Содержание
1 Введение 3
2 Лемма Фиттинга и ряд Леви 11
3 Теорема Крулля-Шмидга 16
4 Модули над матричным кольцом 21
5 Артиновы модули и абелевы группы без кручения 25
6 О кольце эндоморфизмов артинова модуля 33
7 Аномалии прямых разложений над локальным кольцом 34
8 Теорема Корнера-Цассенхауза 44
9. Литература 50
2
1 Введение
Центральной темой этой работы является теорема Крулля-Шмидта о единственности прямых разложений. Этот результат в буквальном смысле лежит в основе теории представлений. Существуют разнообразные формулировки этой теоремы для различных алгебраических систем. А.Г.Курошу, например, принадлежит вариант этой теоремы для групп. Нас будут интересовать разложения модулей я прямую сумму конечного числа слагаемых. Напомним классическую формулировку:
Теорема Крулля-Шмидта. Пусть М ~ артипов и нетсроь модуль над произвольным кольцом И и даны два разложения в прямую сумму неразложимых слагаемых:
М = Мі 0 М2 Є • * • 0 Мк и М = Аг, 0 А2 0 * • • 0 Ал
Тогда к = I и существует такая перестановка о, что М,- изоморфен Асг(і) при і - 1 ..к.
Кратко говорят, что разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых единственно с точностью до изоморфизма. Н этой ситуации будем говорить, что для модуля выполняется теорема Крулля-Шмидта. Позже было замечено, что в доказательстве этой теоремы определяющую роль играет' локальность колец эндоморфизмов неразложимых модулей; она имеет место для артиновых и нетеро-вых модулей, но не только для них. Теорема о единственности прямых разложений для модуля, раскладывающегося в прямую сумму модулей с локальными кольцами эндоморфизмов, носит в литературе название теоремы Крулля-Шмидта-Ремака-Адзумая (1, Глава 7]. Независимо от Г.Адзумая этот факт был использован З.И.Боревичем и Д.К.Фаддеевым при изучении р-адических представлений.
Обсудим вопрос об обращении Теоремы Адзумая. Для этого введем понятие замены. Говорят, что модуль М обладаег свойством за-
3
моны, если любых модулей А, X, Y таких, что М $ А = X ф У, найдутся подмодули Х\ С X,Yi С Y такие, что М ф А = Х\ ф Y\ ф А. Обращаем внимание, что имеется ввиду именно равенство, а не изоморфизм. Справедливо
Утверждение. Неразложимый модуль обладает свойством замены тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально.
Для модулей со свойством замены разложение в прямую сумму однозначно, точнее, любые два разложения одного и того же модуля в конечную прямую сумму имеют изоморфные уплотнения. Таким образом, из свойства замены вытекает теорема Крулля-Шмндта. Обратное, вообще говоря, неверно, примером чему являются вполне разложимые абелевы группы без кручения: теорема Крулля-Шмидта для них выполняется, но кольцо эндоморфизмов группы ранга 1 не обязано быть локальным [6, Глава 14].
Весьма любопытным является ослабление свойства замены свойство сокращения. Говорят, что модуль М обладает свойством сокращения, если для любых модулей А и В из А® М = В® М следует А = В. Оказывается, модуль обладает свойством сокращения тогда и только тогда, когда стабильный ранг его капьда эндоморфизмов равен 1. В частности, это так, если кольцо эндоморфизмов полу локально.
Большая часть понятий, связанных с прямыми разложениями, может быть переформулирована на языке колец эндоморфизмов. Назовем идемпотенты ей/ кольца Я изоморфными, если проективные Я-мод}'л и Rc и Я/ изоморфны. Если идемпотенты сопряжены внутри кольца Я, то они изоморфны. Для пол у локального кольца верно и обратное: изоморфные идемпотенты обязательно сопряжены.
Между разложениями модуля М = М\ ф М2 ф • • • Ф М* в прямую сумму подмодулей и разложениями кольца Е == End(M) в прямую
4
сумму левых идеалов Е = Ее.\ ©Ее2 0 • • • 0 Ее^ имеется естественное соответствие. При этом слагаемому соответствует идемпотент е, такой, что е,(М) = = 0 при г ф j. Очевидно, что изоморф-
ным прямым слагаемым соответствуют изоморфные идемпотеиты. Если прямое слагаемое неразложимо, то ему соответствует неразложимый идемпотент.
В настоящей работе исследуется, как обстоит дело с единственностью прямых разложений артиновых модулей. Впервые подобная проблема была поднята Круллем в 1932 году; он задал следующий вопрос: имеет ли место единственность разложения в прямую сумму для артинова модуля над произвольным кольцом Я [2]? Иначе говоря, является ли условие нетеровости существенным?
Опишем вкратце прогресс в этой области. Напомним, что ключевым моментом в доказательстве классического варианта теоремы Крулля-Шмидта является лемма Фиттинга, которая утверждает, что для любого эндоморфизма / модуля конечной длины М существует натуральное п такое, что М = Кег /п 0 1т /п. Из нес непосредственно следует, что кольцо эндоморфизмов неразложимого модуля конечной длины локально и его радикал состоит из нильпотентных эндоморфизмов. Поэтому попытки найти аналог леммы Фиттинга, который был бы справедлив не только для модулей конечной длины, представлялись весьма обоснованными.
Р.Уорфилд установил [10], что такой аналог имеет место для модулей, длина ряда Леви которых равная. В частности, кольцо эндоморфизмов неразложимого артинова модуля длины о; локально. Арти-цовы модули над коммутативными и над иетеровыми слева кольцами всегда имеют длину, не превосходящую ил Таким образом, Уорфилд решил проблему Крулля для случая, когда кольцо, над которым рассматриваются модули, нетерово слева или коммутативно.
В работе 112] показано, что теорема К рулля-Шмидта справедли-
5
ва для артиновых модулей над так называемыми пу-кольцами, то есть кольцами, всякий сюръективный гомоморфизм конечно порожденных модулей над которыми является изоморфизмом. Там же сформулировано некоторое специальное условие на кольцо, при выполнении которого всякий неразложимый артииов модуль над ним будет иметь локальное кольцо эндоморфизмов. При этом рассматриваемые артиновы модули могут иметь уже сколь угодно большую длину.
Основная теорема раздела 3 данной работы имеет аналогичный характер.
Теорема 1.1. Пусть R - кольцо с центром Zr. Обозначим через R факторкольцо Rf Rad R и положим Zr = (Zr -Ь Rad R)j Rad R. Предположим, что R - локально конечная алгебра, над Zr. Тогда для любого apmuttoea модуля над R выполнена обобщенная лемма Фит-типга и категория артиновых модулей над R является категорией Крулля-Шмидта.
Вопрос о справедливости теоремы Крулля-Шмидта для артиновых модулей в общем случае оставался открытым до 1994 іюда.
Основополагающей работой, проливающей свет на свойства прямых разложений была работа [4], в которой было показано, что кольцо эндоморфизмов артинова модуля полулокально. Этот факт имеет три важнейших следствия. Во-первых, артинов модуль обладает свойством сокращения. Во-вторых, он обладает свойством извлечения корня гс-ой степени, то есть если А - артинов модуль и Ап = Вп, то А — 13. В-третьих, существует лишь конечное число неизоморфных разложений артинова модуля в прямую сумму неразложимых слагаемых.
В работе А.Факкини, Д.Херберы, П.Вамоша и Л.С.Леви [5] была частично решена обратная задача: при каких условиях полулокаль-
6
- Київ+380960830922