Квазигиперболические отображения и их обобщения

Оглавление
Введение 5
§1. Квазигиперболическая метрика и
квазигипсрболические гомеоморфизмы................. 5
§2. Основные вопросы, рассмотренные в диссертации . . 16
Расширение класса квазигинерболических отображений . 16
Топологическая эквивалентность отображений............. 17
Пространства Соболева, связанные с к ва« и гиперболическими отображениями. Эллиптические уравнения и квазигиперболнческие отображения...................... 19
Глава 1. Основные определения и примеры 22
§1. К вази изометрические отображения метрических
пространств....................................... 22
§2. Расширение понятия квазиизометрического отображения областей пространства /?'*...................... 23
Распространение понятия квазиизомотричностн на
неинъективные отображения......................... 28
§3. Отображения с ограниченным искажением.............. 29
§4. Емкость конденсаторов.............................. 31
§5. Примеры............................................ 33
Глава 2. Расширение класса
квалигипсрболических отображений 42
§1. Оценки квазигинерболического расстояния в областях 42 §2. Критерий квазигиперболичносги гомеоморфизма ... 44
§3. Определение отображений класса С)Н................. 19
Эквивалентные определения отображений класса (}Н. . 51
Достаточные условия, с которыми принадлежность
классу влечет принадлежность классу С}Н ... 53
2
О коэффициенте искажения отображений класса (}Н . . 57
§4. Некоторые свойства отображений класса С}11........ 58
Композиция квазигиперболических отображений........... 58
Равномерная локальная инъективность отображений
класса ()Н....................................... 62
Глава 3. Топологическая эквивалентность
отображений 64
§1. Эквивалентность квазиконформных и
квазигипсрболических гомеоморфизмов............... 64
§2. Квазиконформность соединяющего гомеоморфизма . 69
§3. Эквивалентность регулярных функций комплексного
переменного отображениям классов С^1 и С}Н .... 73
Регулярные локально-инъективные функции,
эквивалентные отображениям класса С}Н............ 73
Регулярные локально-инъективные функции,
эквивалентные отображениям класса (}1............ 77
Топологическая эквивалентность многочленов и
кваэнизометри ческих отображений плоскости .... 89
§4. Покрытия областей шарами.......................... 97
§5. Топологическая эквивалентность локально квазиконформных отображений и отображений класса С]Н . 102
Операторы аппроксимации................................109
Операторы замены переменного...........................111
Глава 4. Топологическая эквивалентность квазиконформных и квазиизометрических инволюций Нп 122
§1. История вопроса....................................122
§2. Отталкивание союзных точек квазиконформных инволюций ..............................................123
3
§3. Покрытия области V................................132
§4. Операторы аппроксимации...........................134
§•5. Построение квазиизометрической инволюции.........136
Глава 5. Пространства С.Л.Соболева, связанные с ква-зигиперболическими отображениями 145
§1. Постановка задачи. Определения....................145
§2. Пробные конденсаторы..............................148
§3. Оценка искажений отображений, порождающих
изоморфизмы пространств без веса.................159
§4. Оценки для весовых пространств....................166
§5. Пространства, связанные с квазигиперболическими
отображениями ...................................172
§6. Подобие весовых пространств Соболева в плоских
областях ........................................175
§7. Эллиптические уравнения и квазш ииерболические
отображения......................................181
Список основных обозначений 199
Предметный указатель 200
Л
Введение
§1. Квазигиперболическая метрика и квазигиперболические гомеоморфизмы
В диссертации рассмотрены некоторые проблемы теории квазиги-лерболических отображений, то есть отображений, ограниченно изменяющих квазигипербол и ческое расстояние .между точками. Класс квазигнперболнческнх отображений ((}Н) занимает промежуточное положение между классами квазиконформных {()С) и квазиизометрическнх (С}1) отображений. То есть, ф/ С (?// С СЭС, кроме того, граничное поведение квазигнперболнческнх ю-меоморфизмов такое же как у квазиконформных гомеоморфизмов. а ог раничение любого гомеомо]>физма / класса (}Н на компактную подобласть области определения / принадлежит классу ф/. Сказанное будет уточнено в последующем тексте.
Квазигиперболическиеотображения как самостоятельный обь-екг изучения привлекли к себе внимание математиков после работы Тукиа и Вяйсяля 1981 года [76], в которой они обосновали возможность аппроксимации квазиконформных отображений квази-гипербол ическими. Термин ’’квазигиперболический” принадлежит Тукиа и Вяйсяля [77].
Квазигиперболические гомеоморфизмы обычно использовались как инструмент при изучении квазиизометрическнх гомеоморфизмов. Их применение основано на эффекте обнаруженном Л.Альфорсом [2. с. 70], заключающемся в том, что квазигиперболический гомеоморфизм, квазиизометрическнй на границе (в случае достаточно протяженной границы) является квазиизоме-трическим. Позднее этот эффект был использован в работах автора [15], [16], [17], П.Тукиа и Ю.Вяйсяля [77], Д.С.Джерисона и СЕ.Кенига [61], Ю.Вяйсяля [73].
5
Класс Н в современной конфигурации теории отображений играет вспомогательную роль при изучении классов С^С и (?/. В силу включения (}Н С С}С все, что верно для квазиконформных отображений верно и для квазигиперболических отображений. Теория квазиконформных отображений и их обобщений отображений с ограниченным искажением имеет богатую историю и хорошо разработана, поэтому постановка вопросов специфических дли отображений класса задача не простая. Однако,
класс этот (<?Я) привлекает к себе внимание именно сочетанием свойств, присущих отображениям классов С^С и (^1. Будучи близким к классу С^С он состоит из отображений, у которых отсутствуют некоторые ” неудобные” свойства квазиконформных отображений. Например, любая локально спрямляемая кривая переходит в локально спрямляемую при //-отображениях, этим свойством нс обладают квазиконформные отображения; частные производные первого порядка компонент (^//-отображения ограниченны на компактных подобластях области определения. С}Н-гомеоморфизмы наследуют больше свойств конформных отображений плоских областей, чем ^С-гомеоморфизмы. Родственность классов (}С и (}Н выражается также тем, что любой квазиконформный гомеоморфизм является грубо квазигиперболнческим (по терминологии Вяйсяля) и любой квазиконформный гомеомор-физм можно аппроксимировать с любой точностью квазигкпербо-л и ческ и м и гомеоморфизмам и.
Перейдем к более точным формулировкам.
Определение 1. Пусть И - область в пространстве /?" и ее граница О О непустое множество, такие области называют
собственными подобластями /?".
Для точек Ад,.г2 из I) квазигиперболнческим расстоянием
6
между ними называется величина
М*ь*і) = іпГ
где нижняя гром, берется по всем спрямляемым кривым 7, соединяющим и #2 в О, интеграл — криволинейный первого рода, з — натуральный параметр, $р(х)- евклидово расстояние от х
Напомним, что если для любых двух точек х и у некоторо-го множества X определено расстояние между ними (г(хсу). то функция <у : X х X -> И называется метрикой.
Определение 2. Пусть О и С собственные подобласти Яп и р гомеоморфам I) на (7, К > 1 - постоянная. Гомеоморфизм р называется К-квазигиперболическим, если для любых х\, Є
О выполнено
Определение 3. Гиперболическое расстояние между точка-
где нижняя грань берется но всем спрямляемый кривіш, соединяющим в В точки 2і и 2-2-
Гиперболическая метрика является традиционным объектом теории функций комплексного переменного. Гиперболическое расстояние пс изменяется при дробно-линейных автоморфизмах круга В [12, с. 391]. Посредством конформных отображений круга на
до дО.
ми круга В = {г Є С : |г| < 1} комплексной плоскости определяется выражение.^
односвязные собственные подобласти плоскости производится перенос гиперболической метрики.
Пусть О односвязная собственная подобласть С и / конформное отображение О на В. Дня точек 2 і, г-г Є й положим
Такое определение расстояния в О корректно, так как оно не зависит от выбора гомеоморфизма /. Действительно, пусть /| и /2 два конформных отображения В на О. Тогда найдется дробно-линейный автоморфизм круга такой, что /2 = /] о ул, а так как гиперболическое расстояние в В инвариантно при дробно-линейных преобразованиях, то для любых 2ьг2 € О
Из определения гиперболической метрики с помощью формулы замены переменной в интеграле можно получить представле-
где нижняя грань берется по всем спрямляемым кривым, соединяющим в й точки С] и га» / конформное отображение О на В. Функцию
называют плотностью гиперболической метрики, она не зависит от выбора отображающей функции / [12, с. 420].
Происхождение терм и на “ квазигипербол ическая метрика” объясняется тем. что гиперболическая и квазигиперболическая метрики эквивалентны, то есть, существует постоянная С > 1 такая, что для любой пары точек 21,22 € О выполнено
оо(г\>г<і) - ац{/ Ч*і)>/ Ч^))-
НИЄ
8
В следующей теореме устанавливается универсальная оценка постоянной С.
Теорема 1. Пусть О - ойносезязная собственная подобласть комплексной плоскости С, тогда для любых точек 2\ и 22 из О выполнено
-(Г0(21,22) < Ы*ь~2) < ‘2о0(21,22) (1)
Доказательство. Пусть : Є I) и / - конформное отображение О на круг В = {\г\ < 1}, /(г) = 0 . Функция у[г) = (/_1(г) -
г)/1(г). 2 € В, отображает В на область Д* = (£> - г)/'(г),
^(0) = 1, ^(0) = 0. Тогда по тео]>еме Кёбе (10, с. 51] область О* содержит круг В{г. 1 /4). По так как 1>* подобна О с коэффициентом подобия |/'(2)|і область £> содержит круг В(2,1/(-1[/'(г)|), следовательно 6/3(2) > 1/(4|/’(г)|).
Так как /(г) = 0
«,<*) = т > (2)
Рассмотрим теперь функцию ф(б) = /(6и(г)( + г), і Є С, |*| <
1. Так как ^’{0) = /(;) = 0 и ^(0 Є /(і»г), то есть |^(*}| < 1, выполнены условия леммы Шварца [10, с.29], согласно которой №'(0)| < 1. Эго неравенство означает, что &[)(2)\!'{2)\ < 1, поэтому
=т^Мг2|/,(г)| 5 ш- (3)
Из оценок (2) и (3) следуют неравенства (1).
Следствие. Любое конформное отображение круга на область комплексной плоскости жыяется 4-квазигиперболическим. Доказательство. ІІусть / : В -> I) — конформное отображение. По теореме 1
Ы/М./Ы) <2М/(*1),/Ы) •
9
Согласно определению метрики а о верно равенство
о-£)(/(гі),/(гг)) = сгд(сьг2) .
Снова применив оценки из теоремы 1, получим
<*я(2ь^) < 2^'н(>]^2) .
Таким образом,
Ы/(*|)»/(*2)) < ^в(2Ь22) •
С помощью оценок снизу теоремы 1, подобные рассуждения приводят к неравенству
М/(2і)>/(*і)) > ^М2ь22).
Верен и более общий результат (см., например,(2, с. 75])
Теорема 2. Пусть I) и С собственные подобласти комплексной плоскости и / конформно отображает О на С. тогда / является А-квазпгнперболнческим отображенном.
Доказательство. Пусть г € О. ю = /(г). Функция
НШ С + г) /(*)
*(0 М^)/'(-) - /'(■=)’ 1
удовлетворяет условиям теоремы Кёбе, ТО есть у(0) — 0, <р?(0) = 1, следовательно образ круга {|(,| < 1} содержит круг радиуса 1/4. поэтому
ад«о > ^о(*)і/'(*)і
ИЛИ
I Пг)\ 4
£<?(«/) “ Ы2)’
При помощи обратной функции у = /-1, получим неравенство £д(2) > (Мад)Ь#(«,)1)/4- Однако, у'(иа) = 1 /(/'(*)), поэтому
1
Ш1>
<5с(и») 4^(с)'
10
Переходя к инфинитезимальным обозначениям, получим
Ж<1МИ<4Ж
6аМ Ы*)
ИЛИ
м < 1<н < 4И~|
46о(г) - <$с(«») “ Ы*)’ что и означает 4-квазш ииерболичносл» /.
Замечание. Более формальное окончание доказательства можно получить с использованием теоремы 1.1 главы I, если заметить, что А(/, с) = А(/,г) = |/'(:)|, где
А(/,) = %М
|г - и.'|
Л(/.г)=ТПп|/<")-/<,")1
\г — и•’
главные растяжения отображения / в точке г.
Согласно теореме Лиувилля (41] конформные отображения областей пространства Пп — суть ограничения минусовых отображений 7Г на себя. Для таких отображений верна теорема 3. аналогичная теореме 2.
Лемма 1. Пусть ^(х) = х/|х|2 инверсия пространства /?” и О — область в Пп , такая, что 0 $ О. Тогда ограничение 9 на О является 2-квазигиперболическим отображением. Доказательство. Пусть х € й. Через 9 обозначим сферу с центром и точке х радиуса г = г50(х). Через Я обозначим расстояние от до >?(9). Так как у (9) сфера (или гиперплоскость, когда 0Є 5 ), число П легко вычисляется.
Если г < |х| , то
и если г = |д|, то
Известно {см., например, (3. с. 19)), что при .г ^ 0 матрица Якоби
инверсии $ является конформной, то есть = // • к. где д >
О, /.' — ортогональная матрица. Группу ортогональных матриц обозначим (){п)
0(») = {.4 : А - Ат = / или А • А = /} .
Так как, |И*)П = 1/И2- из конформности мат|)ицы <у{х) следует, что для всех //() имеют место равенства
Л(^х)=А(^х) = |Их)11=1/И2-
Обозначим О = так как > Я, получим оценки: при
г < 1*1
Л(у,д) -<Ы*) < г _ г|д|(|д| + г) _ |д|+г 9
*оШ) “1»РЯ \х\2г И
И При Г = 1*1
А(у>, д) • <$£>(*) г _ г|д|(|д| + г) г -2|д|
6сШ) - \х\2Я \х\V \х\2
Итак, для любой точки х Є О
< —— (4)
6сШ) - 60{х) { >
Так как т?-1 = у, то для любой точки у £ С = <р[й) выполнено
ЧЪУ) < _±_
Ыр(Й) ” ЭДу) ’
Пусть т = ?(у), тогда г Є О и Л(*з,у) = 1/А(^,х), поэтому
I < —2--
12
Неравенства (4) и (5) означают, что ограничение отображения у на область О является 2-квазигиперболическим отображением (см. следствие к теореме 1.1).
Определение 4. [41, с. 15]. Отображение / пространства Я на себя называется мёбиусовым, если оно представляет собой композицию конечного числа преобразований подобия и инверсий
относительно сфер.
Теорема 3. Пцсть / — мёбиусово отображение Ііп, /(.го) = ос. Если область О С Я" такова, что $ О, то ограничение / на Г) является 2-квазигиперболичсским отображением. Доказательство. Согласно теореме 1.3 [41, с. 31] / представимо п виде а о д, где а — инверсия относительно некоторой сферы 5п“1(хо,/ ), д — движение Я". Заметим, что
где 9 — инверсия относительно единичной « ([юры 5"-,(0;1). Обозначим (і{х) = гх, 7(х) = х + Х|). Тогда
Пусть а = 7 о 0, Ь = Р~1 о ;~1 о д, тогда / = а о $ о Ь. Отображения а и 6 суть линейные конформные преобразования Я", то есть они представимы в виде композиции движений и гомотетий Яп с центром в нуле. Очевидно, что ограничения линейных
а = 70^09? о/?-1 07 1
и
/=7о0о^о/? 1 о 7"1 о д.
13
конформных преобразований на собственные области Я" являются изометричными в к вази гипербол ической метрике отображениями. Инверсия 110 лемме 1 есть 2-квазигиперболическое отображение области Ь(О), следовательно и отображение / является 2-квазигиперболическмм отображением области П.
Заметим, что определения конформного (мёбнусова в случае п > 2) отображения не используют понятия ’’квазигиперболиче-ская метрика”, однако такие отображения оказываются квазиги-перболическимн.
Поясним значение термина "грубо квазигиперболическое отображение".
Определение 5. [75, р. 12]. Гомеоморфизм собственной области О па собственную область 0 называется грубо квазигипор-болическим (соаг.ж1у уиазуНурегЬокс), если сг/ществуют постоянные М и С, такое, кто д.гя любых двух точек х, у € О выполнено
Iко(х. у) - О/М < кс(/(х). /(*)) < Мко(х, у) + С. (6)
Предложение 1. Гомеоморфизм / : О -» С является грубо квазигиперболическим тогда и только тогда, когда существуют две постоянные <1 и />, такие, кто для любых двух точек х,у € Г, удовлетворяющих условию кр(х. у) > (I выполнено
ки(х, у)/Ь < кс(/{х), /(у)) < Ьк0{х, у). (7)
Доказательство. Пусть / грубо квазигипе|)болическое отображение. то есть, дтя любых двух точек х.у е О справедливо неравенство (б). Положим (/ = 2С и возьмем две точки х,у € О, удовлетворяющие условию кр(х, у) > д. Так как кр(х,у) — к[>(х,у)/2+ к]){х. у)/‘1 > А*д(х,у)/2+С, получаем оценку ко{х,у)-С > кп{х,у)/2. С другой стороны, Мкр(х,у) + С < (А/ + 1 /2)к[)(г,у). Объединив найденные оценки, получим кв(х>у)/(2М) < кс[/(х), /(у)) <
И
(Л/+1/2)А-£>(.г, у). Заметим, что в (6) М > 1, поэтому 2Л/ > Л/+1/2 и верно неравенство к!,{х.у)/{2\1) < Л<?(/(*)»/(у)) < 2АЯ*£>(х,у). То есть, выполнено (7) с /, = 2Л/.
Пусть теперь гомеоморфизм / таков, что если А;/>(дт, //) > Л, то выполнено неравенство (7). Покажем, что для любых х,у Є О справедлива оценка
(М*,у) - Ю/Ь < М/(*)</(!/)) < АЫ-г.*/) + Ы. (8)
Действительно, если кп{х.у) > г/, то оценки
Ач?(/(ж),/(2/)) < Ькй(хуу) < 1А-о(х,у) + 1</
и
М/(*),/(у)) > > ((Л-£>(д*. г/) - г*)/А
очевидны. Если же ко(х, у) < <!. то также очевидна оценка
{к0(х,у) - д)/Ь < 0 < кс(/{х)Лу)).
С другой сгороны. из гомеоморфности / следует, что А*с.'(/{-г*)' /(.V)) < откуда, в свою очередь следует неравенство *<г(/(*)і/(у)) < к<1 < кр{х,у) + ІА. Таким образом, неравенство (8) доказано, значит отображение / является грубо квазигнпер-болическим С ПОСТОЯННЫМИ М = А и С = Ь(1.
Предложение доказано.
Окатывается, любой квазиконформный гомеоморфизм собственных областей П'г является грубо квазигиперболическим (см., например [75, теорема 4.7]). Взяв определение грубой квази-пшерболнчностн в форме предложения 1. можно понять связь между классами квазигиперболических и квазиконформных гомео-морфизмов: если ’’рассматривать квазиконформное отображение издалека", его не отличить от к вази гиперболического.
15
Замечание. В теореме 4.7 цитированной работы Вяйсяля [75] доказывается более общее утверждение: любой целый (solid) гомеоморфизм собственных областей нормированного пространства является грубо квазигиперболическим.
Гомеоморфное отображение собственных подобластей называется целым, если прямое и обратное отображение равномерно непрерывно относительно квазигиперболической метрики. От ображения с таким свойствами в работе Ефремовича В.А. и Тихомировой Е.С. [13] 19С4 года были названы эквиморфизмами.
\i'2. Основные вопросы, рассмотренные в диссертации
В диссертации рассмотрены три задачи.
Первая задача — определить расширение класса квазигипер-болических гомеоморфизмов гак. чтобы новый класс содержал в ! югом еоморфн ые отображ ен и я.
Вторая задача уст ановить топологическую эквивалентность отображений с ограниченным искажением и отображений класса QH.
Третья задача — найти функциональные пространства '’естественно’* связанные с гомеоморфизмами класса QH.
Дадим краткое описание методов решения этих задач.
Расширение класса квазигиперболических отображений
В главе 2 определяется расширение класса квазигиперболических отображений на негомеоморфный случай. Там устанавливается, что гомеоморфизм / областей D и G пространства Пп является квазигнперболическим тогда и только тогда, когда существует непрерывная функция Ф : [0, ос) —г [1,ос). с которой для любых
16
ТОМСК х, у £ О выполнено
Л(/,*)<Ф(М*,»))А(/,у) (9)
Класс отображений, подходящих иод что определение обозначается (}Н.
Доказывается эквивалентность разных определений отображений класса С}И.
Гомеоморфизмы класса Собластей пространства /?2. были рассмотрены К.Астана и Ф.Герингом н работе [48]. О.Мартио рас-пространил понятие дня П|юизвольной конечной размерности и на негомеоморфный случай, он назвал такие отображения квази-подобиями ^иаэютНагШев) [64]. Автором диссертации л от класс переоткрыт [28], новым по отношению к результатам Марио является то, что доказана эквивалентность классов к ваз и гиперболических гомеоморфизмов и класса гомеоморфы ых к ваз и подобий.
Топологическая эквивалентность отображений
В 3 главе изучается проблема топологической эквивалентности отображений с ограниченным искажением отображениям класса ОН. Рассматриваются несколько определений эквивалентности отображений, однако основным является следующее.
Отображения / и д называются сильно эквивалентными, если существует гомеоморфизм \р : О -* О тождественный на границе области I), такой, что д = / о д>.
Тождественным на границе называется такой гомеоморфизм V?: О -» Я, что для любой точки х € П выполнено ки{х,<р{х)) < где £ — постоянная.
Согласно работе финских математиков Тукиа и Вяйсяля [76] любой квазиконформный гомеоморфизм /:£)—> /?", О и С области из /?'\ и ф 4 можно аппроксимировать с любой точностью
17
квазигиперболическим гомеоморфизмом. Точнее, V? > 0, найдется квазигиперболический гомеоморфизм д : О —» 6\ такой, что для любой точки х Е Р выполнено
ы/(я), <?(*)) < £■
Ясно, что / и 5 сильно эквивалентны (^ = — гомеомо])физм
области Р на себя тождественный на границе и д яг / о<р ).
Для негомеоморфных отображений с ограниченным искажением формулировка теоремы об аппроксимации, аналогичной цитированной теореме Тукиа-Вяйсяля, выглядела бы громоздко, поэтому задачу об аппроксимации отображений заменяем задачей о топологической эквивалентности отображений.
Устанавливается, что любое локально инъективное отображение с ограниченным искажением /:£>-> /?", п ф 4, является сильно эквивалентным некоторому отображению класса С}Н ( теорема 3.16). Доказательство этого факта про1юдится применением алгоритма пошаговой локальной аппроксимации. Этот алгоритм есть упрощенный вариант алгоритма аппроксимации, использованного в статье автора [33] об инволюциях.
Следует отметить, что алгоритм пошаговой локальной аппроксимации похож на алгоритм разбиения единицы, применяемый при изучении числовых функций (см., например, [43]).
Для размерности щюстранетва п = 2 решается задача о топологической эквивалентности регулярной функции отображению класса Сили класса ф/ (теорема 3.8 и теорема 3.11). Теорема
3.11 представляет собой пример использования квазигнперболи-ческих отображений как инструмента исследования.
Доказывается, что комплексные многочлены топологически эквивалентны отображениям комплексной плоскости класса С}1 (теорема 3.13) и, что любое отображение с ограниченным искажением комплексной плоскости, имеющее в окрестности бсско-
18