Интегральная геометрия симметричных тензорных полей в комплексном пространстве и интегральная геометрия матриц

Оглавление
Введение 3
1 Интегральная геометрия симметричных тензорных полей в комплексном пространстве 8
1.1 Определение симметричных тензорных полей в
комплексном пространстве и операций над ними ....... 9
1.2 Определение лучевого преобразования и теорема о разложении на потенциальную и бездивергентную части ... 10
1.3 Формула обращения лучевого преобразования......... 16
1.4 Описание образа лучевого преобразования............36
1.5 Доказательство теоремы о тангенциальной компоненте . . 41
2 Интегральная геометрия с матричным весом и одна нелинейная задача восстановления матриц 62
2.1 Интегральная геометрия с матричным весом...........62
2.2 Нелинейная задача восстановления матриц ...........72
3 Обратная задача для системы кинетических уравнений, возникающей из системы уравнений Власова равновесной плазмы 80
3.1 Постановка обратной задачи.........................80
1
3.2 Лемма о регулярности семейства траекторий..........83
3.3 Интегральная геометрия вдоль п семейств кривых . . . .105
3.4 Разрешимость обратной задачи в частном случае.....111
4 Примеры пеединственности в задачах обобщенного преобразования Радона и эмиссионной томографии с поглощением 113
4.1 Пример неединственности для обобщенного преобразования Радона с весом, инвариантным относительно вращений ..................................................113
4.2 Пример неединственности для задачи эмиссионной томографии с поглощением..................................116
Литература............................................120
Публикации автора....................................12.3
2
Введение
В диссертации рассматриваются задачи интегральной геометрии симметричных тензорных полей в комплексном пространстве, линейные и нелинейные задачи интегральной геометрии матриц, некоторые их приложения к обратным задачам и вопросы единственности для обобщенного преобразования Радона.
Началом развития интегральной геометрии принято считать работу Радона 1917 года, в которой он решил задачу восстановления функции на плоскости по набору ее интегралов вдоль всевозможных прямых ( ее русский перевод можно найти в приложении в книге [27] ). Он нашел формулу обращения соответствующего интегрального преобразования, которое называют преобразованием Радона.
Ранее Г. А. Лоренц, Г. Минковский и П. Функ нашли способ восстановления четной функции, определенной на сфере, но ее интегралам вдоль всех больших кругов. Однако именно Радон впервые поставил общую задачу восстановления функции на поверхности по ее интегралам вдоль кривых из некоторого двухпараметрического семейства ( см. [27]).
В диссертации интегральная геометрия понимается, как область математики, которая изучает преобразования функций, дифференциальных форм, тензоров и других объектов, заданных на многообразии, ставящие им в соответствие наборы их интегралов вдоль подмногообразий из некоторого семейства подмногообразий. Основным вопросом является при этом возможность восстановления этих объектов на многообразии, если известны все соответствующие интегралы. Большой интерес представляют явные формулы обращения и вопросы устойчивости восстановления.
3
Такое понимание предмета интегральной геометрии сформировалось в работах И. М. Гельфанда и его школы ( см.[7, 8] ), а также в работах
С. Хелгасона (см.[34, 35]). Его следует отличать от понимания интегральной геометрии в смысле геометрической теории вероятностей ( см. [24, 25] ). В работах И. М. Гельфанда, С. Г. Гиндикина, М. И. Грасва,
Н. Я. Виленкина, Г. М. Хенкина и других авторов изучаются преобразование Радона и его аналоги в вещественном, комплексном, проективном пространствах и пространствах постоянной кривизны, преобразования интегральной геометрии для р-мерных плоскостей, дифференциальных форм и рассматриваются их приложения к теории представлений групп.
Задачи интегральной геометрии возникают в математической физике и теории обратных задач для дифференциальных уравнений. Например, они возникают, как линеаризация обратной кинематической задачи сейсмики. Эти задачи изучаются в работах М. М. Лаврентьева,
В. Г. Романова, Ю. Е. Аниконова, А. Л. Бухгейма и других авторов (см.[3, 4, 6, 12, 21, 22, 23]). При этом интегрирование в преобразовании интегральной геометрии производится не по прямым или плоскостям, а по подмногообразиям более сложной природы. Явных формул обращения для таких преобразований, как правило, построить не удается и поэтому наиболее важным является вопрос о единственности восстановления и его устойчивости.
Для семейств кривых и поверхностей, инвариантных относительно сдвигов, и для семейств кривых в круге, инвариантных относительно поворотов, этот вопрос изучен В. Г. Романовым (см. [22, 23]). Он также изучил задачу интегральной геометрии для геодезических изотропной римановой метрики (см. [21] ).
В работе М. М. Лаврентьева и Ю. Е. Аниконова (см. [3]) была доказана единственность восстановления функции в части полуплоскости по интегралам вдоль семейства кривых — обобщение двумерного варианта результата Р. Куранта о восстановимости функции в полупространстве по ее интегралам вдоль всевозможных полусфер с центрами на границе полупространства (см. [11] ). В работе М. М. Лаврентьева и А. Л. Бухгейма (см. [6]) доказана однозначная разрешимость задачи интегральной геометрии вдоль семейств гиперповерхностей в достаточно малой области пространства.
Р. Г. Мухометову удалось доказать единственность восстановления функции по ее интегралам вдоль достаточно произвольного семейства
4
кривых в области на плоскости в работах ([16, 17]).
В связи с задачей восстановления римановой метрики многообразия по длинам геодезических, соединяющих точки его границы, а также в связи с проблемами томографии анизотропных сред, В. А. Шара-футдинов рассмотрел задачу интегральной геометрии для симметричных тензорных полей в вещественном пространстве (см.[30]). Им было всесторонне изучено соответствующее интегральное преобразование найдены его ядро и образ, явные формулы обращения.
В работе Е. Е. Петрова (см. [19]) изучается задача интегральной геометрии скалярных функций, определенных на аффинных пространствах матриц. При этом эти функции интегрируются вдоль некоторых аффинных подпространств. В работе найдена формула обращения соответствующего интегрального преобразования и описан его образ.
Важное теоретическое значение задачи интегральной геометрии имеют для изучения уравнений Максвелла и уравнений теории поля (см. [9]). Они позволяют получать явные формулы для их решений и дают представления всех решений. Это один из примеров значимости задач интегральной геометрии в комплексном пространстве. Другим примером являются приложения к теории представлений групп (см.[8]).
Практическая важность интегральной геометрии связана с ее приложениями к компьютерной томографии. Она является ее математической основой, позволяет находить для нее наилучшие алгоритмы. Компьютерная томография, в свою очередь, имеет большое значение в медицине, геофизике, сейсмологии, физике, технике.(см. [20, 26]).
Классическая томография восстанавливает скалярную функцию по набору интегралов от нее вдоль кривых или поверхностей. Имеются вместе с тем такие задачи, в которых неизвестными являются несколько функций, а данными — интегралы от некоторых их линейных комбинаций с весовыми множителями вдоль семейства кривых (см. [1]). Такого рода задачи можно изучать в рамках рассмотренной в диссертации задачи интегральной геометрии матриц с матричным весом.
Многие практические задачи восстановления внутренней структуры объекта по данным измерений на границе являются нелинейными, и задачи линейной интегральной геометрии являются лишь первым приближением для них. Таковой является, например, обратная кинематическая задача сейсмики. В связи с этим в диссертации изучается задача нелинейной интегральной геометрии для матриц.
Важное практическое применение в томографии находит задача об-
общенного преобразования Радона (см. [18, 20]). В связи с этим в диссертации рассмотрен вопрос; о его обратимости, построены примеры неединственности восстановления.
Для задачи эмиссионной томографии с поглощением построен пример неединственности в случае, когда коэффициент поглощения зависит от направления. Заметим, что в случае изотропного С’2-гладкого коэффициента поглощения в работе Е. В. Арбузова, А. Л. Бухгейма и
С. Г. Казанцева (см.[33]) установлена однозначная и устойчивая восстановимость функции источника и установлена формула обращения.
Методика исследования
В работе используются методы математического анализа, теории обобщенных функций, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравпсний с частными производными.
Научная новизна и практическая значимость работы
В диссертации получены следующие основные результаты :
1. Изучено лучевое преобразование симметричных тензорных полей в комплексном пространстве, найдено его ядро, выведена формула обращения для восстанавливаемой части тензорного поля, найдено описание образа преобразования в виде решений системы дифференциальных уравнений высокого порядка.
2. Рассмотрена задача интегральной геометрии матриц с матричным весом в плоской области вдоль регулярного семейства кривых. При некоторых ограничениях на вес, доказана теорема о единственности и устойчивости восстановления матриц.
3. Рассмотрена нелинейная задача матричной интегральной геометрии. При определенных априорных ограничениях на искомые матрицы доказана теорема о единственности и устойчивости их восстановления.
4. Рассмотрена задача интегральной геометрии векторов с матричным весом вдоль п семейств кривых в плоской области. Единственность и устойчивость восстановления векторов установлена при некоторых ограничениях на вес.
5. Рассмотрен частный случай обратной задачи для системы уравнений Власова равновесной плазмы. Решение задачи интегральпой геометрии вдоль п семейств кривых применено для доказательства разрешимости обратной задачи в этом частном случае.
б
6. Рассмотрена задача обобщенного преобразования Радона с весом, инвариантным относительно вращений и задача эмиссионной томографии с поглощением. Построены примеры, в которых эти преобразования имеют ненулевое ядро.
Все полученные результаты являются новыми. Они могут быть применены при разработке теоретических вопросов интегральной геометрии и , в практическом плане, в различных задачах томографии.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на семинаре Института математики СО РАН по обратным задачам математической физики под руководством д.ф.-м.н. Ю. Е. Аниконова , XXIX Всесоюзной студенческой научной конференции ” Студент и научно-технический прогресс11 1991 г., V Всесоюзном симпозиуме по вычислительной томографии 1991 г., объединенном семинаре отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетника.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37, 38, 39, 40].
Объем диссертации
Диссертация изложена на 123 страницах, состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 40 наименований.
7
Глава 1
Интегральная геометрия симметричных тензорных полей в комплексном пространстве
Интегральная геометрия в комплексном пространстве представляет большой интерес в теоретическом плане. Укажем на ее роль в теории представлений и на интегральное преобразование Радона - Пенроуза, дающее представление всех решений уравнения Максвелла в виде интегралов но комплексным прямым в комплексном проективном пространстве СР3 ([8. 9]). В данной главе на комплексный случай переносятся результаты цикла работ В. А. Шарафутдинова ([13, ‘29. 30, 31]) по интегральной геометрии симметричных тензорных полей в вещественном пространстве. Вводится лучевое преобразование тензорного поля, связанное с его интегрированием по комплексным прямым; изучается его ядро; выводится специальная формула обращения; описывается образ этого преобразования в виде решений некоторой системы дифференциальных уравнений высокого порядка. Основные методы главы аналогичны методике из [13, 29, 30, 31].
8
1.1 Определение симметричных тензорных полей в комплексном пространстве и операций над ними
Для целых />, > 0 обозначим — пространство тензоров бистепени
(р, <?) на Сп, т.е. функций
С-линейных по каждому из первых р аргументов и С-антилинейных по каждому из последних q. Через 5^ обозначим подпространство симметричных тензоров, т.е. симметричных отдельно но группам первых р и последних (I аргументов функций. Имеется каноническая проекция
где П — группы подстановок.
Удобно считать, что Тяр = Бчр = 0 при отрицательных р или д. Фиксируем в Сп базис еь...,еп и эрмитову форму (г , гг) = Тогда
тензор / € можно записать в виде:
(здесь и дачее подразумевается суммирование по повторяющимся индексам, независимо пробегающим от 1 до п). Набор чисел будет
набором координат тензора /. Введем в структуру комплексного гильбертова пространства с помощью эрмитовой формы
Сп х ... х Сп х Сп х ... х Сп - С
Ч
ч
V*
<7/(^1 2р, и>,) =
</і 9> = / -
71 ...7о -71 -..7^
Для тензоров / 6 € 5(п определим симметричное произведение
/.9 = *(/ ® <?) € и сверточное произведение / О д £ •*