Оглавление
1 Две бинарные задачи с простыми числами 11
1.1 Постановка решения ............................... 11
1.2 Преобразование интеграла основного класса . . 13
1.3 Вспомогательные леммы (I)................... 25
1.4 Вспомогательные леммы (II).................. 29
1.5 Оценка сверху интеграла в остатке ................ 32
1.6 Мощность исключительного множества другой
задачи ........................................... 35
2 Особые множества на коротких промежутках 45
2.1 Задача типа ” р 4- [/Зц] ” 45
2.2 Задача типа ” р + [дг] ” 56
Введение
Настоящая диссертация относится к аддитивной теории чисел. В ней рассматриваются задачи об исключительных множествах в бинарных аддитивных проблемах, которые затем распространяются на короткие промежутки. Под понятием "короткого промежутка” мы имеем в виду, что отношение длины короткого промежутка к основному параметру стремится к нулю при росте этого параметра к бесконечности. А слово ” исключительное множество” означает ту совокупность чисел, которые не допускают заданного представления.
В 1742 году было выдвинуто два предложения, связывающие целые числа с простыми числами. Они звучат так :
(А) каждое нечетное число, превосходящее 9, представляется в виде суммы трех нечетных простых чисел;
(Б) каждое четное число, превосходящее 6, представляется в виде суммы двух нечетных простых чисел.
Несмотря на то, что математики не могли доказать эти два предложения, большое количество вычислительных опытов подтверждает, что вероятно, они имеют место. Эти два предложения и получили называние "проблема Гольдбаха-Эйлера”.
В течение 250 лет они постоянно привлекали и привлекают внимание самых выдающихся математиков. Благодаря этому были развиты новые важнейшие методы в области аналитической теории чисел.
И только в 1937 году И. М. Виноградов [5, 6] впервые получил нетривиальную оценку тригонометрической суммы но иро-
з
4
стым числам, а затем с помощью кругового метода Рамануджана-Харди-Литтлвуда-Виноградова доказал, что каждое достаточное' большое Н(*Ч('ТНО(‘ число является суммой трех нечетных простых чисел. Точнее говоря, И. М. Виноградов получил асимптотику 1{п) числа решений уравнения
и = р[ + Р 2 +
где р|, Р‘2, и />з •— простые числа. Он доказал, что где
7=1 ф VI) И» \Р-Ч (7>,»|)=1 (Р-Ч 2
Это в основном решило первое предложение. Метод И. М. Виноградова имеет глубокое значение. Он позволил его последователям получить дальнейшие результаты о представлениях целых чисел простыми числами.
Однако второе предложение, часто называемое бинарной проблемой Гольдбаха-Эйлера, до сих пор остается нерешенным. Ученые пытаются с разных направлении подойти к этому предложению. В частности, один из этих способов состоит в разложении четного числа в виде суммы простого и составного чисел. В этом направлении самого большого успеха достиг Чень Джнн-рун [15] . Он создал свой метод решета с весами и доказал, что любое достаточно большое четное число является суммой простого числа и произведения, в которое входят не больше двух простых чисел.
Другой важной задачей является определение верхней границы мощности исключительных множеств бинарной проблемы Гольдбаха-Эйлера, т.с. множества четных чисел, непредставимых в виде суммы двух простых чисел. Решение тернарной
проблемы Гольдбаха-Эйлера позволило сразу нескольким ученым получить первые результаты в этой задаче. В частности, в 1975 году X. Л. Монтгомери и Р. К. Вону [16] впервые удалось получить в них степенное понижение, хотя его числовое значение ими не вычислялось. В 1988 году Чен Джин-рун и Лю Ян-Мин [14] доказали, что для количества Т(х) четных чисел, не превосходящих х и непредставимых в виде суммы двух простых чисел при х —> оо справедлива оценка
Т(х) < х™.
В настоящее время самое большое продвижение в этом направлении имеет Ли Хон-дже. В 1999 году он [20] получил следующую оценку:
Т(х) « а;0,921.
Ясно что эти результаты уже утверждают, что почти все четные числа представимы в виде суммы двух простых чисел.
Рамачандра [22] распространил этот результат на короткие промежутки. Для количества Т(.т,х°) четных чисел, находящихся в промежутке (х — х°, х) и непредставимых в виде суммы двух простых чисел при х —> оо, он получил оценку
Т(х,х°) « -4-,
111 X
где
1Ї>0> 1 р £.
с
Здесь число с является той константой, которая возникает в оценке плотности нулей Ь— функции Дирихле :
Наиболее сложный момент в доказательстве Рамачандры состоит в том, что в конце промежутка суммирования сдвиг тригонометрической функции становится более коротким и слож-
G
ность оценки возрастает. Смысл его в том, что почти все четные числа, находящиеся в конце промежутка, представимы в виде суммы двух простых чисел при х оо.
В 1997 году Г. И. Архипов, К. Бурцев, В. Н. Чубариков [2, 1] обобщили бинарную аддитивную проблему Гольдбаха-Эйлера и рассмотрели вопрос о представлении натуральных чисел п в виде суммы
n = a{p) + b{q), (1)
где р, q — простые числа и а(х), Ь(х) — заданные целозначные функции натурального аргумента, кроме того, обычно предполагается, что число п подчинено некоторым естественным дополнительным условиям арифметического характера. Например, в бинарной проблеме Гольдбаха-Эйлера имеем
а(х) = т, Ь(х) = х и п = 0 (mod 2)
Они доказали следующие теоремы :
(A) Пусть р > 0, Т(х) количество чисел п на промежутке (2, л;) не представимых в виде
п = р + [fjq],
где р и q - простые числа.
Тогда при х —ї оо спі)аведливьі следующие оценки :
(а) если неполные частные числа р ограничены в совокупности, то
Т(.г) <**(log.г)8;
(б) если р — иррациональное алгебраическое число, то
Т(х) х*+€.
(B) Пусть с > 1 — нецелое число, су = 1, Т(.х) количество чисел п на промежутке (2,.т) не представимых в виде
п = р + [qc],
- Київ+380960830922