СОДЕРЖАНИЕ
Введение....................................................4
Глава 1. Интегральные уравнения Вольтерра с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотическое интегрирование 48
1.1. Эквивалентная интегродиффсрснциальная система. Частичная регз'ляризация задачи...................................50
1.2. Полная регуляризация задачи............................53
1-3._Рааре1Ш!МРСть итерационных задач.......................63
1.4. Корректная разрешимость иитегродифференциальной системы...71
1.5. Обоснование асимптотической сходимости формальных решений 77
1.6. Предельный переход в системе (1.2).................79
1.7. Пример.................................................82
Глава 2. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных интегральных систем с диагональпым вырождением ядра.................................................84
2.1. Интегральные уравнения с диагональным вырождением ядра в скалярном случае........................................85
2.1.1. Регуляризация задачи. Разрешимость итерационных задач 86
2.1.2. Асимптотическая сходимость формальных решений........94
2.1.3. Пример..............................................100
2.2. Системы интегральных уравнений с диагональным вырождением ядра....................................................110
2.2.1. Регуляризация задачи................................111
2.2.2. Разрешимость итерационных задач.....................116
2.2.3. Обоснование асимптотической сходимости..............127
2.2.4. Предельный переход в задаче (2.69)..................133
Глава 3. Регуляризация нелинейных интегродифференциаль-ных систем с быстро изменяющимися ядрами......................138
3.1. Регуляризация задачи..................................139
3.2. Полная регуляризация задачи...........................139
3.3. Разрешимость итерационных задач.......................144
3.4. Асимптотическая сходимость формальных решений.........148
3.5. Пример................................................154
Глава 4. Внутренний переходной слой в линейной задаче оптимального управления с быстро изменяющимся ядром функционала .........................................................157
2
4.1. Регуляризация сингулярно возмущенных систем управления с быстро изменяющейся функцией демпфирования...............158
4.1.1. Регуляризация задачи.................................160
4.1.2. Разрешимость итерационных задач......................161
4.1.3. Асимптотическая сходимость формального ряда..........167
4.2. Внутренний переходной слой в линейной задаче оптимального управления с быстро изменяющимся ядром функционала... 168
4.2.1. Некоторые сведения из теории оптимального управления 170
4.2.2. Регуляризация задачи (4.44). Разрешимость первой итерационной задачи.............................................177
4.2.3. Построение высших приближений........................184
4.2.4. Корректная разрешимость сингулярно возмущенной двухточечной краевой задачи и оценка остаточного члена.........192
4.2.5. Контрастные структуры в решении задачи (4.44)........200
Глава 5. Асимптотика решений нелинейных сингулярно возмущенных систем в критическом случае.............................208
5.1. Нормальная форма и существенно особые сингулярности укороченной системы...........................................210
5.2. Алгоритм нормальных форм для исходной системы..........212
5.3. Регуляризованная асимптотика решения слабо нелинейной задачи.......................................................213
5.4. Построение асимптотического решения исхохшой задачи 217
Глава 6. Алгоритм асимптотических решений задач с точкой поворота.......................................................218
6.1. Регуляризация задачи...................................220
6.2. Разрешимость итерационных задач и построение формальных решений..................................................226
6.3. Асимптотическая сходимость формальных решений..........233
6.4. Пример.................................................236
Список литературы..............................................241
3
ВВЕДЕНИЕ
Теория асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач, рассмотрению которой посвящена настоящая работа, представлена трудами как российских, так и зарубежных исследователей. Свое первоначальное развитие эта теория получила еще в работах Лиувил-ля [93], БиркгофаС.Д. [15], Л.Шлезингера [181], Прандтлн [130]. Однако только в конце сороковых годов настоящего столетия проблемами сингулярно возмущенных задач стал интересоваться широкий круг математиков. Благодаря работам [158,159] А.Н.Тихонова, посвященным исследованиям предельного перехода в сингулярно возмущенных уравнениях с медленными и быстрыми переменными, начинается систематический этап развития математической теории асимптотическог о интегрирования. В конце пятидесятых годов для линейных задач разрабатывается метод Вишика-Люстерника [31,32j, а для нелинейных задач- метод Васильевой^!.например, [25-30]). Эти методы стали основой исследования пограничного слоя в задачах, решение которых стремится к предельному с экспоненциальной скоростью (когда возмущение стремится к нулю). Существенные результаты, обобщающие и развивающие метод Вишика-Люстериика-Васильевой, были получены В.Ф.Бутузовым (см.например, [9-14]). Рассматривая сингулярно возмущеные задачи в областях с негладкой границей, он приходит к идее углового пограничного слоя, на основе которой создает эффективный метод исследования как линейных так и нелинейных сингулярно возмущенных уравнений в частных производных. К этому же направлению примыкают и исследования A.B. Нестерова, развивающие идеи метода погранфункций на задачи с более сложными краевыми условиями в неограниченных областях с негладкой границей (см., например, [118-119]). Развитие идей метода пограничных функций для интегродифференциальных уравнений проводилось в основном в работах М.И.Иманалиева (см., например, [71,72]). Эти же уравнения, но рассматриваемые с позиций метода усреднения[112-114], явились объектом изучения работ A.Н.Филатова и его учеников [169,170].
Сингулярно возмущенные уравнения возникают и при изучении периодических процесссов. При рассмотрении дифференциальных уравнений с большими параметрами Дородницын A.A. разрабатывает теорию асимптотического интегрирования, в основе которой лежат идеи, от-
4
личные от идей теории пограничного слоя. Желая исключить в асимптотических решениях сскулярные (вековые)члсны, Дородныцын A.A. разрабатывает метод эталонных уравнений и на его основе проводит глубокое исследование релаксационных колебаний, описываемых уравнением Вал-Дер-Поля (см., например, (56]). Общая теория релаксационных колебаний с точки зрения построения асимптотических решений разработана в трудах Понтрягина J1.C.,Мищенко Е.Ф. и Розова
Н.Х.(см., например,[115-117], [127,128]). Теория асимптотического интегрирования получила развитие и в работах Хапаева М.М.(см., например, [177-180]), посвященных проблеме устойчивости в критических случаях. Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления были рассмотрены М.Г. Дмитриевым [см., например,24-25]. Теория метода погранфункций оргинально трансформируется им в применении к задачам управления. Изучая возможности метода погранфункций при исследовании оптимальных процессов, М.Г. Дмитриев фактически разрабатывает новую теорию оптимального управления сингулярно возмущенных задач, обогащенную идеями метода Вишика-Люстерника-Васнпьевой.
Существенные трудности возникают при исследовании сингулярно возмущенных задач, содержащих в качестве множителей при производной не только малый параметр е, но и некоторую матричную функцию, определитель которой при е = 0 обращается тождественно в нуль. Такое ’’двойное вырождение” сложным образом влияет на существование решений, их количество и на структуру асимптотических решений. Эти проблемы явились объектом изучения Г.С. Жуковой. В ряде ее работ (см., например, [43,68,69]) предложен эффективный метод исследования указанных задач, позволяющий во многих случаях исчерпывающе решить эти проблемы. В зарубежной литературе теория асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач представлена работами Вазова{19], Лангера[91,92], Дж. Коэла [81], Ван Дайка [36], Чанга К.[182] и других исследователей.
В конце пятидесятых и начале шестидесятых годов С.А. Ломов, изучая модельное уравнение Лайтхилла, приходит к идее регуляризации сингулярных возмущений путем перехода в пространство большей размерности. Эта идея глубоко развивается им в последующих работах (см., например, [8, 97-104]) и приводит к созданию метода регуляризации, наиболее полно изложенному в его монографиях [95,96]. Метод
5
регуляризации позволяет строить асимптотические решения в виде рядов по степеням е, сумма которых псевдоаналитична. Это означает, что регуляризованные ряды сходятся не только асимптотически, но и в обычном смысле в некоторой кольцевой окрестности 0 < И < £, точки е = 0. Впервые в теории дифференциальных уравнений наметилось новое направление, связанное с развитием аналитической теории сингулярных возмущений(см., например,[89]). Результаты С.А. Ломова по псевдоаналитичности были обобщены на уравнения в частных производных В.И. Прохоренко [133] и на нелинейные уравнения В.Ф.Сафоновым [154], который впервые применил для изучения псевдоаналитичности регуляризацию с помощью нормальных форм(см.[148-
Настоящая работа посвящена развитию методов регуляризации и нормальных форм на некоторые (ранее не изучешшые) классы сингулярно возмущенных задач. Основное содержание диссертации составляет разработка алгоритмов построения регуляризованных асимптотических решений для интегральных уравнений Вольтерра с быстро изменяющимися ядрами, для нелинейных сингулярно возмущенных ин-тегродифференциальных уравнений, для интегральных систем с диагональным вырождением ядра, а также для -задач оптимального управления с быстро изменяющимися ядрами функционалов и задач с точкой поворота.
Первое применение метода регуляризации к интегродифференциаль-ным уравнениям мы находим в работе С.А. Ломова (1970), посвященной системам типа Вольтерра вида
в условиях стабильности спектра (А;(£)} оператора А{С) :
1а) А((1) ф 0, А(<1) А,(«),<# 3, «, 3 = М? (VI 6 [0,Т]).
В отличие от работ школы М.И. Иманалиева здесь предполагается, что ПеЛ,-({) < 0 I ф j, г, j = Т7п € [0,Т]), т.е. допускаются чисто мнимые точки спектра. Основная трудность, которую пришлось преодолеть в этом случае, - это регуляризация интегрального члена
156]).
і
= -4(0з/+ / К(і,з)у(з,є)(1з + Л(*), г/(0,є) = у0,і Є [0,Т] (0.1)
о
Іу - І К(1,з)у(з,є) йз .
о
6
Если дифференциальная часть задачи (0.1) допускает довольно очевидное расширение
г ё + £ Л><‘> щ ~А«■*
при введении регуляризирующих переменных
т, = і / А,(«)<» = j =тя с о е
(0.2)
то интегральная часть 1у при введении указанных переменных приобретает вид
Iÿ = / K(t,8)ÿ(s, e)ds, о 6
и ее расширение по независимым переменным т} становится проблематичным. Именно это послужило причиной тому, что довольно длительное время метод регуляризации не обобщался на интегро- дифференциальные уравнения.
Выход из положения был найден самим С.Л. Ломовым. Рассматривая простейшие примеры, он заметил, что пространство U (см. ниже) безрезонансных решений, инвариантное относительно дифференциального оператора L = Ej-i ^j{t) - A(t) • , остается инвариантным
(но на сужении г = ^ ) и относительно интегрального оператора /, если в U допустить регулярную зависимость элементов от параметра е. Поясним сказанное простейшим примером.
Пусть (0.1) - скалярная задача. Тогда пространство U, инвариантное относительно дифференциального оператора L, имеет вид
U = {y(t,r) : y = yo{t) + yi(t)eriy<)(t),y1(t)€ C~[0,TJ}.
Образ элемента y(t, г) Є U интегрального оператора 1 будет таким:
t t * З
Іу = j K(tts)yü{8)ds -I- f K(tts)y\{s) exp{- J X(0)d0}ds. о о 6 о
Производя здесь многократное интегрирование по частям, 1у можно представить в виде
xexp{~ JA($)de}ds - {rr'K{t,$)yx(s))t=o}, є о
где 1° — -щ, Iм = /т_1, т > 1. Стоящий здесь ряд сходится
(при £ -> 4-0 ) асимптотически к образу Гу, если выполняются условия:
Я(М) 6 С=°(о < S <t < т,с]),Л(г) = л(г) е С00 [О,Г],
ReA(t) < О, А(£) ^ О (V£ Є (0,Т]).
Таким образом, класс U 1т_«<о будет асимптотически инвариантен
»
относительно интегрального оператора / (см.[95, стр. 62]). Этот важнейший факт позволил сдвинуть с ” мертвой точки” процесс обобщения метода регуляризации на интегродифференциальные системы типа (0.1). В начале семидесятых годов метод регуляризации был полностью распространен на линейные интегродифференциальные системы типа Вольтерра в случае стабильности спектра, а в конце семидесятых годов были рассмотрены и полностью изучены интегродифференциальные системы типа Фредгольма [123-124]. И, как не странно, с этих пор интерес к интегродифференциальным уравнениям ослаб. В течение десяти лет (1979 -1989 ) не выходит ни одной работы, в которых получила бы отражение идея регуляризации интегродифференциальных систем. И только в 1990 г. в связи с изучением связи между методом регуляризации и методом эквивалентного соответствия Ларионова интерес к интегродифференциальным системам снова возрос, правда, в несколько иной плоскости. Если до сих пор рассматривались интегральные операторы с медленно изменяющимися ядрами, то интегродифференциальные системы метода эквивалентного соответствия :
~ = Ay + ej К(г - 8)y($,e)d$ + h(er), у{0,є) = j/°, (0.3)
рассматриваемые на асимптотически большом промежутке времени (т є [0, j]), при замене т — -, s = * приводятся к сингулярно возмущенным интегродифференциальным системам
с быстро изменяющимися ядрами К{(- - *) (здесь y(t,e) = у(\\ £)). Такие системы в теории сингулярных возмущений ранее не рассматри-пались.Чтобы установить связь между методами Ломова и Ларионова, надо было прежде всего распространить метод регуляризации на ин-тегродифференциалыше уравнения с быстро изменяющимися ядрами.
Ясно.что в общей ситуации произвольного ядра К(т - з) такое обобщение вряд ли удасться быстро сделать,хотя бы потому,что то или иное поведение ядра (при £ + 0 ) может вызвать такие изменения в
решениях соответствующих интегродифференциальных уравнений, которые невозможно будет достаточно удовлетворительно проанализировать с помощью существующих асимптотических методов.Поэтому задача была упрощена и конкретизирована для ядер с экспоненциальным изменением:А'(г — s) = (и < 0 -постоянная) . Такие ядра часто
встречаются в прикладных задачах. Исследование этого простейшего случая натолкнуло на мысль рассмотреть более общую задачу
, * 1 <
e~ = A(t)y + j схр{- J p(6)d0}К(ty$)y(s,e)d$ +
Q ^ Л
+ МО» у[0,£) = у0, (0.4)
где p(t) - скалярная функция ( ее называют спектральным значением ядра интегрального оператора) .
Поскольку при p(t) = 0 мы получаем систему (0.4) с медленно изменяющимся ядром K(t,s), то алгоритм метода регуляризации (95-96) для таких систем является обобщением известного алгоритма метода регуляризации, развитого С.А.Ломовым в 1970 г.Примеры систем (0.4) с вырожденными ядрами (K(t,$) = &i(0M0)> которые заменой
< j t
z = f Аг(0 ехр{- [ Iu(0)d$} y($ye)ds
о £ »
приводятся к дифференциальным системам
£Ш = л(1)у + М(0* + МО» У(°>е) = Л «^ = А*(0* + * *а(0 У у г(М) = г°> (°-5)
9
позволили высказать гипотезу , что сингулярности в решениях задачи (0.4) порождаются спектром (АД£)} оператора A(t) и спектральным значением p(t) ядра интегрального оператора. Эта гипотеза подтвердилась Сафоновым В.Ф. и Калимбетовьш Б.Т.,которые в 1990 г. обобщили алгоритм Ломова на системы тина ( 0.4 ) с быстро изменяющимися ядрами. Заодно они установили связь метода регуляризации с методом эквивалентного соответствия для систем ( 0.3 ) с ядром типа ехр{д(т — s)} К{єт, £5), где р < 0 - постоянная. Оказалось, что для таких систем оба метода приводят к одинаковым результатам на уровне главного члена асимптотики; далее результаты отличаются друг от друга. Однако в случае конкретной задачи, описывающей колебания вязко-упругого стрежня, метод регуляризации приводит к точному решению ( т.е. к рядам,сходящимся в обычном смысле ), тогда как метод Ларионова дает приближенное решение.
После того, как алгоритм метода регуляризации был обобщен на нн-тегродифференциальные системы с нестабильным спектральным значением ядра интегрального опера тора, стало возможным его перенесение и на другие случаи нестабильности.
В первой главе настоящей работы методика, развитая для систем типа (0.4) .обобщается на интегральные системы
єу{і,є) = Е / ММ)е*Р{“ / /Ъ(0)<Ю}У(*» e)ds + h(t) (0.6) з=ї о е і
с г спектральными значениями p\{t), • • •, fh{t) ядра интегрального оператора (здесь :у = {уь • • •, уп}, h{t) = {hly • • •, fcn},fci(*, з), ■ • •, kr{l, з) - матрицы размера n х п.) Для получения расширенной системы соответствующей размерности введем функции
t . і
Zj{t, є) = I k}(t,s)exp{- ] Pj{B)dB}y{8, e)dsj = 17?. (0.7)
0 * 8
Получим интегродифференциальную систему
= A^z + І I ezp^7 / toW)*(*» s)2(*’ £)ds +
dt i=i і є і
+ £ і е*р{\ } Ф)М) s)ds + g(t), z(0, є) = 0, (0.8)
3=10 £ *
10
где z = {*i, • • •, zr], Zj- векторы размерности n x 1, матрицы A(t), Ej(t), k(t, 5) и вектор-функции H(t), Hj(t, s),g(t) имеют вид
A(t) =
ki(t, t) 4- pi(t)In ki(ty t)
k2{t, 0 hi{t, t) + p2(t)In ...
ki(tf t) k2(t> t)
kr{t> t)
kr(t, t) ... kr(t, t) + pr(t)In
« ki{ty s) ... k^t, s)
k(t 1 s) = ôt( ......................... )>
A:r(i, 5) ... A:r(i, s)
" 1 O') I
(/„— единичная (n xn)- матрица),
H(«) = {/i(s), /i(s), ■ • •, /i(s)}, y(f) = {fci(t, t)h(t), • • •, A>(<, t)Л(0),
Hj ((, 5) = Ej k(t, «) Ej H(s).
Ясно, что решение y(f, e) исходной системы (0.6) связано с решением z(t, е) = {гь • • •, гг} системы (0.8) соотношением еу = z\ + • • • + zr + h(t).
Введем, как и в методе Ломова, регуляризирующие переменные
т> = 7 / ЛД*)Л - J (« + 1)г.
о
где А,(£) = Pi(t), г = 17?; {А;(«)} (j = г + 1, (п + 1)г) - спектр оператора A(t). Системе (0.8) поставим в соответствие систему
Af Qz
«5+ Е
J = 1
1 ?
= Е / ехр{- / A>(e)rfO}Ejfc(«,e)5(*,^,€)de + i=l 0 f • £
1 î
+ É / cxp{- J \j[0)d0} Hj(t, 5) ri« + y(f), 2(0, 0, e) = 0. (0.9)
j=10 £ Я
11
Здесь:! = z{t, г, є), т = (гь * ■ •, r(n+1)r), V' = (V'i, • • •, V>(n+i)r)- Очевидно, что если z = z(t, т, є) - решение системы (0.9), то вектор -функция z = z(t, є) является решением системы (0.7). Однако систему (0.9) нельзя считать полностью регуляризованной, так как в ней не произведена регуляризация интегрального члена
г і 1
Jz(t, г, е) = £ / ехр{-х j=і І є
х I Aj($) dO] Ej k(t, s) z(t, e) ds +
» є
+ ±}expO}\j(e)de}Hj(t,s)d,.
7=10 »
Как и в случае системы (0.1), введем пространство U, описываемое следующим образом.
Определение 1. Будем говорить, что вектор - функция z(t, т) — {zi, • • •, znг} принадлежит пространству U, если она представима в виде суммы
(п+1)г
г)= £ %(<)е** + w(t) (О.ю)
*=1
с коэффициентами уо(0> Ук{0 € С°°([0, Т),С,,Г), к = 1, пг.
В качестве класса Мс. асимптотически инвариантного относительно оператора J, можно взять класс М( = U\r_ Подставим теперь сумму (0.10) в J z\ будем иметь
J(z(t, Т» = t } »)*
о 6 *
(л+1)г і *
Х( Е У*(«)<?гр{- / Ak(0)d0} + y0(s))ds +
*=і є і
+ Е / «*Р{~ / *j(0)<W} ЭД*» s)d$ =
7=1 0 Є і
Г («+1>Г 1 і ' і *
= Е Е / є*р{- / А,(*)«Ю + - / Ak(0)d0) kjk(t, *)<fe +
7=1 *=1,4/7 0 Є • Є О
12
+ £ ехр{1 [ А>{в)(Ю) I *)Ж +
7=1 О О
+ Е / / А^(б?)с/^} [*>0(*, в) + ЯД*, *)]*, (0.11)
где обозначено:
kjf.it, $) = Е,кЦ, 8)ук[е), з = Т7г, к = 0, (п + 1)г.
Нетрудно показать(см.стр. 57-60), что стоящие здесь интегралы
1 1 1 Iе
0 = / е*р{- / АД»)«» + - / АД0) <»}%*(<, з)<4з =
ое* е о
= «И; / А,(0)<»} / /(А*^) - А,(«))Л>}*д(4, »)*»,
* 0 (I * о
7 к = 1, (п + 1)г, А: ^ у;
1 1 1 1
^о((, е) = ! ехр{- I А)(0)<ДО}&>о(*, з)Из = ехр{- х о 5 * £
х у АД0) (1в } I схр{ — I А,(#)<#} &*>(*>
О О "О
./,(«, е) = ехр{^; / А;(0) в0 } !ехр{-^- I А,(0) <#}#,(*, $)(1$Л = 1“г, 5 о о £ о
разлагаются при условиях:
1) Л(*) е С- ([О, Г], С"), *,-(«, 5) е С°°(0 < 5 < < < Т, С”2),
А,•(<) = !ф) € С00 ([О, Т], С1), з = Т^г;
2)А>(0 = **(£) * 0^ € [о, > = 1 ,г; р)к{1) = А*(*)-
- А,(*) ф 0Уз = 1,г, А: = 1, (п + 1)г, & ^ у
3)11еА*(*) < О, к = 1, (п + 1)г, V« 6 [О, Г]
в асимптотические ряды по степеням малого параметра.
Используя методику, описанную выше, получим, что
•адм) = £ иге^кяад*, »))«=■ «К; / а*(«) <ю} -
т=0 £ (|
13
1 ‘
*)Uoe*p{- I >»{*)&}), (0.12)
£ о
Ы‘< *) = Е em+1 [(/^ AVo(t. s)«=0 eatp^i / ЛД0)Л>}-
m=0 «J
- (-5 *#.(*, «))„=<), j = 17?, (0.13)
Jj(t,e) = £ eMl {(1$ Hi(t, e),^exv{- j \j(Q)dG} -
m=0 * о
»))-.],i = 177, (0.14)
где введены операторы
^ = Afc(s) - A;(s);/^ =
"•» ^ !»J = ^T»7, A = 1, (n + l)r,j ^ k\
$ = щ-4 - л £)4. - rts)«"1.™ > l
Теперь можно записать окончательно систему, расширенную по отношению к исходной (0.7). Она имеет вид
Lez(t, т,е) - Jz(t, т,е) = д(^ z{0, 0, е) = 0, (0.15)
где
(п+1)г о-
Ic^,T,e)s Е AiW^-^Wi + e^,
- • «у
J !(t, т, £) = J Ё 2/Лг(^, г) =
fc=0
= (Е *' Е г)),
Г=0 #=0,г-#>0
Яо*(*» г) = Е ет> / kjj{t, s)ds,
7=1 Q
г (п»1)г
Rm+\Z{t, т)= (-1ГЕ Е К^Ым)).^-
7=1 fc=l,A/7
14
(0.16)
( fjk kjk[t, $))*=OfiT>] + E{(C$M*> S))»^0^T; “ (/jo kjo(t, s))*=t] +
7=1
- (ij№(t,s))<=t)}m > 0,
a i(i, г, e) -ряд
z(t, t, e) = E £-*y*(«, r), y.t(i, r) e U. (0.17)
4=0
Для коэффициентов этого ряда получим следующие задачи:
Ь|)Уо - «о 2/о = з(0» Уо(0, 0) = 0; (0.18о)
Ь0уг - ДоУ1 = + Л» уо, У1(0, 0) = 0; (0.18,)
/-оУъ - ЯоУг = + Я, у, + Я2У0, уг(0, 0) = 0; (O.I82)
Aiii * fc-1
-ЬоУ* - До у* = —дт Ь Е #4-*У#> J/i(0, 0) = 0; (0.18*)
*-0,4-.,>0
Каждая из итерационных задач имеет вид
(L0 - R,)y(t, т) = P(f, т), у(0, 0) = 0, (0.19)
где L0 = EjVi' r Aj(i) - 4(t), а оператор Я0(как и все операторы R,n) описан выше (см.(0.16)).
Для формулировки условий нормальной разрешимости системы (0.18) в пространстве U нам понадобится скалярное (при каждом t € (0, Т]) произведение в U:
(п+1)р
<y(t,T),w{t,T)> = < Е 2/*(0еП +
4=1
(п,1>г («+1)г
+ уо(0» Е wk(t) е* + u-o(0 > = Е МО» МО)»
4=1 4=0
где (,) - обычное скалярное произведение в прстранстве С”г. До сих пор не требовалось, чтобы спектр {Aj(t} (j = r-fl, (n + l)r) матрицы A(t) был простой. Для дальнейшего важно, чтобы выполнялись условия:
15
4) ЛД<) ф О, Л,(О ф Ха(1), * Ф 5,1,з = г + 1, (п + 1)г, V* е [О, Т]. Обозначим через (у>,(£)} и {х'ДО} системы собственных векторов матриц А(Ь) и Л’(£) соответственно, причем возьмем эти системы би-ортонормироваш I ыми, т.е.
А{Ь)<р№) = А;(£)^(£), Л*(£)х^(<) = *>(0й(*}, Ми хЛ*)) = <%,
где символ Кронекера, iy ^ = г + 1, (п + 1)г.
Доказаны следующие теоремы о нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач (0.18*)
Теорема 1(см.стр. 64). Пусть выполнены условия 1) - 4) и правая часть
Р{и г) = Егя,(0«* + ро(0, (0.20)
>=1
принадлежит пространству V. Тогда для разрешимости системы (0.19) в и необходимо и достаточно, чтобы
< Р{1, г), Хк{0«п >=0,к^ г + 1,(л+ 1 )г, V* € (0, Т]. (0.21)
Теорема 2(см.стр. 68). Пусть выполнены условия 1) - 4) и Р(£, т) 6 С/ удовлетворяет условиям ортогональности (0.21). Тогда задача (0.19) при дополнительном условии
< + Л1 У + <?(*> т)> > = 0 V« 6 [, Т], ; = г + 1, (п + 1)г,
(0.22)
где $(*> т) € и - известная вектор-функция, однозначно разрешима в пространстве V.
Доказана также следующая теорема об асимптотической сходимости формальных решений к точным.
Теорема 3(см.стр. 79). Пусть выполнены условия 1) - 4). Тогда задача (0.8) однозначно разрешима в классе <7!([0, Г], СПР) и для ее решения г(£, е) справедлива оценка
\\г{и е) - гМОНею.т| < Сне?+\ (0.23)
где г€ц{Ь) - сужение Аг-ой частичной суммы ряда (0.16) при г = а постоянная С\ > 0 не зависит от £ при е 6 (0, £о](£о > 0- достаточно мало).
16
Во второй главе рассматривается интегральное уравнение
i
е2у = J(t - s)K{t,$)y(s,e)d$ +h(t), l€[0,T], (0.24)
о
в котором € > 0 -малый параметр,а ядро (t - s)K(t,s) обращается тождественно в нуль при 8 — t(K{t,t) ф 0 V/ 6 [О, Т]).Желая построить асимптотическое решение уравнения (0.24) (при с —» +0),сведем его к интегродифферендиальному (дифференшфованием но t):
= llK(t'3) + (‘-3)^dt^]yis'e)d3+k(t)l у{0'€) = ir <0-25)
Получено интегродифференцнальное у равнение,которое при £ = 0 вырождается в интегральное уравнение Вольтерра первого рода
+ (t- s)^^]y(s)d., + A(t) = 0.
Уравнения типа (0.24) с позиций метода регуляризации ранее не рассматривались. Интегральные уравнения с вырожденным ядром мало изучены с позиций и других методов.
Нам будет удобнее вместо исходного уравнения (0.24) рассматривать задачу (0.25). Алгоритм построения регуляризованного асимптотического решения уравнения (0.24) будем развивать в предположении,что ядро K(t,s) и функция h(t) удовлетворяют требованиям:
1) K{t,s) 6 С°°(0 <s<t< Т, R1), /г(0 е C^QOjTJjC1);
2) A'(/,0<0(^6(O,T]).
Введем регуляризирующие функции
Ti = lJ xAs)ds = з = 1.2,
где Ai = -i^f-K(t,t), А2 = iyf-K(t,t). Тогда для функции у = y(t,r,e) переменных /, т = (тьт2) и £ естественно поставить следующую задачу:
е2— + sLy-1 G(t,s)y(s^,e)ds = h(t)t у(0,0,е) = ос о е £
17
где обозначено:
£ =
с(м) =
гр(1) = (^(0, ^(0)-
Задачу (0.26) нельзя считать '’расширенной” по отношению к исходной (0.25), так как в ней не произведена регуляризация интегрального члена
/у = £С(МЖ»,«М*.
Определение 2. Будем говорить,что функция у(М) принадлежит классу V', если она представима в виде суммы
У^,т) = у\{1)ел + ^(Ое14 + Уо(£). (°-27)
с коэффициентами г€ С°°([0,71],С'1),у = 0,1,2.
Как и выше, в качестве класса Ме возьмем сужение класса и при т =
&Ц. Класс Г/|г_ш инвариантен относительно интегрального оператора
I. Действительно, подставляя (0.27) в /у, будем иметь
£ в £ - £
/у(/,т) = I С7(/,5)у1(в)е‘" 1( 1 6*(М)у2(з)е'° 2 } (1з+1 С(1,з)уц(з№.
ООО
Стоящие здесь интегралы,содержащие экспоненты,представим в виде рядов по степеням е ,используя операцию интегрирования по частям:
Ш') - £М^]-
~ (<Ш)
+ £,(-1Г^+1[(/Г(С(«,гЖ(*)Ж,е’-< - (/]»((?((, *)%■(*)).=«],
где т = ^.а операторы Цп имеют вид
= т -1’ •’ = 1,2-
Нетрудно показать,что полученный ряд сходится асимптотически к интегралу «/)(£,£) при £ —> +0. Это и означает,что класс Ме асимптотически инвариантен относительно оператора /у. Построим теперь расширение оператора I.
18
Пусть дан ряд
№,туе)= £ £кук{Ь,г). (0.28')
4=-2
с коффициентами у*(£»т) € V. Применяя к нему формально оператор/, будем иметь
/у = Е £к1ук(г,т) = Е е*[/£(М)|/44,М<**+
4=-2 А=-2 0
+ /(7(/,5)у|^(£)е‘ ^ Йв+ /<?(/, в)у^(в)е'^ 5 </«].
Используя формулы (0.28) запишем образ /у в виде
/у = 2 Лгс(м)у^(£)</*+ Е (-1Гё”+1 £((/ГИ*,«)й(«))^е^+
л—“2 0 773—0 ^—1
(/71(С(^,«)уЛ«))»= о) = Е £*[ЛоУ(«,т) + Е етДпу(/,т)]г=^,.
Л — “ / п1—1 *
Здесь введены операторы Я,л : V -+ £/ (операторы порядка) действующие по закону
До»(*1г) = / <?(*» *)*&(*№*> /и,у(*,т) = (-1)" Д((7Г(С(ММ*))^Г' - (Г?(С«,в)у;(з)и0)(т > 0)
для каждой функции (0.27) пространства 0'.
Представим /у(/,т,£) в виде
/у(/,Т,£)= £) £Г( £ Яг-вув(г,т)) Ш. (*)
г=-2 «=-2
Определение 3. Назовем оператор
/у(^Т,б) = £ £г £ /?г_,у,(*>т)
г=—2 *=—2.г-*> О
расширением интегрального оператора /.
Теперь можно записать задачу,расширенную по отношению к исходной задаче (0.24).Она имеет вид
+ еЬ^= (°-29)
19
Подставим ряд (0/28') в систему (0/29) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях є; получим задачи
-Roy.2 = 0, у_2(0,0) = М0); (0.30)
-ЯоУ-1 - Яіу_.2 + Ly.2 = 0, у_і(0,0) = 0; (0.31)
-ЯоУо - К\У-1 - Я2у_2 + Ту-1 + = М<); (0.32о)
-Я(іуі - И\уо - Riy-1 - Л3у_2 + ^ + £уо = 0, v
уі(о»о) = о, і = —і, о, і,—.
Сформулируем общий результат, касающийся разрешимости итерационных задач в пространстве V. Рассмотрим три уравнения
-Я0у(/,т) = Н(Ьут)у у(0,0) = у0, (0.33)
-R^z{t, г) = Riy[t, т) - Ly(£, т) + P(t, г), (0.34)
Ои
—ЯоД>(/,т) = —— + Яі*(£,т) - Lz(£,r) +Я2у(£,т)-|-£2(і,т), (0.35)
где-P(f,r), /7(£,т), Q(f, т)-известные функции,у0- известное число.
Теорема 4.(см.стр. 91.) Пусть выполнены условия 1 и 2 и функции II(t,r), P{t,r)y Q{t>r) G U. Тогда для разрешимости задачи (0.33) необходимо и достаточно,чтобы
< H(t,r),cTi >= 0,і = 1,2,Vt € (0,Г], < #(t,r), 1 > U = 0. (0.36)
Задача (0.33) при дополнительных условиях
< R,y{t, т) + P(tt т), 1 > |*=0 = 0, (0.37)
<-% + Ыи г) + <?((, т), е'' >= 0, j = 1,2,
имеет единственное решение в пространстве U.
Заметим,что в (0.36),(0.37) участвует скалярное (при каждом t €
[0,Г]) произведение:Уу(£,т) = Е yAt)eTi} \/z(t,T) = Е z}(t)eT> (т<> = 0) :
J=0 7—0
2 _______
< У>* >= £ У>(0*Л0-
;=0
20
Теорема 5(см.стр. 99). Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда уравнение (0.24) имеет единственное решение y(t, е) € С[0, Т] и справедлива оценка
||у(£, е) - y<,w(£)||c[o,r] < с*е"+1(п = -2, -1, 0, •••),
где у,:лг(£) - сужение N- ой частичной суммы ряда, постоянная cn > 0 не зависит от £ (при достаточно малом £ : £ £ (0, Т]).
Результаты, полученные для скалярного случая, обобщены на системы интегральных уравнений с диагональным вырождением ядра
i
£2У = J{t - s)K(t, s)y(s, £)ds + h(t), (0.38)
о
где det K(t, t) ф 0 V/ G [0, Т]. Будем считать выполненными следующие условия:
1 )I<{t, s) £ C~(0 < s <t <Т, Rn*), h{t) £ C~([0, Tj, Cn);
2)спектр {А;(£)}(л x n)- матрицы K(t, t) удовлетворяет требованиям:
а) A,(£) < 0, i = 17^, V£ G [0, T];
б) Ai(t) ф Aj(t)y i ф j, i, j = T^, Vt € [0, TJ.
Вместо задачи (0.38) рассмотрим задачу
= / ^ + = °’ ^°'39^
где обозначено: 6Т(£, s) = K(t, $) + (£ - «) g(t) = SG(t, s)h(s)d$.
Решение системы (0.38) связано с решением системы (0.39) равенством у = £~-{z + h(t)). Поэтому, построив асимптотическое решение системы (0.39), легко вычислим асимптотическое решение системы (0.38). Вводим регуляризирующие переменные
TJ = -} т(в)Лв = Ш,1 = 172Й, (0.40)
£ о 6
где
/*27-1(0 = -* \/-А>(£), ^2j(0 — +* \/-aj(0> J = 17«. (0.41)
21
При этом /x|y_i(0 = А<2j(0 = Aj(00^ € [0» 71])» j = 1, п. Для расширенной функции I = £(£, т, е) (т = (ti, - • •, Т2„)) получаем следующую задачу:
€2^ + eLz - JG{t, в)z(s, £)cfs = z(0, 0, е) = 0, (0.42)
где обозначено: Lz = Y.%i !*/(«) Ц s E?=i[H +
+ (*V“Ai(0)^]> V»(0 = (V»i, • • •, V»2n). Задачу (0.42) нельзя считать полностью рсгуляризованной по отношению к задаче (0.40), так как в ней не произведена регуляризация интегрального оператора
J z(t, т, е) = J G(t, s)z(s, e)ds. о £
Для регуляризации последнего надо ввести класс Ме> асимптотически инвариантный (при е -> +0) относительно оператора J. В качестве М£ возьмем класс U|г_1дь где пространство U вводится следующим образом.
Определение 4. Будем говорить, что вектор-функция z(t, г) = {■«1, • • •, *2«} принадлежит пространству U, если она представима в виде суммы
= £ Zj(t) ет> + **(*), (0.43)
>=1
с коэффициентами z;-(f.) € C°°([0, Г], Cn), j = 0, 2л.
Для того чтобы показать, что класс U\r=Sy) является асимптотически инвариантным относительно оператора J, надо доказать, что образ J z(tу т) представляется в виде ряда по степеням е, асимптотически сходящегося к J z(t, т) при € -» +0. Подставляя (0.43) в Jz(t,r) и используя методику, описанную раннее, получим, что
t | Я
Jj(i, е) = J ехр{- f fij($)d$}G(t, s) Zj(s) ds = о £ о
t
= £(-l)">£"+1((/”(G((, .),(.)»_ Л"«" - »)*,(.)))«,],
m=0
(0.44)
22
где введены операторы:
/? - 1 Г» - — /Г«"1 т > 1 о = 1 •>„
3 ФУ 3 ф)д$>
(при этом, как нетрудно показать, ряд (0.44) сходится асимптотически (при е —> +0) к функции Jj(t, f)).
Теперь нетрудно записать задачу, регуляризованную по отношению к задаче (0.38). Она имеет вид
£*lFt + eL l ~ = 9^' ^°’ 0> ^ = °' (°’45)
где J расширение оператора J (оно имеет вид (*) и строится аналогично тому, как это делалось ранее).
Подставляя ряд
z{t, Ту f) = £$***(*, т). Ф т) € U (0.46)
*=о
в задачу (0.45) и производя приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях £у получим следующие системы для коэффициентов Zk(ty т) этого ряда:
-Я020 = 3(0» го(0,0) = 0; (0.47)
-Ло*! = -Lz0 + /?i ^о, 2i(0, 0) = 0; (0.47i)
-RqZ2 = “"^jr — Lzi + /?i zi + Яг^о, 2г(0, 0) = 0; (0.47г)
• • 4
-./?<, 2* =-----------------+ Я! 2*_! + Н22к-2 + •■•
... + Я*г0, **(0,0) = 0, к > 2. (0.47*)
Показывается(см.стр. 113-122), что любые три последовательные итерационные задачи (0.47*) определяют решение первой из них в пространстве U однозначно. Каждая упомянутая тройка итерационных задач имеет вид
-R<,z(t> г) = H(t, т), г(0, 0) = 0, (0.48)
23
- Київ+380960830922