Краевые задачи дифракции волн в неограниченных областях

-2-
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................................................... 4
Глава I. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛ11 ОБЛАСТЯМИ С БЕСКОНЕЧНОЙ ГРАНИЦЕЙ
§1. Постановка краевых задач ................................... 15
§2. Единственность классического решения краевых задач ......... 18
§3. Применение метода обобщённых потенциалов к решению
краевых задач................................................ 23
§4. Сведение краевых задач дифракции к интегральным
уравнениям.....................................................27
§5. Существование классического решения краевой задачи Дирихле _ 30
§6. Существование классического решения краевой задачи Неймана _ 36
§7. Построение приближённого решения .............................41
Глава II. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ОБЛАСТЯМИ С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ
§1. Постановка краевых задач ..................................... 54
§2. Единственность решения дифракционной задачи в
пространстве квадратично-суммируемых функций ................. 56
§3. Существование решений краевой задачи ..................... 58
§4. Приближённое решение краевой задачи ........................ 64
Глава III. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
§1. Постановка задачи сопряжения ................................. 70
§2. Единственность классического решения задачи сопряжения ....... 73
§3. Представление решения задачи сопряжения в
интегральном виде ............................................ 78 ;
-3-
§4. Существование классического решения задачи сопряжения .... 85
§5. Построение алгоритма приближённого решения ............... 93
Глава IV. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ РЕШЁТКОЙ С ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ
§1. Постановка краевой задачи ............................... 100
§2. Теорема единственности решения краевой задачи ........... 108
§3. Интегральное представление решения краевой задачи ....... 112
§4. Теорема существования решения краевой задачи ............ 120
§5. Построение приближённого решения ........................ 122
Л итература
130
-4-
ВВЕДЕНИЕ
Задачи о колебаниях самой разнообразной физической природы, описываемые уравнениями Максвелла, относят к классу дифракционных задач [11, 91]. Различают [91] случаи рассеяния, когда дифрагирующее (рассеивающее) тело имеет конечные размеры и дифракции, когда дифрагирующее тело частично простирается в бесконечность, однако спектр собственных частот непрерывен.
Круг дифракционных задач крайне широк [13, 42, 46, 70, 91, 92, 96, 100] и постоянно расширяется с развитием электротехники и средств оптической связи (см., напр., [14, 48, 93]).
С математической точки зрения целью теории дифракции является построение математических моделей физических явлений, которое включает разрабо тку аналитических и вычислительных методов нахождения решений соответствую!Щ1Х краевых задач, а также исследование свойств полученных решений.
Математические методы теории дифракции систематизированы в монографиях (1 1, 12, 17, 34, 47, 53, 57, 65, 91, 95, 97], обзорных работах [13, 31, 45, 89].
В случае установившихся колебаний математическая модель дифракционных задач в большинстве случаев сводится к краевой задаче для уравнения или системы уравнений в частных производных эллиптического тина в областях различной формы и при разных граничных условиях. Для выделения единственного решения краевой задачи, имеющего определённый физический смысл, должны быть сформулированы условия излучения, определяющие поведение решений на бесконечности [42, 46, 78, 88]. Выбор условий излучения является одним из существенных вопросов при построении математической модели и зависит от области, в которой рассматривается дифракцион!гая задача и от уравнения математической модели. Если на границе области имеются точки нарушения гладкости, то математическая модель содержит также условия на поведение решений в окрестности этих точек, известные как условия на ребре и состоящие в требовании конечности энергии в окрестности рёбер [42, 65].
Если область, в которой рассматривается краевая задача, обладает той или иной симметрией, можно, при некоторых предположениях, перейти от векторной формы модельных уравнений к скалярной. Это значительно упрощает дальнейшие исследования. В плоских задачах дифракции решение задачи для случая произвольно поляризованной падающей волны можно представить в виде линейной комбинации
~ 5 -
решений для случаев ТЕ и ТИ поляризаций падающей волны. Исходная краевая задача при этом распадается на две независимые задачи, соответствующие каждому из случаев поляризации [77, 91, 100].
Следующим шагом исследования является нахождение решения краевой задачи в явном виде либо разработка методов приближённого решения. Явные решения получены лишь для ограниченного класса задач дифракции на областях достаточно про стой формы [7, 88, 91]. В большинстве случаев математическая модель оказывается такой, что с ее помощью не удается получить решений в замкнутом аналитическом виде, поэтому особое значение приобретает разработка численных методов исследования. Как правило, применение численных методов при решении задач дифракции, не ограничивается получением приближённых решений задач, но и позволяет на основе численного моделирования делать качественные выводы о характере исследуемого явления (см., напр., [13, 29, 43, 46, 70]). К тому же, как отмечено в [72], аналитические решения могут, в определенном смысле, нести избыточность над физическим содержанием.
Одним из наиболее универсальных методов численного решения краевых задач дифракции является метод интегральных уравнений. Одним из первых метод интегральных уравнений для решения краевых задач дифракции применил В. Д. Купра-дзе [57]. Работы [13, 30, 29, 42, 113, 53, 59, 72, 70, 73, 79, 80, 92, 100] дают представление о достигнутом уровне численного исследования дифракционных задач методом интегральных уравнений и содержат обширную библиографию по этому кругу вопросов.
Сведение краевой задачи для уравнения эллиптического типа к интегральному уравнению осуществляется с помощью представления решений через потенциалы [63]. Это сведение неоднозначно, так как можно получать интегральные уравнения различных типов в зависимости от того, фундаментальное решение какого уравнения при этом используется. Отметим, что если интегральное уравнение получено не как следствие краевых задач, исходя из формул Грина [30], те необходимо отдельное доказательство эквивалентности краевой задачи и полученного интегрального уравнения. Как правило, краевые задачи можно свести к уравнениям с хорошо разработанной теорией. Например, в работах [29, 30, 55, 102, 103, 105] краевые задачи решались сведением к фредгольмовым уравнениям первого рода, в работах [114, 115,119, 127, 128,130] численные решения построены на основе фредгольмовых уравнений второго рода. В монографиях [10, 59, 70, 73] рассмотрены вопросы применения метода сингулярных интегральных уравнений к решению краевых задач
-6-
математической физики, в частности, задач теории дифракции.
Метод интегральных уравнений служит не только базой для получения численных алгоритмов решения дифракционных задач, но и является аппаратом для исследования разрешимости краевых задач в различных функциональных пространствах.
Наряду с методом интегральных уравнений отметим методы, основанные на применении рядов [13, 29, 42, 99, 100, 106, 107] и численно-аналитические методы [95, 97, 112].
Таким образом, построение математической модели той или иной задачи дифракции может состоять из следующих шагов:
• Постановка краевой задачи в виде уравнения Гельмгольца (или системы таких уравнений) с граничными условиями либо первого либо второго рода (в зависимости от поляризации падающей волны), условия излучения и условий на ребре (в случае нарушения гладкости в некоторых точках);
§ Исследование разрешимости краевой задачи в подходящих функциональных пространствах, т.е. доказательство теорем существования и единственности решения;
• Сведение краевой задачи к граничному интегральному уравнению;
• Разработка и обоснование методов приближённого решения интегральных уравнений, вычисление через полученные значения компонент электромагнитного поля;
• Разработка программ, реализующих приближённые методы решения дифракционной задачи.
Теоретическое обоснование приближённых методов предполагает [49]:
• Установление осуществимости и сходимости алгоритмов;
• Исследование быстроты сходимости;
• Получение эффективной оценки погрешности.
Для решения этих вопросов в диссертации применяется вариант общей теории приближённых методов Л. В. Канторовича, разработанный Б. Г. Габдулхасвым [21, 23, 24, 25]. Собственно под математической моделью того или иного дифракционного явления можно понимать исследование но только что приведённой схеме. Однако, во многих работах (см., напр., [99, 100, 106, 107]) акцент сделан на вычислительный аспект исследования и под моделью подразумевается постановка краевой задачи и разработка вычислительных алгоритмов, без проведения теоретического обоснования. Можем сослаться здесь на предисловие “О природе математической
- 7-
физики” известной книги [76], где подчеркнуто, что разница в подходах исследования прикладных задач связана с отличием целей и методов физики и прикладной математики. Отметим, в связи с этим, что теоретическое обоснование, в указанном ранее смысле, многих методов приближённого решения сингулярных и слабосингулярных интегральных уравнений, полученных из краевых задач дифракции проведено Б. Г. Габдулхаевым и его учениками и содержится в монографиях [24, 25], а также работах [23, 26, 28]. Обоснованию численных методов решения интегральных уравнений первого рода с логарифмической особенностью в ядре, к которым сводятся некоторые задачи дифракции посвящены работы А. С. Ильинского [39], В. В. Воронина и В. А. Пецохо [18]. Вопросы разрешимости краевых задач дифракции исследованы в работах С. И. Абгалдаева и В. П. Моденова [1], В. М. Бабича [6], Е. В. Захарова [36], В. П. Иванова [37], В. Д. Купрадзе [56, 57], Ф. Г. Мухлисова [66, 67, 68], Е. В. Чернокожина и Ю. В. Шсстопалова [94], У. Ilayashi [102, 103, 104], A. G. Ramm [109]. При дискретизации интегральных уравнений с логарифмическим ядром возникает задача построения и обоснования квадратурных формул для вычисления сингулярных и слабослнгулярных интегралов. Существенные результаты в этом направлении получены Б. Г. Габдулхаевым [22, 23], С. М. Белоцерковским и И. К. Лифановым [10, 59], В. В. Панасюком, М. П. Оавруком и 3. Т. Назарчуком [70, 71, 73], Н. Я. Тихоненко [86, 87].
В настоящей работе изучаются краевые задачи для уравнения Гельмгольца, возникающие при рассмотрении дифракции плоской электромагнитной волны на бесконечной структуре, совпадающей с полуплоскостью, за исключением участка конечной длины, который содержит “нарезку1' (этот участок можно рассматривать как решётку). Структуры подобного типа рассматривались в работах [5, 8, 32, 47, 48, 114, 115, 58, 81, 111]. Поскольку рассеивающая часть имеет конечную длину говорят о дифракции на конечной решетке, в работе [114] использован термин решётки конечной апертуры.
Предполагаем, что профиль решётки может быть определён с помощью кусочногладкой функции и что характерные размеры элементов решётки соизмеримы с длиной падающей волны. Количество элементов решётки в нашем случае произвольно, что исключает возможность использования аппарата теории периодических решёток [29, 38, 44, 85, 100, 101], как это делалось, например, в работах [32, 81, 111] в случае решёток с большим числом однородных элементов решётки и, естественно, наличия периодичности. Болес того, рассматриваемые в настоящей работе решётки
- 8 -
могут иметь произвольную “нарезку”, не обязательно определяемую периодической функцией.
Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы.
Первая глава посвящена изучению задачи дифракции электромагнитных волн на неограниченных областях с границей 7 , совпадающей с Ж , за исключением ограниченного участка 7я . Предполагается, что кривая 7 принадлежит классу
С1’*' , 0 < I/ < 1 .
В первом параграфе рассмотренная дифракционная задача сформулирована в виде краевой задачи для уравнения Гельмгольца с условиями Дирихле или Неймана на границе и условием излучения на бесконечности:
Дф,г) + к2и(х,г) = 0, (0.1)
и(х,г) = — (я,г) €7 — в ТЕ- случае, (0.2)
^ _дщ^Р) }Р€7 __ в тн .случае, (0.2')
апР ^
-гки'= е‘кт°Ш’ г^°°’ (о-з)
1т& > 0, и“(ж, г) = и(х,г) - и(х,г), й(х,г) = £е1к(ах + &2*, (0.4)
где через щ(хуг) = $**(«*-0*0 обозначена падающая волна, а £ = — 1 — в случае
ТЕ -поляризации и С = 1 — в случае ТН -поляризации.
Во втором параграфе доказана теорема о единственности классических решений краевых задач, то есть принадлежащих классу 6’2(5) П С(в и 7) (в случае условия ( 0.2' ) предполагаем существование правильной нормальной производной на границе).
Теорема 1.2.1. При 1т к > 0 (и И.е к ^ 0 в случае граничного условия (0.2*))
краевые задачи (0.1) — (0.8) имеют не более одного классического решения.
В § 3 введены обобщённые потенциалы:
(Уу)(Р) = I д2(Р,Р')ч>(х')<1зр., (0.5)
У’
(ЖФ)(Р) = / д91^'рР ) (0.6)
У"
ди(Р)
дпр
-9-
где
9т(Р,Р') = у {я<1; (кг) + (-1 )”Й<1>(Ь*)}, т-1,2, (0.7)
а у>,1р € С[—а, а] .
С помощью обобщённых потенциалов в § 4 краевые задачи сведены к интегральным уравнениям
-тг^(ж) + J ÿ(x’)dsP, = -uq(P)-u(P), Ре 7% (0.8)
Y
— в случае краевой задачи Дирихле и
-ffV(æ) + J dg~fa.^ \(x')dsP. = -д^(МР) +“(Я)). (0.9)
тх
— в случае краевой задачи Неймана.
В § 5 доказана теорема существования в классе C2(S)OC(SU7) решений краевой задачи (0.1), (0.2), (0.3). Основным результатом параграфа является теорема
Теорема 1.5.2. Если Im к > 0 « 76 С{2) , то существует классическое решение краевой задачи (0.1) — (0.3).
Как следствие теоремы 5.2 и результатов §§ 2, 4, получено утверждение о эквивалентности интегрального уравнения (0.8) и краевой задачи (0.1) — (0.3). Показано, что решение краевой задачи в области S допускает интегральное представление в виде обобщённого потенциала двойного слоя относительно участка границы 7' с плотностью, являющейся решением интегрального уравнения (0.8).
Аналогичная техника применена в § б для доказательства существования классического решения краевой задачи Неймана (0.1), ( 0.2' ), (0.3) и доказательства эквивалентности краевой задачи интегральному уравнению (0.9).
15 § 7 построен алгоритм приближённого решения задачи дифракции. Компоненты электромагнитного поля ищутся в виде обобщённых потенциалов двойного или простого слоев (в зависимости от поляризации волны), плотности которых находятся как решения интегральных уравнений (0.8) и (0.9). Для решения интегральных уравнений применены ступенчатый и полигональный методы сплайн-коллокашш. При численной реализации вычислительной схемы интегралы аппроксимировались квадратурными формулами. Дано обоснование приближённых методов решения на основе варианта общей теории приближённых методов, построенного Б. Г. Габдул-хаевым [21, 23, 24, 25].
10-
Во второй главе рассмотрена задача рассеяния плоской электромагнитной волны неограниченной областью с кусочно-гладкой границей 7 = {(ж, f(x)) : х € R} , supp / С [—а, а] для некоторого а € Н+ .
Математическая модель задачи сформулирована в § 1 в виде краевой задачи (0.1) — (0.3), дополненной условием конечности энергии в точках нарушения гладкости (условие на ребре).
В § 2 приведено доказательство теоремы единственности решения краевой задачи в классе квадратично-суммируемых по Лебегу функций.
Теорема II.2.1. При Im к > 0 (и Re к Ф 0 б случае граничного условия (0.2’)) краевые задачи (0.1) — (0.3), (0.10) имеет не более одного решения в классе квадратично-суммируемых в смысле Лебега функций.
В § 3 доказано существование решения краевых задач в классе квадратично -суммируемых функций. Решение строится как предел функций, являющихся решениями аналогичных краевых задач в областях, границы которых получены “сглаживанием” границы рассматриваемой области.
Для приближённого решения дифракционной задачи предложен метод, основанный на ступенчатом и полигональном методах сплайн-подобластей решения интегрального уравнения, эквивалентного краевой задаче. Дано обоснование приближённых методов. Для уточнения приближённого решения использовался метод осреднения функциональных поправок [84].
В третьей главе изучается задача дифракции электромагнитной волны на на границе раздела двух диэлектрических сред. Предполагается, что граница совпадает с R , за исключением участка конечной длины.
В § 1 задача дифракции сформулирована в виде задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца:
с условиями излучения на бесконечности вида (0.3).
В § 2 доказана единственность решения краевой задачи, а именно, имеет место следующее утверждение
Auj(x,z) + kj2Uj(x,z) = 0, (ж, z) е Sj, j = 1,2,
(Ui(z,g)-U2(xyz))\^ = -«о|7,
(0.11)
- и -
Теорема І1І.2.1. Если Im ki > 0 , Im к2 > 0 и sign (Re hi) = sign (Re k2) , rao задача сопряжения (0.11) имеет не более одного решения и = {^1,1x2} , такого, что uj € C2(Sj) П C(Sj U 7) и имеющего на границе 7 правильные нормальные производные (j = 1,2 ).
В § 3 введены функции
£\Р.Р') = у {<> (к,г) + (-1)” (V*)} > 3,т = 1,2. (0.12)
С помощью метода обобщённых потенциалов задача сопряжения сведена к системе интегральных уравнений. Показана фредгольмовость полученной системы интегральных уравнений.
В § 4 доказано существование классического решения задачи сопряжения. Под классическим решением здесь понимается пара функций {нь и2} , uj € C2(Sj) П C(Sj U 7) , имеющие правильные нормальные производные на границе, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца, условиям сопряжения на границе и условиям излучения на бесконечности.
Теорема III.4.1. Если Im k\ > 0 , Im k2 > 0 и sign (Re ki) = sign (Re k2) , mo существует, классическое решение задачи сопряжения (0.11).
Доказана эквивалентность задачи сопряжения и полученной системы интегральных уравнений. Показано, что решение краевой задачи представимо в виде комбинации обобщённых потенциалов.
В § 5 этой главы приведен алгоритм приближённого решения задачи сопряжения. Система интегральных уравнений, эквивалентная задаче сопряжения, решается методом сплайн-кол локации, а полученные решения уточняются с помощью метода осреднения функциональных поправок. Проведено обоснование полученной вычислительной схемы.
Во четвертой главе рассмотрена задача рассеяния плоской электромагнитной волны отражательной решёткой с диэлектрическим включением конечного размера.
В § 1 задача рассеяния представлена в виде следующей краевой задачи для функций Ui и U2 > определённых в областях Sі и S2 , соответственно:
Auj(x,z) + kj2Uj(xyz) = 0, (ж,z) 6 Sj, j = 1,2, (0.13)
wl(*i*)l7Vy- = -t|o (*»*)І7уу-» tt2(*t*)|7Vy« = °> (°-14)