Гомологические свойства гильбертовых и близких к ним модулей над С *-алгебрами

Содержание
1 Подготовительные замечания 19
2 Пространственно неплоские алгебры фон Нойманна 26
2.1 Отображения медленного роста......................... 27
2.2 Свойства гильбертовозначных функций...................31
2.3 Оценки интегралов по окружности Т ................... 35
3 Пространственно проективные операторные алгебры, обладающие каноническими представлениями 38
3.1 Правый обратный морфизм к канонической проекции . . 40
3.2 Первое условие проективности..........................45
3.3 Второе условие проективности .........................48
4 Проективность модулей Ll(H) и L2(0) над алгеброй C(Q) 53
4.1 Достаточное условие проективности.....................54
4.2 Первое необходимое условие проективности .............56
4.3 Второе необходимое условие проективности..............57
4.4 Основной критерий проективности...................... 59
5 Гомологическая размерность С(П)-модуля L!(Q) 62
5.1 Пространство СХ(Л х П) и его свойства................ 62
5.2 Ограниченная аппроксимативная единица на кег 7г . ... 66
5.3 Существование правого обратного морфизма к морфизму O' : CL(Q х Q) §> ВС0(П х П) -> кег 7г 69
2
Введение
Основная тема этой работы — изучение гомологических свойств гильбертовых модулей над С*-алгебрами. Одним из основных примеров является гильбертово пространство Я, рассмотренное как модуль над самосопряженной операторной алгеброй А С В{Н) с естественным умножением а • її = а(Н),а € А, її Є Я. Другой важный пример — это модуль Ь‘2(0) над алгеброй С(0) с поточечным умножением (здесь V. — метризуемый компакт с борелевской мерой). Близкими свойствами к 12(ії) обладает (негильбертов) модуль 1^(0) над той же алгеброй. Гомологические свойства (проективность, плоскость, гомологические размерности) вышеперечисленных модулей и будут рассмотрены в данной работе.
Исторический обзор литературы по этим вопросам естественно начать с упоминания доказанной в конце XIX века теоремы Гильберта о сизигиях [30, 8]. Эта теорема (сформулированная современным языком) утверждает, что для произвольного модуля над кольцом многочленов от т переменных над полем существует его свободная резольвента длины т.
В работах Г. Хохшильда [31, 32] были определены группы когомологий Нп(А,Х) алгебры А с коэффициентами в бимодуле X. Хох-шильд также рассмотрел применение этих групп к исследованию радикальных расширений алгебр. Несколько ранее С. Эйленберг и С. Маклейн [19] дали основополагающий образец обп;егомологиче-ских конструкций в рамках теории групп. Основные идеи относительной гомологической алгебры (формального категорного подхода
3
к введению гомологических понятий) были впервые высказаны Хох-шильдом [33] и развиты А. Хеллером [29], С. Маклейном [8, гл. IX] и С. Эйленбергом-Дж. Муром [20]. В частности, группы Ext, (как группы расширений) были введены для п = 1 Эйленбергом и Маклейном [19], а для всех п — Картаном и Эйленбергом (с помощью резольвент)
[7].
В 1962 г. Г. Камовиц [35] дал сходные определения когомологий в терминах банаховых алгебр и рассмотрел их приложения к сингулярным расширениям банаховых алгебр (при некоторых ограничениях, впоследствии снятых А. Гишарде [1]). Напомним о приложениях первых трех групп когомологий Хохшильда. Группа Н1(А,Х) равна нулю тогда и только тогда, когда всякое дифференцирование алгебры А со значениями в бимодуле X (т.е. линейный непрерывный оператор D : А —> X такой, что D{ah) = D(a)b+ aD(b)) является внутренним (т.е. имеет вид D(a) = ах-ха. х € X). Группа Н'2(А, X) связана с рас-щепимостыо сингулярных расширений банаховой алгебры [35]. Также установлена связь между устойчивостью алгебры к малым возмущениям оператора умножения и группами Н2(А,А) и Я3(Л,А) [34, 36].
В 1970 г. А. Я. Хелемский в работе [16] рассмотрел относительную категорию банаховых модулей. В этой категории каждый объект обладает допустимой проективной резольвентой, что позволяет определить в ней производные функторы (в том числе Ext и Тог), гомологические размерности и иные гомологические характеристики. Определение производных функторов дало возможность связать группы когомологий Хохшильда с группами Ext. Это позволяет вычислить группы когомологий с помощью любой допустимой резольвенты, что существенно расширяет возможности их изучения. Значительный объем результатов, полученных в ходе дальнейшего развития этих идей, суммирован в книге [15].
Перейдем к обсуждению круга вопросов, непосредственно касающихся данной работы. Пусть А С &{Н) — замкнутая относительно топологии равномерной сходимости операторная алгебра, которая не обязательно предполагается самосопряженной. Тогда гильберто-
4
во пространство Я является левым модулем над ней с естественным умножением а • к = а(К),а € А}К £ Н. Мы будем называть алгебру А пространственно проективной (соответственно, инъективной, плоской), если модуль Я проективен (соответственно, инъективен, плосок). Изучение гомологических свойств указанного модуля Я проводилось в двух основных направлениях. Ю. О. Головин рассмотрел случай, когда алгебра А является рефлексивной и несамосопряжен-ной. В работе [2] им исследованы гомологические свойства модуля Я над гнездовой алгеброй А С В(Н) (рефлексивной алгеброй, решетка инвариантных подпространств которой полностью упорядочена). В этом случае модуль Я пространственно проективен тогда и только тогда, когда в решетке всех отличных от Я инвариантных подпространств алгебры А существует наибольшее. Кроме того, он всегда инъективен и плосок.
Помимо гнездовых алгебр, Головин рассмотрел также более широкий класс несамосопряженных операторных алгебр — так называемые СЭИ-алгебры (то есть рефлексивные алгебры, для которых проекторы на любые инвариантные подпространства попарно комму-тируют). Оказалось, что критерий пространственной проективности для этого класса алгебр в точности совпадает с аналогичным критерием для класса гнездовых атгебр [3]. В частном случае неразложимых СБЬ-алгебр (для которых никакие два собственных инвариантных подпространства в сумме не дают все Я) удалось получить также критерии пространственной инъективности и плоскости [4]. Именно, для пространственной инъективности (соответственно, плоскости) неразложимой СБЬ-алгебры А необходимо и достаточно, чтобы пересечение (соответственно, сумма) любых двух инвариантных подпространств Л, отличных от нуля (соответственно, от Я), было отлично от нуля (соответственно, от Я). Опираясь на этот критерий, Головин построил примеры пространственно неплоских и пространственно неинъективных СБЬ-алгебр.
Однако вопрос о существовании самосопряженных операторных алгебр, не являющихся пространственно инъективными и плоскими
5
(для самосопряженного случая эти свойства являются эквивалентными [2]) до последнего времени оставался открытым. Автором построен пример такой алгебры, которая является также алгеброй фон Нойм-анна. Тем самым предъявлено решение проблемы 15 из списка задач, сформулированных в [27].
Указанным примером является алгебра фон Нойманна, порожденная свободной группой ¥2 с двумя образующими а и Ь. Рассмотрим гильбертово пространство /2(Р*2), ортонормированным базисом которого является множество индикаторов 83 элементов группы Г2. Каждому элементу р £ ¥2 можно сопоставить оператор левого сдвига Тр : /2(Р2) -> /2(Р2) : 8, 8Р$. Ясно, что Тр £ В(12(Р2)). Рассмо-
трим минимальную алгебру фон Нойманна А = ^У*(Р2), порожденную этим семейством операторов. Тогда левый А-модуль /2(Р2) не является инъективным и плоским (идея рассмотреть указанный пример подсказана автору А. Я. Хелемским). Как известно [6], свободная группа Р2 с двумя образующими является простейшим неамснабсль-ным объектом, т. е. на пространстве /°°(Р2) не существует левоинвариантный нормализованный положительный функционал. Следовательно, банахова *-алгебра /*(Р2) со сверточным умножением не является аменабельной (по Джонсону) [15], т. е. обладает ’’плохими” гомологическими свойствами. Потому именно эта группа была выбрана для построения примера пространственно неинъективной алгебры фон Нойманна. При этом причины неаменабельности и пространственной неплоскости оказались очень близки.
Изложим главную идею рассуждения. Предварительно напомним основной критерий инъективности унитальных банаховых модулей [15]. Рассмотрим левый унитальный банахов А-модуль X над уни-тальной банаховой алгеброй А. Введем пространство линейных непрерывных операторов В(А,Х) из А в А и зададим на нем структуру левого Д-модуля формулой (а • Я)(Ь) = Я(Ьа),Я £ В(А,Х),а,Ь £ Д. Тогда каноническое вложение к : X -> В(А,Х) : [й (я)] (а) = а • х, х £ Х,а £ А является морфизмом левых А-модулей. При этом модуль X инъективен тогда и только тогда, когда каноническое вложение тг
б