Оглавление
Bne/ieime.......................................................... 3
Глава 1. Спектральные разложения п краевые задачи на отрезке и на действительной оси..............................................12
1.1. Скалярное ЭС-уравненис 12 .
1.2. Собственные значения и собственные функции характеристического уравнения.................................13
1.3. Дисперсионная функция и ее свойства......................22
1.4. Разложение гельдеровской функции по системе собственных функций на отрезке ...............................33
1.5. Разложение функций из некоторых классов
на действительной оси.....................................4о
1.6. Свойства собственных функций характеристического уравнения на отрезке и на действительной оси................. 63
Глава 2. Спектральное разложение на полуоси и егэ приложение
к решению граничных задач ..............*.................70
2.1. Однородная краевая задача Римана-Гильберта и
ее применение к спектральному разложению на полуоси .... 70
2.2. Свойства собственных функций характеристического уравнения на действительной полуоси...........................82
2.3. Граничные задачи и разложение их решений по системе собственных решений...........................................86
2.4. Непрерывная зависимость решений от граничных данных . . 91
Библиографический список
93
Введение
Актуальность темы. Многие задачи кинетической теории газов, физики плазмы, другие проблемы естествознания моделируются при помощи интегро-дифференциальных уравнений. К этому классу принадлежит уравнение
д **
р—Ч/(х,р)+Ч'(х,р)= |р(р,р'>|/(х,р')йр'. (0.1)
Ж -<о
Здесь Х€(0,-нэо), ре(-оо,+<ю), р(цдГ) - ядро уравнения, у(х,р) - неизвестная функция.
Предметом исследования диссертации являются системы собственных функций некоторого класса интегральных операторов, возникающих в связи с изучением уравнения (0.1). В основе настоящей работы лежат разложения гёльдеровских функций по системе собственных функций характеристического уравнения для уравнения (0.1). Центральное место при вычислении коэффициентов этих разложений занимает решение краевой задачи Римана-Г ильберта.
Получение явных аналитических представлений для решений уравнения (0.1) основано на классическом методе Фурье разделения переменных, когда общее решение линейного интегрального уравнения ищется в виде разложения по системе собственных функций соответствующего оператора. При этом оказалось, что у рассматриваемого уравнения (0.1) имеется как конечный набор собственных функций, отвечающий дискретной части спектра, так и континуальное множество собственных функций, отвечающих непрерывной части спектра. В отличие от классической ситуации, собственные функции, отвечающие непрерывному спектру, являются сингулярными обобщенными функциями, и соответствующее разложение по ним задается некоторым сингулярным интегральным оператором с ядром Коши.
4-
Развиваеммй аппарат применяется к решению различных граничных задач для уравнения (0.1), в частности, задач вида
или. что то же. ^(х,р)=ум(х,р)-Ю( 1). х—р<0.
Здесь ^о(р) - произвольная функция, удовлетворяющая условию Гбльде-
нейная комбинация частных решений уравнения (0.1). В основе решения таких задач лежит метод разложения решения граничной задачи по системе частных (собственных) решений уравнения (0.1), который, в свою очередь, основан на возможности разложения произвольной гельдеров-ской функции по системе собственных функций характеристического уравнения.
Хотя различным конкретным граничным задачам для уравнения (0.1) посвящено большое число работ, общий случай граничных условии изучен не был. Данное диссертационное исследование ставит целью обоб-щить как уже су ществующие методы качественной теории интегральных уравнений, так и предложить новые приемы для построения законченной теории решений краевых задач (0.1)—(0.3) общего вида включающей в себя условия существования и единственности решений краевых задач, описание свойств этих решений и получения для них точных аналитических представлений.
В литературе уравнение (0.1) с ядром
получило название эллипсоидально-статистического уравнения (ЭС-уравнения). Это уравнение возникает при описании сдвигового течения газа вдоль плоской поверхности.
Пт у(х.р>*\|/о(йХ 1*Х), Пт -^-ч'(х,ц)=ао, ц<0,
(0.3)
(0.2)
ра на положительной полуоси, ао- заданная постоянная, уи(х.ц) есть ли-
Цель работы — Изучение спектральных свойств интегральных операторов, возникающих при исследовании уравнения (0.1) методом Фурье разделения переменных. Разложение произвольных гельдсровских функций одного переменного но системе собственных функций. Развитие аппарата для решения граничных задач для ЭС-уравнсния, исследование свойств решений таких задач на основе развиваемой в диссертации методики построения точных аналитических решений: исследование вопросов существования и единственности решений, принадлежащих различным функциональным классам.
В ходе работы решались следующие научные задачи:
1. Применение классического метода Фурье разделения переменных для решения линейного однородного уравнения (0.1). Исследование спектра и системы собственных функций возникающего с связи с этим линейного оператора (характеристического уравнения).
2. Разложение произвольных гбльдеровских функций одного переменного но собственным функциям характеристического уравнения для уравнения (0.1), то есть их представление в виде сингулярного интегрального оператора с ядром Коши с заданными аналитическими свойствами.
3. Решение однородной и неоднородной краевых задач Римама-Г ильберта.
4. Получение аналитических представлений для решений различных граничных задач с заданной асимптотикой на бесконечности для ЭС-уравнения.
5. Исследование вопросов существования, единственности и аналитических свойств решений ЭС-уравнения.
Научная и практическая ценность работы. Работа ноет теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы при качественном исследовании ряда важных с прикладной точки зрения задач ки-
-6-
нетической теории газов, теории переноса нейтронов, физики плазмы, теоретической астрофизики. Развиваемый математический аппарат может быть использован в спектральной теории линейных операторов, в теории интегральных, гаггегро-дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Доказанные теоремы могут быть обобщены, в частности, на случай произвольного n-мсрного ЭС-уравнения, а также для других кинетических уравнений.
Научнаи новизна работы. Все результаты данной работы получены автором впервые. Основные результаты автора, выносимые на защиту:
1. Для уравнения (0.1) были найдены семейства сингулярных собственных функций - решений характеристического уравнения и исследованы их свойства. Были найдены интегральные представления общего решения ЭС-уравиеиия в виде разложения но собственным функциям дискретного н непрерывного спектров.
2. Доказаны теоремы о разложениях произвольных гелъдеровскнх функций по собственным функциям характеристического уравнения на произвольном отрезке, на действительной оси, на положительной действительной полуоси.
3. Приводится решение однородной и неоднородной краевых задач Римана-Гильберта, возникающее в процессе вычисления ядра соответствующего интегратьного оператора Коши. Разработанная процедура обобщает метод A.B. Латышева, однако для данного класса уравнений не была известна.
4. Найдены формулы для решений ЭС-уравнения с граничными условиями общего вида.
5. Исследованы свойства собственных функций характсрис-итческого уравнения.
Предшествующие результаты. Интерес к кинетическим уравнениям, в частности, к уравнению (0.1), возник сразу вслед за появлением статьи
7
Кейза [Case K.M., 1960], в которой был заложен метод нахождения решений уравнений переноса нейтронов, родственных к уравнению (0.1), в виде разложения по собственным сингулярным обобщенным функциям характеристического уравнения. Это разложение является аналогом формулы Грина для определения фундаметальных решений смешанных линейных уравнений с частными производными. Такого рода разложения лежат в основе метода Фурье разделения переменных и для своей реализации требуют, чтобы изучаемому уравнению соответствовала бы полная (в смысле метрики подходящего функционального пространства) система собственных функций одного из операторов, входящих в задачу. Заслуга Кейза состояла в том, что наряду с классическими (регулярными) функциями он включил в такую систему и систему собственных сингулярных обобщенных функций, получив тем самым полный набор собственных функций исходного уравнения.
В работах [34]-[36], [26] этот метод был применен к решению односкоростного уравнения Больцмана с изотропным рассеянием нейтронов. Однако никаких формул для вычисления коэффициентов разложений решений представлено не было, было лишь описано сведение разложения к системе интегральных уравнений Фрсдгольма.
Значительное продвижение в исследовании кинетических уравнений и их приложений были получены Полем Цвайфелем и Чарльзом Сивер-том (см., например, [38И39], [47]). Они показали, что задачу определения температурного распределения во внешних слоях звезды можно при определенных условиях свести к решению уравнения, эквивалентного односкоростному уравнению переноса нейтронов. В работах [35]-[39] были доказаны теорема о полноте собственных векторов в интервале — 1<ц<1 - т.н. "полнопространственная" теорема о полноте, и теорема об ортогональности собственных векторов в шггервале -1<ц<1, вычисляются нормировочные интегралы для собственных векторов, строятся функции Грина для бесконечной неразмножающейся среды и выясняется чне-
- Київ+380960830922