Базисы люстига и фильтрация Шуберта в квантовых супералгебрах Серра типа

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................................................3
ГЛАВА 1. Супералгебры Дринфельда-Джимбо типа I ..............................‘20
§1. Супералгебры Ли типа I .................................................20
§2. Супералгебра Uq{g) .....................................................23
§3. Классический предел супералгсбры Uq(g) .................................26
§4. Свободность треугольного разложения супералгебры U .....................27
§5. Модули со старшим весом ................................................29 '
ГЛАВА 2. Корневые векторы и базисы Люстига в квантовых..........................
супералгебрах Серра типа I ........................................36
§1. Малая квантовая группа Вейля lVq(g'0)...................................36
§2. Корневые векторы и базисы Люстига ......................................39
§3. Доказательство теоремы 2.29 при g = А(т,п) ............................53
§4. Доказательство теоремы 2.29 при g = С(п) ..............................60
§5. Контрагредиентные супералгебры Ли рангов 1, 2 ............................
с неразложимыми матрицами Карта на ......................................64
§6. Доказательство предложений ‘2.15, 2.16 .................................73
ГЛАВА 3. Стандартные базисы Люстига и фильтрация Шуберта .......................
в квантовых супералгебр Серра типа I ..............................Si
§1. Супералгебра ДДд).......................................................84
§2. Стандартные базисы Люстига .............................................87
§3. Фильтрация Шуберта ....................................................106
§4. Доказательство стандартности систем FT. (i = 0,... ,3) при g = А(т, п) .. 110
§5. Доказательство стандартности системы TTQ g = С(п) ....................120
ЛИТЕРАТУРА
123
Введение
Актуальность работы. Теория представлений алгебр и супералгебр Ли шрае! принципиальную роль п решении тех или иных топологических задач. Например, задача классификации неприводимых представлений комплексной полупростой группы Ли в банаховых пространствах сводится к задаче классификации простых модулей Хариш-Чандры над алгеброй Ли этой группы. Помимо этого, супералгебры Ли имеют фундаментальное значение для современной физики, использующей их для описания статистики Бозе-Ферми в квантовой теории поля. В последние годы список ма тематических объектов, применяемых в физике, пополнился квантовыми оболочками сим-метризуемых алгебр Каца-Муди, т.е. алгебрами Дринфельда-Джимбо. Использование этих алгебр связано с надеждой преодоления проблемы расходимости в квантовой теории поля.
Исследование квантовых алгебр можно рассматривать как часть общей проблемы построения универсального “(/-анализа”, состоящего в описании “квантовых деформаций” основных объектов классического анализа, в том числе групп и алгебр Ли, однородных многообразий, специальных функций, связанных с этими многообразиями, и т.д. Несмотря на то, что эта идеология имеет определенное отношение к квантовой физике, первые работы по 7-анализу появились еще в начале века. В настоящее время имеется большое число работ по 7-анализу, в том числе по теории квантовых групп. Достаточно отметить монографии [1]—[7], справочник [8] по теории 7-деформированных гипергеометрических функий.
В теории квантовых групп существенную роль играют алгебры Дринфельда-Джимбо ич(9), где д — полупростая комплексная алгебра Ли или (в более общем контексте) симметризуемая алгебра Каца-Муди. Структура алгебры С/,(д), определяемой как “квантовая оболочка” алгебры Ли 0, в известной степени подобна структуре универсальной обертывающей алгебры С/(д). В частности, алгебра 1/ч(д) обладает “треугольным разложением” с компонентами Серра £/*(д). Более того, в алгебре ^<7(0) существуют аналоги базисов ПБВ (Пуанкаре-Биркгофа-Витта), ассоциированные с треугольным разложением и называемые базисами Люстига алгебры ЦДд). Известно также, что алгебра С/9(д) однозначно восстанавливается по своей компоненте Серра 5Ч(0) как модифицированный квантовый дубль, определенный В. Дринфсльдом (см. [9], [4]).
В данной работе рассматривается вопрос о построении аналогичной теории для квантовых оболочек простых комплексных супералгебр Ли. В частности, для супералгебр Ли типа I (т.е. типов А(т,п), С(п)) удается построить специальные аналоги базисов ПБВ, названные “стандартными базисами Люстига”. Кроме того, изучается связь между этими базисами и фильтрацией Шуберта, определяемой посредством ядер некоторых “дифференциальных операторов”. Подобная конструкция хорошо известна в теории алгебр Дринфельда-Джимбо, ассоциированных с полупростымн комплексными алгебрами Ли. Для этого случая в работах [1], [10] (см. также [11]) введено понятие фильтрации Шуберта в квантовых алгебрах Серра, отмечена связь этой фильтрации с базисами Люстига в терминах “дифференциальных операторов”, действующих в квантовой алгебре Серра. Использование фильтрации Шуберта представляет собой естественный инструмент в теории кристаллических модулей для алгебр
3
Дринфельда-Джимбо (см. [12]). Существенную роль в этой конструкции играет квантован группа Вейля, действующая автоморфизмами в алгебре Дринфельда-Джимбо. Отсутствие аналога этой группы в суперслучае приводит к известным трудностям, которые удается преодолеть для квантовых супералгебр Серра типа I.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании квантовых супералгебр Серра 57(о), где д — простая супералгебра Ли тина I (т.е. типов А(т, п), С(п)). Основная часть работы состоит в построении специальных базисов (аналоги базисов ПБВ) в алгебре 5?(д), в исследовании связи этих базисов с фильтрацией Шуберта в 5д(0). в описании этих объектов в терминах проекционных операторов алгебры 5д(д).
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту, для квантовых супералгебр Серра 5^(д) типа I состоят в следующем:
1. Предложена общая конструкция систем корневых векторов и базисов Люетига для квантовых супералгебр Серра типа I.
2. Предложена специальная конструкция стандартных систем корневых векторов, определяемых квазидиффер>енциальными соотношениями в 57(д).
3. Доказана теорема существования и единственности стандартных систем корневых векторов для всех нормальных порядков в системе положительных корней супералгебры д = Л(0, гг), А{п, 0), С(п), а также для некоторого класса нормальных порядков при 0 = А(т, п), т,п Ф 0.
4. Введено понятие фильтрации Шуберта для супералгебр 59(д), отмечена связь этой фильтрации с базисами Люетига, получено се описание в терминах проекционных операторов.
5. Получены соотношения биортогональности между сопряженными стандартными базисами Люетига.
6. Все эти результаты получены также для квантовых супералгебр Серра рангов
1,2 с неразложимыми матрицами Картана.
Методы исследования. В диссертационной работе применяются в основном методы теории квантовых групп и так называемый метод экстремальных векюриь, заключающийся в систематическом исследовании ядер некоторых квазидифференциальных операторов.
Обоснованность научных положений. Полученные в диссертации результаты обоснованы строгими математическими доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть полезны для дальнейшего развития теории квантовых супералгебр Дринфельда-Джимбо и их приложений в теоретической физике.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались ежегодно на XXX-XXXV научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов (РУДН) (Москва, 1994-1999). а также на научном семинаре по теории представлений кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 49 наименований. Диссертация содержит 125 страниц текста и 3 таблицы. Каждая глава состоит из параграфов; пункты и формулы нумеруются внутри
4
каждого параграфа с указанием его номера. При ссылке на формулы, теоремы и т.д. из другой главы указывается также номер главы.
Основные результаты собраны в главах 2, 3. Перейдем к более детальному изло-жению данной работы.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Д.П. Желобенко за постаноку задачи и за ценные замечания при работе над диссертацией.
1. Обозначения и соглашения. Всюду ниже будут использованы следующие обозначения и соглашения.
Ъч — циклическая группа порядка 2, элементы которой мы будем обозначать через 0, 1. Мы будем рассматривать только категории суперпространств и супералгебр над некоторым полем, а также категорию 22-градуи|юванных модулей над некоторой супералгеброй с однородными морфизмами. 13 этих категориях все рассматриваемые подпространства, подалгебры, идеалы и подмодули предполагаются й2-градуированными. Кроме того, все рассматриваемые базисы считаются однородными. Пусть V’ — суперпространство с однородными компонентами Ц, V]. Через deg мы будем обозначать функцию четности, равную г € 22 на ненулевых элементах Ц. Для каждой функции, определенной и линейной на однородных компонентах Ц, мы предполагаем, что она продолжена по линейности на все пространство V.
Напомним [13) (см. также [14], [15]), что конечномерные комплексные простые супералгебры Ли, у которых четная компонента является редуктивной алгеброй Ли, называются классическими. Остальные простые супералгебры Ли называются карта-новскими. Среди классических супералгебр содержатся контрагредиентпые супералгебры Ли, т.е. супералгебры, которые могут быть определены в терминах матрицы Картана и образующих Шевалле. Контрагредиентные простые супералгебры Ли делятся на два типа Т и II в зависимости от глубины ^градуировки, определяемой на образующих Шевалле следующим образом: четные образующие имеют степень
О, нечетные из п± (см. ниже определение п±) имеют степень 1,-1 соответственно:
2
д = <7-1 ф <70 ф Си для супералгебр типа 1, где д0 = С0: 0 = ® <7, для супералгебр
»=—2
типа II, где до = в_2 Ф <70 Ф
В дальнейшем символ д означает простую супералгебру Ли типа I, т.е. д = А(т,п), где т,п ^ 0 при т ф п; т Ф 0 при т = п< или д = С(п) при п ^ 3. В дальнейшем мы полагаем / = {1,... ,т + п + 1}, 5 = т + 1 при д = А(т,п): I = {1,... ,и), к = 1 при д = С(п). Четная компонента до С д есть редуктивная алгебра Ли, а именно (и обозначениях Картана) Д(т, п)о = Ат х Ап х С при т ф п, А(п, тх)о = Ад х АПу С(я)о = Сп_] х С.
а. = (оу)^€/ — матрица Картана супералгебры Ли д следующего вида: после вычеркивания э-ой строки и 8-го столбца получим матрицу Картана типа Ат х Ап, Сл_ 1 для А(т,п), С(п) соответственно. Вычеркнутые ненулевые элементы таковы:
(1т,т+1 = ®т+1,т = &т+1,т+2 = вгп+2,т+1 = —1 При 0 = А(я,т), Л|2 — — 02] = 1 При
5
0 = С[п). Умножая а на диагональную матрицу d с диагональными элементами (du... ,dm+n+1) = (1,... ,1, - 1,... ,-1), при g = А(т,п),
4 v ' 4--------V-----'
m+i раз п раз
(db... ,rfw) = (1,-1,... ,-1,-2), при 0 = С(п),
получим симметрическую матрицу 6 = da. Иначе говоря, матрица Картана а сим-метризуема. Матрица а невырождена только при g ф А(п, п).
1) С до — подалгебра Картана. порожденная элементами (/?*);<=/. Ненулевая линейная форма о € 0* называется корнем, если корневое подпространство 0° = {х € 0 : [h,х] = a(h)x V/г € Ь} отлично от нуля. Корень а называется четным (соотв., нечетным), если gri С 0о (соотв., да С 0i).
Система простых корней для g имеет вид Г! = {а,-, г € /} С f)1*, где < /г,, а, >= а,г Заметим, что система П содержит единственный нечетный корень as.
При g Ф А(п, п) элементы 0(1 (г € I) образуют базис пространства fj\ Если 0 = /1(п,п), то между ними имеется следующая зависимость:
п+1 2п+1
У" kotk + ^ (2гг - Л + 2)а* = 0. (1)
А=1 А:=л+2
Обозначим через Д систему всех корней, и пусть До, Д1 С Д — системы четных и нечетных корней соответственно. Тогда Д = AoUA-i. Положим
q = Y. z“" р)
ieJ
где J = I при 0 ф А(п, п), J = I \ {2n + 1} при 0 = A(n, n). Тогда 0 есть Q-градуированная супералгебра (относительно присоединенного действия f)). Более того, имеем: 0 = f) © (®оед 0Q), dim 0° = 1, кроме случая /1(1,1). Ясно также, что универсальная обертывающая супералгебра £/(д) наследует эту градуировку.
Напомним еще одно (треугольное) разложение супералгебры 0. Пусть тг с 0 — подалгебры, порожденные образующими Шевалле eiy (г е I) соответственно. Имеем:
0 = п" 0 () 0 tl+. (3)
Корень а называется положительным (соотв., отрицательным), если дл Пп+ ф 0 (соотв., 0аПгГ ф 0). Пусть А* С Д — системы положительных и отрицательных корней соответственно. Положим Д* = ДгПД* (г е Z2). Тогда Д," — -Д,+, Д, = Д+иД“ (объединение дизъюнктно при 0 Ф /1(1,1), см. (1) и Д{+ ниже). Положим
Oiti+l = cxiy i € /, i Ф 7i при 0 = С(п).
Для 1 ^ г < j ^ т + п + 2 (соотв., 1 < г < j ^ п) при g = Л(т,п) (соотв., g = С(п))
положим также
OCtj = Cti + ...+ OTj-!,
Oi-j = al3 + 2ocjn + g = C(n) (2ajn отсутствует при j = n),
6
O', _І = 2ain + an_n, і Ф n, 9 = C(n).
Имеем:
Ao = {aij : m + 1 £ [», j - 1]}, ^7 = {a*j : m + 1 € [г, j - 1]} при 0 = A(m,n),
Д(Т = {aU> аь-г>* Ф *}» A7 = {«и>с*і,-ь і Ф 1} при 0 = С(п).
Известно (см. [13], [14]), что существует симметрическая невырожденная билинейная форма на f)* такая, что (а,, а3) = rfxay.
¥ = C(q) — поле комплексных рациональных функций от независимой переменной q, предполагаемое в дальнейшем основным полем. Условимся дальше использовать следующие обозначения:
г —г *
Яг = Qdi> = Яг - Мі = —(у—г ГДЄ ** € Z, [ Л ]j! = ГТ [ Г ],.
1 Г— 1
При этом считаем, что [0], = 1. Условимся также при d, — ±1 опускать нижний индекс в [k]i\ и [k]i.
Пусть А — ассоциативная супералгебра с единицей над полем IF. Для каждого набора элементов (х*)іє/ С /1 и для к € Z положим х,(А:) = я»к/[&]х!; при этом считаем, что s-0) = 1, = 0 при к < 0. Кроме того, для каждой пары однородных элементов
х,у Є А и для каждого // є IF* = F \ {0} мы также будем использовать следующее обозначение для и-суперкоммутатора [х, y\v = ху - (—1 )<dee*)Cdce»)
2. Определение. Супералгеброй Дринфельда-Джимбо типа Г называется ассоциативная супералгебра Uq(q) с единицей, порожденная элементами ех, /*, <j, і*”1 (і € /), где degti = degt*“1 = 0 для всех і € I, deges = deg/, = 1, dege, = deg/, = 0, при і Ф .5, со следующими фундаментальными соотношениями (4)—(10):
МГ1=ІГЧ = 1, Uti = tjti, №
cj = j ti fj ti = (ft ^ /j j (6)
Me)=M/) = °. Mi, (7)
с
где %(x) = 53(—для элемента x = (x*) с подстановкой x, = є», /і,
fc=0
с = 1 - Qij, deg Єі = deg fi = 0 при |oy| = 1,
e2s = f} = 0, (8)
Ej [[em,em+l],,[em+.,eTO+2].] =0,1 8 = л{т п)] m n>0i (9)
Г= [i/m+l,/m],,[/m+2,/m+l],] =0,J
t = txtl...t;+lt%+21";3*...t2n+1 = 1 при 0 = A(n,n). (10)
Сделаем несколько замечаний к этому определению. В отличие от алгебр Дринфельда-Джимбо над симметризуемыми алгебрами Каца-Муди, супералгебра U({(q) обладает делителями нуля. Кроме того, для алгебр Каца-Муди соотношения
7
(9) выполняются и являются следствием (7) (это нетрудно проверить). В то же время для супералгебр соотношения (8), (9) независимы от (7). Соотношение (10) есть квантовый аналог фундаментального соотношения в g между картановскими элементами (/i,-)ic/j получаемого из (1) заменой а, на cfj/i,. По-видимому, соотношение (10) впервые было рассмотрено в работе автора [16] (см. также [17]).
3. Структура супералгебры Хопфа в L^(fl). Ниже мы используем стандартные обозначения Д, с, о для коумножения, коединицы и антипода соответственно. Супералгебра Uq(g) наделяется структурой супералгебры Хопфа следующим образом:
Д(е*) = е* ® 1 4- U 0 еи Д(Л) = Л<8> U'1 + 1 0 Л-, &(U) = U 0 U,
о(е<) = -t~lC.iy cr(fi) = -SiU, or(*j) = /Г1,
e(ej) = «(Л) = 0, e(ti) = 1,
где символ 0 означает тензорное произведение супералгебр, т.е. Uq(g) 0 Uq(g) —
супералгебра с й2-градуировкой deg(:c 0 у) = degх + degу и следующим правилом умножения: (Xi 0 У\)(х-2 0 У2) — (— l)^,egyi^deg:ri'xTU?2 У\У2• Кроме или, под антиподом понимается линейное отображение, удовлетворяющее соотношению ст(ху) = (—l)^de8*^de8y)o,(j/)cT,(a;). Таким образом, при доказательстве выполнения аксиом, определяющих структуру супералгебры Хопфа (эти аксиомы такие же, как для алгебр Хопфа. См. [4], [18]—[20]) нужно следить за правилом знака.
4. Классический предел Uq(д). Рассмотрим кольцо Л = C[q. q~l] с F. Обозначим через [ti,0]i правую часть (5). Пусть UA с Uq(g) — подалгебра над А, порожденная элементами е,-, /*, гД [ 0]j (г € /). Положим U\ = UA/(q ~ 1 )UA. Рассмотрим
идеал Ui = £(*,- _ l)^i супералгебры Ь\. Факторсупералгебру U\fb\ называется »€/
классическим пределом супералгебры Uq(g).
5. Теорема. Универсальная обертывающая супералгебра U(д) изоморфна супералгебре U\/U\. Иначе говоря, U{g) есть классический предел Uq(g).
Отметим, что доказательство этой теоремы при д = Л(п,п) требует дополнительных рассуждений, связанных с соотношением (10).
6. Пусть U+(g), U~{д), Uq(g) С Uq{g) — подалгебры с единицей, порожденные элементами е», /,, U* (г € I) соответственно. Согласно (4)—(6), имеем:
им = и-(9)Ц?(0)У,+(д) = uj{ü)VMU4 (0)- ОН
Соотношение (11) уточняется следующим образом.
7. Теорема [17]. Треугольное разложение (11) свободно. Иначе говоря, каноническое отображение U~(g)0 /7° (д) 0С/+(д) -4 Uq{g) {соотв., С/9+(д)0С/°(д)0£/~(д) -> Uq{g))f определяемое правилом и~ 0 и0 0 и+ —> (соо/rae., и+ 0 и0 (& и~ —» u+tt°zi~),
задает изоморфизм суперпространств.
Доказательство этой теоремы при д ^ Л(п,п) основано на рассмотрении модулей со старшим весом и использовании структуры супералгебры Хопфа в Uq(g). Доказательство при д = A(nyti) требует более тонких рассуждений (напомним, что матрица Картана этой супералгебры вырождена, см. также (1)). Оно основано на применении “метода спуска” для накрывющей супералгебры С/9(д) с фундаментальными соотношениями (4)-(6). А именно, справедливо
8
8. Предложение (метод спуска). Пусть т ^ т', п ^ п', т' ф п'. Тогда из сво-бодности треугольного разложения супералгебры Ut,(A(m\ гг')) следует свободность треугольного разложения супералгебры Uq(A(m, п)) .
9. В дальнейшем нас будет интересовать вопрос о построении специальных базисов в Uq(q). Согласно теореме 7, достаточно построить базис в каждой компоненте треугольного разложения (11). Найдем сначала базис пространства Uq{Q). Напомним (см. п. 1). что J Ф I при 0 = А(п, п). Условимся использовать следующее обозначение: для а = k'Qi е Q положим tQ = П»€у V-
10. Лемма. Элементы tа, где о- € Q. образуют базис суперпространства üj(g).
Супералгебра Vq(g) обладает С-антиавтоморфизмом со, определяемым на образующих по правилу
w(e<)=/i> ЦЛ) = С*> u(U) = t~\ co{q) = q~l. (12)
Отсюда для построения базисов в оставшихся компонентах Uq(g) достаточно построить базис в одной из них. Это будет сделано ниже.
Отметим следствие теорем 5, 7.
11. Следствие. Классический образ подалгебр f/*(g) получается подстановкой q = 1 в t/J. Кроме того, мы имеем изоморфизм супералгебр 0т±(д) % U^f(q — 1)L/J•
12. Дополнительные градуировки в Uq{g). Ниже мы будем использовать символ deg при определении других градуировок в U,дд). Мы надеемся, что из контекста будет ясно, о какой градуировке идет речь.
Супералгебра 6^(д) обладает Z-градуировкой, определяемой на образующих по правилу degCj = - deg/, = 1, degti = 0 (г 6 /), так что
ад = Шадь. ^(в) = 0 ^(0)ь
ке2 keZ±
где Uq(Q)k = {х в UM : degт = к е Z}, Uf(ß)k = U~(Q)f)UMk-
Супералгебра (/7(д) обладает весовой Q-градуировкой, определяемой на образующих по правилу degßj = - deg fr = о*, deg^ = 0 (i е /), так что
ад) = 0ад)»>
где Uq(Q)a = {я G Uq{$) : deg а: = а}. Более того, имеем:
UM о = {я с Uq(g) : tiXtr1 = q(ai'a)x, Viel}.
Пусть д ф Д(п.п). Напомним (см. и. 1), что элементы П линейно независимы. Отсюда ясно, что подалгебры 6г+(д), U~(q) наследуют эту градуировку, а именно аде) = ®„зд± и?(в)о, где Q± = Z±Qj, и?(о)а = Uq(e)af)Uf(B). Более того, Uff{o)о = F. Все эти утверждения неверны при д = А{п,п). Например, согласно (1), e2n+i е Uq(g), но dege2n+i € Q-. Кроме того, F ф О’*(д)0, так как элемент Шм е».«+2П”=1 ^«+2,п4>+2, где сомножители е# определяются в п. 23 , отличен от
9
нуля (ибо в силу теоремы о его образ при классическом пределе отличен от нуля) и принадлежит Uq.
Следуя [21] (см. также [22]—[24], [11]), введем основной объект данной работы.
13. Определение. Квантовой супералгеброй Серра типа I называется ассоциативная супералгебра Sq(g) с единицей, порожденная элементами /, (г € /), где cleg/, = 1, deg /, = 0, при i ф s, со следующими фундаментальными соотношениями:
C-1-OiJ
%(/) = Yl (—fi{k) = О при г f- j, deg Si = о при |а„| = 1,
fc=0
Л2 = о,
[[fm+lJm]qAfm+2,fm + l]q] = 0 При 0 = Д(т, п), ГП, П > 0.
Как показано в диссертации, супералгебра S9(g) изоморфна треугольным компонентам Uf(g). В дальнейшем мы отождествляем Sq(д) с U~(g).
14. Нормальные порядки. Ниже будет дано описание нормальных порядков для А+. Положим £ = CardA+. Как в случае полупростых алгебр Ли (см. [1]), порядок Д* = (а(1),... ,а(£)} называется нормальным, если каждый корень a(j) = a(i)+a(k) расположен между а(г) и а(к).
Нам понадобятся некоторые сведения о полупростых алгебрах Ли (подробнее см. [1]). В дальнейшем, для простоты изложения, мы предполагаем, что эти алгебры не содержат подалгебр типа 6*2 (подалгебра типа (72 всегда содержится в качестве идеала). Пусть д' — полупростая алгебра Ли, W(g') — ее группа Вейля алгебры с образующими {г;}|=1, где I = rankg'. Пусть R(g') — система корней алгебры д' относительно некоторой фиксированной подалгебры Картана, R+ = R+(g') С R(g') — система положительных корней, порожденная системой простых корней П = {о»}[-=1. Положим L = Card Я+(я'). Группа W(q’) содержит единственный элемент wmax, имеющий максимальную длину (обязательно равную L). Хорошо известен следующий факт [1]: существует биекция между множеством NO(R+) всех нормальных порядков Я+(д') и приведенными разложениями элемента штах = г,, ■ ■ - rtL. Эта биекция задается следующим образом: сх(р) = jor,-p, р — 1,... , L, где wp = • • ■ rip, w0 = 1.
Известно также, что ка?кдые два нормальных порядка из NO(R+) получаются друг из друга композицией следующих типов подстановок соседних корней:
а, Р t-4 /?, « (подстановка типа Л\ х .4^,
а, а + р, Р р, а + р, а (подстановка типа Л2), (13)
а, 2а + 3, а + Р, р Р, а 4- р, 2а 4- р, а (подстановка типа В-2),
где а - Р (£ Д.
Пусть g = Л(тп). Заметим, что Д+ совпадает с системой положительных корней алгебры Ли типа Arn+n+i. Отсюда следует, что в Д+ нормальные порядки существуют и каждые два нормальных порядка получаются друг из друга подстановками типов .4i х А\, .42.
Пусть Я+ — система положительных корней алгебры Ли Сп. Заметим, что система положительных корней Д+ супералгебры Ли С(п) совпадает с множеством
10