Вполне характеристические подгруппы абелевых групп и вполне транзитивность

Введение
Теория абелевых групп является одной из важных ветвей современной алгебры. Эта теория активно взаимодействует с различными областями математики: с одной стороны в теории абелевых групп тесно переплетаются идеи и методы линейной алгебры, теории чисел, теории модулей, колец, категорий, топологических групп, а с другой стороны теория абелевых групп часто является источником идей для смежных областей алгебры. Широкая применимость абелевых групп в различных областях математики является одной из причин интенсивного развития теории абелевых групп в последние годы (см. [Миш1], [Мищ2), [МишЗ], [ММ], [Мф.
Важной задачей теории абелевых групп является изучение строения их вполне характеристических подгрупп и решетки, ими образуемой. Истоки теории вполне характеристических подгрупп абелевых групп лежат в теории линейных операторов векторных пространств, при изучении которых центральную роль играют инвариантные подпространства. Знание строения вполне характеристических подгрупп абелевой группы и их решетки существенно помогает как при изучении свойств самой группы, так и при исследовании свойств ее колец эндоморфизмов и квазиэндоморфизмов, группы автоморфизмов и других алгебраических систем, связанных с исходной группой (см., например, [Ме1], [Ш], [Р], [ВЕ1Р], [Миш2], [МишЗ], [Мф.
Выяснение строения вполне характеристических подгрупп абелевых групп представляет также интерес при изучении вполне инвариантных подмодулей модулей. Информацию о вполне характеристических подгруппах абелевых групп и решетках таких подгрупп полезно иметь и при исследовании абелевых групп, как модулей над своими кольцами эндоморфизмов.
Для некоторых достаточно широких классов абелевых р-групп описание вполне характеристических подгрупп получено в работах Р. Бэра ([В]), Р. Линтона ([I.]), И. Капланского ([К]), К. Бенабдаллаха, Б. Эйзенштадта, Д. Ирвина, Е. Полуянова ({ВЕ1Р]), Р. Пирса ([Р]). Как правило, эти описания вполне характеристических подгрупп абелевых р-групп даются не на наиболее удобном для этих групп языке инвариантов Ульма-Капланского, и в ряде случаев требуется преодолеть значительные трудности для перевода, такого описания на этот язык.
2
О вполне характеристических подгруппах абелевых групп без кручения и смешанных абелевых групп, в отличие от примариых групп, известно, вообще, очень мало, что связано в первую очередь с тем, что сами группы без кручения и смешанные группы еще недостаточно изучены. Описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для одного класса однородных групп без кручения получено 11. А. Крыловым ([Kpl], [Кр2]), а в [П1] В. С. Пятков описал вполне характеристические подгруппы прямых сумм однородных сепарабельных групп без кручения. Хорошо известен результат Р. Гебеля ([О]) о строении вполне характеристических подгрупп К-прямых сумм бесконечных циклических групп (в частности, прямых сумм и прямых произведений бесконечных циклических групп, а также групп Бэра-111 пек ера). В работах А. И. Шапошникова ([Ш1], [Ш2|), А. И. Москаленко ([Мо]) и А. А. Фомина ([Фо]) изучаются сервангные вполне характеристические подгруппы абелевых групп из некоторых классов. Вполне характеристические и сервангные вполне характеристические подгруппы алгебраически компактных групп рассматриваются А. Мадером в [М]. Связь между строением делимой и редуцированной частей абелевой группы специального вида со строением соответствующих частей ее вполне характеристической подгруппы установлена М. Брамре ([Вг]).
В диссертации разрабатывается направление исследования вполне характеристических подгрупп произвольных абелевых групп, тесно связанное с понятием ”вполне транзитивность”. Основная идея состоит в следующем. Задается некоторое свойство вполне характеристической подгруппы абелевой группы, записываемое в терминах высотных матриц элементов группы, а затем в различных классах абелевых групп выделяются и описываются группы, в которых все вполне характеристические подгруппы обладают заданным свойством. Выбор свойства, которому должны удовлетворять вполне характеристические подгруппы, осуществляется, конечно, так, чтобы соответствующие группы составляли достаточно широкий класс групп. Таким образом, приходим к понятию М-группы, го есть такой редуцированной абелевой группы А, в которой всякая вполне характеристическая подгруппа имеет вид А(М) = {а € А\ Н(а) ^ М] ,где Ш(а) — высотная матрица элемента а , М — некоторая и х и-матрица, элементами которой являются порядковые числа и символы
оо. (Заметим, что как вытекает из теоремы 8.5 настоящей работы при изучении
3
вполне характеристических подгрупп абелевых групп можно ограничиться редуцированными группами).
Выделение Н-групп в ряде классов абелевых групп фактически равносильно описанию вполне характеристических подгрупп в выделенных группах.
Всякая И-группа, как показано в §2 диссертации, является вполне транзитивной группой, то есть абелевой группой, в которой для любых двух элементов а и Ь таких, что М(а) ^ Н(6) (Н(а), Н(6) — высотные матрицы элементов а и Ь соответственно) существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в 6. Обратное, как вытекает из результатов работы, в общем случае неверно, но имеет место для периодических групп.
Для редуцированных абелевых р-групп понятие ” вполне транзитивная группа5' ввел И. Капланский (редуцированная абелева р-группа, называется вполне транзитивной, если для любых двух ее элементов а и Ь, для которых II (а) ^ Н(Ь). где Н(а), Н(Ь) —индикаторы элементов а. и Ь соответственно, существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в Ь ([Ф1], с. 11)). И. Калланскому удалось установить, что всякая сепарабельная редуцированная р -группа является вполне транзитивной ([К], с. 58; [Ф2], с. 10-11). Он ставит вопрос (проблема 25 из [Рг]): будет ли любая абелева р-группа вполне транзитивной. В [Н] П. Хилл показал, что всякая тотально проективная р -группа является вполне транзитивной. Интересные результаты о вполне транзитивных р -группах .4. связанные с действием кольца эндоморфизмов Е(А) на ры А, получены А. Корнером ([С1]); здесь же построен пример редуцированной р-группы, не являющейся вполне транзитивной. С. Файле и Б. Голдсмит рассматривают вполне транзитивность прямых сумм р -групп ([БО]). Свойства вполне транзитивных р-групп рассматривались в ряде работ (см. [Миш1], §1; [Миш2], §1).
Понятие вполне транзитивной группы без кручения, то есть такой абелевой группы без кручения, в которой для любых двух элементов а и Ъ таких, что х(а) <' х(&) (х(а), х(Ь) —характеристики элементов а и Ь соответственно) существует эндоморфизм этой группы, переводящий а в 6, появилось и применялось для решения различных задач теории абелевых групп в работах [Г8], [Кр1], [Д1] (в этих работах группы с указанным выше свойством назывались транзитивными; позднее в рабо-
4
тах разных авторов, включая и авторов перечисленных статей, такие группы стали называться вполне транзитивными). Изучению вполне транзитивных групп без кручения и различных важных подклассов таких групп посвящено большое количество работ (си., например, [А 1 ], [КрЗ], [Hal], [DS], [AVW], [Д2], [Кр4], [Ч]).
В [Г12] автор и В. М. Мисяков рассматривают понятие "вполне транзитивность1’ для произвольной абелевой группы, которое формулируется в терминах высотных матриц элементов группы и согласуется с введенными ранее определениями вполне транзитивной р-группы и вполне транзитивной группы без кручения. Вполне транзитивные смешанные р-локальные абелевы группы изучаются С. Файлсом в [FJ. В р-локальных группах но аналогии с абелевыми р-группами можно рассматривать индикаторы (высотные последовательности) элементов и естественно определить вполне транзитивность для таких групп точно так же, как и для р-групп (такое определение вполне транзитивности для р -локальных групп согласуется с определением вполне транзитивности для произвольных абелевых групп из [Г 12]). В [F] показано, что редуцированная ранга без кручения 1 р-локальная группа вполне транзитивна, если ее периодическая чаегь сепарабельна. Вполне транзитивность редуцированной р-адической алгебраически компактной группы установлена А. Ма-дером в [М]. Исследование вполне транзитивности прямых произведений абелевых групп проведено В. М. Мисяковым в [Ми1].
Интерес: к изучению вполне транзитивных групп объясняется следующими обстоятельствами. Вполне, транзитивными являются, например, такие группы, имеющие фундаментальное значение в теории абелевых групп: р-группы без элементов бесконечной высоты, р-адические алгебраически компактные группы, однородные сепарабельные группы, — которые исследовались в работах J1. Я. Куликова,
А. П. Мишиной, Ю. Л. Ершова, Р. Бэра, И. Капланского, Л. Фукса, Е. Сонсяды, Д. Лося и других математиков. К вполне транзитивным группам относятся также квазисервантно инъективные ([R2]) группы без кручения и сильно однородные группы ([А 1], [КрЗ]), интенсивно изучающиеся в последнее время (задача изучения свойств квазисервантно инъективных групп сформулирована Л. Фуксом в [Ф1] как проблема 17а). Кроме того, многие подклассы вполне транзитивных групп оказываются весьма широкими и состоящими из групп, ранее не рассматривавшихся. Если
5
еще учесть, что »полис транзитивные группы допускают содержательное изучение, то становится понятной целесообразность их изучения.
Вполне транзитивные группы играют важную роль при исследовании вполне характеристических подгрупп абелевых групп.
В диссертации проведено исследование вполне транзитивных абелевых групп и получено описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для абелевых групп из различных классов. Многие результаты работы связаны с К -прямыми суммами абелевых групп {Л,}*€/, где К — идеал булевой алгебры 7>(1) всех подмножеств множества I. Конструкция К-прямых сумм абелевых групп включает в себя, как частные случаи, прямые суммы и прямые произведения групп. В общем случае о К-прямых суммах абелевых групп известно очень мало. В [Ф1] Л. Фукс ставит проблему 11: исследовать К-прямые суммы циклических групп. В диссертации получены различные свойства К-прямых сумм абелевых групп, позволяющие устанавливать их вполне транзитивность и описывать вполне характеристические подгруппы этих групп. 13 частности, полученные в работе результаты содержат критерий вполне транзитивности групп из проблемы 11 и описание вполне характеристических подгрупп таких вполне транзитивных групп.
Заметим, что любой результат диссертации, относящийся к К-прямым суммам групп из некоторого класса, справедлив для любой группы из этого класса (достаточно взять индексное множество / одноэлементным).
Методы исследования, развитые и работе, базируются на систематическом использовании введенных и изученных в диссертации понятиях: гомоморфной оболочки, Н-группы, вполне транзитивного семейства групп и семейства труни, удовлетворяющего условию К-монотонности. Применяются также различные методы теории абелевых групп, теории модулей, теории упорядоченных множеств и решеток, некоторые топологические и теоретико-множественные идеи. Переплетение этих методов позволило существенно расширить известные ранее классы вполне транзитивных групп и получить информацию о вполне характеристических подгруппах таких групп. Развитая в работе техника дала возможность описать вполне характеристические подгруппы и их решетки не только для многих классов вполне транзитивных групп, но и для различных теоретико-групповых конструкций, по-
6
лучаемых из исследованных групп (прямых сумм и прямых произведений, прямых пределов,сепарабельных групп), которые уже не являются, вообще говоря, вполне транзитивными группами. Эти конструкции включают в себя как многие известные классы групп, так и новые классы групп.
Из результатов диссертации, относящихся к вполне транзитивным группам, вытекают известные соответствующие результаты С. Ф&йлса, Б. Голдсмита, Ю. Б. До-брусина и 13. М. Мисякова. Отмстим также, что теорема 4.2 работы выделяет широкий класс групп, дающих отрицательное решение проблемы 25 из [Рг]. В качестве следствий результатов диссертации о вполне характеристических подгруппах абелевых групп получаются известные результаты Р. Гебеля, М. Бр&мре, К). Хау-зен, К. Бенабдаллаха, Б. Эйзенштадта, Д. Ирвина, Е. Полуянова, П. А. Крылова,
В. С. Пяткова, А. И. Шапошникова.
При изучении вполне характеристических подгрупп абелевых групп и связи их строения со строением самой группы важную роль играет понятие почти изоморфизма по вполне характеристическим подгруппам, представляющее и самостоятельный интерес.
Две абелевы группы называются почти изоморфными, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы ([J]). Две абелевы группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы, обладающей этим свойством. Задача об изоморфизме почти изоморфных групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского ([К]) ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных примарных групп эта проблема имеет положительное решение ([К]), однако з работе [Сг] приведен пример неизоморфных р -групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы. Для групп без кручения пример такого рода был построен в [S]. В ряде работ исследуется, когда из почти изоморфизма абелевых групп но серв&нтным или вполне характеристическим подгруппам вытекает их изоморфизм (см., например, [Gr], [Pol], [П1], [Пр]). Понятия, близкие к изоморфизму (почти изоморфизм, квазиизоморфизм и другие), оказадисъ очень полезными при изучении строения абелевых групп и их колец эндоморфизмов (ем., например, [Л],
[КР5], [И]).
Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Шредера-Бернштейна явилась источником постановки аналогичных задач в алгебре не только для абелевых групп. В [Со] изучается теоретико-кольцевой, а в [ТК] теоретико-категорный аналоги теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна. Рассматриваются также почти изоморфные модули (см., например, [НН], [Ро2]). Подобные задачи возникают и в других областях математики, в частности, в топологии ([Б], с. 20-21).
Для рассмотренных аналогов теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна характерно, в отличие от самой теоремы, наличие примеров отрицательного решения соответствующих задач, а также изучение классов объектов, для которых эти задачи имеют положительное решение.
При изучении абелевых групп, почти изоморфных по некоторым подгруппам, удобно считать, что одна группа зафиксирована, а другая — пробегает вес!» класс абелевых групп. Назовем абелеву группу А О.-корректной, если для любой абелевой группы В из того, что А = В' и В = А', где А', В' — вполне характеристические подгруппы групп А и В соответственно (то есть .4 и В почти изоморфны по вполне характеристическим подгруппам), следует изоморфизм А = В.
Б диссертации исследованы свойства П.-корректных групп и получено их описание н ряде классов абелевых групп. Из результатов работы о бь-корректных группах вытекают известные ранее результаты о таких группах.
Одним из важных направлений в теории модулей является изучение дистрибутивных и эндодистрибутивных модулей (модуль называется дистрибутивным (эндодиет ри бути вны м), если решетка всех его подмодулей (всех его инвариантных подмодулей) дистрибутивна). Дистрибутивные и эндодиатрибутивные модули рассматривались в монографиях [Ко], [Ве], [Пи], они исследовались в большом цикле работ А. А. Туганбаева. (см., например, [Т1], [Т2], [ТЗ], [Т4], [Т5]), в работах Г. Е. Бунинского ([Пун]), 13. Камилло ([Са]), В. Стефенсона (рЗф и других авторов (см. [БЛММСТ], [ММСТ1], [ММСТ2]).
В диссертации с помощью описаниея решеток вполне характеристических подгрупп, полученных в работе, проводится исследование дистрибутивности и обобщенной дистрибутивности решеток вполне характеристических подгрупп абелевых
8
групп из различных классов.
Изложим подробнее содержание работы, состоящей из четырех глав.
В §1 главы I рассматривается отображение <рс : А —> С абелевой группы в нижшою полурешстку, обладающее рядом естественных свойств, и вводятся понятия группы вполне транзитивной относительно функции (рс и <рс -группы. Устанавливаются взаимосвязи между этими понятиями. В частности, показано, что любая -группа вполне транзитивна относительно функции (предложение 1.5). Получено описание решетки вполне характеристических подгрупп у?с-групп при некоторых ограничениях на нижнюю полурешетку С, в частности, в случае, когда С — полная нижняя полурешетка (теорема 1.7, следствие 1.10). Полученные общие результаты применяются затем для получения различных фактов о вполне характеристических подгруппах и их решетках для редуцированных р -групп и групп без кручения (теорема 1.15, теорема 1.20, следствие 1.23). В §2 вводится понятие Н-группы и общее понятие вполне транзитивности для произвольной абелевой группы. С помощью результатов §1 устанавливается, что всякая Н-группа является вполне транзитивной группой (предложение 2.3) и описывается решетка вполне характеристических подгрупп ШГ-групп (теорема 2.4). Дальнейшие результаты этого параграфа и всей главы I связаны с вполне транзитивными группами.
Для изучения вполне транзитивных групп вводится понятие вполне транзитивного семейства групп, а именно, семейство {Д}^е/ редуцированных абелевых групп называется вполне транзитивным семейством групп, если для каждой пары групп (Л;.,Д^), £ьг2 £ / (Й может совпадать с г2) выполняется условие: из того, что я 6 А», Ь 6 А{2 и Ш(а) ^ Н(Ь) следует, что существует у € Нот(Л*г,А,а) со свойством <р(а) — Ь. Понятие вполне транзитивного семейства абелевых групп без кручения было введено автором в [Г8] и обобщено для произвольных абелевых групп в [Г 12]. В [РС] С. Файле и Б. Голдсмит для изучения вполне транзитивных абелевых р-групп вводят понятие вполне транзитивной пары абелевых р-групп {6'ьСо} . которая является ничем иным, как вполне транзитивным семейством (в смысле определения из [Г12]), состоящим из двух групп.
В §2 настоящей работы показывается, что всякое семейство рсдугццюванных абелевых групп без кручения, состоящее из алгебраически компактных групп или од-
9
породных сепарабельных групп, вполне транзитивио (леммы ‘2.6 и 2.7).
Назовем группу А прямо тотально проективной, если каждый элемент этой группы вкладывается в тотально проективное прямое слагаемое группы А. р-группа называется IT-группой, если она изоморфна изогилной подгруппе некоторой тотально проективной группы ([НМ]), р-группа G называется С\ -группой ( Л — предельное порядковое число), если G/paG — тотально проективная группа для любого а < Л ([W]). D работе установлено, что семейство редуцированных периодических абелевых групп вполне транзитивио, если каждая примарная компонента группы, входящей в это семейство, является прямо тотально проективной группой или IT-группой (предложение 2.12). Из этого предложения вытекает такой результат.
Следствие 2.13. Пусть — семейство редуцированных периодических
абелевых групп, каждая примарная компонента которых принадлежит хотя бы одному из следующих классов групп:
Î) классу тотально проективных групп;
2) классу сепарабельных групп;
3) классу С\ -групп длины Л для любого порядкового числа Л конфинального
и;
I) классу счетных групп;
5) классу групп Нрюфера произвольной длины;
в) классу ГГ -групп.
Тогда семейство групп {А;},е/ является вполне транзитивным.
Одними из центральных понятий, вводимых п §2, являются понятия К -монотонности и монотонности.
Определение 2.16. Пусть — некоторое семейство абелевых групп, К
— идеал булевой алгебры 'P(I), G — абелева группа. Будем говорить, что группа G удовлетворяет условию К-МОНОТОННОСТИ относительно семейства {6Т,■},•£/ , если для любого элемент g € G из выполнения условия: Щр) ^ inf{H(a./)}/ej, где a î € G'/, J € К и |7| < следует существование элементов pi,... ,gr € G со следующими свойствами: 1) д% +... +дТ = g, 2) для каждого элемента gk ( k — I, г ) найдется такой элемент а1н (1к £ 7), что Ш(дк) ^ Ща/*) •
10
Для ТОГО, чтобы ИСКЛЮЧИТЬ фиктивное вхождение некоторой группы Gi в семейство {Сі}ієі , будем полагать, что К содержит все одноэлементные подмножества (а, значит, и все конечные подмножества) множества /.
Определение 2.18. Пусть {G*},-e/ — некоторое семейство абелевых групп, К — идеал булевой алгебры V(l). Будем говорить, что семейство групп {G, };€/ удовлетворяет условию К-монотонности, если каждая группа Gj (; Є I) удовлетворяет условию К-монотонности относительно семейства
Если в определении 2.18 (используя определение 2.16 относительной К-монотонности) вместо условия \J\ записать [,/[ < Но, то будем говорить, что соответствующее семейство абелевых групп {6’,},€/ удовлетворяет условию монотонности. Так как мы предполагаем, что все конечные подмножества множества 1 принадлежат К, то в этом случае можно не требовать, чтобы J Є К .
В работе строятся примеры групп, удовлетворяющих и не удовлетворяющих условию К -монотонности относительно некоторых семейств групп, а также — примеры семейств абелевых групп, удовлетворяющих условиям К -монотонности и монотонности. Показано, в частности, что
1) если {&, },•£/ — семейство однородных групп одного и того же типа, К идеал булевой алгебры 'Р(І), то удовлетворяет условию К -монотонности
(лемма 2.21);
2) всякая вполне транзитивная периодическая группа G удовлетворяет условию К -монотонности относительно любого семейства абелевых групп {(7,},€/ и любого идеала К булевой алгебры V{I) (теорема 2.22).
В $2 обсуждается также вопрос о переносе определений вполне транзитивных групп и вполне транзитивного семейства групп на нередуцированлые группы. Показано, что при изучении вполне транзитивных групп, вполне транзитивных семейств групп и К-монотонности (монотонности) можно ограничиться редуцированными группами.
Центральными результатами §3 являются теоремы 3.1 и 3.5.
Теорема 3.1. Если группа А, являющаяся межпрямой суммой групп А, (г Є f), вполне транзитивна, то семейство групп {Д },е/ вполне транзитивно и удовлетворяет условию монотонности.
11
Теорема 3.5. А — ФКЛ,- (i 6 /) — вполне транзитивная группа, если семейство групп. вполне транзитивно и удовлетворяет условию К -монотонно-
сти.
Отсюда, в частности, вытекает критерий вполне транзитивности прямых сумм абелевых групп (следствие 3.6), полученный в [Г12]. Такой критерий для абелевых групп без кручения был получен в [Г8]. Для р-групп Ч. Меджиббен показал, что прямая сумма двух вполне транзитивных групп не обязательно вполне транзитив-иа ([Mel]). Из теоремы 3.5 вытекают достаточные условия вполне транзитивности прямого произведения абелевых групп, полученные в [Ми1]. Применяя результаты и методы §§1-3, в последующих параграфах главы удалось значительно расширить известные ранее классы вполне транзитивных групп.
В §4 рассмагивается вполне транзитивность периодических групп и их К -прямых сумм. Хорошо известно ([Ф2]), что р-группы, не содержащие отличных от нуля элементов бесконечной высоты (то есть такие у-группы G, у которых первая ульмовская подгруппа G] =0), являются вполне транзитивными. D настоящей работе доказан следующий результат.
Теорема 4.2. Пусть В — не более чем счетная ограниченная р -группа. Существует р -группа G, не являющаяся столпе транзитивной и такая, что G1 — В тогда и только тогда, когда г(В) ^ 2.
Из приведенной теоремы вытекает, что всякая р-группа, первая ульмовская подгруппа которой циклическая, является вполне транзитивной. Эта теорема выделяет также широкий класс групп, дающих отрицательное решение проблемы 25 из [Рг].
В этом параграфе получен критерий вполне транзитивности К-прямой суммы периодических групп (теорема 4.4). Установлено, что следующие условия для периодических групп A, (i £ I) эквивалентны: 1) существует идеал К булевой алгебры
■р(/) такой, что фкЛ,- вполне транзитивная группа; 2) ©А, — вполне тран-
«€/
зитпивная группа; 3) f] Ai — вполне транзитивная группа; 4) для любого идеала
*£/
К булевой алгебры V{1) ФКЛ, —вполне транзитивная группа (следствие 4.5).
Широкие классы вполне транзитивных К-прямых сумм периодических групп описывает следующая теорема.
Теорема 4.6. Пусть А = фкЛ,- (i € I), где Л,- — периодические группы,
12
каждая примарная компонента которых принадлежит хотя бы одному из следующих классов групп:
1) массу тотально проективных групп;
2) массу сепарабельных групп;
У) массу С\ -групп длины А для любого порядкового числа А конфиналъного
и>;
4) классу счетных групп;
5) классу груупп Прюфера произвольной длины;
6) классу IT -групп.
Тогда А — вполне транзитивная группа.
С помощью приведенных выше результатов показано, что всякая К -прямая сумма алгебраически компактных групп (в частности, любая алгебраически компактная группа) является вполне транзитивной группой (теорема 4.9).
При исследовании вполне транзитивных групп и изучении вполне характеристических подгрупп нам часто требуется информация о том, является ли группа гомоморфизмов Нот (А, С) нулевой для некоторых абелевых групп А и С. Вопрос о равенстве нулю группы гомоморфизмов Нот(.4, С) представляет и самостоятельный интерес. §5 посвящен изучению этого вопроса. Пусть %с — класс всех абелевых групп А со свойством Нош (А, (7) =0. Показывается, что масс замкнут относительно: а) факторгрупп; б) расширений; в) прямых сумм: г) прямых произведений с неизмеримым множеством компонент, если С узкая группа; д) пря.ктх пределов; е) тензорных произведений па произвольную абелеву группу (теорема 5.1). Устанавливается, что в любой абелевой группе А существует наибольшая подгруппа. принадлежащая классу 21<-; ; эта подгруппа названа, в работе -частью группы А. Показывается, что -часть группы А является вполне характеристической подгруппой групы А , а если А и С — группы без кручения, то -часть группы А — ссрвантная вполне характеристическая подгруппа группы А (предложение 5.6, следствие 5.7). Полностью получен ответ на вопрос, когда группа Нот(А.С) = 0, в случае когда хотя бы одна из групп А, С — периодическая (теорема 5.8, следствие 5.11). В работе также исследуется вопрос о равенстве нулю группы гомоморфизмов Нот(А,С) в случае, когда С — однородная сепарабельная группа, в частности,
13
С — группа без кручения ранга 1 (см. в связи с этим проблему 30 из [Ф1 ]). На этот вопрос получен полный ответ для групп А. у которых тип каждого ненулевого элемента их факторгруппы но периодической части не меньше типа группы С (теоремы 5.12 и 5.15). Из полученных в §5 результатов следует описание коузких групп, полученное Л. Димитричем ([D]). Каждая такая группа дает положительное решение проблемы 7 из [Рг]. Вышеперечисленные результаты §5 и методы исследования, примененные в этом параграфе, дают возможность получить следующие факты (следствия 5.13, 5.И, 5.20, 5.21, 5.22 и теорема 5.23):
1. Пусть А — абелева группа. Группа гомоморфизмов группы А в бесконечную циклическую группу равна нулю тогда и только тогда, когда А не содержит бесконечного циклического прямого слагаемого.
2. Пусть А — р -локальная группа, С — редуцированная абелева группа без кручения ранга 1. Нот (А, С) = 0 тогда и только тогда, когда группа А/Т(А) не содержит прямого слагаемого, изоморфного С.
3. Пусть А и С — однородные группы, без кручения одного и того же типа, причем С — сепарабельная группа. Нот (Л, С) = 0 тогда и только тогда, когда А не содержит прямого слагаемого ранга I.
А. Во всякой абелевой группе А есть наибольшая подгруппа, не содержащая бесконечного циклического прямого слагаемого; эта подгруппа является вполне характеристической подгруппой группы А, а если А —- группа без кручения, то эта подгруппа лв.мется еще и сервантпой.
5. Группа гомоморфизмов любой алгебраически компактной группы, так жеу как и любой копериодической группы, а любую редуцированную однородную сепарабельную группу без кручения (в частности, а любую редуцированную группу без кручения ранга 1) равна нулю.
Изучение вполне транзитивных абелевых групп без кручения проводится в §6. В этом параграфе получен критерий вполне, транзитивности К -прямых сумм однородных групп (теорема 6.6), из которого вытекают критерии вполне транзитивности вполне разложимых и векторных групп (следствие 6.7).
14
Л. Прохазка в [Про] ввел понятие сепарабельной группы типа СР+ (). Группа G называется группой типа У^ , если для некоторого простого числа р она изоморфна Jp — аддитивной группе всех целых р -ад и веских чисел. Чтобы подчеркнуть, что группа G изоморфна группе Jp для фиксированного простого числа р, говорят, что G — группа типа У* . Группа G называется сепарбельной типа О5* (У~ ), если любое ее конечное множество элементов содержится в некотором прямом слагаемом группы £, равном прямой сумме групп типа (У~р ). Сепарабельной группой типа Ур является, в частности, всякая редуцированная группа без кручения, на. которой можно задать структуру унитарного Q* -модуля (Q* — кольцо целых р-адических чисел). Применяя результаты §5 и теорему 6.6, в §6 удается получить удобный критерий вполне транзитивности групп .4, представимых в виде Л = 0КД- (i 6 /), где каждая группа 4, является однородной сепарабельной группой или сепарабельной группой типа У* для некоторого простого числа р (теорема 6.9).
В §6 вводится понятие однородно сепарабельных групп. Абелева группа .4 без кручения называется однородно сепарабельной, если существет такое семейство С однородных прямых слагаемых этой группы, что каждое конечное множество элементов группы А можно вложить в прямое слагаемое этой группы, являющееся прямой суммой некоторых групп семейства С (будем говорить, что семейство С задает однородную сепарабельность группы 4). Если Т — множество всех типов г рупп из семейства С, то для всякого t £ Т через Ct обозначается семейство всех таких групп из С, тип которых равен t. Однородно сепарабельными группами являются, в частности, вполне разложимые группы без кручения, сепарабельные группы без кручения, однородно разложимые группы, сепарабельные группы типа У+ . Для абелевой группы А обозначим через я(.4) множество всех простых чисел р, для которых у А -ф А. Доказана следующая теорема.
Теорема 6.13. Пусть А — однородно сепарабельная группа, С = —
семейство однородных, групп, задающих однородную сепарабельность группы А, Т множество типов групп Аг (г € I)• Следующие условия эквивалентны:
1) А — вполне транзитивная группа;
2) для каждого типа t б Т семейство групп Ct вполне транзитивно и
15
7г(Л41)П1г(Д<3) = 0, если ЦАі^їЦАь) (ч,і2 Є І);
3) группа А — однородно разложимая группа, примем Аі = {а Є АЩл) = 1} и {0} — подгруппа группы А для всякого і € Т, и А = 0 А* — канониче-
*€Т
скос разложение группы А, в котором каждая группа Аь вполне транзитивна и 7г(Л|,) П тг(ЛІ2) = 0 при ^ ф (Ь^Ь2еТ).
Эта теорема позволяет получить структурное описание вполне транзитивных сепарабельных групп без кручения и установить, что всякая сепарабельная группа типа У~ является вполне транзитивной однородно разложимой группой.
Следствие 6.14. Пусть А —сепарабельная группа без кручения, Т —множество всех типов ее прямых слагаемых ранга 1. Следующие условия эквивалентны:
1) А — вполне транзитивная группа;
2) для любых неизоморфных прямых слагаемых В и С ранга 1 группы А имеем л-{В) П 7Г(С) = 0;
3) группа А — однородно разложимая группа, причем А% = {«. € А |!(«) = і} и {0} — подгруппа группы А для всякого 1 € Т, и А = 0 А% — каноническое разложение группы А, в котором тг(>14а) П тг(Ах.г) = 0 при і| ф ї2 (ІіА'2 € Т).
Следствие 6.15. Пусть А — сепарабельная группа типа У* . Тогда
1) А — вполне транзитивная группа;
2) А — однородно разложимая группа, имеющая каноническое разложение А = 0 Л|г , где для всякого простого числа р Є тг(.4) Агр — р -локальная группа.
р&т(Д)
В §6 показано также, что всякая К -прямая сумма групп типа У* вполне транзитивна (теорема. 6.16), и получен критерий вполне транзитивности однородно разложимых групп (теорема С. 18). Из результатов §6 вытекает, что всякая К-прямая сумма групп без кручения, на каждой из которых можно задать стругпуру унитарного (}’р -модуля для некоторого простого числа р, является вполне транзитивноіі. В частности, вполне транзитивной группой является любая К -прямая сумма групп без кручения, каждая из которых полна, в р -одической топологии для некоторого простого числа р.
С. В. Рычковым в [Рыч] было введено понятие обобщенно узких групп, как абелевых групп, не содержащих неограниченных копериодических подгрупп и подгрупп,
16
изоморфных группе П Z. Примерами обобщенно узких групп являются узкие груп-пы, счетные редуцированные абелевы группы, периодические редуцированные абелевы группы. В. М. Мисяков в [Ми1] ввел понятие 5-обобщенно узких фупп, как абелевых групп, в которых всякий элемент бесконечного порядка вкладывается в обобщенно узкое прямое слагаемое. Класс $ -обобщенно узких групп шире класса обобщенно узких групп, в частности, он содержит в себе сепарабельные группы, в том числе и \[7у .
Но
Осовными результатами §7 являются теоремы 7.1, 7.7, 7.9 и 7.15. Теоремы 7.1 и 7.15 дают критерии вполне транзитивности К-прямых сумм в -обобщенно узких групп и К-прямых сумм произвольных сепарабельных групп (в том числе и смешанных). В теоремах 7.7 и 7.9 рассматривается семейство групп {.4г},е/, в котором каждая из групп является либо периодической группой, либо группой бег* кручения. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых такое семейство вполне транзитивно и удовлетворяет условию К-монотонности (теорема 7.7), и при которых группа 0к/1*, где Л, — » обобщенно узкие группы, вполне гранзитивна (теорема 7.9). В §7 получены критерии вполне транзитивности смешанных вполне разложимых, обобщенно векторных и сепарабельных групп. Напомним, что в [Ме2] абелева группа называется вполне разложимой, если она является прямой суммой групп ранга 1 (не обязательно без кручения). Назовем обобщенно векторной группой абелеву группу, являющуюся прямым произведением групп ранга 1 (не обязательно без кручения). Получены такие результаты.
Следствие 7.12. Пусть А = ® .4, — вполне разложимая группа. |"г(А,) = I
»'€/
для всякого 1^1). Группа А вполне транзгшивна тогда и только тогда, когда для любых двух неизоморфных групп без кручения Ак и А/ (к,1 € I) выполняется 7г(.4*)Птг(у1/) = 0.
Следствие 7.13. Пусть А — П А — обобщенно векторная группа. Группа А
*е/
вполне транзитивно тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) для любых двух неизоморфных групп без кручения .4* и .4/ (ку1 6 I) выполняется л(Д*) П к(А[) = 0 ;
2) для всякого простого числа р, для которого существует не р -делимая группа
17
без кручения Ак (к € I ) имеем П Л - ТР(А), где 1Р = (г £ 11 А, — р -группа} .
•егр
Из теоремы 7.7 непосредственно вытекает критерий вполне транзитивности расщепляющейся смешанной группы (следствие 7.8), полученный В. М. Мисяковым в [Ми1]. С помощью теоремы 7.9 выделяются широкие классы вполне транзитивных абелевых групп (следствия 7.10 и 7.11).
Для произвольных сепарабельных групп (в том числе и смешанных) получен следующий критерий вполне транзитивности.
Теорема 7.14. Сепарабельная группа А вполне транзитивна тогда и только тогда, когда для любых двух неизоморфных прямых слагаемых без кручения В и С ранга 1 группы А имеем к (В) П тг(С') = 0 .
Для К -прямых сумм сепарабельных групп получен такой критерий вполне транзитивности.
Теорема 7.15. Пусть А = 0К .4,- (г в I), где каждая группа Л,- — сепарабельная. Группа А вполне транзитивна тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) если для простого числа р существует группа .4,- (I € 1 )9 содержащая не р -делимое, прямое слагаемое без кручения ранга 1, то Тр(А) = фкТр(.4,);
2) для любых двух неизоморфпых прямых слагаемых без кручения В и С ранга 1 группы А имеем я (В) Птг(С) = 0.
Из теоремы 7.15 непосредственно следует, что всякая. К-прямая сумма сепарабельных периодических групп вполне транзитивна, и то, что вполне транзитивность К -прямых сумм сепарабельных групп без кручения равносильна выполнению условия 2) теоремы 7.15.
Отметим, что из результатов главы 1 работы вытекают основные результаты
В. М. Мисякова о вполне транзитивных группах ([Ми1]. [Ми2]). Из результатов главы I вытекают также критерий вполне транзитивности вполне разложимых абелевых групп без кручения, полученный Ю. В. Добрусиным в [Д1] и условие вполне транзитивности прямой суммы абелевых р-групп, полученное С. Файлсом и Б. Голдсмитом ([ГС]).
Во второй главе диссертации изучаются вполне характеристические подгруппы вполне транзитивных групп. Б этой главе удалось выделить Н-группы в различ-
18
ных классах абелевых групп, что фактически равносильно описанию вполне характеристических подгрупп в выделенных группах (результаты первого и второго параграфов работы дают возможность получить и описание решетки вполне характеристических подгрупп в таких группах).
Результаты 58 носят общий характер и применяются затем в главах 11 и 111. В этом параграфе вводится понятие гомоморфной оболочки подгруппы А' группы А в группе Л, и с помощью него устанавливаются различные свойства вполне характеристических подгрупп абелевых групп. В §8 доказана теорема 8.5, которая дает представление вполне характеристической подгруппы 5 абелевой группы .4, зависящее от строения делимой и редут шро ван ной частей группы А. Из этой теоремы следует результат М. Брамре ([ В г]) о вполне характеристических подгруппах абелевых групп А вида А = Т 0 О ф Я, где Т — делимая примарная группа, Г> — делимая группа без кручения, а II — редуцированная группа без кручения. В §9 рассматриваются вполне характеристические подгруппы периодических групп. Здесь доказано, что периодическая группа А является И-группой тогда и только тогда, когда А — вполне транзитивная группа (предложение 9.1). Отсюда вытекает, что периодическая часть любой вполне транзитивной группы является И.-группой (следствие 9.2). Основным результатом §9 является следующий.
Теорема 9.4. Пусть А = ФКЛ; (г € I), где А, — периодические группы. Группа А является Ш-группой тогда п только тогда, когда А — периодическая вполне транзитивная группа.
В §§10, 11 изучаются абелевы группы А без кручения, называемые у-группами, то есть такие группы, у которых любая вполне характеристическая подгруппа имеет вид 5 = А(г') = {а 6 А \ \(а) ^ и} , где и — некоторая последовательность, состоящая из целых неотрицательных чисел и символов ос . у(а) — характеристика элемента а. В §2 было отмечено, что группа без кручения А является Ш-группой тогда и только тогда, когда А — у-группа. В §10 получены необходимые и достаточные условия, при которых у-группами являются прямые суммы групп (теорема 10.8, следствие 10.9). В этом параграфе вводится понятие точечно однородной группы, как абелевой группы без кручения А, в которой выполняется условие: если характеристики элементов а и Ь группы А содержат символы со на одних и тех
19
же местах, то тип элемента а равен типу элемента Ь. Доказан следующий результат.
Теорема 10.12. Группа бы кручения А, типы любых двух элементов которой сравнимы, является \ -группой тогда и только тогда, когда А — точечно однородная вполне транзитивная группа.
С помощью теоремы 10.12 удалось выделить х -группы н классах квазиодиород-ных и однородных групп (следствия 10.13 и 10.14) и получить описание решетки вполне характеристических подгрупп для вполне транзитивных однородных групп (следствие 10.14). Одним из основных результатов §10 является следующий.
Теорема 10.16. Для квазиоднородной сепарабельной группы А следующие условия эквивалентны:
1) А вполне транзитивная группа;
2) А однородная группа;
3) А — х -группа.
В §10 построен также пример вполне транзитивной группы без кручения, не являющейся х-группой. Из результатов §10 следует описание вполне характеристических подгрупп однородных вполне транзитивных групп, полученное П. А. Крыловым ([Kpl], [Кр2]).
Основными результатами §11 являются теоремы 11.1, 11.7, 11.12 и 11.20, выделяющие х-группы в классах таких абелевых групп: однородно сепарабельных, К-прямых сумм однородных групп, К-прямых сумм сепарабельных групп типа У* . С помощью основных результатов получено полное описание \ -групп в классах однородно разложимых групп (теорема 11.11), сепарабельных групп без кручения (следствие 11.13), вполне разложимых групп без кручения (следствие 11.18), векторных групп (следствие 11.19). В одном из основных результатов параграфа (теорема 11.20) даются условия эквивалентные тому, что К-прямая сумма сепарабельных групп типа У* является у-группой. Приведем этот результат.
Теорема 11.20. Пусть А К.-прямая сумма сепарабельных групп типа У* . Следующие условия, эквивалентны:
1) А — х -группа;
2) для всякого элемента а Є А множество {р Є П | hp(a) Ф оо} конечно;
20
3) А — 0 А(р), где А(р) — пересечение всех наибольших а -делимых подгрупп р
группы А при дфр (у и р —простые числа).
С помощью этой теоремы получаем такие результаты.
1. Всякая сепарабельная группа типа О5* является \ -группой, (следствие 11.21)
2. Всякая ненулевая вполне характеристическая подгруппа группы без кручения А, на которой можно задать структуру унитарного ф“ -модуля, имеет вид рпА, где п = 0,1,2,... . (следствие 11.22)
3. Пусть А — К -прямая сулша алгебраически компактных групп без кручения. Для группы А эквивалентны условия 1), 2), 3) теоремы
11.20. (следствие 11.23)
Для алгебраически компактной группы без кручения получен следующий результат.
Следствие 11.24. Пусть А алгебраически компактная группа без кручения. Следующие условия эквивалентны:
1) А — д'-группа;
2) 7т(А) — конечное множество;
3) А — 0 Ар у где каждая группа Ар полна в своей р -одической топологии;
рЄя(Л)
4) всякая вполне характеристическая подгруппа группы А имеет вид п,А', где А — 0 Ар, каждая группа Ар — р -одическая компонента группы А, тг, С
р€*1 (Л)
тг(А), 71 = 0,1,2,... .
Из теоремы 11.1, доказанной в настоящем параграфе, вытекает известный результат Р. Гебеля ([С]) о строении вполне характеристических подгрупп К-прямых сумм бесконечных циклических групп ®к Z.
Описание И-групп в различных классах смешанных абелевых групп получено в §12. Основными результатами этого параграфа являются теоремы 12.1, 12.6,
12.7, 12.8. Теорема 12.1 описывает И-группы в классе расщепляющихся смешанных абелевых групп. С применением этой теоремы показано, что расширение ограниченной группы при помощи однородной сепарабельной группы или сепарабельной группы типа 7* является Н-группой (следствие 12.4). Отсюда вытекает, что расширение
21
ограниченны! группы при помощи группы без кручения, на которой можно задать структуру унитарного -модуля для некоторого простого числа р (в частности, при помощи группы без кручения, полной в р-одической топологии) является Н -группой (следствие 12.5). Описание Н-групп в классе р-локальных групп дает следуЮ1ди й результаг.
Теорема 12.6. р -локальная группа А является ШГ-группой тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий:
1) А — вполне транзитивная неограниченная р -группа;
2) периодическая часть группы А — ограниченная р -группа, факторгруппа по которой вполне транзитивна.
Описаны также М-группы в классе смешанных групп, представимых в виде Непрямых сумм, у которых каждая смешанная компонента расщепляется (теорема 12.7). В §12 получен также критерий расщепляемости К-прямых сумм абелевых групп.
Теорема 12.8. Пусть С = 0К С, (г € I)— смешанная группа. Группа С расщепляется тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) если С^ ( ■) £ I) — смешанная группа, то С$ расщепляется;
2) периодическая, часть группы С совпадает с К -прямой суммой периодических частей групп Gi (I £ I).
Полагая в этой теореме К ='Р(1), получаем критерий расщепляемости прямого произведения абелевых групп из [Ми1]. С помощью теорем 12.7 и 12.8 п различных классах К-прямых сумм абелевых групп выделены И-группы (следствия 12.9 и 12.10).
Результаты глав 1 и II показывают, что в отличие от периодических групп, существуют вполне транзитивные группы без кручения и смешанные группы, не являющиеся Н-группами. В §13 получено полное описание вполне характеристических подгрупп и их решетки для вполне транзитивных групп (не обязательно являющихся Н-группами) из ряда классов групп. В частности, полностью описаны вполне характеристические подгруппы и их решетки для вполне транзитивных К -прямых сумм абелевых групп Д, (г £ I), где каждая группа Д, является периодической группой или однородной группой без кручения (теорема 13.7). Получено полное опи-
22