Квазисимметрические отображения прямой и плоскости

Оглавление
Введение 3
Глава I. Предварительные сведения
§1. Основные обозначения и определения 15
§2. Квазиконформность и квазисимметричность 16
§3. Ограниченное искривление, однородная вполне ограниченность и псевдовыпуклость 24
§4. Квазимсбиусовы вложения. Нормальные и компактные семейства 26
Глава II. Точная функция искажения
§1. Свойство полумультипликативности 28
§2. Условие Келингоса 32
§3. Теорема о непрерывности точной функции искажения 39
§4. Случай гомеоморфизма прямой на себя 41
§5. Однородная точная функция искажения 44
§6. Сильная квазиаддитивность функции 1]к%п 47
Глава III. Континуумы с ограниченным искривлением
§1. Условие (./V, г)-цепей 48
§2. Ограниченность искривления графика функции 50
§3. Инфинитезимальная связность 55
§4. Инфинитезимальная жордановость 57
Глава. IV. Достаточные условия квазисимметричности
§1. Внутреннее условие середин 62
§2. Внешнее условие середин 67
§3. Критерий квазисимметричности 69
§4. Однородное условие (Аг,г)-цепей 71
§5. Условие квазисимметричности в малом 74
§6. Достаточность условия Келингоса для квазисимметричности 77 §7. Условие диагонали 79
Литература 87
2
Введение
Важное место в современных геометрической теории функций и метрической топологии до сих пор занимает теория квазиконформных отображений, возникшая еще в конце 20-х годов XX века в работах X.Греча. Благодаря хорошо разработанному аппарату комплексного анализа эта теория получила наибольшее развитие для плоскости, найдя многочисленные применения для решения различных задач динамики сплошных сред. Для п-мерного евклидова пространства (а > 2) квазиконформные отображения были введены в известной работе М.А.Лаврентьева [18] в 1938 г., и это послужило новым толчком для разработки новых методов теории в рамках как прикладной, так и чистой математики.
Квазиконформные отображения в размерностях п = 2 и п > 2 имеют ряд общих свойств, но в то же Время между ними существует глубокое различие. Природа различия состоит в том, что, с одной стороны, класс конформных отображений на плоскости, согласно теореме Римана, достаточно богат, а с другой
все конформные отображения в пространстве сводятся к группе Мебиуса, т.е. являются композициями инверсий (теорема Лиувилля). Основные сведения но теории квазиконформных отображений для плоскости имеются в работе
О.Лехто и К.Виртанена [42], для пространства — в монографиях А.В.Сычева [21], Ю.Г.Решетняка [19] и Ю.Вяйсяля [50].
Поскольку определение квазиконформною отображения имеет смысл только для областей пространства Я>1 (п > 2), существовало множество попыток обобщить это понятие для произвольных подмножеств в Яп или в любом другом метрическом пространстве, причем не все эти попытки можно считать удачными. Например, формальное обобщение так называемою метрическою определения квазиконформности без наложения каких-либо дифференциальных свойств на рассматриваемое отображение метрических пространств не сохраняет основных свойств пространственных квазиконформных отображений.
3
Наиболее же удачной и законченной следует признать конструкцию, предложенную в 1980 г. финскими математиками П.Тукиа и Ю.Вяйсяля в ставшей уже классической статье [49], где было введено определение квазисимметри-ческих вложений метрических пространств. Идея квазисимметричпости тесно связана с одной из наиболее важных проблем теории квазиконформных отображений — задачей о граничном соответствии. В рамках этой проблематики А.Берлингом и Л.Альфорсом в 1956 г. рассмотрены вопросы о продолжении гомеоморфизма / прямой Я1 на себя до квазиконформного автоморфизма верх ней полуплоскости [31]. Полученное при этом необходимое и достаточное условие на функцию / легло в основу определения квазисимметрических функций, введенных Дж.А.Келингосом в 1966 г. и изученных им в работе [40]. В плоском случае* первые разработки в теории квазисимметрических отображений принадлежат Г.Ренггли [45], который рассмотрел отображения, удовлетворяющие условию ограниченности искажения треугольника (1971 г.). П.Тукиа и Ю.Вяйсяля заметили, что определение, предложенное Г.Ренггли, можно напрямую перенести и на случай произвольных метрических пространств; это позволило выделить класс слабо квазисимметрических и более широкий, вообще говоря, класс /^квазисимметрических вложений метрических пространств.
Вложение / : Я.'1 -» Яп является /Г-квазиконформным тогда и только тогда, когда оно 77-квазисимметрично; при этом коэффициент квазиконформности К и функция искажения г) связаны взаимными оценками [51]. Если С — область в Яп, то квазисимметрическое вложение /:(?—» Яп является квазиконформным, но обратное неверно. Например, мебиусово преобразование шара в полупространство, являющееся даже конформным, не квазисимметрично, так как квазисимметрические отображения переводят ограниченные множества в ограниченные. Однако в этом случае эквивалентными уже оказываются понятия ’’локальная квазиконформность” и "локальная квазисимметричиость”.
Очень существенно, что в широком классе метрических пространств 77-ква-зисимметрические вложения оказываются г/-квазисимметрическими с функцией искажения г)’, имеющей степенной вид: ?/($) = С • тах{/ог,г1^йг}, что позволяет, в частности, получить бигельдеровы оценки роста рассматриваемых вложений. Полное описание такого рода пространств получено Д.А.Троценко и Ю.Вяйсяля [47].
В общем случае концепция 77-квазисимметричности выглядит более естественной, чем слабая квазисимметричность. Например, 77-квазисимметрические вложения, как и квазиконформные отображения, образуют категорию, но композиция двух слабо квазисимметрических вложений не обязана быть слабо квазисимметрической. Однако в некоторых важных специальных случаях, например для подмножеств евклидова пространства, понятия слабой квази-симметркчиости и ^-квазисимметричности эквивалентны. В [49] доказан более общий результат, утверждающий, что такая эквивалентность имеет место для вложений псевдовыпуклого пространства X в однородно вполне ограниченное пространство У. В этой же статье доказано, что псевдовыпуклость простран-
4
ства следует из его ограниченности искривления и однородной вполне ограниченности. Таким образом, поскольку евклидово пространство является однородно вполне ограниченным, подмножества пространства Нп с ограниченным искривлением формируют удобный для теории квазисимметрических отображений класс множеств, так как он замкнут относительно квазисимметрий и в нем нет отличия между квазисимметричностью и слабой квазисимметрич-ностыо. В частности, для отображений интервала / С Я1 в Н1 определение квазисимметричности эквивалентно обычному (в смысле Келингоса), за несущественным исключением того, что в [40] рассматривались только возрастающие функции.
11а плоскости понятие ограниченности искривления кривой (или дуги) известно давно, причем существует довольно много эквивалентных определений. В [2] эти кривые определяются как удовлетворяющие так называемому М-условию Лльфорса. Там же показано, что класс таких кривых совпадает с классом квазиокружностей, т.е. кривых, являющихся образами окружности при квазиконформных автоморфизмах плоскости. С.Рикман в [44] определил характеристику И(х\)Х2,х$,хл) тетрады и показал, что если эта характеристика ограничена для любых последовательно расположенных на кривой точек гг1,аг2,.'Гз,а;4, то эта кривая является квазиокружностью. Но сравнению с определением Л.Альфорса, преимущество этого определения состоит в том, что характеристика Щх 1,Х2,яз,х<|) является мебиусово инвариантной, что, несомненно, более удобно в техническом плане. Т.Эркама в [33] показал, что кривая на плоскости является квазиокружностью тогда и только тогда, когда она является квазиконформно однородной. Наконец, П.Тукиа и Ю.Бяйсяля в [49] перенесли термин "ограниченное искривление” для произвольных связных подмножеств метрического пространства, п частности, для континуумов в пространстве /Г, и выявили возникающие при этом связи с теорией квазисимметрических и квазиконформных отображений.
Стоит также отметить, что расширение класса квазисимметрических вложений до класса, инвариантного относительно мебиусовых преобразований, привело к определению квазимебиусовых вложений, введенному Ю.Вяйсяля и В.В. Асеевым на основе конструкции, аналогичной схеме Тукиа-Вяйсяля (т.е. с помощью функций искажения).
В диссертации рассматриваются различные вопросы из перечисленных областей теории квазисимметрических вложений. В частности, изучаются свойства точной функции искажения, устанавливаются критерии ограниченности искривления континуумов в Я* или любом другом метрическом пространстве и, наконец, доказывается достаточность некоторых геометрических условий для квазисимметричности вложения.
О содержании диссертации.
Диссертация выполнена в издательской среде содержит 90 журналь-
ных страниц и состоит из введения, четырех глав и списка используемой лите-
5
ратуры.
Первая глава носит вспомогательный характер, содержит необходимые в дальнейшем результаты других авторов и состоит из четырех параграфов.
В §1 приведены основные обозначения и определения.
В §2 собраны общие сведения о квазиконформных и квазисимметрических отображениях.
В §3 даны определения псевдовыпуклых, однородно вполне ограниченных пространств, а также пространств с ограниченным искривлением. Приведены примеры, поясняющие эти определения. Формулируется ряд теорем, связывающих эти понятия друг с другом, а также с теорией квазисимметрических вложений.
В §4 приводятся определение и основные свойства квазимебиусовых вложений, а также ряд результатов о нормальных и компактных семействах.
Вторая глава состоит из шести параграфов. В ней изучаются свойства точной функции искажения, преимущественно, для отображений интервала /С R1 в метрическое пространство X.
В §1 дано определение точной функции искажения.
2.1.1. Определение. Для гомеоморфного вложения / : X —> У метрического континуума X в метрическое пространство у точная функция искажения i}j : (0,-fco) —>• [0, +оо], определяется равенством
!/(*) - ЛуЯ РI/W-/WI'
где точная верхняя грань берется по всем попарно различным точкам x,y,z € X таким, что \х — у\/\х — z\ = t.
Приведены примеры вычисления точной функции искажения для некоторых гомеоморфных вложений.
Одним из важнейших свойств точной функции искажения является следующая
2.1.3. Теорема. Пусть / : X —> У — вложение метрического континуума X в метрическое пространство У. Тогда точная функция искажения rjf обладает, следующим свойством полумультипликативности
rij(ht2) < rif(h)yf(t2). (2.1.5)
Отметим, что свойства полумультипликативности, аналогичные приведенным в теореме 2.1.3, были доказаны для некоторых специальных функций теории квазиконформных отображений ([43], [29]). Это свойство, в частности, дает
6
возможность получить связь между точной функцией искажения и классом по-луаддитивных функций, что, в свою очередь, позволяет доказать следующий результат.
2.1.13. Следствие. Пусть / : В: —> /Г* — гомеоморфное вложение, причем существует<о € (0,1) такое, чтоЦ/(1о) < +ос. Тогда либо гц(I) = 4-ос почти всюду, либо отображение / является квазисимметрическим.
Следующее условие (П,^)-квазисиммегричности можно рассматривать как обобщение условия слабой //-квазисимметричности. В случае отображений прямой в евклидово пространство справедливым оказывается аналог результата из [49].
2.1.14. Определение. Пусть X, У — метрические пространства. Будем говорить, что гомеоморфное вложение / : X —у У удовлетворяет условию (£ь*2)-квазисимметричности с и > Я > 0, если существует такая постоянная М > 0, что для любой тройки попарно различных точек х,у, г € X таких, что *1 < \х — у\!\х — А < *2 выполняется оценка
1/00-/(у)I < м 1/М - /(*)! - ' '
2.1.15. Теорема. Если гомеоморфное вложение } : Я1 —> Яп удовлетворяет условию (21Я2)-квазисимметричности с <1 < 1, то / является квазисимметрическим.
В §2 мы рассматриваем условие Келингоса, являющееся обобщением условия квазисимметричности отображений прямой на себя для случая произвольных метрических пространств.
2.2.1. Определение. Пусть X, У — метрические пространства. Будем говорить, что гомеоморфное вложение / : X У удовлетворяет условию Келингоса с константой И > 1 (сокращенно, УК(Я)), если выполняется неравенство
1/М - /Ы1 * м
|/м - т -
для любой тройки попарно различных точек х,у,г € X таких, что |х — у\ =
I*—*1-
Построен важный пример отображения прямой в пространство Яп (п > 2), показывающий, что условие Келингоса, вообще говоря, не является достаточ-ным для квазисимметричности. Однако справедлив следующий результат.
2.2.10. Теорема. Пусть / : Я1 —>■ X — гомеоморфное вложение прямой Я1 б метрическое пространство X и — его точная функция искажения.