Содержание
Введение..........................................................3
1 Квазиклассические спектральные асимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера 17
1.1 Квазиклассическая локализация спектра*
задачи (0.22)—(0-23)..................................... 17
1.2 Множество корней уравнения (0.24)....................... 21
1.3 Множество 0,^(6), не содержащее точек
спектра.................................................. 29
1.4 Явление Стокса ......................................... 32
1.5 Характеристические определители......................... 39
1.6 Локализация спектра в Е(1)(£)........................... 45
1.7 Локализация спектра в Е^(£)........................... 54
1.8 Аналитические свойства функции 5(\/Л. г) ............... 58
1.9 Построение канонических путей . ....................... 64
1.10 Дополнение.............................................. 71
2 Малые колебания вязкой капиллярной жидкости: ВКБ-
подход 77
Введение. Постановка задачи и формулировка основного результата??
2.1 Построение формальных решений........................... 79
2.2 Доказательство теоремы 3................................ 93
2.3 Эффект шепчущей галереи для круга.......................101
2.4 Дополнение 1............................................115
2.5 Дополнение 2............................................117
Список литературы...............................................131
Введение
Асимптотические методы являются мощным средством исследования краевых задач для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной. Особенно важным этот подход становится при изучении задач сингулярной теории возмущений. Такие задачи возникают в различных областях естествознания и техники. Предметом диссертации является применение и разработка указанных методов для исследования двух несамосопряженных модельных краевых задач на собственные значения.
Обзор исследований, связанных с диссертационной темой
Изучению спектральных свойств краевых задач с помощью асимптотических методов посвящено большое количество работ (см., например, [7], [2], [20]). Особый интерес представляют несамосопряженные краевые задачи, изучение расположения собственных значений которых в обшем случае является трудной проблемой ([6], [19], [15]).
Метод построения асимптотических формул для решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ) второго порядка восходит к Лиувиллю и Грину, которые в 1837 году в своих статьях исследовали уравнение вида
еу" (z) + Q{z)y(z) = 0; (0.1)
при б | 0 в предположении вещественности и (достаточной) гладкости функции Q(z), где г — вещественная переменная. Оба автора заметили, что функции
y(z, е) := Q~l,i{z) exp J (°-2)
’’почти ’ удовлетворяют дифференциальному уравнению в следующем смы-
сле: 10 л
е—+ Q{z)y{z, е) = 0(el/'2y(z, е)) (б 4 0).
Процедура, использованная Лиувиллсм, состояла в следующем. С помощью подходящей замены зависимой и независимой переменных: у := a(z)v и £ := £(2) уравнение (0.1) приводилось к виду, отличающемуся от некоторого уже исследованного уравнения на члены, стремящиеся к нулю при
е —У 0. Соответствующее ’’уравнение сравнения”, выбранное Лиувиллем, было следующим:
a w /л лч
e^2+W = 0- (°'3)
3
Указанная замена переменных выбиралась так. что а(г) := (ф(2)~1/4, £ := /** Ф(м)1/2 (1и, а уравнение (0.1) в переменных (£,г>) записывалось следующим образом:
гг/" + V + 6<Э-3/4((5'1/4),;у = 0.
Лиувилль строго показал, что на конечном отрезке, где функция (^(2) не обращается в нуль, ДУ (0.1) имеет решения у(г,е) такие, что
1/(*,е)-£(г,€) = о(У2ехр ,
то есть,
;/(г,е) =д_1/4(2)ехр |±-^ ^ ^0{и)йи| (1 +0(€1/2)) (0.4)
при £ 4 0.
Предположение, что 0(г) ф 0 на рассматриваемом отрезке является существенным. В противном случае у(г, в) даже не является везде определенной функцией. Нули (}{г) называются точками поворота уравнения (0.1).
Одной из первых публикаций по вопросам, связанным с точками поворота, явилась статья Ганса в 1915 году. Описание явления полного отражения с точки зрения физической оптики потребовало исследования ДУ (0.1) при малых е на интервате, где (ф(г) меняет знак. Ганс предполагал, что С}(2) = 2д(г), где 7(0) ф 0, то есть (^(2) имеет нуль первого порядка в точке £ = 0. Приближения Лиувилля-Грииа (0.2) могут быть использованы на интерватах, где г ф 0. Предположим, что 7(0) > 0 и нижний предел интегрирования в формулах Лиувилля-Грина выбран равным нулю. Тогда при г > 0 (и е Г 0) формулы (0.2) представляют осциллирующие функции, тогда как при г < 0 соответствующие две функции экспоненциатьно возрастают и убывают при е | 0.
В общем случае неверно, что решение уравнения (0.1), аппроксимирующееся одной из указанных функций с одной стороны от 2 = 0, представляется одной из тех же функций и с другой стороны от нуля. А именно, продолжение рассматриваемого решения аппроксимируется с другой стороны от нуля линейной комбинацией ”функций Лиувилля-Грина1 (0.2), и в определении коэффициентов этой линейной комбинации как функций е состоит "проблема перехода" (проблема нахождения формул связи).
Ганс решил эту проблему, рассмотрев ДУ
еУо(2) + гд(0)2/оМ = 0 (0-5)
и считая, что его решения приближают при достаточно малых 2 решения исходного уравнения (0.1). Уравнение (0.5) может быть решено в
4
терминах функций Бесселя (порядка 1/3), если ввести новую переменную г := г*)1/'2. что является примером т. н. преобразования растя-
жения в асимптотической теории (ограниченный интервал оси г отображается в неограниченно увеличивающийся интервал оси т). Немного более простое преобразование растяжения: t := (д(0)е“1)1/3г переводит (0.5) в уравнение Эйри:
^♦*М- 0.
Итак, для исходного уравнения (0.1) имеем три фундаментальные системы решений (ФСР), асимптотическое поведение которых известно (для каждой — на своем интервале):
(I) одна, аппроксимирующаяся функциями (0.2) строго слева от нуля;
(II) другая, приближающаяся строго справа от нуля, теми же выражениями;
(ш) ФСР, асимптотически выраженная в терминах функций Бесселя порядка 1/3 в переменной г (или в терминах функций Эйри в переменной
*)•
Решения вида (1), (И) называюся * внешними” решениями, вида (Ш) — ’’внутренними” решениями. Если удается показать, что интервалы, где асимптотические выражения для решений из (1), (и) и (ш) близки к настоящим решениям, покрывают (для достаточно малых е > 0) интервал (—#о?#о) (хо >0 — абсолютная постоянная), то решение, заданное, например, при г = —хо> может быть приближено на всем интервате; сначала ’’сшиваем” его с подходящей линейной комбинацией внутренних решений, а потом с линейной комбинацией внешних правых решений.
В 1926 году Вентцель, Крамере и Бриллюен независимо вновь получили результаты Ганса в связи с исследованием уравнения Шрсдингсра. В задачах, рассматриваемых ими, функция ) зависела также от некоторого параметра (обычно энергии), то есть рассматривалось уравнение (уже на всей оси К) вида
еу"{г) + <Э(г, А)у(г) = 0 (0.6)
(при малых е > 0). Соответствующие функции вида (0.2) принято также называть ВКБ-приближениями для решения ДУ (а также квазиклассиче-скими приближениями), а построение подобных приближений — методом ВКБ.
Лангер (см., напр., [28]) занимался построением и строгим обоснованием асимптотической теории для ДУ с точками поворота. Основная его идея заключалась в том, чтобы применять процедуру Лиувилля, пользуясь
уравнениями сравнения, более близкими к рассматриваемой задаче, чем уравнение (0.3). В уравнении (0.1) Лангер рассматривал потенциалы вида Q(z) = zQq(z), q(0) ф 0, а > 0, q(z) — голоморфна в точке 2 = 0. Преобразование у = a(z)v, £ = £(2) Лангер выбирал следующим образом:
£(2) := а ^ ^ /q t^2q^2(t) dt "+2 и a(z) = (J^j так, что исходное уравнение (0.1) приводится к виду:
(ру
€d(? + + 6/Y^’ ^ = °’ ^
где х = ä;/ö,j. Соответствующее уравнение сравнения выбирается в виде:
. d2™ ^ е_+Гю=0,
оно может быть решено в терминах функций Бесселя.
Лангер доказал существование решений уравнения (0.7), близких к решениям уравнения сравнения в некоторых секторах комплексной плоскости с вершиной в £ = 0 (соответствующей 2 = 0). Таким образом, различие между внутренним и внешними решениями стало несущественным; сшивка решений теперь необходима только при 2 = 0.
Принцип построения эталонного уравнения для дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром описан в статье [7]. Такое уравнение должно изображать особенности поведения коэффициентов рассматриваемого уравнения: коэффициенты его должны иметь нули (и полюсы) того же порядка, что и коэффициенты данного уравнения; те коэффициенты, которые во всем интервале не меняют знака и остаются ограниченными, заменяются постоянными величинами.
Результаты Лангера об уравнениях второго порядка были применены в случае уравнений, сводящихся к уравнению Вебера (для функций параболического цилиндра) (см. [29]). Также изучались задачи с несколькими точками поворота.
Приближенные решения Лиувилля-Грина (0.4) можно рассматривать в комплексной плоскости 2 (при некоторых условиях на Q(z)), причем в некоторых областях Cz величина 0(е^2) из (0.4) равномерна по 2. Эти области не могут содержать точку поворота, поскольку вблизи нее асимптотические формулы для решений перестают быть верными. При изучении областей, где асимптотические формулы справедливы, возникает явление Стокса. Дж. Г. Стокс исследовал это явление на примере уравнения Эйри y"(z)-zy(z) = 0. Он заметил, что если в некоторой области изменения arg 2 общее решение является линейной комбинацией двух основных асимптоти-
6
ческих решений, то в соседней области изменения arg z коэффициенты линейной комбинации могут быть другими. Эти коэффициенты изменяются при переходе через некоторые линии (''линии Стокса”, в случае уравнения Эйри, являющиеся лучами arg 2 = ±7г/3,7г). Причина, в силу которой асимптотические формулы для одного и того же непрерывного решения могут быть разрывными, заключается, в общих чертах, в том, что асимптотическая формула всегда содержит некоторую погрешность, которая в некоторой области изменения параметра может сделаться большей, чем главный член асимптотики.
Рассмотрим некоторое фиксированное ВКБ-решение (0.4), которое является экспоненциально малым (по е) в некоторой области комплексной плоскости г. Это решение определяется заданием ветвей y/Q(z), y/Q(z) и пути интегрирования. Ошибка имеет при этом порядок 0(е1^2) по сравнению с главным членом. Будем теперь изменять z. Пока ошибка будет иметь тот же порядок, наше приближение будет применимо. Тем не менее известно, что z может попасть в такую область, в которой ошибка по-прежнему будет иметь порядок 0(е1(/2), но уже по сравнению с другой функцией Лиувилля-Грина (0.2). Последняя функция будет экспоненциально расти (по е), и ошибка станет экспоненциально большой по сравнению с исходной функцией (0.2). Другими словами, мы продолжили решение в область, в которой исходное приближение больше неприменимо. Линии, при переходе через которые такое происходит, называются линиями Стокса, они определяются уравнением Im fJo y/Q(u) du = 0, где zq — точка поворота (точнее, линия Стокса — максимальная связная компонента линии уровня Im L\ y/Qi и) du = 0 с началом в точке Zq и не содержащая других точек поворота).
Биркгоф в своей работе [25] выделил некоторые области в комплексной плоскости z, в которых справедливы асимптотические представления (0.4). Он использовал технику канонических путей, то есть кривых, вдоль которых величина Im fz y/Q(r) dr монотонна. На канонических путях функции Лиувилля-Грина являются приближениями для некоторых решений уравнения (0.1).
Области, в которой асимптотика (для приближений Лиувилля-Грина) является равномерной, изучались также Хедингом в связи с проблемой нескольких точек поворота.
Одной из причин для исследования дифференциальных уравнений в комплексной области являлось получение формул связи (перехода), то есть решение описанной выше проблемы перехода. Цваан был первым, кто рассмотрел уравнение в комплексной плоскости 2, чтобы получить формулы
7
связи. Он рассматривал функции С)(г), вещественные при вещественных г и продолжал убывающее ВКБ-решение из точек, лежащих слева от точки поворота в точки, лежащие справа от точки поворота (на вещественной оси), обходя точку поворота по пути, лежащему в комплексной области, и получил этим методом формулы связи.
В настоящий момент лишь частично решена задача, возникающая, например, при нахождении формул перехода, о связи между разными ФСР, заданными асимптотически в перекрывающихся областях. Одна из причин возникающих трудностей состоит в том. что асимптотические приближения по параметру (е) не выделяют решение единственным образом. Один из путей преодоления этой трудности состоит в построении '’ двойных асимптотических разложений" в неограниченных областях (то есть предсталений, асимптотических также и при г —> оо по некоторым направлениям). Такие асимптотические представления часто характеризуют решение единственным образом.
М. В. Федорюк внес значительный вклад в развитие метода ВКБ. В нескольких статьях, основные результаты которых вынесены в книгу [20], он разработал ”глобальную” теорию для уравнений вида (0.1), когда потенциал (2(г) — полином или целая функция, обладающая некоторыми дополнительными свойствами. (Также Федорюк обращался и к мероморф-ным функциям, удовлетворяющим ряду ограничений (см. [18])). Исследование уравнений вида (0.1) с малым параметром е у Федорюка основано на построении соответствующих линий Стокса и исследовании областей, ими ограниченных. Он доказал, что линии Стокса уравнения (0.1) разбивают комплексную плоскость (в случае потенциала-полинома) на ряд областей типа полуплоскости или типа полосы, которые отображаются функцией [' \jQiQ (/С на полуплоскость вида 1т \/<2(О^С > а (или 1т Г УЩо а; < а) или полосу а < 1т \ДЗ(С) < 6 соответственно. Далее. Федорюк, объединяя несколько областей указанного вида, выделил т. н. канонические области, то есть те, которые отображаются функцией г /" \Д?(С) (К (взаимно-однозначно) на всю комплексную плоскость с конечным числом вертикальных разрезов, и построил в них ФСР. обладающую при малых е ВКБ-асимптотиками с оценкой остатка, равномерной по г, лежащему в подобласти канонической области без некоторой окрестности ее границы. Также эти асимптотики справедливы и при г —> оо по некоторым направлениям (а именно, таким, что Ііп /г і00)?
равномерно по (достаточно малым) е.
Затем Федорюк вычислил (асимптотически при е ! 0) матрицы перехода от ФСР в одной канонической области к ФСР в другой канониче-
8
ской области (всего получилось четыре типа таких матриц). И, учитывая, что объединение конечного числа канонических областей покрывает всю комплексную плоскость г (за исключением окрестностей точек поворота), перемножая матрицы перехода, можно найти асимптотику ФСР во всей комплексной плоскости г (кроме точек поворота).
Такой подход Федорюк применил к ряду задач с точками поворота. Наименее исследованным является случай комплекснозначного потенциала <5(-г). Для задачи
-/(*) + <К*)у(г) = Л2/(*)> (°-8)
где д(г) — полином с комплексными коэффициентами, на всей оси Е (или на полуоси) Федорюк нашел асимптотику собственных значений с большими номерами, исследуя расположение линий Стокса уравнения (0.8). Особенностью задачи является то, что при больших \г\ для потенциала-полинома можно найти асимптотические направления линий Стокса, и, стало быть, сделать некоторые выводы о решениях при больших |2| (именно, для полинома ц(г) = «о У1 +... + ап, ао = т^е1[рп бесконечная линия Сток-са имеет в качестве асимптоты один из лучей: : 2 = ре*^* па°, р > 0,
/Лл
—, к = 0,1,... , п + 1). Вблизи точки поворота (порядка гп) также можно выяснить направления линий Стокса; д(г) а(г - г0)т,
а ф 0, следовательно, ~ т + 2^г ~ г°)*+1’ таким образом, из
точки поворота порядка т выходит т + 2 линии Стокса, и угол между соседними ЛИНИЯМИ в точке 2о равен : • Нахождение геометрии линий
/ / Ь | " те
Стокса на конечных (не являющихся малыми) расстояниях от точки поворота является более трудной задачей, и для построения ФСР имеет смысл пользоваться другими методами, наиболее удобными для конкретной задачи.
Уравнение с комплекснозначным потенциалом и малым параметром при второй производной исследовалось в работе Днестровского и Костомарова [6]. Они исследовали задачу на собственные значения для уравнения вида (0.6) с граничными условиями у(±оо,А,е) = 0, где Л — спектральный параметр, а е — малый параметр; <3(2, А) — комплексная функция. Исследования велись при некоторых условиях на аналитическую по 2 и Л функцию <3(2,Л), которые гарантировали наличие у соответствующих линий Стокса ряда нужных свойств. Качественное расположение линий Стокса явилось основным предметом исследования в работе [6]. В терминах геометрии линий Стокса ими найдено расположение (при малых с) собственных значений рассматриваемой задачи в наперед заданной обла-
(2А: + 1)тг
71 -4- 1
9
сти G изменения параметра Л. Построение необходимых для нахождения собственных значений решений уравнения (0.6) с известными асимптотиками (типа Лиувилля-Грина) и исследование их свойств, а также сшивка решений, обладающих известными асимптотиками в различных областях, ограниченных линиями Стокса, производились при помощи путей в плоскости г, вдоль которых функция Im fz y/Q(C, A) монотонна. На этих путях справедлива ВКБ-асимптотика для решений. (Склейка производится в двух точках, в которых справедливы склеиваемые асимптотики). Одним из результатов работы является то, что собственные значения расположены в б-окрестностях корней уравнения cos
(при некотором определенном расположении линий Стокса), 21(A), 22(A) — простые точки поворота.
Дальнейшее (современное) развитие асимптотических методов решений ДУ связано с требованиями, выдвигаемыми конкретными физическими задачами. Например, исследование потерь на излучение в слабо изогнутом оптическом волокне приводит к уравнению
V2y(£,v) + f(£,v)y{Z,v) - + ea{£,v)y{£,v) = 0,
где £, г/ — координаты, ортогональные волокну, б — малый параметр, соответствующий кривизне, {*(£,77) — линейная функция по £ и tj. Вместе с походящими граничными условиями, это уравнение задает задачу на собственные значения относительно параметра А, мнимая часть которого описывает потерю энергии в волокне. Париз и Вуд рассмотрели соответствующую одномерную модельную задачу (см. [31]), имеющую те же характерные черты, что и исходная задача:
у"(х) + (А + ех)у(х) = 0, х€(0,оо) (0.9)
|/(0) + А»(0) = 0, (0.10)
где h > 0, у(х) ~ ехр[гр(х)] при х —> ос (пользуясь приближениями Лиувилля-Грина, имеем: р{х) = дб^х3/2). Учитывая линейность потенциала, ФСР рассматриваемого уравнения (0.9) можно выбрать в виде
{Ai ^-б1/3 (х + е^)) ) Bi б1/3 ^х + ^))}- Коэффициенты линейной комбинации, дающей нужное решение при х -» оо находятся из известных асимптотик Ai(£) и Bi((). Далее, с помощью подстановки этой линейной комбинации в граничное условие (0.10), ищется собственное значение, при этом используется асимптотический вид при б | 0 функций Ai(—б~2/3А), Bi(-e-2/3A) и их производных. Париз и Вуд показали, что
Im А = -Щ- ехр —з^3]-
ю
Необходимость получения разложений с точностью до экспоненциально малых членов возникает и при обобщении этой задачи, в частности, для уравнений вида
у"(х) + (А +ехп)у{х) = 0, х е (0, сю) (0-11)
у'(0) +/и/(0) = 0, Л>0 (0.12)
причем у(х) ~ ехр[ф(х)] при х —> оо для некоторого р(х) > 0. В случае
п = 2 возможно применение функций параболического цилиндра для изуче-
ния задачи (0.11)—(0.12)? но в окончательном уравнении возникает необходимость исследования функции вида Г ^ /Г » гДе а —*оо.
На основании интегральных представлений Париз и Вуд получили разложение этой функции с точностью до экспоненциально малых членов в нужном секторе.
При п > 2 для уравнения (0.11) приходится применять другую технику, основанную на построении ВКБ-представлсний вдали от точки / А\ 1/п
поворота (—7] и сшивании ее с представлениями через функции Эйри вблизи точки поворота, причем в результате опять получается экспоненциально малая при € I 0 асимптотика для 1т А (см. [31]):
1т А ~ —2/г2 ехр--------щ
Таким образом, необходимость получения в современных приложениях более точных приближений для собственных значений в соответствующих задачах требует дальнейшего развития в асимптотических методах, когда уже не достаточно асимптотических разложений типа Пуанкаре.
Асимптотические формулы ВКБ-приближений модифицируются также в связи с потребностью обработки в некотором смысле ” особых” точек, под которыми подразумеваются особые точки дифференциального уравнения и точки поворота. Предпринимаются попытки вывести единую формулу, подходящую для большинства таких случаев. Гингольд в статье [27] предложил асимптотическую формулу, которую назвал ’’инвариантной”, то есть пригодную в ’’большинстве случаев”. Вывод искомой формулы состоял из двух основных этапов: во-первых, некоторой трансформацией зависимой переменной данное уравнение приводилось к более простому виду, где выделены главные члены; во-вторых, показывалось, что эти члены действительно главные, и остальные члены нужным образом оцениваются. Гингольд предложил не пренебрегать некоторыми ’’малыми” членами на первом этапе преобразования уравнения и получил свою ’’инвариантную” формулу в несколько отличном от формул Лиувилля-Грина
2к№/у(п)] Г (1 + 1) Г (|)
л7Г^ Г(Г+§)
И
- Київ+380960830922