ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..............................................................3
ГЛАВА I. Классы мероморфных в круге функций, характеристика Певанлинны которых допускает степенной рост вблизи единичной окружности
§1.1. Доказательство вспомогательных утверждений.....................22
§1.2. Характеризация полюсов и корневых
множеств класса М(а, со).......................................30
§1.3. Параметрическое представление класса N(a,o>)...................35
§ 1.4. О свойствах бесконечных произведений 39
§ 1.5. Параметрическое представление классов N(a)....................51
§1.6. Оценки коэффициентов разложения функций класса А(а) и
описание мультипликаторов......................................53
§1.7. Параметрическое представление класса Ай(а,со)
в односвязной области..........................................59
ГЛАВА II. Факторизация и параметрическое представление классов мероморфных функций, характеристика Неваилинны которых принадлежит весовым 1р пространствам §2.1. Новое параметрическое представление класса A^(D)
в единичном круге..............................................64
§2.2. Параметрическое представление и характеризация множеств нулей и
полюсов класса N£(C) на конечной плоскости.....................81
§2.3 Описание корневых множеств класса N(a,osp)......................95
ЛИТЕРАТУРА..........................................................105
3
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. В теории мероморфных функций, как, впрочем, и во всем комплексном анализе, одним из важнейших направлений является изучение задач, связанных с характеристикой полюсов и корневых множеств и построением факторизационных представлений различных классов функций. Развитие этого направления началось со ставших классическими факторизационных теорем Вей-ерштрасса, Лдамара и Бореля в теории целых функций конечного порядка, построения внешне - внутренней факторизации классов Харди и функций ограни-ченного вида в классических работах Р. Неванлинны и В. И. Смирнова. Эти результаты изложены в хорошо известных монографиях Р. Неванлинны 11 —2], И. И. Привалова [3], Б. Я. Левина [4], М. М. Джрбашяна [5], А. А. Гольдберга и В. И. Островского [6], П. Кусиса [7]. Д. Гарнетта [8], У. Хеймана [9], К. Гофмана [10]. Помимо того, что результаты, полученные в этой области, представляют самостоятельный интерес, они играют существенную роль в исследовании внутренних проблем комплексного анализа и его приложениях в других разделах математики.
Целесообразность применения все более широких классов функций в различных научных дисциплинах обуславливает необходимость дальнейшего развития аппарата представлений комплексного анализа и поиска новых факторизационных представлений, отвечающих особенностям вновь возникших задач.
Цель работы. Целью настоящей диссертации является установление свойств множеств нулей и полюсов и факторизационных представлений весовых классов мероморфных в круге и на конечной плоскости функций.
Мстоды исследовании. В работе применяются методы линейного и комплексного анализа, а также более специальные методы теории интегро-диффереициальных операторов и теории функциональных пространств.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты: - установлена полная характеризация множеств нулей и полюсов и построены параметрические представления классов мероморфных в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет мажоранту, допускающую степенной рост при приближении к граничной окружности;
4
- получены аналогичные результаты в односвязной области;
- найдены точные оценки коэффициентов и описано множество мультипликаторов из указанных классов;
- построено новое параметрическое представление классов мероморф-иых в круге функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым пространствам I/ (0 <р< -юс);
- получены аналогичные результаты для классов мероморфных на конечной плоскости функций;
- установлено описание множеств нулей и полюсов и построено параметрическое представление классов мероморфных на конечной плоскости функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит пространству £' с экспоненциальным весом.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в общей теории мероморфных функций, в теории операторов, гармоническом анализе.
Апробация работы. Результаты исследования нашли отражение в десяти печатных работах, докладывались на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории фу нкций и смежные проблемы» (Воронеж, 2001 г.), на XXIII Конференции молодых ученых механико - математического факультета МГУ (Москва, 2001 г.), на семинаре по пространствам голоморфных функций Брянского университета имени академика И. Г. Петровского (1996 - 2001 гг.). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [45 - 54].
Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 10 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 107 страниц. Библиография содержит 54 наименования.
Содержание диссертации.
Для изложения содержания диссертации вначале приведем обзор некоторых результатов, связанных с тематикой работы. Пусть /.) = {z:|rj< l} единичный
крут на комплексной плоскости, Н(1)) - множество всех голоморфных в D функций. Характеристикой Неванлинны мероморфной функции / назовем функцию
г
*('>/) ~Ч0>/)
где 1п'1<я| = 1пах§а(й|,о}, Л^(а,/) = |
(
- усредненная считающая функция
о
последовательности полюсов функции /, «(г,/) - количество полюсов / в круге |г| < г, /1(0,/) - кратность полюса / в начале координат.
В классических работах Р. Неванлинны [2] и В.И. Смирнова [11] был исследованы вопросы факторизации функций щраниченного вида. Напомним, что функция/называется функцией ограниченного вида, если характеристика Неванлинны этой функции ограничена на интервале (0;1). Этот класс называют классом Неванлинны и обозначают символом N. Р. Неванлинне принадлежит следующая теорема: класс N совпадает с классом функций / допускающих в О представление
Из результатов Неванлинны следует, что класс N совпадае т с классом мероморф-ных функций, являющихся отношением двух ограниченных аналитических в единичном круге функций.
Указанная факторизация имеет существенное приложение в различных вопросах теории функций, функциональною анализа (см. [12-14]). Однако часто возникает потребность построения представления, аналогичного (0.2) для более широких классов функций, чем класс функций ограниченного вида.
Мероморфная в О функция называется функцией конечного порядка р, ес-
(0.2)
где Я(г,.%)=П—1—г“т~^т ~ произведение Бляшке, нули которого удовлетворяют
»и 1-*** ы 400 / \
условию и(0) -функция конечной вариации на отрезке [-я\/г], та-
ы
кая, что почти всюду
ли
-►1-0 , 1
1п--------
1-г
= р (0 £ р < -н»). Если при этом Ііт Т(г, /)(1 - г)р = <г (0 < а < ко),
то функция / имеет нормальный тип. Исследование классов функций конечного
вом нулей или полюсов функции конечного порядка р тогда и только тогда, когда для любого £ > О сходится ряд
Естественно возникает вопрос о более точной характеризации таких множеств для функции конечного порядка р и нормального типа. Методы, применяемые в работе Цудзи, не позволили эту задачу решить до конца. В главе I диссертации предлагается новый подход к изучению таких вопросов, что позволило окончательно решить указаннуто задачу, а также установить аналоги классических теорем Неван-лиины для исследуемых классов.
Другой подход к рассмотрению более широких, чем функции ограниченного вида, классов мероморфных функций был положен Р. Неванлинной в [2]. Им был введен класс мероморфных в О функций/, дтя которых характеристика Т(г,/) подчинена ограничению
где 0О-1. В дальнейшем этот класс обозначим через 1)). Неванлинна установил, что если /е Л\(Р) и {гД“' - последовательность нулей или полюсов/ то
В работах М. М. Джрбашяна [16-17] было построено каноническое представление класса Ыа(1)). Он доказал, что функция /€ N'„(0) допускает представле-
порядка было начато Цудзи в [15]: последовательность {гД"' является множест-
(0.4)
о
(0.5)
В дальнейшем Ф.А. Шамоян (см. [18]) исследовал вопрос о принадлежности факторов па{г,гк\ ехр(//в(2)) классу Ыа(В). Им было установлено, что существует функция из Ма(0), для которой соответствующие факторы не принадлежат В то же время, поскольку Ып(0) с Мр(й) при (3>а, то каждая функция / е Ма(В) допускает факторизацию в N//0), то есть
принадлежат классу N</0). Этим было доказано, что условие (0.5) не только необходимо, но и достаточно для существования функции /е Ма(Г)) с заданными нулями и полюсами и на этой основе было построено параметрическое представление классаЫп(О) (см. [19-21]).
В 60 х годах М.М. Джрбашяном (см. [5], [22]) были введены другие классы мероморфных в круге функций, существенно отличающиеся от классов N„(0).
Другое обобщение классов N^0) принадлежит' Ф. А. Шамояну. В [23] построены классы И*{П) голоморфных в Э функций, удовлетворяющих условию
где 0<р<-Ьсс, со - положительная на (0; 1] функция из Д(0,1). Получено полное описание корневых множеств и построено параметрическое представление этих классов. В главе II диссертации результаты Ф. А. Шамояна распространены на классы мероморфных функций и установлено новое параметрическое представление указанных классов, являющееся аналогом классического представления (0.2), (0.3).
Классы целых и мероморфных функций на конечной плоскости связаны в первую очередь с порядком функции. Напомним, мероморфная в конечной плос-
Ф. А. Шамоян показал, что при такой факторизации ^(2,2*) и схр(лДг))
кости функция называется функцией конечного порядка р, если
,_И_ о |П г
8
(0£ р< -их>). Классические теоремы Адамара и Вейерштрасса устанавливают факторизацию целых функции конечного порядка.
Достаточно изученными классами мероморфных в конечной плоскости функции являются классы функций конечного А- типа, рассматриваемые А. А. Кондратюком в [24]. Пусть А - положительная непрерывная, возрастающая и неограниченная на (0,+со) функция. Мероморфная функция называется функцией конечного А,- типа, если существуют постоянные А и В, при которых Г(г,/)£ АЛ{Вг) при всех г>0. Применяя метод рядов Фурье, основанный на работах Л. Рубела и Б. Тейлора [25-26], А. А. Кондратюк получил полную характеристику корневых множеств целых функций конечного А- типа. Однако указанная шкала является довольно фубой для функций бесконечного порядка, в частности, при Цг) = ехр^*“}. В главе И диссертации мы используем другой подход к исследованию мероморфных функций бесконечного порядка, позволяющий частично снять указанный недостаток.
Заканчивая обзор по теме диссертации, отметим работы Б. Коренблюма [27] и К. Сейпа [28], в которых рассмотрены голоморфные в круге функции, модуль которых имеет степенной рост вблизи границы круга. Распределение значений мероморфных функций нулевого порядка исследовано в работе Т.-Ю. Чена [29]. Аналог факторизации Неванлинны классов функций ограниченного вида в случае полуплоскости был получен в работа В. И. Крылова [30]. В настоящее время А. М. Джрбашян получи;! параметрическое представление весовых классов мероморфных функций в полуплоскости, сходных с классами N^1)) (см. [31, 32]).
Перейдем теперь к обзору основных результатов диссертации по главам. В первой главе установлено полное описание множеств нулей и полюсов и построены параметрические представления классов .Лг(а,со) и //(а) в единичном круге. Результаты распространены на классы Ас>(а,а>) голоморфных в односвязной области функций. Получены точные оценки коэффициентов функций класса А(а) и описано множество мультипликаторов из этого класса.
В §1 главы I введены основные обозначения и доказаны утверждения вспомогательного характера, применяемые в дальнейшем.
- Київ+380960830922