Содержание
Введение ......................................... 3
1 Обобщение задачи о единичной разладке 15
1.1 Постановка задачи. Формулировка результатов ... 15
1.2 Вид стохастического дифференциального уравнения для апостериорной вероятности распределения момента разладки....................................... 20
1.3 Некоторые результаты теории оптимальных моментов остановки............................................ 23
1.4 Байесовская постановка задачи: доказательство теоремы ................................................ 27
1.5 Условно экстремальная постановка задачи: доказательство теоремы 32
2 Задача о множественной разладке 35
2.1 Постановка задачи. Формулировка результатов ... 35
2.2 Оптимааьная нелинейная фильтрация по скачкообразным наблюдениям...................................... 39
2.3 Задача о множественной разладке: доказательство теоремы ............................................... 44
2.4 О других постановках задачи......................... 49
2.5 Предельная теорема в задаче о множественной разладке 60
3 Оптимальное управление в схеме, порождаемой пуас-соновским процессом кратности два. 72
3.1 Математическая постановка задачи.
Формулировка результатов ............................ 72
1
3.2 Вспомогательные результаты..................... 79
3.3 Доказательство теоремы......................... 84
4 Применение методов идентификации разладок в медицине 90
4.1 Компьютерная обработка результатов.....суточного.измерения давления 92
4.2 Модели процесса изменения уровня артериального давления 95
4.3 Проблемы обнаружения разладок в процессе изменения уровня артериального давления 99
Выводы и заключение........................... 103
Приложение 1.................................. 115
Приложение 2.................................. 116
Приложение 3.................................. 117
Приложение 4.................................. 118
2
Введение
Одной из важных задач математической кибернетики является идентификация физических объектов, цель которой - построение адекватных математических моделей. Очень часто на практике приходится сталкиваться с системами, в которых происходят качественные изменения их характеристик (т.н. ’’разладки”). Эти изменения (их может быть несколько) происходят в системе в неизвестные, вообще говоря, случайные моменты времени. По этой причине под идентификацией можно понимать задачи обнаружения моментов разладок, построения оценок, а также изучение их свойств. Рассмотрению этих задач посвящено большое количество работ (см., например, Ширяев А.Н. [75]-[77], [79], Бродский Б.Е. [7],[9], Дархов-ский Б.С. [19],[20], Новиков A.A. [57], Poliak [60],[61] и др.). Заметный интерес к задачам построения оценок моментов разладки в системе объясняется множеством физических объектов, в которых наблюдается данное явление.
'Гак при эксплуатации радиотехнической системы приходится решать вопросы, связанные с оценками ее состояния. Очень часто они касаются определения момента изменения вероятностных характеристик одного из используемых диагностических признаков: оценивание момента изменения, определение его закона распределения и др. [6]. При непрерывном мониторинге за сейсмической обстановкой на территории сейсмоактивного региона особое значение имеет надежное обнаружение и точная оценка на записях появлений сейсмических волн от землетрясений. С помощью этой характеристики, которую можно определять как разладку, оцениваются основные параметры землетрясений [50]. Другими примерами систем и объектов, в которых происходят разладки, могут служить контроль параметров производственных процессов, скорейшее обнаружение критических режимов в электроэнергетических системах и многие другие.
Отдельный интерес представляет проблема обнаружения объектов, случайно появляющихся и уходящих из зоны контроля локационных средств. Ее разрешению посвящена известная задача о ’’светлячках”. которая в приложении к данной проблеме допускает сле-
3
дующую интерпретацию. Летящий объект (ракета или самолет), с целью усложнения работы средств наблюдения, в случайные для наблюдателя моменты времени выпускает лжецели (например, это шарики из фольги). При этом траектория объекта на экране измерительных приборов оказывается искаженной. Моменты вылета частиц можно интепретировать как моменты наступления разладок, и задача оценивания траектории объекта успешно решается на основе методов идентификации этих моментов.
При математическом описании процессов артериального давления (АЛ), получаемых при суточном мониторинге, оказалось, что в системе автоматической регуляции АД могут происходить качественные изменения коэффициентов обратной связи. Идентификация этих изменений снова может быть сведена к решению задач о разладке.
Обнаружение резких изменений в рассматриваемом физическом объекте остается актуальным в связи с работами, посвященными разработке лингвистических методов анализа больших массивов информации, представленных в виде экспериментальных кривых [47].
Обнаружением моментов изменения характеристик объектов в терминах разладок занимались многие авторы. Первые постановки задач предполагали описание объекта с мгновенно изменяющейся в некоторый момент времени структурой с помощью последовательности случайных величин. Так, в [59] Пейдж рассмотрел последовательность {£,}г>1 независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих до момента разладки в плотность распределения ро(х), а после этого момента - плотность р\ (х). В качестве правила, по которому оценивается момент 0. Пейдж предложил следующее:
О* = тЦп : п > 1,2Г„ > а},
где 2+ = пу.\х(2п - 2Я), 2л = 0, 2п = а - некоторый по-
•*п <=1 рог. Ширяев А.Н., также рассматривая в качестве математической
модели объекта последовательность независимых случайных величин в [76], предложил другой алгоритм обнаружения разладки:
в' = шГ{п : п > 1,Л„ > а},
4
где
А, = Y, Л“-*+1
*=о
При этом выяснилось, что (см. [69]) асимптотическое поведение правила Пейджа в некотором смысле превосходит правило Ширяева. Для этой же постановки Ширяев А.Н. в [79] предложил другое правило оценивания момента разладки:
в' = inf{n : п > 1,тгп > а},
с 7Г„ = Р{0 < п]9^} - апостериорной вероятностью распределения момента разладки. Бесспорным преимуществом правил Пейджа и Ширяева является возможность подавать на каждом шаге '’тревогу” о наступлении изменений в свойствах последовательности. Д. Асатрян и И. Сафарян в (1] предложили алгортим апостериорного оценивания момента разладки: в какой из моментов времени в прошлом наступила разладка, если вся последовательность наблюдений получена и может целиком быть использована для построения оценки. Авторы сумели показать состоятельность оценки [1].
Изучением оценок параметров последовательностей, изменяющих свои свойства в случайный момепт времени, занимался Силаев А.М. [66]. Рассмотрение претерпевающих изменения в своих характеристиках объектов, представимых в виде дискретных последовательностей, можно найти также в [22], [24].
Зачастую выбор последовательности независимых случайных величин в качестве математической модели объекта с качественным изменением свойств оказывается неудачным. По этой причине другой подход к описанию такого рода объектов состоит в использовании моделей регрессионного типа (см. [37], [15]. [16], [17], [34], [44], [83], [5], [28], [29], [30], [33]). Идентификации моментов разладки в регрессионных моделях посвящено большое количество работ. Остановимся подробнее лишь на некоторых из них. Итак, рассмотрим процесс вида
Х( = /(*<_!, *,_2...,O) + 0zt, t = 1,2,...,
Pi(fr) Poféi) ’
5
где / некоторая известная функция, 0 параметр системы, меняющийся в неизвестный момент времени г, а процесс г является дискретным белым шумом. В коэффициенте 0 также может произойти разладка. Бородкин А.И. и Моттль В.В. в [5] предположили, что вектор парамеров (0,$) изменяется в неизвестный, но детерминированный момент времени, при этом вектор параметров после наступления разладки неизвестен. Авторы предложили алгоритм обнаружения разладки, в основу которого лег метод наименьших квадратов. Также, как и в [33] этот алгоритм оказывается неоптимальным в смысле зап;1здывания. Иной подход к описанию объекта, испытывающего качественное изменение своих свойств, прослеживается в [15]. Скачкообразно изменяется не только параметр 0, но и функция /: до момента времени 0 объект х определяется системой уравнений:
= Л](«,х) + ад, х)гг+1, а начиная с момента времени 0, системой уравнений
*<+1 = Аг(М) + В2(1,*)*+,.
При этом оценка момента 0, который является уже случайным, может быть построена с помощью метода наименьших квадратов. Модификация постановки рассмотренной задачи выполнена этими же авторами в [17] в предположении, что распределение помехи 2 неизвестно. В [34] рассматривается класс случайных процессов следующего вида
т
щ = со + ^2 + £ь А: = 1,2, —
1=1
с последовательностью независимых гауссовских величин {£,},=1,2,... и параметрами системы с,-, * = 0,..., т. В основу разработанного метода обнаружения изменений свойств моделируемой системы лег принцип последовательной проверки гипотез о моменте времени разладки с использованием критерия отношения правдоподобия.
По-видимому, задачи идентификации разладки, в которых в качестве математической модели объекта выбираются дискретные последовательности случайных величин, в частности, модели авторе-
6
грессии, рассмотрены очень подробно. При этом разработан ряд методов решения рассматриваемых задач идентификации: метод кумулятивных сумм, метод усредненного отношения правдоподобия, модифицированный метод наименьших квадратов и др. Но до сих пор имеется сранительно небольшое количество работ, посвященных описанию "разлаживаемых" объектов с помощью процессов диффузионного типа. Так, в [79] (см. также [78]) Ширяевым А.II. предложена постановка задачи о разладке для объектов, допускающих описание в виде вииеровского процесса. При этом объект, испытывающий разладку, допускает описание в виде стохастического дифференциального уравнения
(1х( = г/{< > 0} (И. + о(!\У<, то = О,
где винеровеккй процесс IV не зависит от момента разладки 0, я г - некоторая константа. Рассматривая эту задачу в двух постановках, байесовской и вариационной, Ширяев А.Н. предложил следующее правило:
О* = тф : # > 0, щ > .4},
где тг* = /-’{0 < ад}, а порог .4 определяется в каждой из постановок по-своему. Процедура построения алгоритма обнаружения разладки основана на элементах теории оптимальных моментов остановки для марковских последовательностей.
В [21] предлагается иной способ описания объекта, являющийся модификацией [79]:
<1х( = гх,/{£ > 0} (Н + adWt, то = 0.
При этом также изучается распределенис времени запаздывания в объявлении "тревоги” о наступлении нарушений в системе Р{т - 0 < т|г > 0} (здесь г - марковский момент, претендующий на то, чтобы стать оценкой 0). Построение оценки для процессов диффузионного типа можно также найти в [21].
Если задачам обнаружения единичного изменения вероятностных характеристик процессов (будь то случайная последовательность в дискретном или диффузионном виде) посвящено немало работ, то
процессы с многократным изменением свойств изучены явно недостаточно. Так, Воробейников и Конев в [16] предложили алгоритм, основанный на модифицированном методе наименьших квадратов, который может применяться для обнаружения не только единичных, но и также и множественных разладок. Харин в [72] (см. также [74] и [45]) строил оценки моментов множественной разладки для объектов, описываемых с помощью временных рядов. Работ же, в которых изучались бы диффузионные процессы с многократными разладками, до недавних пор в печати не было. Это связано, скорее всего, с рядом трудностей, которые возникают при строгом, математическом обосновании алгоритмов оценивания моментов многократного изменения свойств процесса.
Отметим также, что для широкого класса диффузионных процессов, испытывающих множественные разладки, не рассматривались и задачи, связанные не столько с идентификацией моментов разладок, сколько с оцениванием параметров самого процесса, в частности, значений этого процесса. При этом конструкция моделируемого объекта сама может предусматривать изменение параметров системы в случайные моменты времени.
Зачастую изменение свойств объекта обуславливается не внутренними нарушениями системы. Сам наблюдатель, управляя объектом, влияет на изменение его характеристик таким образом, что движение системы происходит оптимальным в некотором смысле образом. Гак возникает широкий класс кибернетических задач, являющихся двойственными по отношению к задачам идентификации разладок. Подобные задачи имеют свое применение, в частности, в финансовой математике.
Цель предлагаемой работы состоит в том, чтобы осуществить математическое описание объектов со скачкообразно меняющейся структурой на основе процессов диффузионного типа и провести построение методов идентификации как единичных, так и множественных разладок для процессов этого класса. В рамках данного исследования предполагается также применение созданных методов обнаружения моментов качественного изменения свойств объекта в
8
- Київ+380960830922