Введение
5
4
&
Глава I Конформные отображения многоугольников и областей, ограниченных полигонами и свободными поверхностями 17
§ 1. Конформные отображения многоугольников........................... 17
1°. Задача. Гильберта, формула Кристоффеля - Шварца.............. 17
2°. Функциональное уравнение..................................... 18
3°. Деформация простых полигонов................................. 19
4°. Сходимость метода циклической итерации....................... 19
5°. Аппроксимация оператора...................................... 21
6°. Оценка погрешности аппроксимации............................. 21
7°. Сходимость численного метода циклической итерации............ 21
§ 2. Конформные отображения со свободной границей..................... 22
Г. Постановка задачи............................................. 22
2°. Пример 1..................................................... 23
3°. Пример II.................................................... 25
Глава II Фильтрация жидкости со свободными границами в неограниченном пористом слое 28
§ 1. Принцип непрерывности для фильтрационных потоков жидкости................................................................... 28
1°. Постановка фильтрационных задач.............................. 28
2°. Представление конформпых отображений......................... 29
3°. Система уравнений для параметров............................. 30
4°. Принцип непрерывности....................................... 32
§ 2. Априорные оценки и локальная единственность решения 33
§ 3. Построение начальных полигонов. Однозначная разрешимость
уравнения........................................................ 37
1°. Пористый слой с двумя бесконечными вершинами (область типа полосы)........................................;................... 37
2°. Пористый слой с одной бесконечной точкой (область типа полунолосы). 37
3°. Конечная область фильтрации (рис.1).......................... 38
§ 4. Барьерная кривая для свободной границы........................... 39
1°. Двусторонние оценки производных.............................. 39
2°. Структура области в окрестности концов полигона.............. 41
3°. Построение барьерной кривой.................................. 42
§ 5. Обобщения........................................................ 43
1°. Криволинейные границы........................................ 43
2°. Нестационарные фильтрационные потоки......................... 44
Глава III Прикладные контактные задачи фильтрации жидкости в пористых средах 45
§ 1. Постановка контактных задач теории фильтпации.....................45
§ 2. Земляная плотина на водопроницаемом основании........................47
1°. Глубина водоносного слоя бесконечна............................. 47
2°. Водоносный слой конечной глубины (область типа полосы).......... 48
3°. Водоносный слой вниз по потоку ограничен (область типа нолуполо-
сы)................................................................ 49
4°. Водоносный слой конечных размеров............................... 50
5°. Перемычка Герсеванова........................................... 50
§ 3. Земляная плотина с наклонной поверхностью дренажа....................50
1°. Непроницаемое основание......................................... 50
2°. Конечная глубина (аналог задачи 4° §2).......................... 51
3°. Бесконечная длина водоносного слоя в верхнем бьефе.............. 51
4°. Фильтрация из канала в симметрично расположенные водоприемники.................................................................. 52
5°. Дренированное дно канала........................................ 52
6°. Водоносный слой бесконечной глубины............................. 53
7°. Свободная граница бесконечна.................................... 54
§ 4. Двухжидкостные фильтрационных потоков............................... 54
1°. Контактная граница пресных и соленых вод под дамбой............. 55
2°. Поверхность раздела в прибрежном напорном водоносном пласте. . . 56
3°. Конечный водоносный пласт....................................... 57
4°. Конус подошвенных вод........................................... 58
5°. Линза пресных вод............................................... 58
5.Г. Симметричный поток......................................... 58
5.2°. Общий случай.............................................. 59
§ 5. Однозначная разрешимость контактных задач........................... 60
1°. Полигональные границы........................................... 60
2°. Принцип непрерывности в контактных задачах...................... 60
3°. Анализ результатов.............................................. 62
Глава IV Фильтрация жидкости в неограниченном пласте с наклонным водоупором 64
§ 1. Общая задача фильтрации............................................. 64
§ 2. Фильтрационный поток грунтовых вод но наклонному водоупо-
ру под горизонтальной дреной...................................... 66
§ 3. Фильтрационный поток жидкости из канала на наклонный во-
доупор.............................................................. 68
1°. Фильтрация жидкости из прямолинейного канала на горизонтальный
водоприемник, находящийся под наклонным водоупором.................. 69
2°. Фильтрация жидкости из прямолинейного канала на наклонный во-
доуиор.............................................................. 70
3°. Дно канала и водоупоры - произвольные полигональные границы. . . 70
Глава V Алгоритмы численного решения задачи о параметрах. 71
§ 1. Задачи безнапорной фильтрации с горизонтальным дренажем . 71
1°. Фильтрация жидкости в полигональном канале со свободной границей, выходящей на горизонтальный дренаж........................... 71
2°. Представление конформных отображений.......................... 61
• 3°. Система уравнений для параметров.............................. 72
4°. Эквивалентное уравнение для вектора « = («!,..., и„).......... 74
§ 2. Метод циклической итерации......................................... 76
1°. Преобразование функционального уравнения...................... 76
2°. Деформация простых полигонов................................. 76
3°. Сходимость метода циклической итерации. ........................ .................... 77
§ 3. Приближенное решение задачи о параметрах...........................81
1°. Аппроксимация одномерных интегралов........................... 81
2°. Оценка погрешности аппроксимации М*........................... 81
3°. Аппроксимация оператора....................................... 82
4°. Сходимость численного метода циклической итерации............. 82
5°. Земляная плотина на непроницаемом основании с горизонтальным
дренажем.......................................................... 83
6°. Плотина, с наклонной поверхностью дренажа..................... 84
§ 4. Общий случай аппроксимации оператора задачи........................85
1°. Аппроксимация двумерных интегралов............................ 85
2й. Оценка погрешности и сходимость численного алгоритма.......... 87
Заключение 88
Литература 89
4
*
Введение
1°. Исторический обзор. Плоские стационарные течения несжимаемой жидкости, включая и фильтрацию жидкости в однородных пористых средах, описываются аналитической функцией комплексного переменного - комплексным потенциалом течения.
В гидродинамике задачами со свободными поверхностями принято называть задачи, в которых часть границы области течения неизвестна (свободная граница) и должна определяться в процессе решения вместе с комплексным потенциалом течения.
Корректность одной из таких задач впервые была установлена Вайнштейном А. (1924) на основе предложенного им метода непрерывности [17, с. 19 - 31].
Применением абстрактной формы метода непрерывности Лере Ж., Вайнштейн А. (1934) доказали разрешимость задачи обтекания полигонального контура с отрывом струй (свободные границы) но схеме Кирхгофа [17, с. 75 -78 у, а в работе Лере Ж. (1935) эти результаты были распространены на криволинейные препятствия, угол вращения касательной к которым не превышал величины тг (библиография в [3]). Независимо от Лере Ж. при тех же условиях на геометрию обтекаемого препятствия Лаврентьев М.А. (1938), опираясь на разработанные им вариационные принципы конформных отображений, вместе с теоремой существования течений Кирхгофа установил и теорему единственности таких течений (библиография в (3, 8, 9]).
Разрешимость широкого класса струйных задач гидродинамики и задач теории фильтрации жидкости со свободными границами без ограничений Лере - Лаврентьева была установлена Монаховым В.И. (1961) с помощью предложенного им метода конечномерной аппроксимации (библиография в [9’). В этом методе известные границы области течения заменялись полигонами, а нелинейные краевые условия - кусочно - линейными. Разрешимость полученных при этом систем уравнений относительно конечного числа аппроксимационных параметров устанавливалась последовательно в результате малых вариаций границ и граничных условий > Решения исходных задач гидродинамики и теории фильтрации со свободными границами строились предельным переходом практически без ограничений на геометрию заданных границ.
В последнее время Монаховым В.II. (2000) предложен конструктивный вариант описанного аппроксимационного подхода, названного циклическим методом итерации [10, 11). Метод заключается в применении конечного числа циклов деформаций заданных полигональных границ таким образом, чтобы соответствующая система уравнений относительно параметров конформного отображения в каждом цикле допускала построение ее решения методом простой итерации.
На основе циклического метода итерации в работах [10, 11] доказана корректность струйных задач гидродинамики и задач типа фильтрации со свободным границами, в которых заданные полигональные препятствия допускают внешнее самопересечение и могут иметь бесконечные вершины с произвольным углом при них.
Отметим, что струйные задачи гидродинамики находят непосредственное применение в теории фильтрации при построении оптимальных форм подземной части бетонных гидротехнических сооружений (13, с. 186 - 201].
Отличительной особенностью задач фильтрации жидкости в пористых средах является разнообразие граничных условий для искомого комплексного потенциала фильтрации и соответственно этому наличие большого количества, геометрических и физических характеристик фильтрационного потока [2, 5, 13].
Первые теоремы существования фильтрационных потоков жидкости в земляных
5
4
плотинах со свободной границей (депрессиониой кривой) установлены Полубариновой - Кочиной II.Я. (1938) методами аналитической теории дифференциальных уравнений [13, гл.VII].
С помощью специального выбора независимых переменных и искомых функций методами теории квазиконформных отображений более общие теоремы существования фильтрационных потоков жидкости со свободными границами были доказаны Монаховым В.II. (1961) [9, с. 359 - 375]. Вцоследствие разрешимость некоторых из изученных в [9, 13] фильтрационных задач независимо была установлена методами вариационных неравенств в работах Байокки Б., Стампакья Г. (1974) [4, с. 269 - 318].
В книгах [2, 5, 13] изложены результаты различных авторов по применению метода г дографа скорости, хорошо зарекомендовавшего себя в гидродинамике, для построения точных решений (в виде рядов или специальных функций) конкретных задач фильтрации жидкости со свободными границами. Таким методом были, например, решены частные задачи о равновесии линзы пресных вод, лежащей на соленой воде [13, с. 330- 341], [5, с. 287 - 301]. При построении конформного отображения фиксированной области в плоскости переменных годографа скорости течения на канонические области, проблема определения возникающих при этом вспомогательных параметров решалась в этих работах полу обратным подходом - фиксировались различные значения этих параметров и по ним вычислялись фильтрационные характеристики потока (напор, длина плотины, размеры дренажных зон и т.д.).
Прямые задачи, где геометрические и физические характеристики фильтрационных потоков задаются заранее, а параметры соответствующих им конформных отображений определяются в результате решения нелинейных систем уравнений, впервые были поставлены и исследованы в работах Монахова В.H., результаты которых изложены в монографии [9, гл. III].
Теоретическое исследование задачи о параметрах фильтрационных потоков и построение алгоритмов численного ее решения является актуальной проблемой современной подземной гидродинамики.
2°. Цель работы. Диссертационная работа посвящена доказательству однозначной разрешимости задач фильтрации жидкости со свободными границами в пористых каналах со сложной геометрией фильтрационного потока: неограниченной протяженностью и глубиной пористого слоя, скачкообразным изменением расхода, жидкости в верхней и нижней зонах канала, наличием неизвестных (контактных) границ с неподвижной жидкостью другой плотности и т.д.
Особое место в диссертации уделяется построению конструктивных численных алгоритмов решения фильтрационных задач со свободными границами, доказательству их сходимости и оценке погрешности аппроксимации.
3°. Содержание работы
Глава I. Конформные отображения многоугольников и областей, ограниченных полигонами и свободными поверхностями.
В первой части главы (§1) строится алгоритмичная модификация метода непрерывности Вайнштейна А. определения неизвестных постоянных в формуле Кристоффсля -Шварца отображения многоугольников.
Предложенный здесь метод циклической итерации применяется в дальнейшем к более сложным проблемам.
Задача Гильберта, формула Кристоффсля - Шварца (1е).
В этом пункте кратко изложены необходимые сведения из теории краевых задач
6
аналитических функций.
Рассматривается задача Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами для аналитической в верхней полуплоскости Im ( > 0 функции Ь(£) :
Re = МО» (!)
где 7(<) = 7к = const t € h(t) = /и(<)П|* - “1 < < 1» h.(t) €
C'a[^JCt+i]> a > 0, -oo < to < ... < tn+1 < oo.
В качестве канонического решения П(£) однородной задачи в нужном классе аналитических функций выбирается производная конформного отображения Z : Е -+ D верхней полуплоскости Е на область D, ограниченную некоторым многоугольником Р (формула Кристоффеля- Шварца):
(17 п+1
— = П(С - hf* = Ке,0гЩС), (2)
• к=0
где ft = 7*_1 — 7fc = a* — 1, a-fcTT - внутренние углы многоугольника.
Частное решение неоднородной задачи представляется в форме, используемой в дальнейшем
"И - ™ / WFÔ ■ "«>"«> <3>
-оо
Функциональное уравнение. Деформация полигонов (2?, 3°).
Фиксируются параметры *0 = 0, tл+\ = 1, а для определения вектора гг = (ид,... , ип) неизвестных постоянных ик = £* — ^,_1 в формуле (2) Кристоффеля- Шварца решается функциональное уравнение
д(и,а) = 1; д = (ди... дк = j 1Щ1)(Н. (4)
tk-\
Здесь I = (/1,... ,/„) - вектор длин сторон полигона Р. атг = (ао,... ,ал+|)тг -вектор внутренних углов Р, ЛГ* = |^|, * 6 [<А-1,и].
Вектор /; = (/, а) называется геометрической характеристикой многоугольника Р и подчиняется условиям простого полигона (/.>, Р) € С(£),
(?(<$) : 11п 1к+11 < 5,0 < 5 < л* < 2, * = 0,п + 1; |РУ| > 5; |* — Л > 2, (5)
где Рц С В произвольная кривая, соединяющая не соседние стороны (Р,. Р$) С Р.
Согласно метод}' непрерывности уравнение (4) однозначно разрешио на множестве
П = {и\г1к = Ьк - 1к-1 > е(5) > О, А: = Г“п},
Предлагается конструктивный метод циклической итерации для решения следующего эквивалентного (4) уравнения относительно вектора и = (ггд,... , ип)
1
И = /(»>?); / = (/1,... ,/»), /* = / A*(s,a?)c/3,
л *
(б)
7
- Київ+380960830922