Оглавление
Введение 3
Глава 1. Предварительные сведения 10
Глава 2. Асимптотика ядра Бергмана для С6-гладкой
области 19
2.1. Формулировка основных результатов 19
2.2. Биголоморфное отображение Гт 23
2.3. Функция ^01; Л, V, г) как голоморфная функция от V 28
2.4. Начало доказательства Теоремы Г: редукция 40
2.5. Преобразование вариационной формулы 53
2.6. Оценка остатка в (2.5.17) 57
2.7. Вычисление асимптотики 60
Глава 3. Асимптотика ядра Бергмана для //^-гладкой
области 68
3.1. Формулировка основных результатов 68
3.2. Биголоморфное отображение ¥т 69
3.3. Функция А, I/, г) как голоморфная функция от и 74
3.4. Начало доказательства Теоремы 2: редукция 82
3.5. Преобразование вариационной формулы 95
3.6. Оценка остатка в (3.5.17) 99
3.7. Вычисление асимптотики 101
2
ТуржеЬ Ьу
Введение
Изучение ядер Бергмана в областях Сп имеет долгую историю. Начиная с работ Керзмана [И], Феффермана [7], Буте де Монвеля-Шёст-ранда [5], написанных в начале семидесятых, и далее до конца девяностых, все результаты, касающиеся поведения ядер Бергмана вблизи границы, предполагали С00-гладкость границы. Соответствующие результаты представлены, например, в работах [2-4,6,8,10,12-14,16,19,20]. Возможное асимптотическое разложение ядра Бергмана Вп для ограниченной псевдовыпуклой области П С С”, п > 2, с С00-гладкой границей в предположении, что 0 = (0,... ,0) 6 д£1 и внешняя нормаль к сШ в точке 0 направлена по положительной полуоси (д?1,0..., 0), для
= (—£,0,... ,0), 6 > 0, выглядит так ([5]):
ВпЫ,ъ) = -^+г + 2^—^-------------------+ с1о§- + 0(1). (1)
А:=71
Условие С00-гладкости границы в упомянутых работах (а также в еще большем количестве неупомянутых работ) связано с основной идеей подхода, использовавшегося всеми авторами. Этот подход использует фундаментальную связь между проектором Бергмана (а значит и ядром Бергмана) и 5-оператором Неймана, исследование которого, в свою очередь, требует С00-гладкость границы. Если опустить условие строгой псевдовыпуклости, оставив только условие С00-гладкости границы, то при тех же геометрических условиях на расположение области О, в Сп изменяется даже первый член асимптотики (1) (или оценки
Вс1(ъь,г8), [4], [14]). Существует, однако, новый подход, который поз-
3
волил получить результаты, касающиеся ядра Бергмана Вп(г,г). для строго псевдовыпуклых областей конечной гладкости. Но этот подход работает только для областей близких к шару.
Впервые этот подход был использован в [18]. Он основан на идее получения (при некоторых ограничениях) вариационной формулы для ядер Бергмана для семейства областей Пг. Тогда для конкретной области И, которая предполагается близкой к шару, и для точки г (г), стремящейся к некоторой граничной точке го при г —> 1 — 0, мы можем применить подходящее биголоморфное отображение, переводящее г(г) дальше во внутренность области. Образ Пг области будет стремиться к единичному шару при г —>• 1 — 0. Затем мы применим вариационную формулу к областям Пг и единичному шару. Так как области Пг близки к шару, формула даст точный количественный результат.
Подход работы [18] оказалось возможным существенно усовершенствовать. Он был использован для более широкого класса областей, что потребовало новых идей, в частности, для проверки условий вариационной формулы и для преобразований этой формулы с целью получения окончательного результата. Для строго псевдовыпуклых областей, близких к шару и имеющих границу класса С6, автором совместно с Н. Л. Широковым было доказано в [1], [15], что имеет место асимптотическое разложение Вп(г$,гь) вида
которое согласуется с (1) и но форме двух первых слагаемых, и в порядке роста остатка.
4
Оказывается, однако, что ослабление требования на гладкость границы Ш до Я*7, 4 < о < б, для строго псевдовынуклой области может кардинально изменить привычный вид асимптотики Bq(zs,zs) (1) (или, как его части (2)), что рассмотрено автором в [17]. Именно, для некоторых областей И, близких к шару, после первых двух слагаемых в (2) в асимптотике для Bq(zs,zs) будет стоять произвольное количество слагаемых степенного роста вида ф?, а остаток, тем не менее, будет совпадать по росту с остатком в (2). Впервые это было отмечено в совместной работе [15] автора с Н. А. Широковым для областей с границей класса Я5, в которой строились области с добавлением в Bq(z$,zs) только одного нового по сравнению с (2) слагаемого.
В настоящей диссертации будут изложены результаты работ [1], [15] и [17]. Материал диссертации подразделен на 3 главы. Первая глава содержит некоторые предварительные сведения, необходимые для дальнейшего изложения, в частности, вариационную формулу.
Вторая глава посвящена рассмотрению случая строго псевдовыпук-лых областей, близких к шару и имеющих границу класса С6. В ней формулируется и доказывается следующая теорема:
Теорема 1. Существует такое 6(п) > 0, что для функции у>(г!,т!\
у{т!) = Re (A>'£'Z/Q z/i3 ) + 0(|z|6),
4<|a'| + |/?'|<5
такой что
Aa',o = 0 при |a'| = 4, |a'| = 5,
IN < <H«)>
5
и для области П(^),
П(р) := {г Є Сп : |г|2 + <р(х') < 1} Л С/2, Щ := {г Є Сл : |г| < 2}, лфо Бергмана Вщ^{ъо, го) имеет асимптотику
Вщ<р){%0,Ъо) = ц _ г2)п+1 + X Оі(<*')А>'а' 77 _ 2\п ' ' |а' |=2 '
+ ° (‘(1 - г2)”-1) ’ гдб 7,0 = г “> 1 ~ О-
Здесь сп(а') — константы, зависящие только от п и а!, а константа в оценке остатка зависит только от п.
Вторам глава состоит из семи параграфов. В параграфе 2.1 приводится формулировка Теоремы 1. Затем Теорема 1 выводится из аналогичной ей Теоремы Г, рассматривающей вместо функции
р(2') = Х^ ае (Л*'Рх'а ^ ) + °(\гАв)
4<М+|Я<5
многочлен
Е Ке {А*'0,2'а ^) •
4<|а'|+|^|<5
Оставшаяся часть второй главы посвящается доказательству Теоремы 1’.
Параграф 2.2 посвящен каноническому биголоморфному отображению РТ и сто свойствам в применении к рассматриваемой ситуации. Данное отображение, несмотря на свою простоту, оказывается очень
важным в доказательстве. Оно позволяет перевести точку близкую
б
к границе области, в начало координат, тем самым создавая основ)' для применения вариационной формулы.
Параграф 2.3 рассматривает функцию #(о;о,с^о; А, и,г) как голоморфную функцию V. Значение функции Я равно длине радиус-вектора, направленного к границе ГГ(Д и) области ПГ(Д и) но направлению и>0, соответственно, эта функция описывает, насколько рассматриваемая область близка к шару.
В параграфе 2.4 мы, наконец, вплотную подходим к доказательству Теоремы Г, а значит и Теоремы 1. В нем доказывается весьма важная и трудоемкая Лемма 2.6, на основании которой мы получаем возможность воспользоваться вариационной формулой.
Параграф 2.5 посвящен преобразованиям вариационной формулы, направленным на замену в ней интегрирования но границе области на интегрирование по сфере, а в параграфе 2.6 производится оценка полученного в предыдущем параграфе остатка.
Наконец, параграф 2.7 посвящен вычислению асимптотики и, соответственно, завершению доказательства теоремы 1.
В третьей главе рассматривается случай строго псевдовыпуклых областей близких к шару с границей класса На. Основным результатом этой главы является следующая теорема:
Теорема 2. Пусть п > 3, и £ К, 4 < о — <71 < (Т2 <...< сгдг <6,
Л = {Аа'0'} — набор коэффициентов, соответствующих различным
7
парам мультиипдексов а', /?', |ог'| = \(3'\ = 2, Аа/а/ 6 И и
У Иа'/И + |«11 4- Ь \ам\ < 1,
где ак, к = 1,..., N — некоторые вещественные числа.
Пусть П(Л,а, и) С Сп — следующая область:
П{А,а,и) = = {гиг') : \хх\ < 1, |г'| < 2,
|г|2 + V | 11е Аа»р>ъ,<х х/3 4- У^а^г,\<Тк | < 1 1 .
\ а',/3' к—1 ) )
Тогда существует ^2 = ^(р) > 0, такое что при \и\ < 1/2 для ядра
Бергмана Вп(г,£) при zr = £г = (г,О,...,О), О < г < 1, справедливо
соотношение
Вп(гг,ъг) = ^ _ г2^„+1 + г/^Сп(а' )А<*‘а' Ц _ г2)п
а
N
Cn(ak)ak , v
4- и , ejL +0
—■»' /1 ~.9Лп — 3+-^-
^ (1 _Г2)п-3+^- ' ~ \(l-r2)n~l
причем коэффициегапы спо, сп(а1) совпадают с соответствующими коэффициентами в формулировке Теоремы Г из Главы 2, acn(crk) Ф О.
Третья глава, как и вторая глава, состоит из семи параграфов. Их назначение такое же, как и в предыдущей главе, и используемые методы, равно как и полученные результаты, аналогичны, но не тождественны, методам и результатам второй главы. Однако, так как в
8
результате получается качественно другая асимптотика, мы сочли целесообразным привести все рассуждения в подробностях.
Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в статьях [1,15,17] и докладывались на городском семинаре по комплексному анализу в ПОМИ, на семинаре но комплексному анализу в университете города Гетеборга (Швеция) и на конференции по математическому анализу (2000 год, Санкт-Петербург).
9
- Київ+380960830922