Содержание
Введение 3
Глава I.
Симметризационные преобразования множеств и функций 13
§1. Обозначения и вспомогательные утверждения 13
§2. Разделяющие преобразования областей 22
§3. Линейно-усредняющее преобразование функций 29
Глава II.
Приложения в геометрической теории функций комплексного переменного 35
§1. Теорема покрытия для регулярных функций 35
§2. Теоремы покрытия для р-листных функций в круге и кольце 37
§3. Совместно р-листные функции 45
§4. Рациональные функции 48
Глава III.
Неравенства для полиномов 53
§1. Приведенные модули 53
§2. Теорема об отделении нулей полиномов 56
§3. Ограничения на нули полинома 63
§4. Ограничения на критические точки 69
Литература 72
2
Введение
Исследования по многолистным функциям составляют важную и наиболее сложную часть геометрической теории функций комплексной переменной. Наиболее изучены р-листные функции, то есть функции, регулярные или мероморфные в некоторой области комплексной плоскости и принимающие в этой области каждое свое значение не более, чем р раз. Наряду с р-листными функциями большую роль играют также функции, р-листные в среднем по окружности и р-листные в среднем по площади. Многолистные функции обладают многими экстремальными свойствами, аналогичными экстремальным свойствам однолистных функций (р = 1). Однако ряд их свойств носит специфический характер, а ограниченность методов исследования затрудняет получение даже аналогичных результатов. Значимый вклад в развитие теории р-листиых функций внесли X. Грунский, Г.М. Голузин, В.К. Хейман, Дж. Дженкинс, М. Шиффер, А.Ф. Бермант, П.Р. Гарабедиан, С.А. Гельфер, А. Гудман, И.Е. Базилевич, Ю.Е. Аленицын, И.П. Митюк, В.А. Шлык и другие математики. Актуальность исследования р-листных функций подтверждает большое количество работ по данной тематике, выполненных в последнее время. Отметим работы по изучению подклассов р-листных функций с ограничениями на их коэффициенты [48-53,75,82,83,86,87]; работы, в которых получены условия р-листности, либо критерии выпуклости или звездообразности р-листных функций [1,47,57, 58, 64, 70, 76,90, 92]; исследования по р-листным в среднем функциям [59-63,65,88,89]; другие работы по изучению смешанных или специальных вопросов для меро-
морфных р-листных функций [12,69,77,80,81,84,85,91,93].
Несмотря на многочисленные исследования в данной области, геометрические вопросы теории, такие как, например, теоремы покрытия и искажения р-листными функциями в круге и кольце, задачи об экстремальном разбиении и другие, не нашли должного отражения в литературе. Вместе с тем эти вопросы детально изучены в теории однолистных функций [23, 24, 8, см. об этом]. Цель данной работы - восполнить частично указанный пробел. Сложность проблемы состоит в том, что методы, которыми решены указанные задачи для однолистных функций, не применимы напрямую в случае многолистных отображений. Поэтому необходимо развивать существующие методы исследований. В этой связи нами выбран метод симметризации - один из немногих методов геометрической теории функций, одинаково применимых как для однолистных, так и для многолистных функций. Кроме того, мы используем технику обобщенных приведенных модулей [10]. Отметим, что пионерские работы по применению симметризации в теории многолистиых функций выполнены В.К. Хейманом [39], Дж. Дженкинсом [6], П.Р. Гарабедианом [66], и И.П. Митюком [31, 34]. Приложения симметризации к многолистным функциям представлены также в работах [2,32,33,35,38,40-46,67,68,71,72,74,79].
Первая глава диссертации посвящена развитию метода симметризации применительно к многолистным функциям. §1 носит вспомогательный характер. Во втором параграфе мы распространяем технику разделяющего преобразования В.Н. Дубинина [8] на римановы поверхности.
Рассмотрены два тина такого преобразования: для р-листных римано-вых поверхностей и для поверхностей без ограничения листности. Полученные результаті,і сформулированы в виде неравенств для внутренних радиусов, аналогичных неравенствам в [8] (Теоремы 1.1 и 1.2). В третьем параграфе мы распространяем на случай римановых поверхностей технику усредняющего преобразования Маркуса [78, 79] . В отличие от Маркуса, рассматривающего функции, заданные на плоскости, мы усредняем функции, заданные на р-листных римановых поверхностях с учетом листности накрытия. Вместе с тем, мы опираемся на основной результат М. Маркуса [79]. Аналогичные преобразования для круговой симметризации осуществлялись ранее Дж. Дженкинсом [б], П.Р. Гарабе-дианом и Ройденом [66], Кшижом [72], В.А. Шлыком [43] и другими. В идейном плане в нашем случае происходит соединение усреднения [79] и кусочно-разделяющей симметризации [8]. Однако построенные нами преобразования формально не сводятся к ним.
Во второй главе даны приложения методов первой главы к экстремальным задачам в различных классах многолистных функций. В первом параграфе в качестве примера такого приложения к регулярным функциям доказана следующая теорема покрытия. Пусть функция щ = /(г) = г + а^г1 + ... регулярна в круге \г\ < 1 и отображает этот круг на риманову поверхность обратного отображения 71/. При фиксированном <р, О < ір < 2тг обозначим через 71/(<р,п) связную компоненту 71/, лежащую над углом | а^щ - <р| < 7г/п и содержащую точку /(0). Пусть а/(<р) - произвольная точка на луче ги = <р, которую можно соединить
непрерывной кривой с одним из лучей argw = v^+n» не пересекая при этом проекцию п) на ге-плоскости. Если такой точки не существу-
ет, то полагаем а/(<р) = +оо.
Теорема 2.1. Для любого патуралг>ного п > 1 и вещественного числа в справедливо неравенство
Равенство достигается для функции w = z[ 1 + (е~гвz)n]~2fn, которая конформно и однолистно отображает круг \z\ < 1 па плоскость с разрезами вдоль лучей {w : argwn = 9п, |щ| > yj\}-
При п = 1 этот результат, по существу, доказан В.К. Хейманом [39]. В случае однолистной функции w = f(z) как следствие получаем соответствующие теоремі,і покрытия Кебе, Г. Полиа, Греча, Лаврентьева-Шепелева [26], Г.М. Голузина [4] и В.Н. Дубинина [8]. Отметим, что наш подход единым образом приводит к уточнению и других многочисленных теорем покрытия для многолистных функций, полученных ранее В.К. Хейманом методом симметризации [39].
Во втором параграфе рассматриваются теоремы покрытия для р-листных функций. Приведем следующий результат.
Теорема 2.3. Пусть функция w = }[z) регулярна ир-лиетна в коль-
це 1 < \z\ < R, причем f darg f(z) = 2рк; |/(.г)| > 1 при I < \z\ < R и
И=і
\f(z)\ — 1, когда \z\ — 1. Обозначим через Ь/(<р) верхнюю грань длин отрезков на римановой поверхности обратной функции, лежащих над лучом arg it? = ip и содержащих на конце точку над окружностью |tt?| = 1.
- Київ+380960830922