Оглавление
Введение
1. Два обобщения леммы С.Б.Стечкина о вогнутой мажоранте модуля непрерывности
1.1. Обобщение леммы С.Б.Стечкина о вогнутой мажоранте на модуль непрерывности от нескольких переменных..............
1.2. Решение задачи П.Л.Ульянова о существовании гладкой вогнутой мажоранты модуля непрерывности......................
2. О вложениях классов Н* непрерывных функций двух переменных в классы ДВУ функций обобщенной ограниченной вариации
2.1. Теоремы общего характера..............................
2.2. Случай симметричных модулей непрерывности.............
2.3. Связь проблемы вложения классов для функций двух переменных с проблемой вложения классов для функций одной переменной ................................................
2.4. Частные случаи........................................
3. Теоремы типа Джексона для наилучших приближений кусочно-постоянными функциями в пространствах Орлича
3.1. Прямая теорема типа Джексона..........................
3.2. Обратная теорема типа Джексона........................
Литература
3
22
22
33
44
44
55
61
71
76
76
82
96
2
Введение
Одним из основных понятий в теории аппроксимации функций является модуль непрерывности функции от одной или нескольких переменных, который определяется по-разному в зависимости от типа рассматриваемых функций. Если функция непрерывна., то, как правило, ее модуль непрерывности оценивает разность значений функции в любых двух точках из ее области определения. В случае измеримых функций, принадлежащих, например, пространству 27, 1 < р < ос, используют интегральный модуль непрерывности функции. Кроме того, вводят понятие модуля непрерывности как самостоятельной функции с определенными свойствами. Модуль непрерывности и модуль непрерывности функции — два различных понятия, тесно связанные друг с другом. Если задан модуль непрерывности, то можно выделять классы функций, для каждой из которых ее модуль непрерывности оценивается сверху с точностью до постоянного множителя заданным модулем непрерывности, и доказывать теоремы сразу для целых классов. Такими классами являются, например, классы Липшица.
Настоящая диссертация состоит из трех глав. Во всех главах значительное место занимает понятие модуля непрерывности или модуля непрерывности функции, а в первой главе модуль непрерывности — единственный объект исследования.
В первой главе решена задача, поставленная II.Л.Ульяновым на семинаре по теории функций в Московском государственном университете. Точную формулировку задачи и полученного нами решения этой задачи дадим после необходимых для изложения определений и краткого обзора истории вопроса.
Функция и)(£), определенная на полупрямой [0,оо) или на отрезке [О,/], О < / < со, называется модулем непрерывности, если она не убывает, полуаддитивна и Нто;(£) = о>(0) = 0.
3
Полуаддитивность означает, что и^1 -И2) < ы(&)+и(1?) для всех 21,£2, для которых обе части неравенства имеют смысл. Ясно, что сс?(£) > 0 во всех точках определения функции. В исследованиях ряда авторов используется вогнутый модуль непрерывности, то есть модуль, удовлетворяющий неравенству и(оЛ1 + (1 — <*)£2) > ащ(^) 4- (1 — а) а/'(£2) для 0 < с* < 1 и £2 из области определения Не всякий модуль непрерывности является вогнутым. В связи с этим весьма полезным оказалось существование вогнутой мажоранты модуля непрерывности, также являющейся модулем непрерывности.
Первым применил такую мажоранту А.В.Ефимов в работе [11], где доказана следующая лемма, принадлежащая, как указывает автор, С.Б.Стечкину. (Мы нумеруем только те леммы, которые являются частью наших собственных доказательств.)
Лемма А. Для любого ..модуля непрерывности и(£) ф. 0, заданного на отрезке [0,7г], существует вогнутый модуль непрерывности й(Ь)у удовлетворяющий на (0,7г] неравенству и(£) < й(1) < причем множитель
2 нельзя заменить на меньшую константу.
Из доказательства в [11] видно, что лемма остается справедливой, если отрезок [0,7г] заменить на любой отрезок [О,/]. В монографии
Н.П.Корнейчука [12, стр. 182] содержится лемма, отличающаяся от леммы С.Б.Стечкина лишь тем, что она относится к модулю непрерывности, определенному на полупрямой [0,оо). Именно такой вариант леммы понадобился нам для решения задачи П.Л.Ульянова. Доказательство в [12], как будет показано на примере в §1 главы 1, опирается на неверное утверждение. Аналогичное утверждение есть и в [11], но там оно верно в силу компактности отрезка. Позже Н.П.Корнейчук [13, стр. 670], изменив доказательство, получил более общую лемму для модуля непрерывности Сс>, определенного на [0,оо). Ее формулировка приведена в §1 главы 1 данной диссертации. Мы упоминаем монографию [12], поскольку ее автор указывает и в самой монографии (стр. 311) ив [13, стр. 671], что доказательство в [12] для о; на полупрямой [0, оо) принадлежит Стечкину. Такое указание неточно, иначе оказалось бы, что недостаток в доказательстве допустил
4
Стечкин, хотя в доказательстве самого Стечкина неверных утверждений нет. В работе Е.П.Долженко [8] для модуля непрерывности, определенного на [0,оо), строится дважды непрерывно дифференцируемая на (0,оо) вогнутая мажоранта с некоторыми свойствами второй производной. К сожалению, в приведенном там построении имеется тот же недочет, что и в монографии [12]. Но нам важно сейчас отметить, что от вогнутой мажоранты в отдельных задачах требуется гладкость некоторого порядка. Вогнутая мажоранта модуля непрерывности используется и в работах других авторов, например, в [15], [27].
В 2000 году Н.Ю.Додонов [7] опубликовал без доказательства теорему для модуля непрерывности от п переменных, определенного на R", которая является аналогом леммы Корнейтгука из [13]. Мы приводим полную формулировку этой теоремы в §1 главы 1. Отметим здесь, что в частном случае п = 1 теорема Додонова не приводит в полном объеме ни к лемме Стечкина, ни, тем более, к лемме Корнейчука из [13], так как в этих леммах содержится строгое неравенство, которого нет в теореме Додонова. В §1 главы 1 мы доказываем теорему 1 для модуля непрерывности от п переменных, которая при п— 1 дает обе указанные леммы в полном объеме. Для формулировки теоремы 1 введем необходимые обозначения и определение модуля непрерывности от п переменных.
Пусть п — натуральное число, и пусть для і = 1 ,...,п заданы промежутки вида Іі = [0, оо) или /, = [ОД*], 0 < /, < оо. Положим Т = = її х ... х 1п. Допускается вариант, когда іі = [0,/*] для некоторых і и іі = [0,оо) для остальных г. Произвольную точку из Rn будем обозначать через t = (£і,...Дя). Нулевой элемент в Rn обозначается тем же символом, что и число ноль. Через Щ. обозначается множество точек в 1" с неотрицательными координатами, а через intR" множество точек в Rn с положительными координатами. Для х Є Rn запись х > 0 равносильна х Є R", а запись х > 0 равносильна х Є intR+. Через Q(n) обозначается множество непустых подмножеств в {1 ,...,п}. Если t Є R" \ {0}, то a(t) обозначает множество тех номеров г, для которых £,• > 0. Если Л = (Л і,..., Ап) и t = (t і,..., tu), то À t = (АДі,..., Xntn).
5
Функция Ц£), определенная наТ, называется модулем непрерывности, если она полуаддитивна, не убывает по каждому аргументу £,• и lima;(£) =
i ) О
= о;(0) = 0. Полу аддитивность означает, что u(tl 4-£2) < oj(tl) -f u(t2), если С, t2 и £1 + £2 принадлежат Т. Назовем модуль непрерывности w на T невырожденным, если oj(t) > 0 при £ £ Т \ {0}.
Теорема 1.1) Пусть и — ненулевой модуль непрерывности, определенный на Т. Тогда существует, вогнутый модуль непрерывности Со на Т, который является мажорантой функции и и который удовлетворяет неравенству
2) Существует модуль непрерывности и>, определенный на Т, для которого любая вогнутая мажоранта д обладает, следующим свойством. Для каждого А > 0 и каждого а £ Щп) верно
где супремум берется по тем £ £ Т, для которых <т(£) = а и А£ £ Т.
Теорема 1 дополняет теорему Додонова, в частности, по следующим пунктам. Теорема Додонова содержит лишь нестрогое неравенство, аналогичное неравенству части 1) теоремы 1, причем множитель при со(і)
левых координат точки < не отражена. Более подробно сравнение двух теорем изложено в §1 главы 1.
Сформулируем теперь задачу, поставленную П.Л.Ульяновым.
Пусть и(і) — произвольный модуль непрерывности, определенный на [0, оо) и не равный тождественно нулю. Существует ли вогнутый модуль непрерывности а.'о(£) заданного порядка гладкости на (0,оо), удовлетворяющий для £ > 0 неравенству и;(і) < и>о(£) < сц;(£), где с — постоянная? В случае положительного ответа указать наименьшее значение с (или ниж-
oj(Xt) < (1 4- ^ А,-)о?(£)
ie<r(t)
для всех А > 0 и всех £ £ Г таких, что А £ £ Т и cj(t) ф 0.
п
равен I 4- ^ А і для всех £, т.е. зависимость множителя от числа йену-
6
нюю грань значений с), общее для всех модулей непрерывности, не равных тождественно нулю.
В §2 главы 1 доказаны теоремы 2 и 3, которые дают решение задачи П. Л.Ульянова.
Теорема 2. Пусть для модуля непрерывности ш(Ь), заданного на [0, оо), существует вогнутый модуль непрерывности й(£), удовлетворяющий для £ > О неравенству а<(£) < о>(£) < 1ли>(Ь), где // постоянно. Тогда существует вогнутый на [0,оо) и бесконечно дифференцируеАтй на (0,оо) модуль непрерывности удовлетворяющий для £ > 0 неравенству
причем и?0(£) = о/(0)£ в некоторой окрестности
нуля, если и/(0) < ос.
Здесь и в дальнейшем иод окрестностью нуля подразумевается правая окрестность нуля. Если модуль непрерывности и;(£) определен на отрезке [О,/], то его можно продолжить на [О.оо), полагая о;(£) = ш(1) для £ > /, и применить теорему 2 к этому продолжению. Заметим, что любой модуль непрерывности о;(£) от одной переменной имеет конечную или бесконечную правую производную с</(0) (гл. 1, §2). Теорема 3 следует из теорем 1 и 2.
Теорема 3. Для любого невырожденного модуля непрерывности и;(£), определенного на [0, ос), существует вогнутый на [0, ос) и бесконечно дифференцируемый на (0, ос) модуль непрерывности и,'0(£), удовлетворяющий для £ > 0 неравенству и(£) < и/'о(£) < 2о;(£), причем о;о(0 = и'(0)£ в некоторой окрестности нуля. если о/(0) < ос. Кроме того, существует модуль непрерывности, определенный на [0, оо), для которого множитель 2 нельзя заменить на меньшую константу.
Последнее утверждение теоремы 3 остается верным, если от и;о(£) требовать только конечный порядок гладкости. Это следует из теоремы 1. Закончим описание главы 1 следствием о существовании гладкой вогнутой мажоранты для модуля непрерывности от нескольких переменных, которое легко выводится из теоремы 3. Для каждого * = 1,..., п обозначим через ^(£,) функцию, которая получается из щ(£х,..., £„) заменой всех
- Київ+380960830922