Свободная интерполяция в жордановых областях

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................ 1
§1 План диссертации ..............................................................1
§2 Обзор работ по теме диссертации.............................................5
§3 Интерполяция в областях Лаврентьева....................................... 20
§4 Интерполяция в квазиконформных областях................................... 31
§5 Интерполяция в областях с внешним заострением............................. 39
§6 Интерполяция в обобщен пой полосе......................................... 45
§7 Интерполяция в окрестности точки внутреннего заострения................... 53
§8 Итоги и перспективы........................................................ 58
§9 Терминология и обозначения....................................................61
ГЛАВА I
Свободная интерполяция для классов Гёльдера в областях Лаврентьева . . 64
§1.1 Введение................................................................... 64
§1.2 Теорема о расширении области............................................... 65
§1.3 Построение функции ”аналитического расстояния” ............................ 70
§1.4 Необходимость условия редкости............................................. 76
§1.5 Необходимость условия пористости........................................... 79
§1.6 Конструкция оператора продолжения для малых показателей гладкости
(граничная интерполяция)...................................................... 81
§1.7 Конструкция оператора продолжения для любых показателей гладкости
(граничная интерполяция)...................................................... 88
§1.8 Достаточность условий пористости и отделимости для интерполяции на
множестве общего вида.........................................................94
ГЛАВА II
Свободная интерполяция для классов Гельдера в квазиконформных областях 98
§2.1 Введение................................................................... 98
§2.2 Свойства квазиконформных отображений.......................................100
§2.3 Необходимость условия редкости.............................................101
§2.4 Необходимость условия пористости...........................................103
§2.5 Вспомогательные утверждения................................................105
§2.6 Построение операторов продолжения, понижения и поднятия .... 115
§2.7 Доказательство достаточности условий пористости и редкости . . 126
ГЛАВА III
Интерполяция в окрестности точки внешнего острия..............................129
§3.1 Введение...................................................................129
I
§3.2 Вспомогательные утверждения..................................131
§3.3 Построение оператора продолжения при .малых показателях гладкости 143
§3.4 Построение операторов понижения и поднятия...................148
§3.5 Доказательство теоремы 3.1.1.................................154
§3.6 Решение задачи свободной интерполяции для стандартной полосы 156
ГЛАВА IV
Интерполяция в обобщенной полосе............................................177
§4.1 Введение.....................................................177
§4.2 Построение эквивалентной дуги................................180
§4.3 Метод разбиения обобщенной полосы на области Лаврентьва .... 106
§4.4 Построение расширения и симметричной точки для обобщенной полосы 209
§4.5 Вспомогательные оценки и конструкции.........................216
§4.6 Доказательство теоремы 4.4.2......................................... 220
ГЛАВА V
Интерполяция в окрестности точки внутреннего заострения...................222
§5.1 Введение.....................................................222
§5.2 Интерполяция на некасательном множестве......................223
§5.3 Теорема вложения для пространства А^((7).....................230
§5.4 Интерполяция и эффект повышения гладкости на спиралях .... 239
ЛИТЕРАТУРА...............................................................253
II
ВВЕДЕНИЕ
§1. План диссертации
Нередко бывает, что на фиксированном ” малом” множестве голоморфные функции из того или иного пространства ведут себя ”свободно”: их сужения на это множество утрачивают следы аналитичности. Если класс таких функций допускает простое и полное описание в терминах вещественного анализа, то обычно говорят о феномене свободной интерполяции.
Целью работы является решение задачи свободной интерполяции в областях комплексной плоскости достаточно общего вида. Пусть ХА - пространство функций, содержащееся в множестве функций аналитических в области С. Требуется описать множества Е (Е = Е С С) такие, что сужение функций пространства ХА на множество Е совпадало бы с некоторым естественным классом функций на этом множестве. Мы говорим о свободной интерполяции, поскольку на интерполируемые функции накладываются минимальные ограничения. В такой формулировке, разумеется, очерчено лишь направление исследований. Каждая конкретная задача свободной интерполяции становится содержательной только с появлением тщательно сбалансированной постановки, которая оказывается важным компонентом решения задачи свободной интерполяции.
Проводимые в диссертации исследования имеют своей базой большой пласт разнообразных работ, посвященных решению задачи свободной интерполяции в круге. Обзор этих исследований будет приведен ниже. Основной результат работы - выделение геометрических свойств областей комплексной плоскости, определяющих структуру интерполяционных множеств и решение задачи свободной интерполяции в соответствующих классах областей. Самостоятельный интерес может представлять и технический аппарат, разработанный или усовершенствованный в ходе доказательства теорем о свободной интерполяции. То обстоятельство, что задача свободной интерполяции в областях отличных от круга мало исследована, косвенно свидетельствует о том, что эта .задача содержательна, и дает автору основание вводить упрощающие ограничения на исследуемые объекты. В качестве пространств аналитических функций мы рассматриваем только классы Гель дера. Такой выбор продиктован двумя обстоятельствами. С одной стороны, переход от круга к областям более общего вида интересен именно для классов функций, гладких вплоть до границы. С другой стороны, среди пространств гладких функций пространства Гельдера оказываются наиболее удобным объек-
1
том. В этих классах легче, чем в других, решаются многие технические вопросы, сопровождающие постановку и решение задачи свободной интерполяции.
Другой объект, который мы выбираем, - область в комплексной плоскости. Здесь мы стремимся минимизировать ограничения, но оказывается, что разным классам областей отвечают разные типы интерполяционных множеств и задача естественным образом разветвляется. Имеется еще одна причина таких разветвлений - стремление использовать технический аппарат, соответствующий рассматриваемому классу областей. Именно эти обстоятельства определяют структуру работы в целом каждая из глав, посвящена решению задачи для некоторого фиксированного класса областей. Разумеется, проведенные здесь исследования, далеки от полного решения задачи свободной интерполяции, но как надеется автор, они дают правильное представление о стандартных ситуациях, которые могут возникнуть в этом круге вопросов.
Еще одно важное обстоятельство, влияющее на стиль изложения и структуру работы, связано с устойчивостью схемы доказательств и технических средств, используемых для ее реализации. Большое количество работ, посвященных решению задачи свободной интерполяции в круге, сформировали несколько распространенных схем решения таких задач. В рамках наших исследований постоянно используется одна из этих схем. До некоторой степени этот выбор определяется личными пристрастиями. Оправданием выбора являются новые неочевидные результаты, которые удается установить, используя эту схему рассуждений, и то, что возможности такой схемы далеко не исчерпаны. Как и любая общая конструкция, схема, применяемая здесь, несет в себе только направляющие установки. Для использовании схемы в каждой конкретной ситуации требуется содержательная работа.
Прежде чем преходить к описанию схемы, перечислим обязательные этапы, по которым проходит решение задачи свободной интерполяции независимо от того, какая схема решения будет использоваться.
1. Формулировка правильных гипотез о структуре интерполяционного множества и об описании пространства следов аналитического класса функций на предполагаемом интерполяционном множестве.
2. Доказательство теоремы вложения: сужение функции аналитического класса должно входить в описанное в пункте 1 пространство следов.
3. Доказательство необходимости условий, налагаемых на структуру интерполяционного множества (если пространство следов такое, как мы ожидаем, то условия на интерполяционное множество выполнены).
4. Доказательство возможности проинтерполировать любую функцию из пространства следов аналитической функцией из исходного пространства.
2
Главный во всем исследовании момент - структура интерполяционного множества - чрезвычайно устойчив. Это хорошо известно по исследованиям этой задачи в круге. Интерполяционными множествами для целого ряда банаховых пространств функций, аналитических в круге и гладких вплоть до границы, являются множества, удовлетворяющие двум условиям:
редкости - внутренние точки множества отделены окрестностями, величина которых пропорциональна расстоянию до границы области,
пористости - любая дуга на границе области содержит эквивалентную себе по длине поддугу (’’пору”), не содержащую точек интерполяционного множества.
Исходя из того, что уже было известно о задаче свободной интерполяции, естественным было начать с описания областей комплексной плоскости, у кото-рых структура интерполяционных множеств остается такой же, как и у круга. После чего выяснять изменения, происходящие в задаче интерполяции для областей других типов. Этот план успешно работает и освобождает нас от необходимости формулировать гипотезу о структуре интерполяционного множества. Что касается гипотезы об описа.нии пространства следов и соответствующей теоремы вложения, то в рамках нашего выбора аналитических классов функций эти вопросы почти всегда тривиальны. Ради этого упрощения и были выбраны аналитические классы Гельдера. Подбор классов областей, для которых решается задача интерполяции, проведен таким образом, чтобы необходимые условия на структуру интерполяционного множества менялись плавно. Это дает основание ожидать, что и способы доказательства соответствующих утверждений сохранятся. Проведенные исследования показали обоснованность таких ожиданий. Главные усилия всякий раз приходятся на реализацию четвертого этапа. Действие используемой здесь схемы, помимо всего прочего, привлекательно еще и тем, что конечным ее результатом всякий раз является построение оператора продолжения. Соответствующие конструкции являются основной частью большинства доказательств приводимых здесь теорем об интерполяции, поэтому мы перечислим основные шаги в ее реализации. Отметим, прежде всего, что задача построения оператора продолжения естественно распадается на две неравноправные части. Первая и главная - построение оператора продолжения для интерполяционного множества, целиком лежащего на границе области. Вторая часть построение оператора продолжения для множеств общего вида. Специфика конструкции оператора продолжения для граничного интерполяционного множества позволяет рассматривать общий случай как возмущение решения задачи интерполяции для граничной компоненты рассматриваемого множества. При этом интерполяция на множестве внутренних точек сводится к классической теореме Карле-сона об интерполяции ограниченными аналитическими функциями. Рассмотрим
3
подробнее схему построения оператора продолжения для граничного интерполяционного множества.
a) Оператор продолжения строится как сингулярный контурный интеграл, особенности которого сосредоточены на интерполяционном множестве.
b) Контур интегрирования является границей специальным образом построенного расширения исходной области (расстояние от любой точки исходной области до интерполяционного множества эквивалентно расстоянию от этой точки до границы расширения).
c) Размещение особенностей контурного интеграла на выделенном интерполяционном множестве достигается за счет помещения в знаменатель подынтегрального выражения специальным образом построенной аналитической функции, модуль которой в каждой точке области эквивалентен расстоянию от точки до интерполяционного множества.
(1) Проверка того, что построенный оператор действует в пространство аналитических функций, удовлетворяющих в замыкании области условию Гельдсра, происходит на. основе следующего достаточного условия принадлежности функции аналитическому классу Гельдера: для произвольной точки из расширенной
области и ближайшей к ней точки интерполяционного множества должно быть выполнено условие Гельдера. Технически это условие проверяется значительно легче, чем условие Гельдера для произвольной пары точек в области. Фактически мы далее работаем не с классом Гельдера, а с его подпространством, состоящим из функций, аналитически продолжимых через все дуги дополнения интерполяционного множества. Отметим, что это достаточное условие даст нам еще один повод выбрать классы Гельдера на первом этапе рассмотрения задачи свободной интерполяции. Проверка этого достаточного условия - основная часть всех доказательств.
е) Техническую базу оценок сингулярных интегралов, возникающих в операторе продолжения, составляет следующее универсальное свойство пористых множеств, обнаруженное Дынькиным. Пусть на границе области фиксировано пористое множество и функция сПвЦ-г) определена как расстояние от точки г до пористого множества. Тогда существуют постоянные Д > 0 и С > 1 такие, что для любой дуги 3 на границе области выполнена оценка
как обязательная и наиболее сложная часть подынтегрального выражения. Оценки сингулярного интеграла далее строятся на том, что мы разбиваем область интегрирования на компоненты так, чтобы на каждой из них все остальные части
і“) Функция с1І5І3(,г) входит в знаменатель, оцениваемого сингулярного интеграла,
4
подынтегрального выражения были эквивалентны постоянным. Оцениваемый интеграл должен содержать некоторое количество не связанных между собой параметров (показатель гладкости, число /3 из оценки Дынькина, положение точки в которой происходит оценка) - учет их взаимодействия требует многочисленных технических усилий для реализации нужных оценок.
Формально рассмотренная схема доказательства полностью решает задачу свободной интерполяции, но ее реализация наталкивается на еще одну чисто техническую сложность. Конструкция оператора продолжения, используемая нами, такова, что оценки проходят только для пространств Гельдера с показателем гладкости меньшим числа 0 из неравенства Дынькина. Тем не менее оператор продолжения удается построить при всех показателях гладкости. Это оказывается возможным благодаря процедуре редукции, позволяющей понижать гладкость исходной интерполируемой функции, затем строить продолжение для исправленной функции и далее исправлять полученное продолжение до функции, интерполирующей исходную. Процедура понижения гладкости оказывается самой сложной, поскольку ее осуществление требует проведения прямой оценки разности значений функции в любых двух точках, что увеличивает число свободных параметров в сингулярном интеграле и. тем самым, усложняет оценки.
Завершая описание схемы доказательства, отметим, что оно не претендует на полноту, а только выделяет общую часть большинства проводимых доказательств. Технические особенности каждого из них мы обсудим позже.
Автор надеется, что предлагаемая работа представляет интерес не только полученными в ней новыми результатами об интерполяции аналитическими функциями, но и благодаря той технике, которая была разработана или усовершенствована в ходе доказательств основных результатов диссертации.
Задача интерполяции - построение функции, принимающей заданные значения на заданном множестве, - столь же стара, сколь и естественна. Появление новых точек зрения на интерполяцию всегда служило движущей силой в развитии анализа, обогащая его задачами, приходящими из других областей знаний. Достаточно упомянуть историю одной из интерполяционных формул, авторство которой приписывается Коши [1] и которую в современных терминах можно сформулировать так:
для любой целой функции / экспоненциального типа о справедливо тождество
Эта формула на протяжении многих десятилетий оставалась не слишком вос-
§2. Обзор работ по теме диссертации
5
трсбованным достоянием чистой математики, но с появлением внешних запросов была многократно переоткрыта в работах Найкииста [2], Котельникова [3), Габора [4], Шеннона [5].
Задачи интерполяции, рассматриваемые здесь, как по свой постановке, так и по формулировкам окончательных результатов являются естественным обобщением классических интерполяционных многочленов Лагранжа. С той только разницей, что вместо произвольного конечного набора точек мы имеем дело с бесконечным множеством точек, подчиненных жестким геометрическим условиям, а вместо произвольного набора значений Интерпол и руеггся функция из специально подобранного класса - пространства следов. Важную роль в формировании современного понимания задачи интерполяции сыграли работы Пика [6], Шура [7], Иеваилинны [8], в которых с различных позиций была рассмотрена задача о том, какие значения может принимать ограниченная аналитическая в круге функция на произвольном конечном подмножестве круга. Эти работы предвосхитили подключение к этим задачам методов функционального анализа. Они фактически содержали исчерпывающие ответы на вопрос об оценке норм вложения конечномерных пространств в заданное пространство аналитических функции. Здесь впервые была точно прослежена зависимость норм интерполирующих функций от расположения узлов интерполяции в области аналитичности интерполирующей функции. Дальнейшее развитие такого рода интерполяции требовало более отчетливого описания зависимости нормы функционала ’’значение в точке” от положения 'гонки в области и гарантий существования сохраняющей норму факторизации (отделение нулей). Отметим, что столь раннее появление упомянутой выше интерполяционной формулы Коши связано с тем, что для целых функций функционал значения в точке не чувствителен к выбору точки и вопросы факторизации оказываются достаточно простыми. Потребовалось еще значительное время для того, чтобы объединение точек зрения функционального анализа и обнаруженной в трудах Харди [9] и Смирнова [10] возможности эффективной факторизации в классах аналитических в круге функций [11] (в современной терминологии пространствах Харди) привело к прорыву в понимании и возможности решения задачи интерполяции. После серии работ Карлесона [12], Хеймаиа [13], Ньюмана [И], Нафталевича [15], в которых доказывались результаты о существовании интерполяционных последовательностей, удовлетворяющих тем или иным геометрическим свойствам, появилась замечательная работа Карлесона [16], сыгравшая определяющую роль в дальнейшем направлении исследований и вызвавшая новый всплеск интереса к этой задаче.
Теорема Карлесона об интерполяции
Пусть Е - подмножество единичного круга комплексной плоскости, тогда рав-
6
носильны следующие утверждения:
\. множество Е является интерполяционным, т.е. для любой функции А, заданной и ограниченной на этом множестве, найдется функция /, аналитическая и ограниченная в единичном круге такая, что ее сужение на. множество Е совпадает с функцией А,
2. множество Е является счетным Е — и удовлетворяет условию Карле-
еона
Точно ’’угаданный” объект интерполяции и исключительно плодотворные методы, использованные для доказательства теоремы, сделали эту работу базой для многочисленных последующих исследований.
Теорема Карлесона дала исследователям неограниченный источник содержательных задач, которые не допускают универсального решении. Естественным продолжением теоремы об интерполяции в пространстве її00 явился полученный вскоре результат Шапиро и Шилдса [17]
Пусть Е = {-п}^1 - подмножество единичного круга комплексной плоскости, тогда равносильны следующие утверждения:
1. множество Е является интерполяционным для пространства Харди Нр> при некотором 1 < р < оо , т.е. для любой последовательности {шп} такой, что Енк’пР'О - \гп\) < °°> существует функция / е Нр такая, что /(гп) = тп п =
2. множество Е удовлетворяет условию Карлесона.
Этот результат подтвердил точность характеристик интерполяционных множеств, открытую Карлесоном, и показал еще одну интересную сторону задачи интерполяции - необходимость "угадывать” правильное описание пространства
следов.
Столь же важное для формирования этого направления исследований место занимает и теорема Рудина [18] об интерполяции на. границе области аналитичности в диск-алгебре.
Теорема Рудина
Пусть Е - замкнутое подмножество меры ноль на единичной окружности и А - функция непрерывная на Е. Тогда существует функция из диск-алгебры (пространства функций аналитических в единичном круге и непрерывных вплоть до границы), сужение которой на Е равно А.
> О
Теорема
Этот результат в еще большей степени, чем теорема Карлесона, являлся следствием стыковки идей теории функций и функционального анализа. В основе доказательства лежала теорема Фату об описании множества граничных нулей функций из диск-алгебры и соотношения двойственности для фактор пространств. Если у Карлесона был явно построен оператор продолжения, то в доказательстве Рудина была установлена чистая теорема существования. Стиль доказательства теоремы Рудина создавал предпосылки для ее обобщения на более абстрактные структуры. Что и было сделано Бишопом [19], доказавшим аналог теоремы Рудина для равномерно замкнутых подалгебр алгебры непрерывных функций на хаусдорфовом компакте. След аналитичности остался здесь лишь в том. что любая мера ортогональная подалгебре должна обращаться в ноль на множестве Е (абстрактный аналог теоремы Ф. и М. Риссов [11] ). Хотя по формальным параметрам терема Рудина ближе к содержанию диссертационной работы, каковым является интерполяция гладкими функциями, и основные усилия в ней приходятся на решение задачи об интерполяции на границе, но дух и техника всего того, что здесь сделано, произрастают именно из работы Карлесона. В некоторой степени ее можно охарактеризовать как поиск ситуаций, в которых оператор продолжения может быть построен явно.
Теоремы Карлесона и Рудина легко объединяются и дают полное описание интерполяционных множеств для диск-алгебры. Оно появляется, например, как упражнение, завершающее книгу К.Гофмана [20]
Теорема Карлесона-Рудина
Пусть А - равномерное замыкание многочленов в единичном круге. Если {гп} - последовательность различных точек з открытом единичном круге, то следующие два утверждения эквивалентны:
1. для любой непрерывной на замкнутом единичном круге функции И существует такая функция / Є А, что /(гп) = п = 1,2,...
2. {^п} ~ интерполяционная последовательность для //°°, и множество предельных точек {з„} на единичной окружности имеет меру ноль.
Эти, а также последовавшие за ними результаты, дали основание говорить о специальной форме интерполяции, получившей название свободная интерполяция. Нпервме этот термин был введен в обзоре Виноградова и Хавина [21] Он предназначался для выделения сформировавшегося к тому моменту класса задач. Пусть /V -класс функций аналитических« области О. Каким должно быть множество Е, содержащееся в множестве £>, чтобы множество сужений пространства X на множество Е совпадаю с "естественным классом" функций на множестве Е? Свобода проявляется здесь в том, что интерполяция возможна при минимально
8
стеснительных условиях, наложенных на интерполируемую функцию. Некоторая размытость формулировки вполне оправдана самим развитием исследований. Видно, что угадывание структуры интерполяционного множества является главным в этой задаче, после чего остается ’’просто” описать пространство следов и построить или доказать существование, соответствующего оператора продолжения. Все результаты, полученные в этом направлении, показывают, что невозможно каким-то универсальным способом назначить интерполяционное множество. равно как и указать общий метод описания пространства следов для произвольного пространства X.
Такая общность в постановке задачи порождает ее нетривиальные и взаимные связи со многими разделами анализа. Соотношения двойственности позволяют '’переводить" результаты об интерполяции теоремы об описании базисов, которые можно найти в работах Никольского и Павлова [22], Виноградова и Хавина [21], [23]. Описание интерполяционных множеств на границе круга и тесно связанных с ними множеств неедмиствености допускает естественную интерпретацию, как вычисление энтропии, что выводит на глубокие связи с теорией вероятности и техническим приложениям, описанными в работе Хрущева [24]. Еще одно важное направление приложений таких результатов - спектральные исчисления операторов. Подробное изложение такого рода приложений содержится в монографии Никольского [2о|.
Заметим, что в задачах интерполяции в пространствах Я40 или Л не возникает вопрос о выборе пространства следов. Но такая ситуация скорее является счастливым исключением, чем правилом. Отметим для примера подученное Сандбергом [27] описание пространства следов в пространстве функций, граничные значения* которых имеют ограниченную среднюю осцилляцию. В этом случае на последовательности точек {.-«}, удовлетворяющей условию Карлесоиа, пространство следов состоит из последовательностей {и-,} таких, что
6иР<гІ<! X) — гбЧ‘г)і)(^ ~ р{£ •.■**)) <
здесь Л положительное число, зависящее от ад„. р - псевдогиперболическая метрика в круге, ю(г) = £п/„(1 - - р(г*гп'))ГЛ- Другие примеры
такого сорта можно найти в работе автора [28], где исследуется задача интерполяции в пространствах функций, определяемых в терминах коэффициентов ряда Тейлора. Вслед за теоремой Шапиро и Шилдса последовал целый спектр работ, с которыми можно познакомиться по обзору Виноградова и Хавина (21]. (26]. Оказалось. что естественное пространство следов может довольно сильно изменяться даже для близких пространств аналитических функций. Возможность такой динамики можно проследить на примере шкалы банаховых пространств, образован
пых функциями с производной из пространств Харди Нр 1 < р < оо:
1. Виноградов [29] доказал, что при р = 1 любое интерполяционное множество Е = {2п}^°=1 имеющее в круге одну точку сгущения и расположенное там некасательным образом, является интерполяционным тогда и только тогда, когда оно является редким
>0
тГ
п^к
1 “ 2п2к
при этом пространство следов совпадает с пространством последовательностей ограниченной вариации |шп - -шп+1| < оо.
2. Коточигов [30], [31] доказал, что при 1. < р < ос справедливо аналогичное утверждение, но пространство следов допускает при этом иное описание |о/п-а>0||1 - Zn\l~p < оо, здесь и>0 =
3. при р = оо Коточигов [30], [31] доказал, что при тех же ограничениях на положение точек, множество Е будет интерполяционным тогда и только тогда, когда Е = Е\ и Е2 и каждое из множеств Е\, Е2 является редким, при этом пространство следов состоит из всех последовательностей {«'м}, для которых выполнено неравенство |ги„ - ш*| < С\гп - гк\.
Множества, появившиеся при рассмотрении случая р = оо, часто встречаются при описании интерполяции в пространствах гладких функций, мы будем называть их слипающимися множествами. Переход от разностного описания пространства следов к модульному, обнаружившийся при переходе от показателя р = I к р > 1, может появиться и для фиксированного пространства аналитических функций по причине изменения структуры интерполяционного множества. Пример такого поведения пространства следов был обнаружен автором [31], [33] при решении задачи интерполяции в пространстве аналитических в единичном круге функций, козффициенты Фурье которых удовлетворяют неравенству
ЕГ=о (/(")(« +^
В этом случае некасательное множество является интерполяционным тогда и только тогда, когда оно является редким. Не проводя полного описания пространства следов, отметим только две интересные для нас ситуации. Если гп = 1 — 2 ”, то пространство следов совпадает с пространством последовательностей
ЕпК- ™п-г]|Р<ЭС-
Если 2п = 1 — 2~2", то пространство следов совпадает с пространством последовательностей
Е«К1Р1пгта <<*>•
10
Эти результаты интересно сопоставить с теоремой Виноградова [23] об интерполяции в пространствах, которые определяются в таких же терминах
£Г=о \Нп)(п + *Г1Р ^Т~1 < 00 3Аесь а < 1.
Все изменение в сравнении с предыдущим случаем состоит в замене а = 1 на а < 1, но пространство следов при этом всегда модульное и допускает более простое описание
£п К1Р(! “ ЫГ < оо.
Еще одну иллюстрацию сильной зависимости пространства следов от параметров, определяющих исходное пространство аналитических функций, можно найти в работах автора [28], [31]. в которой рассмотрены пространства аналитических в круге функций, производная которых суммируема по площади со степенным весом.
Приведенные примеры показывают центральную роль условия Карлесона для описания интерполяционных множеств внутри круга. Отметим, что более простое условие редкости эквивалентно условию Карлесона, когда речь идет о некасательных множествах. В противоположность этому в теореме Рудина и се абстрактном варианте, теореме Бишопа, нет никаких нетривиальных условий на структуру интерполяционного множества. Все множества неединственности оказываются интерполяционными. Такой большой запас интерполяционных множеств - явление достаточно редкое в этом классе задач. Для множеств внутри круга множества неединственности описываются условием Бляшке
- Ы) < оо,
значительно более слабым, чем условие Карлесона. Для пространств гладких функций граничные множества неединственности и интерполяции также почти всегда различны. Кроме того с повышением гладкости фигурирующее в теореме условие на множество (замкнутое множество меры ноль) оказывается недостаточным даже для того, чтобы множество было множеством неединственности. Это следует из работы Карлесона [34], предшествовавшей этим исследованиям. Карлесон доказал, что в классе функций, аналитических в единичном круге и удовлетворяющих условию Гельдера в его замыкании, множество Е является множеством неединственности тогда и только тогда, когда
< оо.
Следует отметить, что при других ”способах” увеличения гладкости структура интерполяционных множеств может оставаться такой же, как в диск-алгебре. Пример такого пространства дает множество аналитических в круге функций, у
И
которых ряд Тейлора равномерно сходится в замыкании круга. Оберлейн [35[ доказал, что для этого подпространства диск-алгеры интерполяционными множествами на границе круга являются множества меры ноль, т.е. остается в силе теорема Рудина. Подробное сравнение свойств этого пространства и диск-алгебры можно найти в обзоре Виноградова и Хрущева [36]. 15 этой работе содержится вариант полного описания интерполяционных множеств, лежащих в замыкании круга, для пространства аналитических функций с равномерно сходящимся рядом Тейлора. Там же реализован аксиоматический подход решения задач свободной интерполяции. Показано, что при выполнении двух естественных для этой ситуации аксиом подпространство диск-алгебры имеет ту же структуру граничных интерполяционных множеств, что и сама диск-алгебра. Аксиоматический подход к описанию пространств, имеющих одинаковую структуру интерполяционных множеств получил дальнейшее развитие в работе Кислякова [37].
Подтверждением утверждения о том, что множества единственности и интерполяционные множества, как правило, различны, дает установленное автором [30] необходимое условие на структуру множеств свободной интерполяции, расположенных на. границе круга: пусть Е - замкнутое подмножество окружности, интерполяционное для пространства функций с производной из класса Харди, тогда существует постоянная С такая, что
любая дуга окружности 1 содержит поддугу -У такую, что 1. </Л£=0 2. \1\KC\J\.
Это условие часто возникает при описании множеств свободной интерполяции и мы будем называть его условием пористости. Первоначально условие пористости появилось при рассмотрении пространств аналитических функций с производной из класса Харди. Однако, простой анализ метода доказательства (переход к двойственной задаче наилучшего приближения в сопряженном пространстве) свидетельствует о том, что это условие является необходимым для очень широкого класса банаховых пространств гладких функций. Отметим, что условие пористости естественным образом возникало и в других разделах анализа. В работах Долженко [38] и Хамке, Томсона [39] то же условие возникло при исследовании структуры множеств, на которых аналитическая функция может не иметь угловых граничных значений. Легко видеть, что условие пористости сильнее условия Карлесона на множества неединственности, тем не менее, именно условие Карлесона, точнее, его равномерная модификация, оказалось необходимым и достаточным для свободной интерполяции в пространстве Л°° аналитических функции, все производные которых непрерывны в замкнутом круге. Александер, Тейлор и Вильямс [40] доказали
12
Теорема
Замкнутое подмножество окружности Е является интерполяционным множеством для пространства А°° тогда и только тогда, когда для любой дуги граничной окружности ./ выполнено неравенство
/Л5йЬ)И,|£С№"'! й
Последующие исследования дали очень простой критерий (см. лемму Дынь-кина ниже), показывающий, что условие пористости сильнее условия, возникшего в теореме Александера, Тейлора. Вильямса. Отмстим, что доказательство этой теоремы основано на оценке для функционала из аннулятора идеала функций, обращающихся в ноль на интерполяционном множестве, никакой конструкции оператора продолжения оно не содержит.
Интерес к пространствам функций с такой высокой гладкостью стимулируется. в частности, желанием прояснить связи между скоростью роста производных и аналитичностью. Вернемся еще раз к описанию множеств неединственности; как оказалось, здесь возникает много нетривиальных задач и условия, описывающие множества неединственнсти, очень близки к тем, что возникают при решении задач свободной интерполяции. В упомянутой выше работе Карлесона [34], посвященной описанию множеств неединственности, получено достаточное условие для множеств неединственности в классах Жеврея
С*а = {/ аналитическая в О : |/^(г)| < Стг!п«, |г| < 1}
Теорема
Пусть Е - замкнутое подмножество окружности, |£| = 0, 0 < а < 1. Если существует функция / е Са такая, что /(,,)(г) = 0, г е Еу п — 0,1,2,..., то выполнено условие
Г \йг\
,1до < °°‘
Напомнил«, что при а > 1 классы Жеврея являются квазианалитическими классами, т.е. в условиях предыдущей теоремы множество Е должно быть пустым. Долгое время оставался открытым вопрос о необходимом к достаточном условии на множества неединственности в классах Жеврея. Некоторые промежуточные результаты были получены в работах Шоллет [41], Павлов, Сутурип [42], Королевич, Погорелый [43]. Сложность этой задачи несомненно связана с отмеченной выше близостью этих классов и квазианалитических классов функций. Об этом свидетельствует следующая теорема Тейлора и Вильямса [44], которая дает описание множеств неединственности в более широких классах функций
Ка ~ {/ аналитическая в О : |/^(я)| < Сп\ехр(пр), \г\ < 1}.
13
Теорема
Пусть Е - замкнутое подмножество окружности, |/?| = 0, р > 1. Бели суще-
Полное описание множеств неединственности для классов Жеврея было получено Хрущевым [45]. Оказалось, что для этих классов чисто геометрическое описание невозможно.
Теорема
Пусть Е - замкнутое подмножество окружности, \Е\ = 0, 0 < а < 1. Если множество Е является множеством неединственности для класса Жеврея 6’0, то существует абсолютно суммируемая на окружности функция /г такая, что
Чтобы проиллюстрировать невозможность геометрического описания множеств неединственности, перепишем возникающие здесь интегральные условия в терминах длин дуг дополнения множества Е относительно окружности. Обозначим эти дуги через /п, п = 1,2,.., тогда, например,
Сформулированные в теореме условия таковы, что если множество Е удовлетворяет оценке
то оно может оказаться как множеством единственности, так и множеством неединственности в зависимости от взаимного расположения интервалов дополнения. Одновременно с завершением исследования множеств неединственности в классах Жеврея Дынькин и Хрущев [46] получили полное решение задачи свободной интерполяции в большом семействе подпространств пространства Л00 -классах Карлемана. Чтобы не отвлекаться на технические детали описания пространств Карлсмана, мы сформулируем этот результат,только для классов Жеврея, которые являются подмножеством совокупности классов Карлемана.
Пусть Е - замкнутое подмножество окружности, |Е| = 0, 0 < а < 1. Тогда ра нно си л ь н ы ут верж д ения
1) для любой функции к, заданной в замкнутом круге, и такой, что
ствует функция / Є 6'<* такая, что /<п)(л) = 0, .г Є Е, п = 0,1,2,..., то выполнено условие
дО\1п (*. гр
Теорема
14
|МП)(2)| < С«!п», |г| < 1, существует аналитическая функция / из класса Жеврся Оа такая, что
}(г) = Ь(г) при г- € Е,
2) для любой дуги окружности .} справедлива оценка
Л < Од1--
Как и в теоремах о пространстве Д°°, условия неединственности и интерполяции здесь довольно близки, но не совпадают. Формулировка теоремы об интерполяции дает повод еще раз вернуться к вопросу о том, как понимать естественное пространство следов. Если множество Е является совершенным (что практически не умаляет общности), то классы Карлемана допускают естественное определе ние на самом множестве Е. В теореме Дынькина и Хрущева учтена такая возможность и доказано, что при таком понимании пространства следов структура интерполяционных множеств сохраняется. Схема доказательства этой теоремы послужила базой для дальнейших исследований, поэтому мы рассмотрим основные ее положения. Отметим, что в ходе доказательства явно строится оператор продолжения. В основе конструкции находится специальная внутренняя функция д из класса Ж еврея "аналитическое расстояние" до множества Е.
С^сНз^-г, Е) < |#(.г)| < С2<Ь$*{г,Е).
Показано, что множество является интерполяционным тогда и только тогда, когда для него существует функция аналитического расстояния. Наличие такой функции позволяет построить интегральный оператор продолжения, который определен как интеграл по внешности круга. Важную роль в этой конструкции играет разработанный Дынькиным [47] аппарат псевдоаналитического продолжения. Вторая часть доказательства устанавливает эквивалентность оценки интеграла из условия теоремы и существования для соответствующего множества функции аналитического расстояния. Интересно отметить, что доя исследования задачи о свободной интерполяции полностью сохранило силу наблюдение Никольского [48] о соотношении трудности задач для различных классов функций. В задачах интерполяции для классов функций гладких вплоть до границы, как и в задачах спектрального анализа, более, податливым оказался случай пространств с мягкой топологией (определяемой набором полунорм), в то время как для пространств с жесткой топологией (банаховых пространств) решение задачи потребовало больших технических усилий. Первым и главным шагом в исследовании задачи интерполяции в банаховых пространствах стала работа Дынькина [49).
15
Теорема Дынькина
1) Замкнутое множество Я, Е С Г), является интерполяционным для пространства функций, аналитических в круге и удовлетворяющих условию Гельдера с показателе?* а, 0 < а < 1, в его замыкании, тогда и только тогда, когда, оно удовлетворяет условиям пористости и редкости.
2) Замкнутое множество Е, Е С дГ), является интерполяционным для пространства функций, с производной из класса Харди Нр, 1 < р <, тогда, и только тогда, когда оно удовлетворяет условию пористости.
Тем самым условие пористости, появившееся в работе автора [30] как необходимое условие интерполяции в пространстве функций с производной из 1Р\ оказалось и достаточным.
Мы исключили из формулировки теоремы Дынькина утверждения, касающиеся более высоких показателей гладкости, чтобы избежать технических комментариев. Тем не менее поясним, что происходит за пределами введенных нами ограничений. При переходе к а > 1 в описании пространства следов появляется альтернатива: либо интерполяция с производными, либо интерполяционные множества со слипанием (ослабление условие редкости). Для функций с производными из класса Харди, наряду с этой проблемой, сводящейся к выбору определения, возникают и принципиальные трудности. Во-первых, нет удобного автономного описания пространства следов на дискретном множестве внутри круга. Во-вторых, для граничных показателей (р = 1, р = ос) возникают трудности с описанием пространства следов даже для множеств, лежащих на. граничной окружности. Подобные трудности возникают уже в самом простом в техническом отношении случае, когда мы рассматриваем интерполяцию на множестве с одной точкой сгущения, расположенном в круге некасательным образом. В работе автора [50] показано, что для пространств аналитических функций, у которых производная порядка т принадлежит пространству Харди Яр, 1 < р < оо оператор продолжения, решающий задачу интерполяции, строится значительно проще, чем в случае, когда, р = 1. Подчеркнем, что доказательство теоремы Дынькина в главной его части построении оператора продолжения - следует схеме доказательства теоремы об интерполяции в классах Карлемана. Внешне этому мешает отсутствие какой либо интегральной оценки для функции расстояния до интерполяционного множества, присутствовавшей во всех приведенных выше теоремах, описывающих граничные интерполяционные множества или множества неединственности. Оказалось, что этого препятствия не существует. Дынькиы доказал следующее утверждение
Лемма Дынькина
Если замкнутое подмножество окружности удовлетворяет условию пористо-
16
сти, то существуют положительные числа (3 и С, зависящие ТОЛЬКО ОТ ПОСТОЯННОЙ в условии пористости, такие, что для любой дуги окружности .7 выполнено неравенство
Отметим вытекающую из леммы связь между условием пористости на множество и известным условием Макенхаупта (Л2) на функцию ф{г) = сНапомним, что по определению условие (Л2) [51] означает, что
Легко проверить, что это неравенство равносильно оценке из леммы Дынь-кина. Множества, удовлетворяющие условиям редкости и пористости, являются главными объектами наших исследований. Эти множества можно представлять себе как граничное множество, похожее на канторовское, и присоединенное к каждой его точке редкое некасательное множество. Точное утверждение состоит в том, что каждое редкое пористое множество является подмножеством, описанного выше множества. Остановимся еще на связи этих условий с условием Карле-сона из теоремы об интерполяции в пространстве Я°°. Легко проверить, что из условий пористости и редкости следует условие Карлесона, однако, обратное неверно. Поскольку вся работа посвящена исследованию задачи интерполяции в различных плоских областях, важно понимать, как ведут себя эти условия при отображениях комплексной плоскости в себя. При конформном отображении круга на любую область условие Карлесона и, тем более, условие редкости сохраняются, но условие пористости при этом может исчезать. Другой важный для нас класс отображений - квазиконформные отображения плоскости [52] (приведем одно из многочисленных определений таких отображений: отношение частной производной по г к частной производной по г ограничено). В работе будет показано, что условия редкости и пористости сохраняются при квазиконформных отображениях. Для сохранения условия Карлесона требуется дополнительное условие. Гонзалес и Николау [53] показали, что для этого необходимо и достаточно, чтобы граничное значение квазиконформного отображения на окружности функция /М “ удовлетворяла условию Макенхаупта (А») [51]:
Вернемся к схеме доказательства теоремы Дынькина. Осталось заметить, что дл я ее реализации требуется гарантировать существование псевдоаналитического продолжения для функций рассматриваемых классов. Возможность такого продолжения доказана в уже упомянутой статье Дынькина [47]. Этот результат
для любой дуги У и любого ее подмножества Е
17
Дынькина создал базу для дальнейшего исследования задачи интерполяции. В скором времени Вруна [54] доказал, что утверждение теоремы Дынькина сохраняется для классов аналитических в круге функций, у которых к-я производная непрерывна в замкнутом круге.
Дальнейшие продвижения в задаче интерполяции связаны с классами аналитических функций, у которых к-я производная обладает заданной мажорантой модуля непрерывности. Автор [31], [55] полностью решил эту задачу для множеств, имеющих одну точку сгущения и расположенных в круге некасательным образом. Затем Широков [56] объединил этот результат автора и теорему Дынькина и получил полное решение задачи интерполяции в пространствах аналитических функций, у которых к-я производная обладает заданной мажорантой модуля непрерывности. Несмотря на ряд существенных различий в технике доказательства, общая схема доказательства сохранилась и на этот раз. Главные усилия потребовались для построения оператора продолжения. Необходимая для этого функция "аналитического расстояния” д должна в этом случае удовлетворять оценке
С\ Е П 60)) < |^(г)| < Сг Е Г\ 01))).
Кроме того, в отсутствии лсевдоаналитического продолжения сам оператор приходится определять как контурный интеграл, а не интеграл по площади, как в работе Дынькина. Эти обстоятельства усложняют доказательство, но все же оставляют возможность довести его до конца. По ходу доказательства возникает еще одно техническое затруднение - переход к контурным интегралам значительно усиливает роль леммы Дынькина во всех проводимых оценках. При этом оказывается, что для их успешной реализации необходимо чтобы модуль непрерывности не стремился к нулю слишком быстро, точнее говоря, должна выполняться оценка
и{х) > СзР здесь /3 - постоянная из леммы Дынькина.
В обсуждаемой работе Широкова предложен остроумный прием редукции, позволяющий обойти это затруднение. Отметим, что характер оценок, возникающих при работе с модулем непрерывности, очень близок к неравенствам, возникающим при исследовании квазиконформных отображений, а это обеспечило преемственность схемы построения оператора продолжения при переходе к областям общего вида.
Задача интерполяции в пространстве функций с производной из пространства Я1 была полностью решена Дынькиным [57]. Как уже было отмечено, здесь к трудностям, связанным с построением оператора, продолжения добавляются
18
существенные проблемы, возникающие при описании пространства следов, структура которого оказывается сложнее, чем во всех ранее рассмотренных случаях. Мы ограничимся описанием нормы в пространстве следов
здесь (1(1 некоторая мера, специальным образом построенная по множеству Е. Устойчивость структуры интерполяционных множеств проявилась здесь в полной мере: несмотря на все технические трудности, интерполяционными оказались множества, удовлетворяющие условиям редкости и пористости. Эта работа открыла новую интересную сторону задачи интерполяции и определила пути ее решения в ситуации, когда пространство следов устроено весьма сложно. Возможности такого рода исследований убедительно продемонстрированы в работе Боричевой и Дынькина [58] . Авторы отталкиваются от очевидного соображения о том. что задача свободной интерполяции в алгебре Лд аналитических в круге функций, удовлетворяющих условию I ель дера в его замыкании, равносильна описанию факторпространства всей алгебры по идеалу функций, обращающихся в ноль на интерполяционном множестве. Далее, пользуясь известным [59] описанием идеалов этой алгебры
здесь 0 - внутренняя в смысле Берлинга [51] функция, спектр которой содержится в множестве Е, они дают естественное обобщение задачи интерполяции -описание образа теплицева оператора
При 0 = 1 получается стандартная задача о свободной интерполяции, но для нетривиальных в и описание пространства следов и методы построения построения оператора ’’продолжения” весьма трудны. Приведем для примера один из результатов, допускающий простую формулировку и в то же время показывающий эффект повышения гладкости в образе теплицева оператора.
Пусть Е - канторовское подмножество окружности, имеющее хаусдорфову размерность 7, 7 < 1. Тогда
Следует отмстить, что схема доказательства всех основных результатов этой работы в принципе та же, что и в работе [46], где она появилась впервые, однако реализация каждого из шагов этой схемы представляет собой новый и нетривиальный результат.
11/п =
/ = {/Є Л5 :/(*) = 0, гЄЕ,0/ЄЛЗ},
Теорема
Г(ЛЗ) = Лл<2-ї>(£).
19
Завершая обзор работ, посвященных решению задачи свободной интерполяции и связанных с ней вопросов, вернемся к утверждению о том, что задачи интерполяции помимо самостоятельной ценности важны своими глубокими связями с широким кругом классических тем анализа. Эти связи стимулируют интересные и правильные постановки задач, что наглядно прослеживается, например, в упоминавшейся выше работе Боричевой и Дынькина [58].
* * *
Диссертационная работа посвящена исследованию задачи свободной интерполяции в областях комплексной плоскости общего вида. Это очень естественное обобщение задачи сразу же наталкивается на массу препятствий технического характера, описание и преодоление которых и составляет содержание работы. Мы ограничиваемся узким классом пространств - аналитическими классами Гель-дера. Такое ограничение позволяет нам в большинстве случаев уйти от проблем описания естественного пространства следов и гарантирует возможность продолжения функции с интерполяционного множества на всю комплексную плоскость с сохранением условия Гельдера. Другое и еще более жесткое ограничение касается выбора класса областей G, для которых решается задача интерполяции. Собственно всю работу можно рассматривать как последовательность шагов, расширяющих спектр областей, для которых мы можем привести решение задачи свободной интерполяции. Мы переходим к обзору содержания диссертации, сохраняя за разделами обзора названия соответствующих глав. Здесь мы подробно остановимся на конкретной реализации общей схемы доказательства теоремы о свободной интерполяции применительно к каждому из рассмотренных в работе типов.
§3. Интерполяция в областях Лаврентьева
В первой главе излагаются результаты, опубликованные в статье [60]. Пусть С открытая односвязная область комплексной плоскости С , Е замкнутое подмножество G - замыкания области G.
Определение З.Х.
Будем обозначать символом А<Ж(Е) пространство Гельдера порядка а, 0 < а < 1, состоящее из функций /г, заданных на множестве Е, для которых конечна следующая норма
IWU«(E) = max(|/i(2)| : г € Е) + sup : zlfz2 6
Символом Л л (С) обозначим аналитическое пространство Гельдера,состоящее из функций /, анаштических в области G и принадлежащих пространству Гельдера
Л*(5).
20
Главное для всей работы определение - свободной интерполяции - естественно сформулировать, не ограничиваясь конкретными пространствами.
Определение 3.2.
Пусть ХА(С) - некоторое пространство аналитических функций на множестве G и Х(Е) - некоторое пространство функций на множестве Е. Будем говорить, что на множестве Е имеет место свободная интерполяция для пары пространств (ХА(С),Х(Е)) или, для краткости, Е интерполяционное множество, если для любой h е Х(Е) функции найдется функция / Є XA(G) такая, что f(z) = h(z) для любой точки z € Е.
Первая глава посвящена доказательству того, что полученное Е.М.Дынькиным [49] описание интерполяционных множеств для круга можно перенести на области Лаврентьева.
Определение 3.3.
Будем говорить, что кривая Г удовлетворяет условию Лаврентьева, если для любой пары точек, лежащих на кривой, отношение длины дуги, соединяющей эти точки, к длине хорды, стягивающей эти точки, ограничено постоянной, не зависящей от выбора этих точек.
Будем называть область G областью Лаврентьева, если ее граница удовлетворяет условию Лаврентьева.
Введем несколько технических обозначений, постоянно используемых в дальнейшем: круг с центром а и радиусом г Br(a) = {z Є С : \z - а\ < г},
если J - дуга , то Дг - круг , диаметром которого служат конечные точки дуги У. если Zi, z-i точки на кривой J, то J{z\, z2) - дуга кривой, соединяющая эти точки, \J(zuz-i)\ - длина дути.
Перепишем в этих обозначениях определение кривой Лаврентьева
sup(lJ=5f: 21,22 ег) <0°
Следующие определения содержат главные геометрические характеристики интерполяционных множеств.
Определение 3.4.
Пусть Е подмножество области G. Будем говорить, что Е редкое множество, если
(Т7-Г,—’• zl Ф г1> z2 с е\ = С > 0 условие редкости
Если множество Е С G, то мы будем называть его редким, если множество EGG - редкое.
21