Оглавление
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. Оценки аппроксимации функций интерполяционными многочленами степени 4т + 1 и 4т + 2 21
Введение 21
§1. Предварительные сведения и результаты 22
§2. Существование биркгофовых интерполяционных многочленов степени 4т + 1 и 4т + 2 33
§3. Оценки сверху • 38
§4. Оценки снизу 67
ГЛАВА II. Приближение функций ха и хауа нелинейными множествами линейных и билинейных сплайнов 76
Введение 76
§1. Влияние вида разбиения отрезка на приближение функции ха 79
§2. Приближение функций ха и хауа 85
ЛИТЕРАТУРА 94
2
Введение
Диссертация состоит из введения и двух глав. В первой главе изучается зависимость приближения функций из ]¥4т+2М и И/4т+3М (см. ниже) и их производных на треугольнике Ас Я2 (Я - множество вещественных чисел) интерполяционными полиномами степени 4777+1 и 4т + 2 (т - натуральное число; т > 2 для случая 4т + 1) от геометрических характеристик треугольника. Эта задача тесно связана с методом конечных элементов. По лемме Сеа [26], скорость сходимости метода конечных элементов на области О С Яп зависит от расстояния между решением краевой задачи и подпространством конечных элементов. Однако нахождение этого расстояния является достаточно сложной задачей, и для оценки ошибки метода обычно используют не проекцию решения на пространство конечных элементов, а интерполяционную кусочно полиномиальную функцию. Последняя задача в свою очередь сводится к проблеме локальной интерполяции - интерполяции на каждом отдельно взятом конечном элементе (в данном случае это треугольник, а П - область в /?2, которую можно разбить на конечное число треугольников, таких, что любые два замкнутых треугольника либо не имеют общих точек, либо имеют одну общую точку, либо имеют одну общую сторону) из триангуляции исходной области. При этом выбор интерполяционных условий определяет базисные функции, участвующие в построении подпространства конечных элементов, на котором идет поиск приближенного решения краевой задачи, в связи с чем первая глава но сути является исследованием
3
в области приближения функций линейными множествами сплайнов. Проблема построения пространства конечных элементов побуждает многих авторов изучать существование интерполяционных многочленов на различных множествах, составляющих триангуляцию исходной области ІІ С Вг\ их аналитическое представление, гладкость соответствующих кусочно полиномиальных функций на П. Обзоры таких исследований и примеры пространств конечных элементов можно найти, например, в книгах Деклу [5], В.Г.Корнеева (10), Зенкевича и Моргана (8), Сьярле (26).
Для описания интерполяционных полиномов, изучаемых в первой главе, введем следующие обозначения: N - множество натуральных чисел, Z+ - множество неотрицательных целых чисел, А - невырожденный треугольник в Я2, и; = (х.у) Є Я2. Через а і (і = 1,2,3) будем обозначать вершины треугольника А; через а, /?, 0 - величины углов треугольника А при вершинах аь аз соответственно, 'у(ір) = тах{1, ctgy?}. Через пп г = 1,2,3, обозначим единичную нормаль к стороне треугольника [ап «*+]), где а4 = «]. Направление нормалей щ несущественно с точки зрения аппроксимативных свойств строящихся полиномов, однако оно имеет значение для обеспечения гладкости результирующих кусочно полиномиальных функций па триангулированной области И (в данном случае Н С В2 разбивается на треугольники). Для определенности выберем направление нормалей щ. г = 1,2,3, к сторонам [а,-,а,+і] следующим образом: если первая координата точки а,- меньше первой координаты точки аг+і или первые координаты этих точек равны, а вторая координата точки а,- меньше второй координаты точки а,-+і, то пусть п, будет направлена влево при движении от точки а, к а,+ 1; в противном случае щ будоч направлена влево при движении от а,4-і к а,-. На каждой из сторон [«■», і)
4
(г = 1,2,3) выделим множество точек {6;*}*=i, k = 1,...,т + 1, таких, что при каждом фиксированном к эти точки делят сторону, на которой они лежат, на А- + 1 равных отрезков:
. j
bik — ai "Ь , J (®t+l ~ ai)’
Далее будем считать, что вершины треугольника имеют следующие координаты: а\ = (6,0), a<i = (—а,0), аз = (0, /г); при этом пусть выполняются неравенства 0 < а < /3 < в, откуда следует, что 0 < а < 6, и длина наибольшей стороны треугольника Л равна а+ 6 = Н. В связи с тем, что цель, на которую в конечном итоге направлены исследования первой главы диссертации, это получение результатов, дающих возможность находить оценки приближения функций и их производных по произвольным направлениям интерполяционными многочленами с точностью до постоянных множителей, которые Fie зависят от функции и триангуляции области, но могут зависеть от степени приближающих многочленов, выбор указанной системы координат не накладывает ограничений на общность исследований, т. к. преобразования поворота, сдвига и симметрии могут лишь добавить к таким оценкам множители, не зависящие от функции и триангуляции. Сторону [аь б/Д назовем основанием треугольника Д, а [аьаз], \a^aj[ - боковыми сторонами. Через WkM, к = 4/72 -f 2,4т + 3, обозначаются следующие множества:
WkM = {/(я,у) : D1^ ^/(хуу) непрерывны в Д при 0 < / < к и |Z)£ < М
для любых (хуу) € Д и любых ... ,£*},
где D$f(x, у) = ^(0 _ производная функции f(x. у)
ох оу
по направлению £ = (£(1\£(20> (£(I))2 + (£(2^)2 = 1> М - некоторая положительная постоянная.
Пусть / Є №4т+2М. Через Ріт+і(х,у) = Рш+І(ш) = РЛт+ обозначим полином, степень которого по совокупности переменных не превосходит 4т -і- 1, удовлетворяющий трем группам интерполяционных условий. Первая группа задает условия в вершинах треугольника Л:
[/(«і) - Р4т+і(а;)1 = 0, (0.1)
дхп~1ду1
0 < п < 2т, 0 < / < п, г = 1,2,3;
вторая группа - условия в точках на сторонах треугольника:
\fiHk) ~ ^"4т-Н )] = (0-2)
1 < к < т, 1 <1<к, г = 1,2,3.
Обозначим через г, <7, £, ?/ единичные векторы, направленные от «2 к аз. от ач к аь от а\ к а2, от а1 к аз соответственно. Заметим, что £ = -а. Третья группа интерполяционных условий - условия в вершине а-2 (при среднем угле треугольника):
“ ■^4т+1 (^2)] = 0, (0.3)
г 1, г2 > т + 1, 2т + 2 < ц + г*2 < Зт.
Учитывая расположение треугольника Д в системе координат, заме-д{{х,у) д/(х,у)
ТИМ, ЧТО -г = . Отметим, ЧТО I 4т+\\Я>У) - ЭТО ПОЛИ-
ОО их
ном наименьшей степени на треугольнике, дающий кусочно полиномиальные функции, которые т раз непрерывно дифференцируемы на триангулируемой области [65], (66]. Наряду с 1\т+1(х, у) будет рассматриваться ПОЛИНОМ Р4т+2(я,у) = 2(^) = Р<\т+2(/? ^)» СТвПеНЬ
которого по совокупности переменных не превосходит 4т 4- 2, интерполирующий функцию / £ И'г4тп+3М :
дх»-1ду1 = 0, (0.4)
0 < п < 2777., 0 < / < п, г = 1,2,3;
дпк [^^(*+1)) ^4т+2(Ці+і))] — о,
О < к < т, 0 < ; < *, і = 1,2,3;
(0.5)
Л»1+*2
^—^7 “ Лт+2(а2)І = 0, (0.6)
гь*2 > т 4-1, 2т 4- 2 < г'і 4- г*2 < 3т 4-1.
Наконец, введем следующие обозначения:
Єі(х, у) = і{х,у) - Р4т+і(х,у), где / Є И'4га+2М;
«зО&іУ) = /(*>у) - Ат+2(*,</), ГДЄ / Є Ж4т+3М.
В связи с методом конечных элементов оценкам погрешности аппроксимации функций полиномами с различными интерполяционными условиями посвящено много работ [12]—[14], [20]—[24], [28]—[30], [33] -[43],[45]—[51], [58]—[69]. Обзоры на эту тему можно найти в работе Зламала и Женишека [69], книгах Варги [4], Ю.С.Завьялова, Б.И.Квасова. В.М.Мирошниченко [7] и уже названных книгах Дек л у, В.Г.Корнеева. Зенкевича и Моргана, Сьярле. До начала 70-х годов для треугольников и п-симплексов (п > 3) были получены в основном оценки ошибок приближения функций многочленами малых степеней. Здесь можно назвать работы Зламала [67], Синжа [62), Холла [46], Сьярле и Вагшала [43], Виркгофа [36], обзор Зламала и Женишека [69]. Однако уже в начале 70-х годов Брамбл, Зламал, Женишек, Сьярле и Равьяр получили ряд результатов для приближения функций различными интерполяционными полиномами произвольной степени [40], [42], [64]. [69]. Так, Женишек [64] обобщил результат Зламала [67] и рассмотрел задачу приближения функции у) Є И’1ш+2Л/ интерполяционным
і
полиномом Р4т+1 , удовлетворяющим условиям (0.1), (0.2), (0.7):
д*1+Ь __
д£й дф ~~ ^т+1 (а1)} = 0, (0.7)
*1, «2 > т + 1, 2т + 2 < м + г2 < Зт,
т. е. здесь третья группа условий - это условия в вершине при наименьшем угле треугольника. Для задачи (0.1), (0.2), (0.7) в [64] были получены следующие оценки на классе функций И/4т+2Д/ :
(/(*,?) - Р4«+1(г,»))| < А'М(5ша)-*Я4-+2- (0.8)
для любых £ь...,С,> где 0 < г < 4т + 1, (я, у) е Д, А” - некоторая положительная постоянная, не зависящая от / и триангуляции. В работе [40] Брамбл и Зламал доказали оценки, подобные (0.8) для полиномов степени4т+1, удовлетворяющих условиям (0.1), (0.2) и дополнительным условиям в центре тяжести треугольника. Там же ими были рассмотрены некоторые другие процессы интерполяции полиномами степени 4т + х, X = 1,2,3,4. Позднее Сьярле и Равьяр [42] решили задачу приближения функции на произвольном выпуклом множестве в пространстве Я", из которой вытекают оценки (0.8),а также аналогичные им оценки в терминах наименьшего угла треугольника для задач (0.1)—(0.3), (0.4)—(0.6) и оценки Брамбла и Зламала [40], [69]. Впоследствии различными авторами были получены оценки приближения функций и их производных в равномерной метрике и метриках пространств Ьр на треугольниках, п-симплексах и некоторых других областях. Работы, посвященные этой проблеме, можно разделить на две группы: 1) большая часть известных оценок отражает зависимость ошибок аппроксимации от геометрии элемента, причем в качестве геометрических характеристик наиболее часто выступают диаметр элемента и максимальный диаметр содержащихся в нем сфер
8
- Київ+380960830922