Оглавление
Введение
Глава 1. Ассоциированность и случайные меры. Моментные и максимальные неравенства для случайных полей
1.1 Ассоциированность и случайные меры
1.2 Максимальные неравенства
1.3 Моментные неравенства для сумм
1.4 Моментные оценки для интегралов по случайным мерам
Глава 2. Функциональная центральная предельная теорема для решений многомерного уравнения Бюргерса со случайными начальными данными
2.1 ЦПТ для конечномерных распределений преобразованных решений уравнения Бюргерса
2.2 Одномерная ФЦПТ для случайных решений уравнен 11 я Бюргерса
2.3 ФЦПТ для параболически масштабированных решений
Глава 3. Закон повторного логарифма для решения уравнения Бюргерса со случайными начальными данными.
3.1 ЗПЛ для решения уравнения Бюргерса с начальными условиями, заданными дробовым шумом с нулевым
р ад и у со м таим оде й ств и я
3.2 ЗПЛ для процесса V(t)
3.3 УЗБЧ для процесса S(t )
С11 исо к л и тературы
3
24
25
34
40
55
G1
62
65
71
80
80
85
92
97
2
Введение
Среди задач, находящихся на стыке нескольких областей математики и физики, одна из наиболее интересных и интенсивно изучаемых в последнее время - турбулентность Бюргереа. Многочисленные исследования как в физической, так и в математической литературе посвящены уравнению Бюргереа и родственным ему системам (см., например, монографию [98| и библиографию в ней).
Говоря о многомерном уравнении Бюргереа, имеют в виду следующую задачу Коши:
д'с ,
— + (V. У,)г/ = хДщ
ДО,!') = «о(ж) = -УД(ж), (В
(А,:/:) ей, X € К“',
где х > 0 параметр вязкости. Д — оператор Лапласа, V* — градиент (по переменной х). Решение ищется в классе потенциальных полей = ЧгФ(их).
Это уравнение и его аналоги описывают эволюцию поля скоростей для многих нелинейных диссипативных физических явлений различной природы — интенсивных акустических, оптических волн, гидродинамических потоков частиц и др. Многочисленные примеры явлений, описываемых уравнениями типа уравнения Бюргереа, приведены в монографии [ 151.
Уравнение Бюргереа играет центральную роль в описании возникновения во Вселенной крупномасштабных мозаичных структур типа Вороного. Эти структуры были обнаружены сравнительно недавно благодаря данным о распределении материи во Вселенной, полученным с помощью измерений красного смещения. Гидродинамическая теория их возникновения. использующая уравнение Бюргереа, развита Я. Б. Зельдовичем и его школой (см. [15, 90, 98)).
Одномерная версия уравнения (1) впервые, видимо, рассматривалась X. Бейтменом ([40]) в 1915 году, но заслуженно носит имя Дж. Бюргереа. который дал основы теории этого уравнения (см. его монографию [52]).
3
На поведение решения влияют два основных механизма, заложенных в уравнении: нелинейность, выраженная квадратичным членом (щУДц, и диссипация, возникающая благодаря наличию вязкости, т.е. гидродинамического трения, соответствующего многочисленным микроскопическим столкновениям частиц. Нелинейность влечет возникновение структур типа ударных волн, диссипация же сглаживает эти ударные волны и тем самым действует на поле скоростей регуляризующим образом.
Эти два противоборствующих эффекта в основном и определяют сложную картину “турбулентности Бюргерса". При этом возникают такие интересные явления, как перемежаемость и перенос энергии по спектру.
Отметим, что безвязкостное (х = 0) уравнение Бюргерса, называемое также уравнением Римана, описывает эволюцию поля скоростей в потоке невзаимодействующих частиц. При этом возникающую неединственность решения, связанную с опрокидыванием ударных волн, можно иногда интерпрет ировать как многопотоковость, имеющую место, например, для оптических лучей. Многие физические системы, описываемые без-вязкостным уравнением Бюргерса в области, где решение неединственно, эволюционируют согласно так называемому энтропийному решению, которое получается из решения (1) с х ф 0 при х -» 0.
Таким образом, уравнение Бюргерса описывает содержательные и разнообразные физические явления. С математической же точки зрения замечательный факт состоит' в том, что с помощью подстановки <’(Тд) = -2х\7х 1о£-и(Т я), обычно называемой подстановкой Хопфа-Коула. но впервые примененной В. А. Флориным в работе [32] 1948 года, т.е.. до соответствующих работ Э. Хопфа и С. Коула, можно свести задачу к уравнению теплопроводности
ди
Л - *Аи'
«(0,г) = щ(х.) = е~^1)/2х.
Отметим, что косвенным образом эта подстановка содержится в монографии А. Р. Форсайта [69. р. 101-102] 1906 года.
Из работ А. Н. Тихонова ([30]) и Д. В. Уиддера(|95|), следует, что то единственное неотрицательное решение задачи Коши для уравнения теи-
4
лопроводнос i и дается известной формулой Пуассона. Воспользовавшись ею. можно по лучить следующий результат.
Если интеграл в знаменателе формулы
ІЧМ 1 2x | dy
J g(t.x.у) ex.p j f?} dy
L t ехрЬ (C< > Iх — y\2 № 21 )] \dy
j f exp J [èi 1} dy
(£. х) Є (0, +оо) х
сходится при всех (і,х) є (0. ос) х то эта формула задает единственное решение рассматриваемой задачи Коши. Здесь
= 14^*4-!^}' ,3)
а | • | - евклидова норма в М(/.
В последнее время в физической и математической литературе появилось множество теоретических работ, касающихся уравнения Бюр-герса и написанных на различных уровнях строгости от физических и основанных на компьютерном моделировании до содержащих совершенно строгие математические результаты. При этом наибольший интерес вызываем поведение решений в случае, когда начальный потенциал представляє і собой случайное поле. Тогда решение тоже является случайным полом, определенным в Е+ х по формуле (2). Оказывается, что статистические свойства решений уравнения Бюргерса существенно зависят от мша случайных начальных данных. Для исследования случайных решений применяется самая разнообразная техника. Прежде чем переходить к и зложению результатов диссертации, остановимся на предшествую і ц и х и с с л с до в а и и я х.
Первые строгие математические результаты о предельном поведении случайных решений уравнения Бюргерса были получены М. Розенблат-том в (88, 89|. В частности, им были установлены оценки для коэффициентов Фурье решения уравнения (1) со случайными периодическими начальными данными в случае d = 1. Также в одномерном случае была установлена асимптотическая гауссовость интегралов от решений при подходящей нормировке в предположении, что начальные данные обладают сильным перемешиванием.
В работе [11] А. В. Булинский и С. А. Молчанов впервые получили центральную предельную теорему (ЦПТ) для параболически масштабированных решений многомерного уравнения Бюргерса, построенных по случайным начальным условиям, заданным полем дробового шума, управляемым пуассоновским точечным полем. Напомним определение дробового шума.
Пусть на вероятностном пространстве (Ü, J7. Р) заданы случайное точечное поле {х;} в Rd, а также последовательности и (0,‘),*€м независимых случайных величин. Будем считать, что {гг,}, и (0t)»€N
независимы в совокупности, и что rji (соответственно 0, ) при всех г распределены так же, как величина г/ (соответственно 0 ), с функцией распределения G (соответственно F), а кроме того 0 > 0 п.и. Дробовым шумом, управляемым точечным полем {а?*}, называется случайное поле вида
ад = Е»(х)’ геК' (4)
где (f(’) — действительная измеримая функция на 'Rd, которая называется потенциалом или функцией влияния. Это поле можно рассматривать как модель точечных источников влияния. Величины ijj представляют собой случайные амплитуды, а случайные масштабные множители. Если Е|г/| < сю, Е6(l < оо, <р € L^K^Leb), (Leb обозначает меру Лебега) а точечное поле является пуассоновским с постоянной интенсивностью, то для любого х € Rd ряд (4) абсолютно сходится с вероятностью единица.
Вернемся к уравнению Бюргерса и предположим, что начальный потенциал £(•) является полем дробового шума (4), управляемым пуассо-
6
новским точечным полем интенсивности Л > 0. Пусть параметры дробового шума удовлетворяют следующим условиям при некотором 5 £ (2,3].
1) <р € Ь'(РЛ Leb) nL°°(Rrf,Leb) и существует функция г(£), для которой при t —¥ оо выполнено
r(t) -» оо. RW.v(t)) = o(rd'4), r(t) = о(Г),
где
\J\*\>r
R(ip.r) = ( I (fi2{x)dx + ( f (p(x)dzS
\J\x\>r )
5-2
V —
1/2
И
4(5-1 у
2) Еехр{5||^|||??|} < оо;
3) 0 < 0. где 0 > 0 — некоторая константа;
4) а'1 = а~£'Чг^2 > 0. где
<т2 = / (exp{AA(w,^)} - l)dw,
= [ dF(u) f dG(v) [ (ev<pW - l) - l)
Jm J&d ' } '
£ = exp |ЛЕ^ J dG(v) j dz(ev^ - 1)1.
Обозначим
VT(a) = (7-1(47r)d/4T‘,/4+1/2v(T,av/f))
где Т > 0, а € 1К. , а поле гф, •) — решение уравнения Бюргерса с описанными выше начальными условиями. Здесь и далее полагаем для краткости параметр вязкости ^ равным 1/2. если специально не оговаривается противное. При этом общность рассуждений не теряется, так как к случаю произвольного х > 0 приводит, как легко убедиться простое преобразование С(х) = ^(х),ах = у=а.
Теорема (|11|). Если выполняются, условия 1)-4). то конечномерные распределения векторных случайных полей Vj слабо сходятся, при Т —> ос к соответствующим конечномерным распределениям центрированного гауссовского поля К* с
Доказательство этого нетривиального результата основано на использовании явной формулы для решения уравнения Бюргерса и включает сведение к случаю финитной функции влияния р, а также работу с схемами серий ///-зависимых мульти индексирован и ных случайных величин при нерегулярном росте дисперсий сумм.
Более изощренное применение той же техники позволило А. В. Бу-л и некому в |47| доказать ЦПТ для преобразованных решений уравнения Бюргерса в более общей постановке. А именно, в качестве начальных условий рассматривались обобщенные ноля дробового шума вида
АД#) — А|(с:/ф где А[ > 0— некоторая периодическая по каждой пе-
наково распределенные (для каждого ^) случайные величины в некотором польском пространстве К с общим распределением Се. Наконец. р.: : Ш'1 х К -> Мг/ — неслучайная функция влияния.
При некоторых дополнительных условиях на (7. и р* в духе условий предыдущей георемы и при специальном выборе нормировочных функций Щ) и аТ] (здесь соответствующие формулы опускаются из-за их громоздкости. см. [47, с.35]) конечномерные распределения случайных полей
СО v(VW(«).WW =
і Ф h
i.j =
s
- Київ+380960830922