякова I рода.
В первой главе объектом исследования выступает обобщённый интеграл типа Коши, в последующих двух главах - обобщённые интегралы типа Темлякова I рода.
Предметом исследования являются функции, представимые вышеуказанными интегралами и обладающие некоторыми выявленными в работе свойствами. Методами исследований являются:
1. Аппарат интеграла типа Коши и его многомерных аналогов;
2. Метод линейных дифференциальных операторов.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, включающих в себя 12 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 78 наименований. Общий объём работы 105 страниц.
Перейдём к изложению содержания диссертации по главам.
В главе I (§§ 1, 2) введён в рассмотрение обобщённый операторный аналог интеграла типа Коши
7
где плотность ?<£) - произвольная функция, определённая на контуре
вещественный параметр, те[а,/3], а, /? и у- произвольные действительные константы с условиями 0< а<рй 1, у£ 1.
Здесь исследованы свойства функций, определяемых этим интегралом, а также выявлена формула дифференциальной связи интеграла (г) с классическим интегралом типа Коши.
В §1 доказано, что функции, определяемые обобщённым интегралом типа Коши
налагаемых на плотность исследуемого интеграла, для определяемых им функций получены так называемые «подвижные» области аналитичности.
В §2 при помощи метода линейных дифференциальных операторов вскрываются так называемые квазианапитические свойства обобщённого интеграла типа Коши, а также исследуются квазигармонические свойства этого интеграла.
Вначале параграфа дано краткое описание основных положений используемого метода для случая одного комплексного переменного. Затем доказано, что в области интеграл
Ра р (г) можно любое число раз «дифференцировать» обобщённой производной:
и удовлетворяющая на нём условию Гёльдера, г -
являются аналитическими в областях
и
, непрерывными, но, вообще говоря, неаналитическими
в области
при дополнительных условиях,
- _д_ (а2-62)т-(д2+62)-г д_ дг (а2 + 62)‘2-(я2-б2)*? дї'
8
- Київ+380960830922