Оглавление
Введение................................................... 5
1 Линейно-квадратичная задача оценивания 18
1.1 Линейно-квадратичная задача оценивания.
Дискретное время...................................... 18
1.1.1 Постановка задачи .............................. 18
1.1.2 Сведение к задаче оценивания с возмущениями
типа белого шума............................... 20
1.1.3 Фильтр Калмана- Бьюси........................... 23
1.2 Спектральный метод вычисления
калмановского коэффициента усиления................... 24
1.2.1 Постановка задачи оптимального управления . . 24
1.2.2 Стационарная задача Калмана-Летова.............. 25
1.2.3 Спектральный метод с расширением задачи
управления...................................... 26
1.2.4 Коэффициент Калмана в задаче фильтрации . . 29
1.2.5 Решение уравнения Лурье через контурный интеграл в случае ненаблюдаемой пары матриц системы 30
1.3 Линейно-квадратичная задача оценивания.
Непрерывное время..................................... 33
1.3.1 Постановка задачи .............................. 33
1.3.2 Фильтр Винера - Колмогорова..................... 35
1.3.3 Алгоритм вычисления оптимального фильтра . . 37
1.4 Аппроксимация оптимального непрерывного фильтра с помощью дискретных
рекуррентных фильтров................................. 43
2
1.4.1 Сведение непрерывной задами оценивания
к дискретной.................................... 43
1.4.2 Свойства помех в дискретной задаче.............. 45
1.4.3 Пример.......................................... 47
1.5 Двойственность задач оптимального оценивания и управления .................................................... 53
Задачи Я30-оптимизации 56
2.1 Постановки задачи Я^-оптимального
управления............................................ 56
2.1.1 Стохастическая постановка задачи................ 56
2.1.2 Детерминированная постановка задачи............. 58
2.1.3 Третья постановка .............................. 60
2.1.4 Постановка задачи Я°°-субоптимизации............ 61
2.2 Двойственность задач управления и
фильтрации в Я°° постановке........................... 62
2.2.1 Постановка, задачи Я°°-оптимальной фильтрации 62
2.2.2 Двойственная задача управления.................. 64
2.3 Решение задачи управления при помощи
линейного функционального уравнения................... 66
2.4 Алгоритм решения линейного функционального уравнения для задачи фильтрации с запаздыванием
в возмущении.......................................... 72
Примеры 81
3.1 Объект первого порядка................................. 81
3.1.1 Решение линейно-квадратичной задачи оценивания 81
3.1.2 Решение Я°° задачи оценивания.................. 84
3.2 Задача отслеживания отклонения двухколесной тележки от заданной
прямолинейной траектории.............................. 88
3.2.1 Решение линейно-квадратичной задачи отслеживания ................................................. 89
3.2.2 Решение Я00 задачи отслеживания................ 92
3
Заключение Приложение Список литературы
Введение
В теории оптимальной фильтрации важнейшими разделами являются линейно-квадратичная теория Винера-Колмогорова фильтрации стационарных случайных процессов [9, 28, 44, 52], а также теория рекуррентных фильтров Калмана-Бьюси [7, 40, 41].
В теории Винера-Колмогорова оптимальной фильтрации стационарных случайных процессов решение задачи фильтрации дается в терминах спектральных плотностей наблюдаемых и оцениваемых случайных процессов. Искомая передаточная функция оптимального фильтра рассчитывается при помощи операций факторизации и сепарации над некоторыми функциями, определяемыми данными задачи фильтрации. Наиболее полно данная теория исследована в случае, когда спектральная плотность возмущений, воздействующих на случайные процессы, является рациональной функцией [13, 18, 29].
Оптимальные свойства рекуррентного алгоритма оценивания, известного как фильтр Калмана-Бьюси, были установлены в предположении, что оцениваемая величина удовлетворяет линейному стохастическому уравнению и линейная функция этой величины наблюдается на фоне некоррелированной помехи (белого шума). Калман связал сформулированную им в пространстве состояний теорию наблюдения линейных систем с понятием ортогональной проекции случайных векторов [40].
Уравнения линейной фильтрации выводятся в работах Уонэма и Каллианпура и Стрибела [38, 39, 54]. В обзорной статье Кайлата [37] имеются ссылки на литературу, в которой детально обсуждается связь между линейной фильтрацией и уравнениями Винера-Хопфа.
Построение фильтра Калмана-Бьюси при наличии корреляции между возмущениями и ошибками измерения представлено в работах Яз-вински [35] и Сейджа [19]. Исследование систем с коррелированными возмущениями в основном ограничивалось случаями, когда спектральная плотность возмущений является рациональной функцией. Тогда оптимальный фильтр допускает представление в виде фильтра с расширенным пространством состояний [18, 29], так как система может быть записана в виде конечномерного стационарного объекта с белым
5
шумом на входе.
Остановимся подробнее на этом преобразовании. Пусть объект оценивания задается системой уравнений
х = Ах + Bv, у = Сх + Di),
где v — гауссовский обобщенный стационарный случайный процесс. Предположим, что спектральная плотность процесса v ограничена на мнимой оси и допускает спектральную факторизацию S„ = Г(г)Гт(—г), где T(z) = d(z)~lc(z), d(z) = (f0-K.. + d„zn, c(z) = c0 + .. . + cnzn. Тогда процесс v порождается стандартным непрерывным белым шумом w:
d(p)v = c(p)w.
Введем процесс г] = v - cnw, для которого d(p)rj = c(p)w, где матричный полином c(z) = c(z) ~ d(z)cn< ; = cq + ... -f cn_i2n_1 имеет степень меньше п. Введем векторный стационарный процесс С Уравнением £ = FQ + Gw, где матрицы F и G имеют вид
F =
Введем расширенный вектор состояний я = со1(я, (). Тогда систему наблюдения можно записать в виде
і = Дя + £ш, у — Сх + Б гг,
/0 ... 0 0 ^3 1 ( г°
... ^ ... о •—* ^3 ... 1 , с = Cl
\о ... I 1 •43 1 ^П-1 /
где
А =
Л В<\ й_/в>
.0 F Г — VG> С = (С De„), D-Dcn,
< = (0,
0, /).
Исходный объект управления с гауссовским процессом на входе заменен эквивалентным объектом с белым шумом на входе. Поэтому
6
линейно-квадратичная теория синтеза оптимальных фильтров, созданная для объектов с белым шумом на входе, распространяется и на объ-
екты, у которых спектральная плотность возмущении является рациональной матричной функцией.
Если спектральная плотность возмущений в объекте или уравнении измерения не является рациональной, то размерность объекта становится бесконечной, а стандартный фильтр Калмана-Бьюси — операторным уравнением, непригодным для эффективных вычислений.
Поясним особенности расчетных алгоритмов синтеза линейно-квадратичных регуляторов на примере многомерных систем управления с возмущениями, имеющими рациональную спектральную плотность
Решение линейно-квадратичной задачи управления определяется через процедуры факторизации и сепарации. Рассмотрим следующую задачу линейной оптимизации: требуется минимизировать функционал качества управления
на переменные у и и. Здесь а, 6 — полиномиальные матрицы. Оператор V может обозначать сдвиг назад, если система задана в дискретном времени, £ = 0,±1,±2, ..., либо оператор дифференцирования, если система задана в непрерывном времени, Ь Є И. Минимизация осуществляется в классе допустимых стратегий управления, порождаемых стабилизирующими регуляторами
В дальнейшем оператор * означает транспонирование и замену ар-
[21].
связи
неотрицательна, при наличии ’’линейной
а(У)щ =
гумента Л на —Л для непрерывных систем и на Л 1 для дискретных систем.
7
Теорема ([21, теорема 3.4.7]). Предположим, что выполнены следующие условия:
1) пара матричных полиномов а(Х), Ь(Х) стабилизируемая;
2) И(Х) = ^ ^ , где (Н>д) — несократимая справа пара матричных
полиномов, такая, что к(Х)д~1(Х) = а~1(Х)Ь(Х);
3) функция К*(Х)ХТП.(Х) положительна при |А| = 1;
4) возмущение V — центрированный процесс, имеющий рациональную спектральную плотность
5,(А) = Г(А)Г* (А),
где рациональная функция Г(А) — устойчивая вместе со своим обращением Г (А)-1.
Тогда полиномы а(А), /3(А) стабилизирующего регулятора имеют вид:
а(А) = Ф(А)6(А) + [Л(Л)П-1(А)ГЛг(/°), 0(\) = Ф(А)а(А) - [Л(А)П_1(А)]*ЛГ (^") ,
где П(А) — устойчивая вместе с обращением П_1(А) рациональная функция, определяемая из условия факторизации
Я*(А)ЛГД(А) == 1Г(А)П(А);
функция Ф(А) специального вида,
Ф(А) = ^-(А)Г+(А) + Ф(А)[/„ - Г(А)Г+(А)],
с произвольной рациональной функцией Ф(А) обеспечивает сепарацию в выражении для коэффициентов а(А) и (3(Х), т. е. Нш|д|_>ооТ_(А)=0 и матричные функции а(Х) и (3(Х) не имеют полюсов в области неустойчивости.
Таким образом, расчетный алгоритм решения данной общей задачи оптимального управления состоит из нахождения полиномиальной матрицы П (процедура факторизации) и в компенсации неустойчивых
8
составляющих в матричных функциях а(А) и (З(Х) при помощи полиномиальной функции Ф(А) (процедура сепарации).
Для конечномерных объектов управления, к которым сводятся стационарные возмущения с рациональной спектральной плотностью, перечисленные операции легко осуществляются методом вычисления корней соответствующих многочленов и понижением порядка вычислительной задачи [30].
В главе 1 данной работы изложен алгоритм расчета оптимальных фильтров для конечномерных систем наблюдения, возмущения в которых имеют нерациональные спектральные плотности, в частности, когда возмущения конечно-коррелироваиы.
Метод решения основан на тех же процедурах спектральной факторизации и сепарации, что и в теории Винера-Колмогорова. Однако полиномиальные методы анализа заменяются на изучение свойств произвольных функций в пространствах Харди, в которых возникают проблемы сходимости интегралов и изучение свойств носителей импульсных характеристик у соответствующих передаточных функций.
Близкие линейно- квадратичные задачи управления и фильтрации рассматривались в работах Алиева и Ларина [1, 2]. На основе стандартного спектрального метода синтеза регуляторов, разработанного этими авторами, решены задачи, в которых основная операция факторизации все же остается полиномиальной, хотя следующая операция сепарации и окончательное решение выходит за рамки рациональных функций.
В работе Петрова и Фомина [15] были получены субоптимачьные линейно квадратичные оценки для непрерывно-дискретных систем наблюдения, в которых спсктрачьная плотность возмущения не являлась рациональной.
Линейно-квадратичная задача в непрерывном времени с конечнокоррелированным возмущением решена в разделе 1.3, где сформулированы основные уравнения для расчета оптима!ьного фильтра. Подробный численный апгоритм расчета оптимачьных фильтров в несколько более общей постановке задачи приведен в главе 2 данной работы.
9
Построение фильтра Калмана-Бьюси для конечномерных объектов наблюдения в дискретном времени в стационарном случае основано на нахождении неотрицательного решения уравнения Лурье
Н = А'НА - (А*НВ + С)(В*ЯВ + £> + 0‘)~1{А'НВ + С)*.
Для его решения обычно применяются итеративные методы. В [23] для определения нужного решения уравнения .Лурье предлагается использовать уравнение Риккати
Нм = А*НгА - (А*ЩВ + С)(В*ЩВ + В + В'У\А'НХВ + С)*
при начальном условии Щ = 0. Итерационная процедура определяет последовательность неотрицательных операторов //*, монотонно сходящихся к положительному оператору Я — решению уравнения Лурье, при этом скорость сходимости операторов Я/ кЯ экспоненциальная.
В [22] В.Н.Фоминым был предложен спектральный способ нахождения калмановского коэффициента усиления в задаче оптимального управления методом ” расширения” линейно-квадратичной задачи управления. Калмановский коэффициент определяется явной формулой через контурный интеграл от функции, определяемой матрицами исходной системы. Далее уравнение Лурье после подстановки найденного коэффициента усиления становится линейным, а именно, уравнением Ляпунова.
Для задачи фильтрации аналогичный способ расчета коэффициента Калмана представлен в разделе 1.2. Прямое обобщение результата
В.Н.Фомина по двойственности невозможно для систем с запаздыванием по возмущению по следующей причине.
Одним из необходимых условий применения спектрального метода расчета коэффициента Калмана была управляемость пары матриц объекта управления. В двойственной задаче оптимальной фильтрации для применения метода контурного интеграла требуется полная наблюдаемость пары матриц в объекте наблюдения.
В системах фильтрации с цветными шумами требуется предварительно расширять пространство состояний системы для сведения ее к каноническому виду Калмана. После сведения пара матриц объекта наблюдения оказывается, как правило, ненаблюдаемой.
10
- Київ+380960830922