Линейно-инвариантные семейства функций

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Д — круг {г : |г| < 1},
дА — окружность {г : \х\ = 1};
л.-и.с. — линейно-инвариантное семейство;
9Л — линейно-инвариантное семейство (л.-их. );
/С — класс выпуклых функций;
С — класс почти выпуклых функций;
5 — класс аналитических и однолистных в Д функций;
5я — подкласс класса 5 функций с вещественными коэффициентами;
У2а — класс функций с ограниченным граничным вращением;
Ыа — универсальное л.-и.с. ;
М(г,(р) = шах |<р(г)|, г 6 (0,1), <р непрерывна в А или в Дт;
\г\<г
ге2),/(«ц, ш2) — метрики на римановой поверхности /(Д); /.(,,«) = Л„[/)М = о € Д, К, ф) -
Л) ~ .
11-’
1 + аг
/(-г, о) = /о(г,а); ~ 2а
- 1
ч 1 ~ ге~{в ,
н.и.р. — направление интенсивного роста функции;
9Л[/] — л.-и.с. , порожденное функцией /;
5* — класс звездообразных функций, 5* С 5;
Ы'аУ и* — л.-и.с. функций, представимых интегралом Стилтьеса с комплексной мерой;
Р(х) — класс аналитических в Д функций р(г) = 1 + + ... , для
С7Г 7Г\ е .
такое, что Ие {е*7/>(г)}
2 2'
> 0 в Д;
м 7п-й тейлоровский коэффициент в разложении аналитиче-
ской функции <р(г) в окрестности нуля;
Та к — радиус выпуклости в Ыа\ г „(о) — радиус однолистности в Ыа;
3
Щ,в) — ^-радиус семейства Ыа\ г*(а) — радиус звездообразности в Ыа\
гг, ч , /"'(*) 3//"Ы\2
~ 2 \~pJJ) ) ~ производная Шварца;
В — класс функций Блоха;
||<7||я = |г/(0)| 4- зир[(1 — М2)|</(2)| — норма Блоха аналитической
функции д:
Во — малый класс Блоха;
Н(а, К) — семейство гармонических К-квазиконформных отображений (см. определение 19.2);
/?1 (а, К) — радиус однолистности в Н{сх,К)\
И — л.-и.с. гармонических отображений (определение 19.3); дп/ — п-я частная производная по г гармонической функции /(*, г); а / — п-я частная производная но 2 гармонической функции /(г, г); д$ / — п-я производная по направлению вектора е** функции /;
N — множество натуральных чисел;
£(е1^, /) — предельное семейство в точке ег0 для функции / из л.-и.с. ;
Дт (С Ст) — единичный поликруг,
О — нуль в Дт;
/ = (1,1,... ,1);
Фа(%) = ( У +Я‘ , • • ■ , "7 ~ ) — автоморфизм Дт, <1* 6 Д, А:
VI+01«! 1 + атгт;
= 1,... ,т;
/.(.) - Л»МЙ = ;
- М’)
4
ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена исследованию линейно-инвариантных семейств (л.-и.с. ) аналитических функций, введенных СЬ. Роштегепке [Р1]. В предлагаемой работе решено несколько известных задач в л.-и.с. аналитических функций; исследованы и в ряде случаев решены некоторые вновь поставленные задачи в л.-и.с.; разработан вариационный метод в л.-и.с. функций, представимых интегралом Стилтьеса с комплексной мерой; установлена и успешно использована связь л.-и.с. конечного порядка с классом Блоха; понятие л.-и.с. обобщено на гармонические локально квазиконформные отображения; понятие л.-и.с. обобщено па аналитические в поликруге функции, установлена связь этих семейств с классом Блоха аналитических в поликруге функций.
Актуальность темы. Исторические сведения. Основным объектом исследования в этой работе являются универсальные линейноинвариантные семейства Ыа. Термин линейной инвариантности семейства 9Л аналитических и локально однолистных в круге А = {г : \г\ <
оо
1} функций вида /(г) = 2 + ^ ап(/)гп впервые введеп СЬ. Роштегепке
п=2
[Р1] в 1964 году и означает, что наряду с каждой функцией / € 9Л этому семейству принадлежит и функция
*[/1( } Г(ф(0))<р'(0) + " (1)
при любом конформном автоморфизме ф(г) круга Л. Интерес к линейно-инвариаитным семействам вызван тем, что многие известные классы конформных отображений являются линейно-инвариантными семействами и обладают рядом свойств, общих для всех таких семейств.
Важнейшими примерами л.-и.с. являются классы: /С — выпуклых функций, однолистно отображающих круг Д на выпуклую область; 5 — всех однолистных в Д функций указанного вида; — классы функций с ограниченным граничным вращением, т. с. локально
однолистные функции, для которых полная вариация угла наклона касательной к образу любой окружности {>гг : |^| = г}, г £ (0,1), не превосходит 27га, а > 1 (при о- > 2 классы V2a уже содержат не однолистные функни и).
В [Р1] также введено понятие универсального л.-и.с. Ua,a > 1. Как следует из ниже приведенной теоремы 1.1. Ua — это наибольшее л.-и.с. , функции / которого удовлетворяют неравенству
|№)| s (1 - Ир' ■ г е (2)
Таким образом, исследуя UQ) мы получаем информацию обо всех л.-и.с. функций, ”не слишком быстро” растущих при приближении к границе Д. С другой стороны, введение универсальных линейно-инвариантных семейств Ыа позволило с общих позиций изучать свойства всех локально однолистных в Д функций конечного порядка. При этом оказалось, что изучение классов конформных отображений, основанное на их линейной инвариантности, не только позволяет получить обобщение ранее извести?,ix результатов на более широкие классы функций, но и новые результаты (в т. ч. в классе S однолистных функций), и новые, подчас более простые, доказательства. Идея использования линейной инвариантности различных классов функций достаточно стара, ее применял еще L. Bieberbach [В1] при доказательстве теоремы искажения в классе однолистных функций. Однако, в работах Ch. Pommerenke [PI], [РЗ] эта идея была поставлена во главу угла.
В большом списке работ, посвященных исследованиям л.-и.с. , можно выделить 2 основных направления: экстремальные задачи в л.-и.с. и граничное поведение функций. В частности, Ch. Pommerenke [PI] дал верхнюю и нижнюю оценки для С(|^|) = max |arg/'(,z)| (теорема
вращения); D. М. Campbell и М. R. Ziegler [CZ1], [CZ2] в 1974 году, а затем D. М. Campbell и J. A. Pfaltzgraff [СР] в 1976 году исследовали свойства G{\z\)y однако вопрос о точности значения C(|z|) оставался открытым. В [Cl] D. М. Campbell дат оценки сверху и снизу для Up -радиуса семейства Ua,f3 < or, т. е. максимума таких р Е (0,1), что
- —— G W3 для всех / G однако, и здесь вопрос о точном значении Р
U$-радиуса не был решен. Очень трудной задачей оказалась оценка коэффициентов функций f(z) = z + 2а*гП ^ здесь нет даже точной оценки |аз|. Из определения Ыа следует, что |«21 < о; в 1971 ro;iy D. М. Campbell, J. A. Cima и J. A. Pfaltzgraff [ССР] по аналогии с гипотезой L. Bieberbach’a для однолистных функций предположили, что аналог функции Кёбе в Ыа дает максимум |а3| в Ыа и он равен
^а2 -f . За справедливость этой гипотезы говорили и некоторые
полученные в [ССР] результаты. Однако гипотеза оказалась ложной
(опровержение её, как и решение двух других выше упомянутых задач,
дано в предлагаемой работе).
Для непрерывной в А функции ф обозначим Л/(г, ф) = шах \ф(г)\. В
М=г
классе S однолистных функций известен следующий результат (теорема регулярности) [К], [Н], [В2]: для каждой функции / G 5 существуют постоянные S° G [0,1] и фо G К такие, что
<5° = lim М(г,/)(1 - г)2 — i lim Af(r,/')(1 — г)3 =
г —► 1 ” 2 г—► 1 ~
lim |/(ге‘*°)|(1 - г)2 = 1 Ит |/'(ге'фо)|(1 - г)3. (3)
Г— 1” Z Г—г 1-
D. М. Campbell [С2] детализирован этот результат для функций / G S П Ка, а < 2. Он предположил, что аналог равенств (3) справедлив в классах функций с ограниченным граничным вращением \\Q ^ £7а для всех а > 1. В данной работе доказана справедливость этого утверждения не только в V2a, но и во всем семействе Ыа, причем, в гораздо более широкой формулировке.
оо
В л.-и.с. S однолистных функций f(z) = z+yj anzn A. C. Schaeffer
n=2
и D. C. Spencer описали множество функций, дающих локальный экстремум \ап\ и |ат|, п ф т одновременно при дополнительном предположении: (n — 1) и (777.- 1)— взаимно простые [ScSp], [Dl]. А. К. Бахтин
в [ВаЫ], [ВаЬ2] решил такую задачу при дополнительном предположении: а2 ф 0 для экстремальной функции. Решение этой задачи безо всяких дополнительных ограничений приведено в §15 этой работы.
В 80-е годы стала активно развиваться теория однолистных и локально однолистных гармонических в Д функций (см., например, обзор [ВН]). При этом в основу определения и изучения классов таких гармонических комплекснозначных функций, по аналогии с регулярными в Д функциями, закладывалась обычно геометрическая характеристика функций исследуемого класса (выпуклость, почти выпуклость, звез-дообразность, однолистность, симметричность /(Д) относительно вещественной оси). Т. йЬеЛ-ЗтаН [8-5] первый использовал линейную инвариантность при изучении семейств однолистных гармонических функций. В [8114] в основу определения изучавшихся классов гармонических функций положены свойства линейной инвариантности и локальной квазиконформности. Такой подход, в частности, позволяет не только получить ряд уточнений известных результатов в ранее изучавшихся классах гармонических отображений при условии их квазиконформности, но и новые результаты в этих классах.
Цель работы. Получить точные оценки или уточнения в ряде известных неравенств в решить новые экстремальные задачи. Для этой цели, в частности, вводить и изучать более просто устроенные подсемейства разработав в них вариационный метод. Доказать теорему регулярности в Ыа. Установить и использовать связь между классом функций Блоха и семействами Ыа для исследования этого класса и этих семейств. Ввести и исследовать л.-и.с. гармонических функций; сравнить геометрическую характеристику функций Блоха в аналитическом и гармоническом случаях. В линейно-инвариантном семействе 5 дать описание функций, одновременно локально максимизирующих два функционала. Перенести понятие линейной инвариантности на функции, аналитические в поликруге, установить их связь с классом Блоха.
Перейдем к краткому содержанию работы. Основной целью первой главы является доказательство теорем регулярности в Ыа.
В 1-м параграфе даны исходные и доказаны эквивалентные опреде-
8
ления универсального л.-и.с. Ыа.
Порядком л.-и.с. ШТ называется [Р1] число ог<4 Ш = яир |а2(/)|.
Пусть /(г) = г + • • ■ локально однолистна и аналитична в Д; порядком функции /(г) называется число огс! / = огс! 9Л[/], где 9Л[/] = {Аф[/](г) : <£ € £} — л.-и.с., порожденное функцией /.
Универсальным л.-и.с. порядка а называется [Р1] объединение всех л.-и.с. 9Л, для которых огс! 9Л < а; оно обозначается 1Ла.
Важнейшие примеры л.-и.с. — классы /С, 5, — приведены на
4-5 стр. введения. Остается заметить, что Ыа = 0 при а < 1, Ы\ = /С И 01x1 /с= 1, 01x1 5 = 2, ОГс! 1^2а = <>•
Обозначим наибольшее л.-и.с., функции / которого удовле-
творяют неравенству (2). В §1, в частности, доказано, что ТХ'а = Нужно отметить большую значимость этого факта в развивающейся теории л.-и.с. отображений шара в С” (результаты этого направления выходят за рамки темы диссертации).
2о—1
Из (2) следует, что для / 6 Ыа М(г,/') < ц 2 • §2 посвящен
исследованию функций максимального роста, т. е. таких функций из Ыа, для которых М(г, /') растет как (1 - г)“"“1 при г —» 1 — . Теоремой регулярности называют теорему, в которой утверждается, что функции, имеющие максимальную для данного класса скорость роста, растут гладко (или регулярно). О. М. СатрЬеИ [С2] доказал следующую теорему регулярности:
для любой функции / 6 иа при каждом ф е [0,2тг) величины (1 — г')а+1 (1 — г Vх"1"1
1/,(ге,*)1(1 + г)"-1 11 П'(1 + г)"-' Убывают по т на [°> ^ и стРе'
мятся
при г —> 1 к Л и <5°, соответственно;
= 1 <=► /Щ = кв(г) = |][( | + 3*~*в Г - 1], веж. Причем убывание строгое, если / ф к$.
Оказалось, что свойство регулярности роста является в иа гораздо более общим. Для формулировки соответствующего утверждения
9
дадим определения двух метрик на римановой поверхности F = Ff = /(А). Пусть V — кривая на F, diam V — диаметр проекции кривой на плоскості» С, l(V) = [у \dw\ — длина проекции кривой V в предположении, что l(V) существует. Пусть w\, и?*} Е F, обозначим
d(wi, W’>) = df(w і, w2) = inf diam V,
/(wb-w2) = lF(wuw2) = inf/(V),
где V — всевозможные кривые на F, связывающие w\ и щ2-
Теорема 2.1. (регулярности) [StA], [St5]] Пусть / Є £/а. Тогда существуют постоянные 6° Е [0,1] и до Е Ш такие, что
«• = Дт [М(г,Л2„([^П - Дт =
fl — « \ о + 2
lim [|/"(re‘0o)|-----------т г] =
г_1_ш V 2(а + 1)(1 + г)"-2
д„ . ÄIjf -
1 - r4/v, ч _ Д -
+
lim [M(r,d(f(z), 0))2а(——)n] = lim [d(f(re'4’0), 0)2а(-
*1 ~ 1 + V r—1
lim /(/(*), O))*»^)“] = lim [l(f(re^),0)2a( J _
r—»I“ 1+Г г—* 1— I
lim [max I \f (ре,ф)\<1р2а{\—-)а] =
*•—l“ Ф ./0 !+7’
lim Г\f\pei*°)\dp2a(1-=^n
r->l-Jo 1+Г
•)“] = )“] =
10
При а = 2 для функций / Е S первые 5 равенств теоремы 2.1 представляют собой известные результаты [К], [Н], [В2, стр. 104-105], [Bazi] (см. также [Ы,стр. 120-123], [М, стр. 80 82]). D.M.Campbell [С2] доказал 2-е и 4-е равенства теоремы в случае а < 2 и / G SC\Ua; он предположил, что 2-е и 4-е равенства выполпеиы для функций / € V>a § •
Результат превзошел ожидания.
Число 6°, определяемое первым пределом в теореме 2.1, введено D. C. Spencer’ом [Sp] в 1940 г. для однолистных функций; <5° называют числом Хеймана функции /, а число фо — направлением максимального роста функции /. Возникает естественное разбиение Ua на дизъюнктные подклассы Ua(6°), 0 <6° < 1; функциям из Ка(б°) соответствует число Хеймана 6°. Направлением интенсивного роста (н.и.р.) функции / G UQ называется [St5] каждое 0 G [0, 2тг) такое, что
(предел всегда существует). При этом число 6$ называется числом Хеймана функции /, соответствующим н.и.р. 0 функции /.
В связи с линейной инвариантностью изучаемых здесь семейств интересно и важно для приложений иметь информацию о числах Хейм-
Теорема 2.2. [БЬБ] Если / G иа(0), то /(г, а) G Ып(0) при всех й G А. Если / G £/<*(6°), 6° G (0,1), то для любого б 6 [<5°, 1) существует
а € А такое, что /(г, а) G £/а(6). Если / С ^а(<$°), <5° G (0,1), а > 1
и существует интервал (х*>х") С [0, 2тг), свободный от н.и.р. /, то для любого б G (0,1) существует а С Л такое, что /(г, а) 6 иа(б).
Обозначим 5(<^о) подкласс функций из 5, которым соответствует число Хеймана Последствие. /5£5/ Если 5о > 0, то для любой функции / G 5(<5о) и любого б Е (0,1) существует аС А такое, что /(г, а) с 3(<5).
Таким образом, для получения информации о функциях из 5(6о), 60 G (0,1), достаточно иметь соответствующую информацию о 5(6)
lim l/^re
ана функций f(z,a) =
а Є Л, если / G Ua(6°).
/'(*)( 1 - W2)
11
с б, сколь угодно близким к 1, и знать, как трансформируется эта информация при преобразованиях (1).
Соотношения между классами Ыа(б°) при различных 6° характеризует следующая
Теорема 2.4. [St5] Для любой функции f £Ua(6°) и любого 6 £ [0, 6°]
существует такое семейство функций ф(г|А) € КД6), А £ (0,1), что
Mz\\)-----*■ f(z) равномерно внутри Д.
Л-^0
Эта теорема не верна при б > б0 ни для какой функции / £ Ua(6°): в §2 показано, что при б £ (<5°, 1] и любой функции / 6 ^<*(<5°) не существует последовательности функций /п £ 14а (б), такой, что fn{z) -------> f(z) равномерно внутри Д. Для однолистных функций
П—>00
соответствующая теорема в случае £° = 1 была доказана Н. А. Лебедевым в 1974 г. [L2], для произвольных 6° — автором [St6].
Если / £ UQ(6°)y то интересно знать, как быстро 2аМ(г, /) ( -—- )
V 1 + г )
может стремиться к 6° при г —> 1— (см. теорему 2.1).
Теорема 2.5. [St5] Пусть а > 2. Для любого 6° £ [0,1) я любой функции е(г) > 0, г £ [0,1), такой, что е(г) --------► 0 существует
V —г 1 -
/ 6 иДб0), для которой
2аМ(гТ)(\^-У -60 lim ----------Ч- 7------= оо.
v—> 1 — є(г)
і \ а
1—7’
Таким образом, величина 2аМ(г,}) --------- может стремиться к
VI + г)
б° сколь угодно медленно. В классе 5 теорема 2.5 была доказана Н. А. Широковым рЗЬ].
Основным результатом §3 является теорема 3.1 о поведении функции / £ в угловой области с вершиной в е1$, где в — н.и.р. /.
Теорема 3.1. [БЬб] Пусть / £ Ыа(б°), 6° > 0; в - одно из н.и.р. /,
которому соответствует число Хеймана б0 Є (0,^°]. Обозначим Ф(() =
12
Ое*в)> (Здесь /з(С)— элементарная функция, зависящая от С 6
7Г
Л и г/ € (0, —), со значениями в (0,1);. Тогда для каждого п = 0,1,2,...
2 7Г
и любого г/ 6 (0, —)
Л-ад
4%) <■
•е
І0
в угле Штольца раствора 2г/ с вершиной в е
*0
І0
Таким образом, если у функции / G есть н.и.р. б, то поведение функций |/(п)| и мало отличается в угле Штольца с вершиной
в ех0.
В случае п = 0 и п = 1 теорема 3.1 в несколько иной формулировке доказана в [Н,с. 131] для функций, р—листных в среднем по окружности в Д ( в частности, и для однолистных функций); более простое доказательство этого результата для функций класса S дано Г. И. Мелентьевой [Ll,c. 136] с использованием метода площадей. Еще проще оказалось доказательство более общего результата — теоремы
3.1, использующее линейную инвариантность Ua и теорему 2.2.
В качестве следствия теоремы 3.1 получается результат, обобщающий известный результат И. Е. Базилевича [Bazi] в классе S однолистных функций на семейства Ua.
Теорема 3.2. [Sto] Пусть / Є Ua(60)> 6° >0: 0 - н.и.р. функции
/, ему соответствует число Хенмана Ьо > 0. Тогда для каждого п = 2,3,4,... существует
lim [|/(и)(^1в)|(1 - >•)“+"] = 6»Г-\а + 1)(а + 2) •...•(« + п - 1).
/■—Л "
В §4 изучается вопрос о множестве н.и.р. функции / G Ua; оно может быть и пустым (например, для функции f(z) = z е Ucr Va). Из одного результата F. Bagemil’a [N] следует, что множество н.и.р. для функции / Є Ua не более чем счетно. Функции класса X = Ы\ и S имеют не более одного н.и.р., которое совпадает с направлением их максимального роста [Н]. Совершенно иной оказалась ситуация в Па, а > 1. В [St7] построены примеры таких функций, что дпм Є Ua
13
при or > cvn, n = 2,3, ••• ,00, и gn>a имеют ровно n различных н.и.р. (при п = оо — счетное множество н.и.р.).
Универсальные л.-и.с. Ыа являются трудными для исследования объектами; для облегчения получения информации об этих семействах в главе II вводятся и изучаются л.-и.с. U'a,U* порядка а, функции которых записываются интегралами Стилтьеса с комплексной мерой.
В §5 ставится задача аппроксимации производной функции из Ыа произведениями степеней производных функций класса /С = Ы\ (этот класс хорошо изучен). Такая задача естественным образом приводит к возникновению семейств U'() [Stl] (см. также [St2]):
Г2т
/ € и’а <=* f(z) = ехр[—2 / log(l - zelt) dfi{t)],
Jo
где ^(t)— комплекснозначная функция ограниченной вариации, удовлетворяющая условию | /0“" dfi(t) —1| + /0 * \dji(t)\ < а. В §5 показано, что U'a = (А при а < 1, Ы[ = Ы\ — /С, V2a ^ Ы'а, однако, С Ка при а > 1. При а > 1 семейства Ы'а содержат бесконечнолистные функции. Доказано, что семейства U’a (а < оо) компактны в топологии равномерной сходимости внутри А, образуют л.-и.с. порядка а, инвариантные относительно преобразования сжатия f(rz)r~l, г Е (0,1).
Теорема 5.3. [Stl,St2] Для каждого а Е [1, оо) множество функций Ш : g'(z) = П(Л(*)Г, Ш = (1 - ««Ч-2, *k € R, -
k=\ к—\
п
1| -f ^ |ttfc| < а, а*. € С, n = 1,2,...} всюду плотно в Ы[х. к= 1
Важнейшим примером л.-и.с. является класс С почти выпуклых функций [Кар], ord С = 2. Z. Lewandowski [Lewi], [Lew2] доказал, что функции из С и только они обладают тем свойством, что дополнение однолистной области /(А) является объединением лучей, не имеющих общих точек кроме, может быть, начальной. Однако [Stl], С £ Ы'а для каждого а < оо.
Чтобы получить подобный Ы'(у класс функций, содержащий класс С, в §6 вводятся и изучаются л.-и.с. U* порядка а > 1. Функция / Е 14* >
14
если и только если (^Б], [С^З]) существуют д Е /С и функция Шварца и;, такие, что
где fi(t) — комплекснозначная функция ограниченной вариации, удо-
ные М. О. 11еа<1е [ИЗ] и СЬ. Роттегепке [Р4] л.-и.с. С (а) порядка а + 1 (см. [Ко] являются подклассами Ы*+1. Щ = /С, К* Э Уча, однако, при а > 1 ни один из классов Ы'п и Ы* не содержит другой.
Семейства и*, также как и Ы'(х: являются компактными в топологии равномерной сходимости внутри А л.-и.с. и инвариантны относительно преобразования сжатия.
§7 посвящен разработке ([81.1], [812]) вариационного метода в тот же метод дословно переносится на К* рЗШ], [БвИ]. Применение этого метода позволяет решать многие экстремальные задачи в Ы'а и И*. Это, в свою очередь, оказывается весьма полезным и для исследования универсального л.-и.с. Ыа\ на этом пути была получена окончательная форма теоремы вращения в £/<*, опровергнута гипотеза Б. М. СашрЬеН’а, 3. А. Сипаи .Т. А. РГаКг^аАРао максимуме |а3| в Ып.
В §8 даны некоторые приложения описанного в §7 вариационного метода к решению конкретных экстремальных задач. Оказалось, что в ряде экстремальных задач множество экстремальных функций в Ы'(х и Ы* (а, следовательно, и в Ыа) существенно отличается от экстремальных функций в других известных подклассах Ыа. Например, в случае
,, Г" {-Л
л.-и.с. /С, С, 5, Уоа экстремальной функцией в задаче о тахИе
/'(-)
Е А, фиксировано) является только одна функция ке(2) с соответствующим значением а. Тогда как в случае л.-и.с. Ы'а, а > 1, экстремальными будут все функции
влетворяющая условию
15
где /3(t) - любая неубывающая на [0,2тг] функция с полной вариацией
/•2* Lit _ г\2
а, удовлетворяющая условию / т-т- = 1.
Jo \e%t-r\zen
§9 посвящен оценке логарифмических коэффициентов, т. е. коэф-
оо
фициентов функций log f'(z) = ^2 bnZn, f € U'aMa- как и в клас-
п— 1
2а
сах \г2ос-> точная оценка Re Ьп < — сразу получается из интегрального
п
представления функций. Но, в отличие от хорошо изученных классов /С = Ы\ и Vôcn в случае U'Q7 а > 1, экстремальных функций бесконечно много [Stl]. Использование вариационного метода §7 позволило получить точную оценку логарифмических коэффициентов в U* [GStl]:
Вп = sup |6П| = 2(а -1 + 1), п = 1,2.....
/€И* п
В §10 с помощью вариационного метода исследуются функционалы, зависящие от коэффициентов л.-и.с. U'Q и Ы*. Трудной задачей в универсальных л.-и.с. Ua является оценка тейлоровских коэффициентов. Из определения Ua следует точная оценка |а>| < а. Некоторые промежуточные результаты говорили за то, что функция ke(z) будет
экстремальной для |а3| в Ыа. Поэтому в [ССР] была высказана гипо-
2 1
теза, что шах |а3| = -а2 + Однако, в [St8] было доказано, что при
f €Uot о О
il а(а + у/а2 + 3) 2а2 + 1
а > 1 max |аз| = —---------------- (> ). это опровергает гиноте-
J о О
зу Campbell’a-Cima-Pfaltzgraff’a в Ыа. В частности, в особо интересном случае а = 2 (он интересен тем, что 5 С причем 5, 11> и Щ содержат
функцию Кебе) имеем: тах|а3| > тах|а3| = — = 3.097... вме-
feU-г " /€Ц 3
сто предполагавшегося в [ССР] значения 3 в правой части. В §10 также доказано, что в задаче о max |ап|, п > 3, существует экстремальная
функция вида
Ш = Г П (1 - )-'ia‘ds, ]Г aj = 1, 2 N =
,/о з=1 3=1 3=1
решена задача о максимуме функционала Фекете-Сеге-Голузина в Ы'(У
16
[St9]. При вещественных Л
к |а3—Аа|| = ^ \]о:2 (1 - ^А)'- + 3(1 - Л) +(У
max
А _ 1
2 3
< max |аз-Ла.>|, “ feUa
что является уточнением нижней оценки [Р1,теорема 2.4] максимума
рассматриваемого функционала в Ыа.
На множестве всех аналитических в А функций вводится метрика
p(f,g) = шах |f(z) - g(z)|. В §11 главы III при весьма общих пред-\г\= 1 /2
положениях получены достаточные условия того, что экстремальная функция в Uа имеет порядок а. В частности, доказана
Теорема 11.1. [St. 10] Пусть 5 - дифференцируемый по Фреше функционал на множестве аналитических в Д функций 21, L/t - его дифференциал в h. Если /о - экстремальная функция в задаче
max Re {5(/(а))}? п = 0,1,2,--* , и существует целое неотрицательное f
к > 2 — п такое, что L an)(zk) ф 0, то ord /0 = а.
J о
Следствие. [StlO] Порядок экстремальной функции в задаче max |on(/)|, n = 2,3,, равен а.
В частном случае п = 3 отсюда получается известный результат D. М. Campbell’a, J. A. Cima, J. A. PfaltzgrafFa [ССР, теорема 6.2].
ос
Пусть / € Ucx, log f'{z) - ^ bnzn, Bn = max |6„|. В §12 получена
.
11—1
[KSt] оценка логарифмических коэффициентов Вп: для всех натуральных. n и для а > 1. Этот результат позволяет уточнить верхнюю оценку Ch. Pommerenke [Р1, теорема 2.4] функционала Фекете-Сеге-Голузина:
для А Є С и а > 1 max I03 — \а%\ <
/€^о
2-а
3
2 ■ V/3 .1
?-а
3
а -Ь —а' -=- (вместо
2 2 у За
а Н——а 4* ~ — у Pommerenke). 2 2
Радиусом однолистности л.-и.с. Ш называется ([Р1]) ги = тах{р : /(/>2:)/>-1 Є 5 V/ € Шї}; Сії. Роштегепке получил верхнюю и нижнюю оценки радиуса однолистности ги(а) в Ыа. Однако, точное значение ги(а) до сих пор не найдено. По аналогии с радиусом однолистности
17
D. M. Campbell [Cl] ввел понятие ^-радиуса семейства Ua и получил его оценки: Rß(a) = max{/): f(pz)p~] G Uß V/ G £/a}, /3 < O'
max(cv - \/cy2 - 1, -—j1) < Л^(а) < (ß + у/ß2 - l)(c* - \/cv2 - 1)
а — 1
(случай > q не интересен, т. к. И в Э Z7a и Дд(а) = 1). В §13 получено точное значение Rß{ot) = (ß + \/ß2 — 1 )(cv — \/q2 — 1). Для радиуса однолистности отсюда получается
Следствие. [GSt4] Обозначим р(а) = (cv + \fa2 — l)rw(cv). Функция р(а) возрастает по a G [1, оо); р(1) = 1, lim p(aj = тт.
гг—юс
При /i=l ЯД«) — радиус выпуклости семейства^, и получается известный результат Ch. Pommerenke [1,теорема 2.5].
Аналогичное верно и для радиуса звездообразности в Ua, причем получается асимптотическое (при а —> оо) улучшение известной оценки Ch. Pommerenke [Р1,стр. 134].
§14 посвящен некоторым известным экстремальным задачам в Ua. Важнейшей из них является теорема вращения в ZVa, т. е. оценка | arg f\z) I, / G Z7a, при фиксированном 2 G Д. Ch. Pommerenke доказал [Р1 ,стр. 126], что
v/q2 — 1 log т~М~4 - = Kf,xlars/'(2)l ^ 2qS(M>-) =
1 — \Z\ CV
Г eJ-~ <1Z < v/q2 - 1 log + 2arcsin |г|; (4)
Jo 1 - 4 1 - \Ц
левая часть этого неравенства получается из рассмотрения конкретной функции ИЗ Ысх.
В 1974 г. D. М. Campbell и М. R. Ziegler ([CZl], [CZ2]) исследовали свойства функции G(\z\)\ в частности, они доказали, что левая оценка
в (4) не является точной для 0 < Ы < —. Вопросу точности оцеп-
cv
ки | arg f'(z)\ в Ыа, в частности, посвящена работа D. М. Campbell*а и J. A. Pfaltzgraff’a [СР]. В §14 доказано, что: G(|2|) = 2aE(|z|,^). Существенную ’’помощь” в получении окончательного вида теоремы
18
вращения в Uа оказали введенные в §5 семейства Ы'а и разработанный в §7 вариационный метод.
Обозначим {f,z} производную Шварца локально однолистной функции / В Д. Поскольку ОГСІ / И sup[(l - \z\2)2{f(z)yZ}\ = Оf являются
инвариантами относительно преобразования / і—* Л^[/], то интересно выявить соотношение между ними. Для / Є Ua Ch. Pommerenke [Р1,стр. 133] получил точную оценку: ord / < у/1 + оj/2. Очевидно, а = sup ord /, обозначим <т(а) = sup cj. В §14 доказано, неравенство
а < у/а (а)/2 [GSt4].
§15 посвящен важнейшему л.-и.с. — классу 5 однолистных функ-
оо
ций f(z) = z+J2 anz1l\ а именно — задаче описания функций класса 5,
п=2
дающих локальный экстремум двум вещественным функционалам одновременно. А. С. Schaeffer и D. C. Spencer решили эту задачу для функционалов |ап| и |ат| при дополнительном предположении, что (п — 1) и (га — 1) взаимно просты [ScSp], Dl]; в этом случае экстремальные функции имеют вид
z\{l - rjz)(l - тг)}~1, Ы = |т| = 1. (5)
Для этих же функционалов А. К. Бахтин [Bahl], [Bah2] нашел вид экстремальных функций (тот же вид (5)) при дополнительном предположении, что а2 Ф 0 для экстремальной функции. Для тех же функционалов, но без каких бы то ни было дополнительных ограничений, в §15 доказано [StA], [St 12]. что искомое множество экстремальных функций имеет вид
г[(1 - r]zd)( 1 - Tzd)]-1/J, \r/\ = |т| = 1,
d— общий делитель (п - 1) и (т — 1). В [Stl2] рассмотрены и функционалы гораздо более общего вида F(a2,... Ф(«2>... ,öm) — ве-
щественные функции своих аргументов, зависящие от коэффициентов
функций / Є 5. В предположении, что VF ф 0 ф УФ, обозначим
8F дФ
Хк = 2^—, к = 2,... ,п\щ = 2-—, / = 2,... ,m, и и v — наиболь-8а к да і
шие номера, для которых Ли ф 0, и //„ ф 0, соответственно. В §15, в
частности, доказана
19
Теорема 15.1. [ЗЬІ2] Если на функции /0 € £’ достигается локальный экстремум функционалов Г и Ф и
Р<0
>4\и-у\у (6)
то /о имеет вид (5). В случае равенства в (6) при и ф V функция /о
/„ч 0 Ри—1 / ^гг—1
также имеет вид (о); то же верно и при и = V = 6 и ф —г— или
Ри Ли
>4, ЧРфЪФ.
Ли
Заметим, что доказательство результатов из §15 опирается прежде всего на дифференциальное уравнение типа Шиффера, используемое для исследования многих экстремальных задач в классе Б. Это обстоятельство дает возможность получать теми же методами аналогичные результаты в других классах однолистных функций, не являющихся л.-и.с. : в классе ограниченных однолистных функций [ЭиЗ], меро-морфных и однолистных в А функций, имеющих в А единственный простой полюс [ИіБі] (эти результаты не вошли в диссертацию).
Переходим к главе IV. Обозначим В - класс аналитических із А функций Блоха, т.е. таких функций д, для которых ||</||в = зир(1 -
|2|2)|</(г)| 4- \д(0)\ < оо. Еще в [ССР] было замечено, что / Є ив<00^» !<>£/'(*) = 9(х) ~ 9(0) € В.
В дополнение к этому в §16 показано, что
2(огс1 / — 1) < \\д(г) — д(0)\\в < ‘2(огс1 / + 1), причем это неравенство не может быть 'улучшено.
Есть немало работ, посвященных эквивалентным определениям класса В (см., например, [Ах], [К^І], [Р2], Р^г]). В §16 даны некоторые эквивалентные определения класса Блоха, основанные на его связи с л.-и.с. . В частности, доказана
Теорема 16.1. [Свіб] Пусть д — аналитическая в А функция. Тогда д Є В, если и только если существует такая постоянная С(д), что для
20
всех z Є Д
sup
«єд
g ( ,*-■) - о(а) - 2 НІ1 + az)
\1 + azj
< С(д) log 7—7-7 — l°g(i — И2)-
і - z
Причем, наилучшим (наименьшим) значением С (g) здесь является
C{g) = ord [ exp[ÿ(s) - .9(0)] ds.
J о
§17 посвящен малому классу Блоха Во, т. е. подклассу В функций <7, для которых m<ix[\(/(z)\(l - \z\2)] * 0. Здесь также в дополнение
\z\=r ’ г->1-
к известным получены новые эквивалентные определения Во, связанные с инвариантностью Во относительно конформных автоморфизмов круга Д.
Теорема 17.1. [GSt5] Пусть д— аналитическая в Д функция. Тогда g Е Во, если и только если существует такая функция е(г, |а|), определенная в [0,1) х [0,1), что 1 ) 6^(0, |а.|) = 0,
2) существует нравосторонняя частная производная —(0, |а[)
-------► 0 и
|«Ы_
< е(г, |а|) Va Е Д и Vz, \z\ = г < 1.
НШ-9(й)
Следствие. [GSt5] Если g аналптична в Д, то следующие условия эквивалентны: 1) g Є Во;
2) Зг Є (0,1) : max [|(/(г)|(1 - |г|2)] . 0;
zÇ.D{a,r) | а | —► 1 —
3) Зг Є (0,1) : max [|5(z) - ÿ(a)|] —----------* 0;
г€Г>(а,г) Ja|-*1-
-, Г І z + а здесь Vya, г) = \ z : ———
^ 1 -f- (IZ
< r > — гиперболический круг.
При фиксированном Л Е С рассмотрим оператор, заданный на множестве локально однолистных функций (оператор умножения на скаляр в пространстве Хорнича): [А/](^) = / &<$. Обозначим Аа
Л
21
радиус наибольшего замкнутого круга с центром в 0 такого, что для всех Л из этого круга [Лf](z) Є S для всех f Є Ыа.
Задача об однолистности [Лf](z) привлекала внимание многих математиков. В 1966 г. P. L. Duren, Н. S. Shapiro, A. L. Shields [DSS]
2
доказали, что [Л f](z) Є S для всех f Є S и Л Є С, |А| < —-—. В
«з
1972 г. J. Becker [Beckl] улучшил этот результат, доказав утверждение для А Є С, |А| <1/6. В 1975 г. J. A. PfaltzgrafF [Pf] не только уточнил, но и существенно обобщил этот результат, доказав, что Att > 1 /2а для всех ос > 1.
Обозначим Ла = {А Є С : [А/] Є 5 для всех / Є Ua}\ {А : |А| < Аа} максимальный круг с центром в 0, содержащийся в Ла. В случае а — 1 JI. А. Аксентьев и И. Р. Нежметдинов [AN] нашли
Л,={Л€С: |А| < 1}иф|].
При а > 1 такого описания множества Ла нет.
В [Р2] Ch. Pommerenke показал, что д € В, если и только если существуют с Є С и / Є S такие, что
9(*)-д( 0) = clog/'(*). (7)
В [АСР] поставлена задача нахождения наилучшего значения постоянной с для функций Блоха в (7). Эту задачу надо понимать так. Для фиксированной функции д Є В обозначим
сд = шіп{|е| : g(z)-g{0) = clogf'(z), f Є 5}, max с = C(M) = МС( 1),
дЄЬ(М)
где В(М) = {д Є В : ||g(z) - <?(0)||в < А/}; надо найти С(М) (или
С(1)). Из условия однолистности J. Вескег’а [Веск2] и установленной J. Becker'ом и Ch. Pommerenke [ВР] точности константы 1 в этом критерии легко получить: С(1) = 1.
Рассмотренная задача из [АСР] естественным образом модифицируется в свете связи между классом В и семействами Ыа: найти Са = шах{ср : g(z) - д(0) = log f Є Ua}•
22
Интерес к последней задаче вызван не только ее связью с задачей из [АСР] о нахождении С(1), но и с задачей об однолистности [Л/], / Є Ыа, поскольку легко показать, что множество Ла целиком содержится в
круге радиуса —- с центром в 0. ба
В §18 исследуются две упомянутые задачи: о нахождении множества Ла и о значении постоянной Са [СБіб], [0817]. В частности, получена
Теорема 18.2. [GSt7]
2а >Са>
7
если 1 < а < —;
5
. 7
если а >
~ 5
если 1 < а < 3;
если а > 3.
Са - 2(«-1)
При о = 1 теорема 18.2 дает известное значение Ai = 1/2, нижняя оценка С\ дает точное ее значение.
В главе V понятие линейной инвариантности переносится на гармонические в Л функции. В §19 даны основные определения, для гармонических функций получены аналоги известных в Ыа результатов.
Гармоническая в А комплекснозначная функция f(z) может быть записана в виде f(z) = h(z) -f g{z), где h и g — аналитические в А
оо ОС
функции, h(z) = у an(f)zn> g(z) = ä-.n(f)zn. В основу опре-
п=0 ?г=1
деления введенных и исследуемых в §§19-21 классов гармонических функций положены свойства линейной инвариантности и локальной квазиконформности. Рассматриваются сохраняющие ориентацию гармонические и локально К-квазиконформные (К > 1) в А функции /(г) = h(z) + g(z), т. е.
- 43/1 >0' js/мад-i^MTisЛ ' A'
23
df = fz, Bf = fz• Таким образом, речь идет только о локально го-меоморфных функциях (однолистности не предполагается). При этом удобнее рассматривать функции с нормировкой (отличной от общепри-пятой): «о(/) = 0, «1 (/) + а-l (/) = 1.
Обозначим Н(а,К) множество всех локально К-квазиконформных гармонических в А функций f(z) = h(z) + g(z) с указанной нормировкой и таких, что h'(z)/h'(0) € Ua.
Расширяющиеся с ростом а, К 6 [1,оо] классы Я (а, А') охватывают все сохраняющие ориентацию гармонические в А функции / с принятой нормировкой. При конечных а и К семейства Я (а, К) секвенциально компактны относительно равномерной сходимости внутри А, справедливы точные оценки [Stl4l: < |ai(/)| < -,
1 + к 1 — к
Ix 1 “1“ А*
|a_i(/)| < ——, К = Обозначим производную по направлению
1 “Ь h 1 — к
вектора сгв
def(z) = limo /(г + ре*) - /(г) = Of{z)ei0 + df(z)e-i0.
Аналогом определения л.-и.с. для гармонических функций является
Определение. [St. 14] Семейство 9) гармонических в А функций называется линейно инвариантным семейством (л.-и.с.) гармонических функций, если для каждой функции f G 9)
a) Jf(z) > 0 в A (/ сохраняет ориентацию в А);
b) а0(/) = 0, al(f) + a-1(f) = 1; (8)
c) для любых а 6 А и О 6 R функция
г/ \ \ 1 + QZ /
Mz’a)- (1 - н2)0в/(Л)
Известные классы гармонических функций А.*//,С/у,5у/ (см., например, [ВН] ) — аналоги классов /С, С, 5 в гармоническом случае — при нормировке (8) являются л.-и.с. гармонических функций; классы Я(а, А’) также являются л.-и.с., Н(а, 1) = Ыа.
24
Обозначим Р = Р/ = /(А) двумерное гладкое многообразие — образ круга А при локально гомеоморфном отображении / 6 Н(а,К)\ для 11*1, ш2 € Р, 2 Е А величины ^(и>1,102) и ^(^1^2) имеют прежний смысл. В §19 получены теоремы искажения в А(а, А'), в частности,
Теоремы 19.2,4 (искажения). [БЫ4] Для каждой функции / = /1 + д Е А (а , А') (а-, А < оо) справедливы неравенства
/V (1 + И)“+1
(1 - И)«+! ’
(9)
2<хК
1 -
1—1' 1 + Г
а
< r/F(0,/(2)) <//,((),/(^))< —
1 + Г 1 — Г
a
- 1
7Г
(10)
|г| = г. Равенство в (9) достигается при в = ± —. Причем, если г = ге*^, то равенство справа получим при
h(z) =
>гф
2а( 1 - А:)
1 + ге“г'* 1 - ге-**
а
, g(z) = -kh(z); (11)
равенство слева получим при
h(z) =
,гф
2a(l + fc)
-1
, g(z) = kh(z). (12)
В правой части (10) знак равенства для d(0,f(z)) и 1(0, f(z)) достигается для функции (11) при ф = ±— и z = ±ri, в левой части (10) - для
функции (12) при ф = ±— И Z — ±ri.
При К — 1 эта теорема представляет собой известную [Р1 ] теорему искажения Ua.
В §19 получена также теорема вращения в Н(а,К)\ по аналогии с аналитическими функциями дано определение порядка л.-и.с. $) гармонических функций: ord S) = sup |а2(/) + 2 (/) I* Доказана
/€Я
25
Теорема 19.6. [ЗЫ4] ог(1 Н(а,К) = аК.
В качестве следствия этой теоремы получается точная оценка, в Н(а,К) (а9К< оо)
д20/(г)
д«П*)
2К(а + |г|)
Используя линейную инвариантность Н(а, К) и известные результаты в ив §20 получена оценка радиуса однолистности функций из Н(а,К).
Обозначим с1/(г) — радиус наибольшего однолистного круга с центром в /{г), лежащего на однолистной поверхности Е/ = /(А). В §20 получена оценка (1/(г):
Теорема 20.2. [БЫВ] Для любых / Є Н(а) К), а Є [1,оо], К Є [1,оо) и для любого г Є А
(Р/(*)1 + №)1) = шах \д,Пг)\ < <*,(*) <
К( 1 - |г|2) гшп \до/(г)\ = К( 1 - |а|2)(|с>/(^)| - |5/(*)|).
V
Постоянная ----- в нижней оценке не улучшаема. Постоянная К в 2 аК
правой части неравенства (13) не является точной.
Естественно, возникает вопрос, нельзя ли в правой части (13) вместо К поставить 1, что верно для аналитических функций /. Однако, в §20 приведен пример функции, показывающий, что при К > \/2 в правой части (13) вместо К нельзя поставить постоянную, меньшую К'2
2 у/Ю - 1'
§21 посвящен гармоническим функциям Блоха. Для аналитических функций Блоха известна [Р2] их геометрическая характеристика:
(14)
26
По аналогии с классом Блоха аналитических функций определяется класс Блоха гармонических вещественнозначных функций (см., например, [Lig]), как множество гармонических в Д функций и, удовлетворяющих условию sup[|Vu|(l - И2)] < ос. Для рассматриваемых гармонике Д
ческих функций / = u+iv = h+y имеем: \Vu(z)\2+ \S/v(z)\2 < 8|/г'(^)|2. Поэтому класс Блоха Вц комплекснозначных гармонических функций естественно определить так. Гармоническая функция f = h + д € Вц, если и только если
1) Jf(z) > 0 в Д, причем Jf(z) = 0 <=>• h'(z) = 0;
2) sup[|/i'(z)|(l - \z\2)] < ос, m.e. h G В.
z£A
Первое условие этого определения означает, что непостоянная функция / G Вн сохраняет ориентацию; это делает класс В л более ”геоме-тричным”. Условие Jf(z) = 0 h'(z) = 0 исключает неинтересный
случай: f(z) = e*°(h(z) -f h(z)), когда /(Д) лежит на прямой.
Естественно, возникает вопрос, сохраняется ли утверждение (14) в случае Вн, т.е. f в Вн 4=> d/(z) < ос? В §21 доказана
Теорема 21.1. [Stl5] Пусть / - гнрмоннческая в Д функция. Тогда
1) / 6 Вн => supг€Д df(z) < ос;
2) если sup df(z) < оо и / - локально К-к ваз и к он форм на, то f £ Вц.
zG А
Приведен пример, показывающий, что требование локальной К-ква-зиконформности (К < оо) в п. 2) теоремы 21.1 является существенным. В заключение дано несколько эквивалентных определений Вц.
Теорема 21.2. [St,15] Пусть для гармонической функции f = h -f у выполнены условия п. 1) определения класса Вц. Тогда следующие условия эквивалентны: a) / € Вц:
b) существует натуральное п такое, что sup [\1)q f(z)\(l — \z\2)n] < оо;
здесь dSf(z) обозначает производную n-го порядка функции / по направлению е .
c) существуют ф, ф £ [J Ua такие, что f(z) = ДО) -flog (ф* (г)ф'(z))\
о-<оо
d) семейство функций |/ ^у — f(a) : «6 д| - конечно нор-
•27
мальвову т.е. из любой последовательности функций этого семейств а можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри А к конечной функции; е) суіцествст постоянная С'(/) > 0, для которой
< Щр- Ьё' | + р| для всех г є А;
I 1 \г\
наилучшее значение С(/) равно \\/(г)-/(0)\\в„ = $ър[(\д/(г)\+\д/(г)\)
(1 - И2)].
В §22 по аналогии с аналитическими функциями [РЗ] вводится понятие предельного семейства С(е**,/) для гармонических функций / Є Н(а, К) :
пусть / € Н(а,К), в є М. Обозначим через £(ех0, /) множество всех функций Лля каждой из которых существует такая по-
следовательность положительных чисел £п —» 1—, что равномерно внутри А /0(2, £п) —» (/(2) = Ніг) + Є (г), Н и С регулярны в А.
п—* ос
Заметим, что С(егв,/) ф 0. В §22 исследованы свойства £(егв,ф). В частности, установлены необходимые и достаточные условия того, что предельное семейство состоит из единственной функции, и указан вид этой функции.
Глава VI разбита на §§23, 24. В §23 вошли определения и основные полученные результаты, в §24 выделены теоремы регулярности и близкие к ним вопросы. По аналогии с л.-и.с. аналитических в круге функций в §23 дано
Определение. [СБЬЭ] Пусть I = 1,...,т, фиксировано. Семейство 9Я/ аналитических в Дт функции /(2) называется 1-липейно-инвариантным семейством (1-л.-п.с.), если
1)дфу) Ф 0 « Д™, /(О) = 0, дф{0) = 1;
2) V/ Є ОТ, и = (ви...,6т) Є Г" => /(ге’в)е~’°1 Є ОТ,, где гєів = (гіеів',... ,2теів”У,
вир п£ А
/
2 + а 1 + а.2
-я«)