Некоторые классы полных систем, достаточные и эффективные множества

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................................3
ГЛАВА I. АППРОКСИМАЦИЯ В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ С УЧЕТОМ КОЭФФИЦИЕНТОВ 11РИБЛИЖАЮЩИХ ЛИ! 1ЕЙ11ЫХ КОМБИНАЦИЙ
§1.3- полные системы элементов......................19
§2. Абсолютная полнота системы степеней
в пространстве аналитических функций.............27
§3. Абсолютно представляющие и абсолютно
приближающие системы в пространстве Фреше........38
§4. Абсолютно приближающие системы в канонических индуктивных пределах нормированных пространств. Связь с абсолютно представляющими системами................•.....................45
ГЛАВА II. ДОСТАТОЧНЫЕ И ЭФФЕКТИВНЫЕ МНОЖЕСТВА
§1- л(0 - определяющие множества....................60
§2. у-достаточность и у-эффективность...............66
ГЛАВА III. АБСОЛЮТНАЯ ПОЛНОТА СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ
В ПРОСТРАНСТВЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§1. Абсолютно полные системы экспонент с
целыми показателями..............................76
§2. Абсолютная полнота систем экспонент с показателями в нулях целой функции
экспоненциального типа...........................80
§3. Геометрические условия абсолютной полноты систем экспонент в пространстве А (в)..........85
ЛИТЕРАТУРА....................................................93
3
ВВЕДЕНИЕ
п.1. Приведем некоторые часто используемые в работе обозначения, определения и вспомогательные результаты. Всюду ниже символами М, 1Ч0, Z, К, С обозначаются множества всех натуральных, целых неотрицательных, целых, вещественных и комплексных чисел соответственно. Для множества Р комплексной плоскости С и ТОЧКИ Ъ Е С
р(г,(5):= т{{\г- у|: у е }- расстояние от г до (); Кк := {г € С: |г| < я} -открытый круг с центром в начале координат радиуса Я >0. Определим пространство А0(С) всех аналитических в области в расширенной плоскости С функций Г (Г (оо) = о, если соеО ) с топологией, задаваемой набором преднорм р<з(0=5ир{|ф)!:2е0}> где О - любое замкнутое подмножество С. Сопряженное к этому пространству допускает изоморфную реализацию Кете-Теилица [48] в виде некоторого пространства аналитических функций. Напомним эту реализацию в случае односвязной в С области
/
Ст. Пространство А(0) алгебраически изоморфно векторному пространству лДс\0) классов локально аналитических на множестве С\0 функций, исчезающих в бесконечно удаленной точке. Пусть £ е Л0(с \ в) - класс эквивалентности, содержащий росток g; € А(С); Г - контур (замкнутая
спрямляемая жорданова кривая), лежащий в С, внутренность которого со-
/
держит все особенности Изоморфную реализацию А(С) в виде А0(с\Ст) осуществляет оператор
Р: g е А0 (С \ G) ^ е A(G), (f) = ^-7 Jf (z)g(z)dz.
Приводимые ниже сведения из теории локально выпуклых пространств (л.в.п.) можно найти, например, в [34]. Пусть Е - л.в.п. с топологически сопряженным к нему пространством Е' ;g(E',E) (Р(Е',Е)) - слабая (сильная) топология в Е\ Мы будем использовать также эти понятия в более общем случае, когда л.в.п. Е и Fобразуют дуальную пару. Через А0 обозначим поляру (в Ег) множества А с Е: А0 := {ф е Е': | ф(х)| < 1, Vx е А }. Всякому абсолютно выпуклому поглощающему в Е множеству А можно сопоставить преднорму рА(х):= inf {А. > 0: х е ХА }, которая называется функционалом
Минковского множества А . Символом aconvA будем обозначать замкнутую абсолютно выпуклую оболочку множества А в Е, а бочкой, как обычно,
4
б л.в.п. назовем всякое его абсолютно выпуклое поглощающее замкнутое подмножество. Пространством Фреше называется полное метризуемое л.в.п. Примером пространства Фреше может служить л.в.п. A(G). Отметим, что выписанный выше алгебраический изоморфизм F становится топологическим изоморфизмом A0(c\g) и сильного сопряженного A(GX, при наделении пространства А0(с\ G) соответствующей индуктивной топологией.
Выделим особо случай, когда область G р-выпукла, 0 < р < со [15]. Предполагаем (при р^1), что 0eG. Пусть h(— 0) - ее р-опорная функция; Кп- последовательность р-выпуклых компактов, исчерпывающих G изнутри, с р-опорными функциями hn(— 0); [р, h(0)) - множество всех це-
. , _— 1п| у(ге'°) I
лых функций, у которых индикатор при порядке р h (0):= lim--------------------
У Г-КО |*(>
меньше, чем h(0). В [p,h(0)) вводится топология индуктивного предела последовательности банаховых пространств
, n > 1. В силу обоб-
Dn=j ye[p,h(e)):|y||n := sup—-j^ <со
[ гес exp|z| hn (argz)
щенной теоремы Полиа, обобщенное преобразование Бореля
.-к-1
t устанавливает топологи-
T:f(z)=Xfkzk^(TfXt)=Zfkr 1 + -
к=0 к=0 V Р.
ческий изоморфизм между пространствами [p,h(0)) и A0(c\G), так что
A(G)P можно отождествить с [p.h(e))-
Если G- ограниченная р-выпуклая область, то в векторном пространстве a(g) локально аналитических на G функций вводится топология индуктивного предела последовательности банаховых пространств At:(Gn) аналитических в Gn и непрерывных в Gnфункций с sup-нормой. Здесь Gn-ограниченная р-выпуклая область с р-опорной функцией Ьп(-0), hn+1(0)> hn(0)> h(0) (п = 1,2,...) и limhn(0) = h(0),V9. Как известно
л—ко
[15], a(g) - LN* -пространство, то есть [35] внутренний индуктивный предел последовательности банаховых пространств, каждое из-которых вложено
5
вполне непрерывно в последующее. Пространство А (с отождествляется с
[р,Ь(0)] = рго) О-у где
<-}
(Г
= - У € [р,оо):!у || := эир ^ —-<°од>1. геС схр\1\
п.2. Настоящая диссертация посвящена исследованию приближений элементов л.в.п. линейными комбинациями элементов фиксированной последовательности с определенной оценкой на коэффициенты этих комбинаций. Начало этому направлению теории аппроксимаций было положено в работе Ф.Дейвиса и Ки-Фана [45], а также в серии статей С.Я.Хавинсона 60 - 61гг. (см., например, [38]). Последний из авторов пришел к указанной теории, отправляясь от более конкретных задач, связанных, в частности, с экстремальными проблемами для аналитических функций, удовлетворяющих дополнительным ограничениям, и аппроксимацией на множествах аналитической емкости нуль. Дальнейшее развитие абстрактная теория усиленно полных систем получила в работах С.Я.Хавинсона [39], [40]. Вместе с тем, в настоящее время известен целый ряд конкретных результатов, дополняющих и усиливающих в направлении учета коэффициентов классические аппроксимацион-ные теоремы Вейерштрасса, Мюнца, Лаврентьева и др. Некоторые из этих результатов были получены с использованием специальных приемов, но без привлечения общей теории работ [45], [38] - [40]: Дж.Стафни [51], М.Голичек и Д.Левиатан [53], Р.М.Тригуб [37], В.И.Гурарий и М.А.Мелегиди [8]. Другие авторы (Ф.Дейвис и Ки-Фан [45], С.Я.Хавинсон [40],
О.А.Мурадян [30], В.В.Напалков [32], И.Ф.Красичков-Терновский [21] ) частично или целиком опирались на принципы двойственности экстремальных задач, лежащих в основе абстрактной теории усиленной полноты. Следует отметить, что в подавляющей части перечисленных работ изучается поведение вполне определенных систем элементов в наиболее употребительных банаховых пространствах (в частности, - степенной и экспоненциальной систем в пространстве С[а, Ь] непрерывных на отрезке [а, Ь] функций). При этом почти не изучен случай, когда аппроксимация ведется в произвольном л.в.п.; мало исследован вопрос о полноте с учетом коэффициентов важных в приложениях систем в конкретных ненормированных функциональных пространствах.
Содержание диссертации изложено в трех главах. Первая глава посвящена построению общей теории приближений с ограничениями на коэффициенты в локально выпуклых (не обязательно нормированных) пространствах. В §1 главы I, по-видимому, впервые в такой общей форме вводятся (определения 1.1.1 и 1.1.2) два класса полных систем с ограничениями
6
на коэффициенты: 3-полные и ослабленно 3-полные системы. Учет коэффициентов приближающих линейных комбинаций здесь ведется с помощью некоторого набора 3 = {Q } абсолютно выпуклых подмножеств пространства Ф всех финитных последовательностей скаляров. Частные случаи 3-полноты и ослабленной 3-полноты вводились ранее. Так, О(р) полнота
С.Я. Хавинсона [39] в нормированном пространстве соответствует случаю, когда 3 состоит из одного множества Qp :={сеФ:р(с)<1} (р - преднор-
00
ма на Ф). Для преднорм р вида (£j>0 заданы) и
j=i
• i
7jC: (q > 1) такие системы изучались Ф.Дейвисом и Ки-Фаном [45]. В
Лша—ш | J |
L j=l
частности, при = 1 (j=l,2,...) получаем абсолютно полные и ослабленно
абсолютно полные системы, введенные И.Ф.Красичковым-Терновским (для банаховых пространств) [21] и Ю.Ф.Коробейником (для произвольных л.в.п.) [57] соответственно. Основным результатом §1 первой главы является теорема 1.1.1, устанавливающая критерий 3-полноты системы элементов отделимою л.в.п. (о.л.в.п.) в двойственных терминах слабо офаниченных множеств сопряженного пространства. Для определенного класса пространств, сопряженные к которым допускают реализацию в виде некоторого пространства аналитических функций, этот результат формулируется в более удобном для применения виде (теорема 1.1.3) в терминах введенных в п.2 §1 3-
определяющих множеств. Это позволяет подключить к изучению 3-полных систем теорию аналитических, в частности, целых функций. Такой подход не нов и применялся ранее при изучении разложений в ряды (см., например, [15]. [17]).
Во втором парафафе главы I рассматриваются важные частные случаи усиленно полных систем - абсолютно полные и ослабленно абсолютно полные системы (а.пол.с. и ос.а.пол.с. соответственно). В основе их изучения лежит следующее утверждение, вытекающее из теоремы 1.1.1.
Теорема 1.2.1 .Последовательность X = (xk)k=| элементов о.л.в.п. Е
является а.пол.с. в Е тогда и только тогда, когда Х°— а(Е^Е)-
ограниченное множество в Е'.
В качестве приложения теоремы 1.2.1 получено описание абсолютно (ослабленно абсолютно) полных систем степеней с весами в пространстве
А(0).
Теорема 1.2.3. Пусть G - содержащая начало координат односвязная область в С с границей dG и dG := inf {z|: z € 5G} -расстояние от О
7
до dG. Пусть, далее, а = (ак )k=ü - некоторая последовательность поло-
і/
жительных чисел и а4 = lim акк. Если dG<a+, wo система
к-х»
Z.. :=
а
Ч~к Ук=0
не является ослабленно абсолютно полной в A(G). Если же
а,
dG > а+, то система Za абсолютно полна в A(G).
Теорема 1.2.4. Пусть G - односвязная область в С, 0 € G; последо-
X
вательность X = (лк)^0 чисел Хк є Ni( возрастает и lim—= 1;
к-ко к
а> > 0, к = 0,1,2,..., и а*:=Нта^к. Если dG>aJ, то система
к—ко к
z}: =
Ґ , л® Z
а,
Ч У
абсолютно полна в A(G). Если dG < а^, то Za не является
к=0
ос. а. пол. с. в А(О).
В заключении §2 первой главы устанавливается существенность требования “густоты” последовательности X в условии теоремы 1.2.4. Строятся также примеры, показывающие, что в неохваченной теоремой 1.2.4 ситуации
аГ < dг < а* абсолютная (ослабленно) полнота системы 7а существенно
зависит от структуры расходящейся последовательности
"і
k
V Ук=0
В §§3,4 вводятся в общих л.в.п. и изучаются в пространствах Фреше и канонических индуктивных пределах (КИП) последовательностей нормированных пространств (то есть, внутренних индуктивных пределах Е = Ик1Еп
с непрерывными вложениями Еп<-*~ Еп+1, п = 1,2,...) различные классы абсолютно приближающих систем (АПрС).
Определение 1.3.1 .Последовательность X = (хк )^=1 элементов л.в.п. Е с определяющим топологию набором преднорм Р назовем АПрС в Е , если для любых X € Е и р Є Р найдется константа С < оо такая, что всяким
в
ц Є Р и 8 > 0 соответствует линейная комбинация у = ^ СкХк со свой-
к=1
5
стеши: ч(х-у)<Е. Ск|р(хк)< С.
к=1