2
СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Введение......................................................... 3
Глава I. Предварительные сведения................................ 9
§ 1. Некоторые понятия из теории функции и функционального
анализа.................................................... 9
§ 2.0 многочленах Якоби....................................... 14
§ 3.0 числах Кристоффеля.......................................18
Глава П. Об оценке [-1,1] -нормы алгебраического многочлена
по его значениям в узлах "почти” равномерной сетки...............25
§ 1. Постановка задачи........................................ 25
§ 2. Вспомогательные леммы и оценки........................... 28
§ 3.Ограниченность сверху величины Г^(и,Оу)................... 30
Глава III. Ограниченность в С[-1,1] нормы средних Валле-Пуссена
дискретных сумм Фурье-Лежандра...................................51
§ 1. Постановка задачи.........................................51
§ 2. Ограниченность нормы средних Валле-Пуссена дискретных
сумм Фурье-Лежандра........................................54
§ 3. Ограниченность максимума алгебраического многочлена на отрезке [-1,1] по его значениям в нулях многочлена Лежандра.................................................76
Глава IV. Оценка Г„[-1,1]-нормы алгебраического многочлена
по его значениям в нулях многочлена Лежандра.....................78
§ 1. Постановка задачи..............;..........................78
§ 2. Вспомогательные утверждения...............................80
§ 3. Оценивание величин уи Гря(т,М)............................88
Список литературы.................................................93
3
Введение
Актуальность темы. Ортогональные многочлены и ряды Фурье но этим многочленам находят широкое применение в различных областях. В частности, они применяются в задачах, связанных с обработкой, сжатием и передачей дискретной информации (например, использование быстрых преобразований Фурье и Фурье-Уолша, дискретного преобразования Фурье и т.д.), что позволяет значительно сократить количество арифметических операций и объем памяти ЭВМ; при решении интегральных и дифференциальных уравнений, путем разложения функций, входящих в эти уравнения, в ряды по ортогональным многочленам и в других задачах. Эти задачи, в свою очередь, приводят к вопросам приближения функций, заданных на дискретном множестве точек (сетках) с помощью последовательностей линейных операторов - дискретных частных сумм Фурье, дискретных сумм Фейера, Валле-Пуссена, определенных по соответствующей системе ортогональных многочленов. Кроме того, представляют интерес вопросы сходимости частных сумм Фурье и их средних к разлагаемой функции. Отсюда, в свою очередь, возникают задачи исследования поведения норм операторов Валле-Пуссена в пространстве С[-1,1]. В частности, в работах [29], [30] были^ изучены нормы операторов В&ште-Пуссена для сумм Фурье-Якоби и для дискретных сумм Фурье-Чебышева в пространстве С[-1,1].
Во многих вопросах теории приближения функций и численного анализа приходится рассматривать взаимосвязь между различными нормами в линейных пространствах алгебраических многочленов. В частности, в работах [4], [9], [18], [23], [31], [41] изучалась связь 1Дя,Ь]-нормы многочлена и его дискретной нормы, определенной на конечной равномерной системе точек отрезка [а,Ь].
4
Объект исследования. В работе изучаются средние Валле-Пуссена (операторы Валле-Пуссена) для дискретных сумм Фурье-Лежандра и вопрос об оценке £Д-1,1]-нормы алгебраического многочлена по его значениям на конечной системе точек отрезка [-1,1].
Цель работы:
1) доказать ограниченность норм операторов Валле-Пуссена, действующих в пространстве С[-1,1];
2) получить оценку максимума алгебраического многочлена на [-1,1] но его значениям в нулях многочлена Лежандра;
3) оценить £р[-1,1]-норму алгебраического многочлена по его значениям на конечной сетке отрезка [-1,1].
Общие методы исследовании. В диссертации применяются общие методы теории функции и функционального анализа, а также методы теории ортогональных многочленов.
Научная новизна. С некоторыми ограничениями доказано, что нормы операторов Валле-Пуссена равномерно ограничены в пространстве С[—1,1] некоторой положительной константой. Как следствие предыдущего утверждения доказано, что, если значения алгебраического многочлена на конечной системе точек отрезка [-1,1] - нулей многочлена Лежандра - ограничены в совокупности, то и его максимум ограничен на [-1,1] некоторой положительной константой. Получены оценки между /,Д-1,1]-нормой алгебраического многочлена и дискретными нормами, определенными на конечной системе точек отрезка [-1,1]. Кроме того, получены оценки приближения непрерывной функции средними Валле-Пуссена для сумм Фурье-Лежандра.
Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы при изучении поведения норм операторов Валле-Пуссена в других функциональных пространствах, а также в теории приближения. Результаты глав II и IV могут быть использованы для дальнейшего изучения
5
связей между дискретными нормами и нормами, определенными в различных функциональных пространствах.
Апробирование работы. Основные положения и отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались:
- на ежегодных научных семинарах кафедры математического анализа Дагестанского государственного педагогического университета (ДГПУ);
- на Воронежской зимней математической школе (1999, 2001 гг.);
- на 10-й Саратовской математической школе (2000 г.);
- на конференции профессорско-преподавательского состава ДГПУ (2000 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 44 наименований.
Первая глава носит обзорный характер. 13 ней изложены некоторые понятия теории функций и функционального анализа; приводятся основные сведения из теории классических многочленов Якоби и Лежандра: рекуррентные соотношения, асимптотические формулы, свойства нулей и другие свойства. Кроме того, в этой главе получена оценка сверху (теорема 1.3.1) для чисел Кристоффеля (весов) р. квадратурной формулы Гаусса.
Во второй главе оценивается )-норма алгебраического многочле-
на по его значениям в узлах "почти" равномерной сетки.
Через О = {х0,х'1,...,дСу,...} обозначим сетку - дискретное множество, состоящее из конечного или бесконечного числа различных точек (узлов) действительной оси #.
II'1- пространство алгебраических многочленов степени не выше п.
Сетку ={х0,х1,...,ху_1}, -1 = х0 <*1 <...<%_2 <Хл_, =1 будем называть "почти" равномерной, если
6
"-п
где 0 < б < 2 < с.
Определяя для произвольного алгебраического многочлена рп є Я" две нормы (1 < р < оо, п < N -1):
ІкІ.=і > !ЬХ = ™«к(*)І>
V-! /
ІАIIр,п„ = (І\Рп(*у)|"Ьхі . ІЛЦя* = (*,)|,(Л*„_, = 2/Л0
\J* о у
рассмотрим величину
Г ґ п \-
(и» ^ .V ) ~ ЯиР її и »
*>„€//" |Рп||р где 1 </>,</< со, Я0* = {/>„ є Я" |/?„ ФО}.
Доказано (теорема 2.3.1), что, если 1 < р < </ < со, п < Ху/Л, X > 0, то
ГЛї ("> аЛ' )5 С(Р> 9. о)и 2(І,>Ч',), где с(р,дД,а) - положительная постоянная, зависящая от указанных параметров.
Кроме того, доказано (теорема 2.3.2), что дискретные средние Валле-Пуссена упп(/) для сумм Фурье-Лежандра в точках х еОА, приближают
непрерывную функцию со скоростью наилучшего приближения в метрике пространства С[-1,1] алгебраическими многочленами степени п.
В третьей главе рассматриваются операторы Валле-Пуссена для дискретных сумм Фурье-Лежандра и исследуется вопрос об ограниченности нормы этих операторов в пространстве С[-1,1].
Пусть Р^°(х) = Р^(х) - классические многочлены Лежандра. Показано (см. (3.1.1)), что система многочленов Лежандра являстся ортого-
7
нальной на сетке Од, = {^І,х2,...,хА,}є(-1,1) - нулей многочлена Лежандра
Р£(х) относительно скалярного произведения (/,#)= Хр,-/(*,)£(*,) (ру-
по системе для произвольной функции /(х)єС\~ 1,1] определим
дискретную частную сумму Фурье-Лежандра порядка п < Д-1:
действующих в пространстве С[-1,1].
Установлено (теорема 3.2.1), что при т <аЫ, 0 < а < 1, 0 <Ьт<п<с1т, т + п < N~\ имеет место оценка
где с(а,Ь,Л) - положительная постоянная, зависящая от указанных параметров.
Доказано (теорема 3.2.2), что средние Валле-Пуссена для дис-
кретных сумм Фурье-Лежандра приближают непрерывную функцию со скоростью наилучшего приближения в метрике пространства С[~1,1] алгебраическими многочленами степени т.
Как следствие теоремы 3.2.1 установлено (теорема 3.3.1), что, если ал-
числа Кристоффеля). Полагая
*=0
А
где /к = (/,т*) - 2, Ру/(xj )ТА ('гу) - коэффициенты Фурье-Лежандра.
у=1
Обозначим через норму операторов Валле-Пуссена (т+п<Ы-\)
- Київ+380960830922