Исследование моделей принятия решений в условиях четкой и нечеткой информации

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ....-..............-...........-..................................5
ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В
УСЛОВИЯХ ЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ...............................................12
]. Ностинонки задачи 12
1.1. 11онятие математической модели принятия решений..................12
1.2. Сущность исследования моделей принятия решений. Постановка задачи и обзор проблемы...............................................16
2. Бинарные отношении и обобщенное математическое нрш рам мирона нм с •••••♦••••••••♦••••••в•••••••••••••••••••••••■•••■•••••••••••••••••••••••• •• • • ■ 20
2.1. Простейшая структура в пространстве четких бинарных отношений.... 20
2.2. Задача обобщенного математического программирования и ее преимущества по сравнению с задачами оптимального выбора и классического математического программирования............................24
2.3. Задача многошагового обобщенного математическою программирования. Информационная структура.....................................27
2.4. Достаточные условия существования оптимальных решений в задаче обобщенного математического программирования.......................30
3. Бинарные отношения в пространстве бинарных отношений..................33
3.1. Распространение бинарных отношений с множества допустимых ситуаций на множество пар допустимых ситуаций.........................33
3.2. Принципы упорядочения бинарных отношений и их аксиоматическое задание..........................................................35
3.3. Понятие способа реализации принципа упорядочения бинарных отношений ..............................................................40
3.4. Принцип согласования (С). Способы реализации и их иерархическая структура........................................................42
3
3.5. Принцип расширения (Р). Способы реализации и их иерархическая структура........................................................................49
3.6. Принцип насыщения (Н). Способы реализации и их иерархическая структура........................................................................60
3.7. Принцип сближения (Б) и способ его реализации. Эталонная реализация принципов упорядочения.....................................................70
ГЛАВА II. МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ -........................-........................................76
4. Распространение вопросов упорядочения четких бинарных отношений на нечеткий слу чай ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••»••••■•••••••••••••»••••••«••••■••••••••■•а 76
4.1. Простейшая структура в пространстве нечетких бинарных отношений н ее основные отличия от четкого случая......................................76
4.2. Нечеткость и «почти» оптимальность. Моделирование задач обобщенного математического программирования в нечетком случае 79
4.3. Принцип размывания (М) и его местоположение в иерархической структуре принципов упорядочения бинарных отношений..............................82
5. Упорядочение бинарных отношений, основанное на понятиях аппроксимации и регуляризации принципов оптимальности.............................87
5.1. Проблема устойчивости принципов оптимальности. Пример неустойчивого принципа оптимальности.................................................87
5.2. Различные понятия устойчивости принципов оптимальности и взаимосвязи между ними...........................................................90
5.3. Аппроксимация и регуляризация принципов оптимальности.......................96
5.4. Принцип стабилизации (Т) и его местоположение в иерархической структуре принципов упорядочения бинарных отношений.............................101
6. Общая методология априорного исследования математических моделей принятия решений.................................................... .... 105
6.1. Одноэтапные математические модели принятия решений.........................105
4
6.2. Многоэтапные математические модели принятия решений.......111
ГЛАВА III. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ТАРИФНОЙ ПОЛИТИКОЙ В ТОПЛИВНО- ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ КОМПЛЕКСЕ РЕГИОНА 115
7. Математические модели управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе pei иона........................115
7.1. Особенности ценообразования в условиях естественной монополии. Двухуровневая модель принятия решений..........................115
7.2. Перспективное планирование расходной части баланса энергоснабжающей организации.............................................116
7.3. Перспективное планирование доходной части баланса энергоснабжающей организации.............................................122
7.4. Математические модели управления тарифной политикой в условиях нечеткой информации.........................................126
7.5. Исследование математических моделей управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона..............128
8. Вычислительный эксперимент, апробация н анализ результатов 135
ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................—............-..........138
ЛИТЕРАТУРА..................................................... 140
ПРИЛОЖЕНИЯ
152
5
ВВЕДЕНИЕ
В последние несколько десятилетий отмечается заметное развитие математической теории принятия решений, связанное с именами К. Эрроу, Дж. фон Неймана, О. Моргенштерна, П. Фншбсрна. Л. Саваджа, Д. Пакарда. Э. Мулена, Л. Заде, Р. Беллмана и многих других. В последние годы были получены существенные результаты в области аксиоматических основ предпочтения и полезности, субъективной вероятности, мер возможности и необходимости, анализа устойчивости, регуляризации и других важных свойств оптимальных решений.
Данная работа является попыткой продолжить исследования в области теории принятия решений в условиях четкой и нечеткой информации.
Актуальность работы. В настоящее время проблематика социально-экономических систем сопряжена с необходимостью согласования и совместной оптимизации различных направлений деятельности и развития современного общества. Поэтому задачи принятия решений, возникающие при исследовании такого рода систем, носят многогранный характер, который выражается не только в множественности участников, их интересов и сложности взаимных влияний, но и в значительной трудоемкости разработки критериев общественной полезности конечных результатов, учитывающих целый комплекс различных показателей и многосторонних целей. Эффективные методы принятия решений в столь сложных системах могут быть разработаны только лишь на основании специально предназначенного для этого математического аппарата.
Однако усложнение социально-экономической жизни общества привело к тому, что такой развитый и обширный раздел прикладной математики, как математическая теория принятия решении и оптимального выбора, в настоящее время вынужден использовать различные подходы и инструментарии для решения различных задач прикладного характера, а в ряде случаев и вовсе оказывается недостаточным для принятия оптимальных решений. Данная проблема связана с тем, что в данной теории, как правило, априори предполагаются заданными некоторые числовые критерии полезности допустимых альтернатив
6
участников. Но так как при принятии решений в социально-экономических системах ключевую роль играет человеческий фактор, то построение таких числовых критериев, даже если и возможно, то достаточно трудоемко или вообще неразрешимо, по крайней мере, в рамках систематического подхода
Необходимость разрешения указанной проблемы стала причиной активного развития в последнее время исследований, связанных с разработкой универсальных моделей и методов для поиска и изучения свойств решений прикладных социально-экономических задач вне зависимости от их специфических особенностей. Такие исследования, в основном, исходят из общего определения математической модели принятия решений, в котором ключевая роль принадлежит понятиям отношений па множествах допустимых альтернатив участников и ситуаций. Настоящая работа является попыткой продолжить исследования в данном направлении в условиях четкой и нечеткой информации.
Такие отличительные черты социально-экономических систем как множественность участников, заинтересованных в получаемых результатах, их интересов, а также возможных вариантов развития событий приводят к возможности возникновения целой совокупности различных оптнмумов. При условии же, что различные участники могут придерживаться различных, оптимальных по их мнению, стратегий поведения, возникает необходимость сравнения оптимальных множеств, что математически означает необходимость упорядочения не отдельных элементов множества допустимых ситу ации, а его подмножеств.
Рассмотрение такого рода вопросов может быть отнесено к области «апостериорного» исследования моделей принятия решений, так как оно предполагает, что осуществлен поиск всего множества оптимальных решений, причем значительное число раз. Усложнение же исходных постановок задач и используемых для их формализации математических инструментариев делает не применимыми традиционные методы поиска оптимальных решений и приводит к необходимости разработки новых универсальных «диалоговых» процедур, основная идея которых состоит в постоянном взаимодействии программного
7
комплекса (диалоговой системы) с лицом, принимающим решения (ЛПР). В результате, процесс поиска оптимальных решений существенно усложняется, а время на его реализацию возрастает.
Однако по мере усложнения социально-экономических отношений и развития информационных технологий вопрос о снижении времени на принятие решений с постепенным переходом к системам принятия решений в режиме «on-line» становится все более актуальным, что приводит к необходимости разработки друг их механизмов согласования множеств оптимальных решений.
Один из возможных путей решения данной проблемы можно видеть, если связывать множества результатов с бинарными отношениями. Упорядочение таких отношений проводится до запуска процедур поиска решений, и поэтому такое упорядочение можно назвать «априорным» исследованием моделей принятия решений. При этом основная задача должна состоять в разработке единой методологической схемы априорного исследования, и если следовать традициям теории полезности и принятия решений, то в качестве основного математического инструментария следует избрать аксиоматический подход. Построенная в результате проведения таких исследований структура в пространстве бинарных отношений позволит, не приступая к поиску онтимумов, априори гарантировать определенные свойства получаемых множеств оптимальных решений и тем самым отбраковывать «неконкурентоспособные» составляющие.
Однако при моделировании процедур принятия решений, возникающих в реальной действительности, практически все исследуемые процессы являются многоэтапными. Многоэтапность при этом может пониматься в самых различных смыслах, а именно как наличие:
♦ периодов принятия решений, разделенных во времени, на которых совершаются однородные по своему содержанию операции;
♦ одного временного периода, на котором различные по своему содержанию онеріїции совершаются на иерархической последовательности уровнен;
♦ одного временного периода, на котором однородные по своему содер-
8
жанию операции совершаются различными участниками;
♦ одного временного периода, на котором однородные по своему содержанию операции совершаются на основании уточненных данных, полученных в результате реализации предыдущих операций.
Но вне зависимости от того, каким содержательным смыслом наполнена многоэгалноегь процессов принятия решений в каждой конкретной задаче, переход от одноэтапных к многоэтапным моделям принятия решений приводит к необходимости проведения ряда дополнительных исследований.
Во-первых, при планировании на перспективу параметры модели уже утрачивают детерминированный характер, что становится причиной выбора инструментария для учета возникающей неопределенности. При этом в условиях оперирования не числовыми функциональными критериями качества, а отношениями на допустимых множествах, а также в связи с необходимостью максимально полного учета человеческого фактора и невозможности в ряде случаев накопить историю реализации неопределенных параметров модели, наиболее целесообразным представляется использование при принятии решений в социально-экономических системах аппаратов теории нечетких множеств и основанной на ней теории возможностей.
Во-вторых, недетерминированный характер моделей принятия решений требует предусмотреть возможность сохранения значений и свойств оптимальных решений при фактической реализации значений параметров, отличных от плановых, а значит, и необходимость выполнения свойств устойчивости оптимальных решений. Если же свойство устойчивости не выполняется, то исходную математическую модель нельзя считать корректной, и она должна быть в некотором смысле регуляризована другой моделью.
В-третьих, структуры в пространстве бинарных отношений, построенные на каждом шаге многоэтапного процесса, могут не сохраняться вдоль всего процесса, а следовательно, достигнутые но его окончанию множества оптимальных решений могут не обладать теми свойствами, которые были получены
9
на каждом шаге и которые предполагалось получить в ходе реализации всего процесса. Как результат, возникает необходимость построения и исследования не только локальных упорядочений бинарных отношений в моделях принятия решений, но и их упорядочений в глобальном смысле.
Полученные результаты проводимых исследований могут успешно применяться при принятии инновационных, инвестиционных, социальных, политических решений, при анализе и стратегическом планировании хозяйственной деятельности как отдельных предприятий, так и отраслей народного хозяйства в целом, при разработке лингвистических моделей, сисгем имитационного моделирования и искусственного интеллекта, баз знаний, нейронных сетей, автоматизированных экспертно-аналитических систем поддержки принятия решений, а также в дальнейших исследованиях и разработках в области принятия решений в условиях четкой и нечеткой информации.
Широта применения результатов диссертационной работы говорит об ее актуальности.
ддесертацион,!юй работы является:
♦ разработка и исследование принципов упорядочения бинарных отношений в моделях принятия решений, конструктивных механизмов реализации данных принципов и построения на их основе структуры в пространстве четких бинарных отношений:
♦ распространение упорядочений из пространства четких в пространство нечетких бинарных отношений в моделях принятия решении, исследование проблем устойчивости принимаемых решений:
♦ исследование многоэтапных моделей принятия решений и упорядочений последовательностей бинарных отношений в моделях принятия решений;
♦ применение разработанного инструментария к прикладным математическим моделям принятия решений.
Методы исследования. В работе используются аппараты теории полезности и принятия решений, выпуклого анализа, исследования операций, обоб-
10
[денного математического программирования, математической логики, теории нечетких множеств, возможностного программирования, теории устойчивости.
Научная новизна. В диссертационной работе используется новый систематический подход к исследованию упорядочений в пространстве бинарных отношений в моделях принятия решений. Благодаря введению в рассмотрение принципов упорядочения отношений, их аксиоматическому заданию и разработке способов реализации появилась возможность для построения структуры в пространстве четких бинарных отношений в моделях принятия решений.
Использование для учета неопределенностей аппаратов теории нечетких множеств и теории возможностей позволило разработать принцип размывания упорядочения бинарных отношений, провести исследования устойчивости и регуляризации принципов оптиматыюсти, порожденных данными бинарными отношениями, распространить структуру из пространства четких в пространство нечетких бинарных отношений в моделях принятия решений и построить общую методологию априорного исследования моделей принятия решений.
Выбор в качестве исходной постановки задачи обобщенного математического программирования позволяет применять предложенный инструментарий для широко класса прикладных задач. В диссертации сю применение продемонстрировано на примере разработанных математических моделей управления тарифной политикой в топливно-энергетическом комплексе региона.
Степень обоснованности и достоверности научных положений и выводов. Бее результаты диссертационной работы строго доказаны в соответствующих утверждениях, что говорит об их достоверности.
Научная новизна результатов. Все результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми.
Теоретическая и практическая значимость. Исследование, проведенное в диссертационной работе, является законченным.
Результаты исследований диссертационной работы, предложенные математические модели управления тарифной политикой в тоиливно-энергети-
[I
чсском комплексе региона, инструментарий для их исследования, а также созданная на их основе автоматизированная система поддержки принятия решений успешно внедрены в практику работы Региональной энергетической комиссии (РЭК) Сан кг-Петербурга (имеется соответствующий Акт о внедрении, приведенный в 11рнложении 1 к диссертационной работе).
Апробация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры математической теории экономических решений факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, на XXX-ХХХП1 научных конференциях «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, СПбГУ, 1999-2002), 1-П Международных научно-практических конференциях «Финансовые проблемы РФ и пути их решения: теория и практика» (Санкт-Петербург, СПбГТУ, 2000-2001), Всероссийской научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГУ, 2000), III Международной научно-практической конференции «Экономические реформы в России» (Санкт-Петербург, СПбГТУ, 2000), Всероссийской конференции «Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике» (Тамбов, ТГУ. 2000). 3-4-й Международных научно-практических конференциях «Экономика, экология и общество России в 21-м столетии» (Санкт-Петербург. СПбГТУ. 2001-2002), 3-ем Всероссийском симпозиуме «Стратегическое планирование и развитие предприятий» (Москва, ЦЭМИ РАН. 2002), на заседаниях Общественного консультативно-экспертного совета при Региональной энергетической комиссии (РЭК) Санкт-Петербурга, а также были использованы в программах курса по выбору «Методы прикладной математики в экономике» и специального курса «Теория решений».
Результаты исследования отражены в работах [17,26-35,50,73 78].
12
ГЛАВА I. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ЧЕТКОЙ ИНФОРМАЦИИ
1. Постановка задачи
1.1. Понятие математической модели принятия решений
Для постановки задачи введем в рассмотрение понятие математической модели принятия решений.
Определение 1.1. Под аппроксимирующей моделью некоторой ситуации будем понимать выделение из всего множества факторов, характеризующих рассматриваемую ситуацию, факторов, влияние которых принимается существенным в рамках исследования данной ситуации.
Определение 1.2. Под математической моделью некоторой ситуации будем понимать формальное (знаковое) описание факторов, характеризующих рассматриваемую ситуацию и выделенных на этапе построения аппроксимирующей модели данной ситуации.
Обозначим множество математических моделей через Ж, а его элементы — т еЖ. Определенный интерес как в практической жизни, так и в математических исследованиях представляют проблемы принятия решений.
Определение 1.3. Под проблемой принятия решений будем понимать ситуацию, требующую определенного разрешения, принятие которого осуществляется на основании выдвижения ряда рекомендаций.
При таком определении проблемы принятия решений естественно определить понятие математической модели принятия решении как математическую модель проблемы принятия решений. Однако введем данное определение более строго [117].
Определение 1.4. Математическая модель принятия решений есть совокупность (кортеж) следующих элементов: ш0 = ('./, (7,, X,., X, г),г0, Су, где * J =■ {/} — множество участников;
13
♦ С, — множество целей у-ого участника, jeJ^,
♦ А', —множество допустимых альтернатив у-ого участника, у е./;
♦ X = У\Х1 — множество допустимых ситуаций;
«М
♦ г — Л’ .-нарное отношение на множестве допустимых альтернатив } -ого
к, ^
участника: г) ^ \\Х., у еУ;
*-1
♦ гс, — агрегированное ^„-парное отношение совокупности участников в це-
ч __
лом на множестве допустимых ситуаций: г0 с ]~| X;
пэ|
♦ С—множество результатов.
Участник в данном определении понимается в самом широком смысле. Участниками могут быть как отдельные индивидуумы или их коалиции, так и ограничения на поведение системы, заданные извне. В частности, одним из участников при принятии решений можно считать и «природу», формализация поведения которой приводит к стохастическим моделям принятия решений.
На допустимые множества, как правило, накладывается дополнительное условие на включение их в некоторое заданное универсальное множество (универсум): X/ С1X, которое при решении практических задач в социально-экономических системах можно отождествить с неотрицательным ортантом евклидового пространства. Тогда элементами наборов, характеризующих допустимые альтернативы, будет некоторые числовые абсолютные и/или относительные показатели. В качестве таких показателей могут выступать как естественные числовые характеристики (цена, объем производства, спроса и предложения, доходность, оборачиваемость, эластичность и прочие), так и характеристики, кажущиеся на первый взгляд нсподлежащими какой-либо форматизации, например, «качество продукции». Однако в настоящее время разработана нормативная база, позволяющая численно оценивать и этот показатель. Так, Законы РФ [2н,3н] рассматривают качество продукции как соответствие нормати-
14
вам, установленным на основе выявленных предпочтений потребителей.
При этом проведенный анализ требований к практическим задачам принятия решений в социально-экономических системах показал, что в качестве X, можно понимать выпуклые, ограниченные и замкнутые подмножества универсума. Действительно, выпуклость означает возможность выбора наряду с двумя допустимыми альтернативами и любой их комбинации, офаиичепноеть является своеобразным аналогом «законов сохранения», а замкнутость позволяет утверждать, что предельное значение любой последовательности допустимых альтернатив также является допустимой альтернативой.
Достаточно часто при математическом моделировании проблем принятия решений посредством задач многокритериальной оптимизации происходит отождествление понятий «цель» и «целевой функционал» участника. Однако, например, при планировании расходной части баланса энергоснабжающей организации в третьей главе настоящей работы целью является достижение по всем производителям на горизонте перспективного планирования эталонных полезных отпусков энергии, где достижение понимается в различных смыслах посредством выбора определенных политик распределения денежных средств. При одновременном же использовании нескольких политик возникает задача с несколькими целевыми функционалами, но по-прежнему с одной целью. Таким образом, целевые функционалы являются лишь способами достижения участниками множеств целей, 110 не самими целями.
Наличие же множеств Сгг, С и отношений г,, г, выделяет математические модели принятия решений во всем А/. что позволяет представить их в виде:
Проблема принятия решений при этом считается разрешенной, если найдено множество С такое, что С = (7(0',), где под заданием О, и О обычно по-
нимается выделение некоторых подмножеств из X/ и X соответственно.
Определение 1.5. Под принципом оптимальности в классическом смысле
15
понимается отображение вида С(т) : М ь-э V . Допустимые ситуации х° е С(т) называются при этом оптимальными ситуациями.
Задание принципов оптимальности может носить абстрактный характер. Но такая ситуация рассматривается, как правило, лишь в математических исследованиях, не имеюших практической направленности. При решении же прикладных задач обычно задается (явно или неявно) способ движения от О' к С, и когда будут исчерпаны возможности дальнейшего движения, то ситуации, на которых произошел останов, и выбираются в качестве оптимальных.
Одним из наиболее распространенных способов движения является постепенное улучшение ситуаций в смысле =г0(г ). При этом, как показывает
практика, психофизические особенности человека таковы, что в реальной жизни он оказывается более склонным к попарному с[ювнению предъявляемых альтернатив, что приводит к использованию в математических моделях принятия решений бинарных отношений: Л'0 = Дг =2, JeJ.
Определение 1.6. бинарным отношением г на Л' называется множество вила г = Ц(х,, х2 )|(х,, х,) е X х X}.
Определение 1.7. Пусть г —бинарное отношение на А',тогда
♦ г называется отрицанием г, если г = X х X г;
♦ г'1 называется обратным к г, если (х,,х2)е /■ о (х2,х. )е г '\ Ух,,х2 е X;
♦ р называется двойственным к г, если р~гЛ .
Определение 1.8. х„ € X называется оптимальным по доминированию в смысле г4, если он находится в отношении г0 со всеми остальными допустимыми элементами: С°(Х,г1) = (гь € АГ|(хв,х)б гиУх € X).
Определение 1.9. х0 € X называется оптимальным по блокировке в смысле г%, если не существует допустимых элементов, отличных от х0, находящихся
16
с ним в отношении Г
Таким образом, если задано гс, то может быть определено и множество результатов. Актуальна и задача обратного построения, причем она разрешима неединственным образом. Пусть, например, 0 *С(Х)с. X — множество результатов. Введем в рассмотрение следующие бинарные отношения:
тогда С°(Х,г0°) = С(Х) и С°(Х,гсе) = С(Х), причем данные соотношения важны не столько с конструктивной, сколько с содержательной точки зрения, так как позволяют в некотором смысле отождествить понят ия бинарного отношения и принципа оптимальности.
Нетрудно видеть, что С°(Л\г#)* С,(Л\г0'1). Однако в социально-экономических системах, в силу неизбежного наличия конфликта участников (неполноты информации), сам оптимум бессмысленно точно фиксировать. Разумнее находить «подходящие» решения, то есть понимать оптимальность не как доминирование некоторой ситуацией всех остальных, а как несуществование для некоторой ситуации таких, которые будут ее доминировать. Именно на этом принципе основана, например, предложенная в 1904 году идея Парето об осуществлении поиска возможных решений лишь среди неулучшасмых. Поэтому везде в дальнейшем будег рассматриваться лишь множество С*(Х,г0).
1.2. Сущность исследования моделей принятия решений.
Постановка задачи и обзор проблемы
Так как в рамках настоящей работы множество результатов определяется исключительно отношением г0, а его варьирование позволяет получить целую совокупность различных множеств оптимальных решений, то первоочередную
(1.2)
(1.3)