Введение
Автоморфизм - это одно из наиболее устойчивых понятий в математике. Зачастую немалую информацию о том или ином об1»екте дает описание его группы автомор<|жзмов. Помимо автоморфизмов изучают такие тесно связанные е ними понятия, как орбиты, стабилизаторы, неподвижные точки л. т. д. Порою изучение этих понятий приводит к созданию глубоких теорий, как произошло, например, с линейными, алгебраическими, фук-совыми группами, группами классов отображений, движений пространств
и. т. д.
Иногда говорят, что задачей любой науки является полное описание тех объектов, которые эта наука изучает. С этой точки зрения задачей теории групп является полное описание всех групп. Естественно, в полной мере эта задача легализуема, поэтому выделяют подклассы групп для изучения, например изучают конечные, бесконечные, непрерывные, разрешимые, метабелевы. нилвпотентные и иные группы. Один из классов групп, достойный изучения - 1 руины автоморфизмов групп. Среди обзоров по ав10мо]и|)измам tpytili мы отметим [24] и [19].
Представим себе, что имеется описание автоморфизмов некоторой группы С (например, в терминах порождающих и определяющих соотношений.) Допустим, что V характеристическая (т.е. выдерживающая все автоморфизмы) подгруппа группы G. В этом случае каждый автоморфизм а группы G индуцирует автоморфизм б группы G/V по правилу ä(xV) = o(.r)V' и имеется естественный гомоморфизм Aut (6’) -» Aut (G’/V). Естественно задать два вопроса:
1) Яиляется ли отображение Aut (6‘) -4 Ax\t(G/V) сюрьективным?
2) Если отображение Aut ((?) -> Aut {G/V) сюрьективно, то каково ядро этого отображения?
Очевидно, что и случае полного ответа па указанные вопросы группа Aut(6’/V') становится описанной. К сожалению, ответ на второй вопрос как правило неизвестен даже в случае ыорьективносги отображения Aul (6') -t .Aut {G/V). Вообще говоря, и запас описанных групп автоморфизмов невелик. Необходимо отмсти гь несколько бесконечных дискретных Групп, чьи группы автоморфизмов хорошо изучен»,I. Во-первых, это свободные фуппы конечного ранга, чьи группы автоморфизмов были описаны
Нильсеном [23]. Во-вторых, это группа автоморфизмов свободного произведения неразложимых в свободное произведение групп. (В этом случае группы автоморфизмов слагаемых свободного произведения предполагаются изученными.) Впервые подобное описание было осуществлено Фукс-Рабиновичем [9]. Автоморфизмы групп F„f К, где V<3Fn - характеристична в F„. a F,, - свободная группа конечного ранга, называют ручными.
Обозначение. Пус ть G группа, V < G - .характеристическая подгруппа. Aut (G, V) < Aut (G) - подгруппа, состоящая из тех автоморфизмов группы G. которые индуцируют тождественные автоморфизмы группы G/V.
Собственно, Ant(G, V) — Ker(Aut(6‘) -> Aut (G/V)}. Особо выделяют
группу lAut (G) '= Aut (G,G'). Автоморфизмы из IAur (6‘) получили название 1А-автоморфи.умои (от aiiivrm'i* кнх слов ”I<lentical in Abelization"). Чем интересны эти автоморфизмы? Прежде всего, если G группа, а V < G' её характеристическая подгруппа, то существует естественный гомоморфизм IAut [G) -> IAut [G/V). Соответственно, можно задать вопрос о сю-рьективности и ядре этого гомоморфизма. Кроме того, если некот орый IA-автоморфизм группы IAut (G/V) индуцируется некоторым автоморфизмом группы G, то он индуцируется некоторым 1А-автоморфизмом группы G. Следовательно, если ІА-аізтоморфизм группы G/V не индуцируется некоторым ІА-автоморфи змом группы G, то отображение Aut (G) -т Aut (G/V). не является СЮрЬСКТИВІІММ. Бол«' того, было известно, что если все IA-автомо]>физмы свободной мстабслсвой группы F„/F„ ручные, го и все автоморфизмы группы K/F” • ручные.
Приведённые выше соображения стимулировали исследование автоморфизмов и ІА-автоморфизмов мегабелевых групп конечного ранга.
Приведём ниже неко торые известные результат ы об автоморфизмах мс-табелевых групп.
1. S.Bachmuth. 19G5 год, [11]. Доказано, что группа Inn {F") = IAut {F^/Ff}), откуда следует, что все автоморфизмы группы FijF'!} ручные. В той же работе дано вложение, позже получившее название "вложение Бахмута”.
2. O.Clicin, 1968 год, [17]. Получен ІА-автоморфизм свободной метабелс-вой группы F-л/F". Ft = Гз(х,г/,г}, который не является ручным. Этот ав-
\ x-+(ÿyzf
томорфизм задаётся при помощи отображения: < у -> у; , где
{ z -» 5;
(х — I)2 е Z(Fn/FZ), х - образ в F.i/F/i элемента х при естественном отобра-женин Fj -4 Fs}Ху f/, z - образы элементов .г, у, z в Fs}Ff/ при естественном отображении Fs -> Fs}F!} и коммутаит- группы F^}Ff} рассматривается как модуль над ZlFs/Ff).
3. S.Baciiniuth, E.Formaaek, H.Y.Mochizuki, 197C, [12]. Пусть R<l F?, Я С F групповое кольцо Z(FijR') lie содержит делителей нуля. Тогда Inn {F}Я') = IAut {FJR').
4
4. S.Bachmuth. H.Y.Mochizuki, 1082. [13]. Докачано, что г руппа Aul {F.\fF£) бесконечно порождена, что (>езко контрастирует <• конечной порождённо-сгыо группы Aut (F3).
5. S.ßadiinuth, H.Y.Mochizuki, 1982, [14] п В.A.Ромаш,кои, 1982,[б], независимо. Доказано, что нее 1А-аитоморфизмы и, соответственно, автоморфизмы группы F„ /F" при н > 4 - ручные.
Основные методы, которые использоваиись при исследовании автоморфиз-мов метабелевых групп - это дифференцирования Р.Фокса и вложение С.Бахмута. В 1905 году С.Бахмут получил вложение Aut (Fn/R', R/R') GL,,(Z(F,,//?)). устанавливаемое при помощи формулы:
Aut (F„//?\ /?//?') э Ф -» ||^(i;))A>x,||,
где O/Oxj ні санированные частные производные Р.Фокса, ж,- образы в Fn/R элементов Хі Є F„, а х,- - образы в Fn/R' тех же элементов ц. При этом при Л = F'n вложение приобретает вид
IAut (F,./0 Э ф -> \Шх;))/д.ч\\.
и матрица ||<ц;||„хп € GL„(Z(F„/F,')) является образом некоторого IA-автоморфизма при вложении С.Бахмута тогда и только тогда, когда дня всякого і = 1,н выполнено і ~ 1) = т, — 1.
Автор скі>іщснт)>провал свои усилия на изучении 1А-автоморфизмов метабелевых произведений абелевых групп без кручения. Ввиду того, что автоморфизмы свободных пікш зведений абелевых групп полностью описаны, вопрос о сюрьектишюгтн отображения Aut (.4) -+ Aut (А/А”), где А - свободное произведение' абелевых групп без кручения, имеет смысл.
Пусть .4 = П‘,—Л- свободное* произведение абелевых групп без кру-чения. Тогда для всякой подгруппы Р <3 А, Р С С.С - декартова подгруппа группы .4, группа Р/Р' является характеристической в А/P1 (ем. лемму 9). Следовательно, всяїсий автоморфизм группы А/Р1 пинцирует' автоморфизм группы А/Р. Можно построить такое расширение кольца А Э 'i(AfP), что всякий элемент кольца Z(А/P) вида (ж — 1),х # (А/Р)' обратим в >1. Кольцо А ассоциативное и с 1.
Каждый !А-антоморфизм ipynnw А/P можно продолжить до автоморфизма кольца А и. следовательно, до автоморфизма г руппы GL„(.4). Обозначим через GL„{.4) A IAut (А/P) расширение группы GL„(Л) при помощи группы IAut (А/Р).
Автор обобщил понятие дііф(|м'|м*нцироваііий Р.Фокса на случай свободных произведений іруїіп. Известно, что производные Р.Фокса тесно связаны с вложением П.Магнуса группы Fn/R.‘ группу матриц. Аналогом вложения В.Магнуса д.чя свободных произведений групп является вложфіце А.Л.Шмелькина. Автор стремился определить новые производные. чтобы
.о
5
они играни гу же роль во вложении А.Л.Шмелькина, что играют нроиз-водные Р.Фокса но вложении В.Магнуса.
Определение. Говоря г. что отображение L), : ZA -4 ZAti — 1,м, являет* ся обобщённой частной производная если оно удовлетворяет следующим свойствам:
(2.1) для всех х е Л,-, выполнено Д (х) = (х — 1);
(2.2) для всех х 6 Aj, выполнено Di(x) = 0,i Ф j;
(2.3) если z = ш\ и. v € ZЛ, то Dx(z) = uDx(v) + е(и)Д(д);
(2.4) если :au + и,м,v е ZA , то Dt(z) = A(u) + A(ti),
где € - гомоморфизм трнвиализации. Индуцированные частные производные D-, : ZA -+ Z(A/P),i = 1,п, определены по правилу А *= г'(Di), где т' обозначает естественное отображение Z.4 —> Z(.4/P).
Заметим, что из вложения А.Л.Шмелькина следует, что Ä(ö) = I) для всех i = 1.м тогда и только тогда, когда а <Е А/Р'. Поскольку D-,(ab) — D{(u) ДЛЯ тех а 6 .4. Ь € А/Р1. мы получим, что />;,» = 1,/». реально действует «и Z(A/P') н Z(A/P).
Дпя каждого х € А мы обозначим ого образ в А/Р' через .г. Для каждого х € А/Р' мы обозначим его образ в А/Р через х. Дня каждого х € Л мы обозначим его образ в А/Р через х. Для каждого автоморфизма г* группы А/Р1 мы обозначим индуцируемый им н А/Р автоморфизм через а.
Оказалось, что дня всяких групп Л, при всяком автоморфизме а 6 Aut (А/Р’) и произвольных 1 ф х € Л,,1 ф у € Aj,j = 1,п, выполнено
(A(f) - 1)-‘Д,-(а(х)) = (п(у) ~ 1Г1 АЛ«(У))
При этом, если Л, - нециклическая, то (Л(х) - I)-1 Dj(a(x)) € Z(А/Р). Это позволило доказать следующие тео|>емы.
Теорема Группа IAut.(А/Р") вкладывается о GL,,(Л)AIAut (А/Р) по пропилу
(<>(.?,) - 1) ... о -1 Di№.)) ... D,M*i))
& 4(0, 0 ... 0 • *• ••• DM*,)) ... D,M*D) • ■ • • • •
0 ... №п)-1) DM*,,)) ... D,Mi»))
где 1 ф xj € Л |. 1 ф х-2 6 A'l,... ,1 ф хп € Л„ - произвольные элементы и о € IAut (А/Р'). Более того, это вложение не зависит от выбора х,, ш.е. для всех 1 ф у € Л#. 1 ф х € Л<; к & {1.2.»},<£> € IAut (А/Р') выполнено
- \)-'Du№)) = №) -1 Г'ОМу))-
Также, если Л; - не.цикгическая, то для каждого х € Л; и для всех к = 1,н, .им имеем (ф(х) - l)~lDl(v(x)) G Z(А/Р).
56
Положим Р = А', тогда справедлива
Теорема Моноид ІЕпсІ (А/А") вкладывается в Ма*п(«4) по правилу
(5,-1) ... 0 -і /?1 <*(*»)> ... Пп(ф{іі))
ф-^ 0 ... 0 А(Ф(*г)) ... І>п(ФШ)
• •• ••• ••• 0 ... (хп — 1) Оі(Ф{хп)) ... £>„{<р{хп))
где 1 ^ і] Є >1], 1 Ф і-і € Л2,..., 1 ф х„ € А„ - произвольные элементы и ф Є ІЕпсІ {А/А"). Более того, ото вложение не зависит от выбора х;, т.с. дм всех 1 ф у Є Л,,1 ф х Є Л,; к Є {1,2,..., »},<*> Є ІЕпсІ (Л/Л") выполнено
(х - 1 Г1 &*(№)) ■ (V ~ 1)~‘ Ок(Ф(у)).
Более того, ф является IА-автоморфизмом тог0о и только тогда, когда сі(>Ар(ф) € ±Д/АГ. Кроме того, если .4,- - нециклическая, то для всякого 1 Ф х Є Аі и всех к = 1,я выполнено (х — І)“12)*(<£(і-)) Є 2(А/Л').
Эти теоремы можно переформулировать следующим обратом.
Теорема Предположим, чтоЛ^Ао,...,^* - нециклические группы. Пред-положим, Ак+иАь+ъ.. .,А„ - бесконечные циклические. Группа ІАиі {А/А11) вкладывается в СЬп(2(Л/А#)) по правилу
Ф-^ <Цав~1((«1 - 1)>(*2 - 1),..., (ХА: - 1). 1,1,. • ■, 1) || А‘(ф(£;))|| X х<^“‘(1, 1,...,1>(£*+і - 1),(х*+2 - 1)>...,(5„ - 1)},
где 1 ф Хі € Лі,1 Ф х? € Л2,...,1 ф хь € Ль ~ произвольные элементы, ф € 1АиЬ(Л/Л") и Лд.+ | =< х*+, >,Л*+а =< х*+з >,...,Лп =< хп >. Кроме того, это вложение не зависит от выбора 1 ф х(, і = 1, А-.
Зги вложения позволяют исследовать группы А/А" и А/Р\ где А свободное произведение абелевых групп без кручения. Вложения, приведённые выше, даны автором в диссертации в более обшей формулировке (обобщены на случай свободного произведения бесконечного числа групп), по автор счёл нужным не загромождать введение обозначениями. Видно, что последняя теорема при А\, Л2,..., Л„ - свободных циклических превращается во вложение С.Бахмута, так что её можно считать обобщением вложения С.Бахмута.
Автор обобщил результат С.Бахмута, Е.Форманека, Х.Мочизуки [12].
Те о р е м яДоп устим, Л1, Л2 - нетривиальные абелевы группы без кручения. Пусть А — А\ * Аъ, С - декартова подгруппы группы А. Предгшіожи.*, Р<А,Р С С- Допустим, что 2(А/Р) не содержит делителей нуля. Тогда ІАиі(Л/Р') = Іпп (Л/Р').
Как выяснилось, этот результатне переносится на случай метабелевых произведений абелевых групп с кручением. В частности, аналога вложения С.Бахмута здесь нет и справедливы следующие теоремы.
- Київ+380960830922