Введение
В данной работе исследована проблема гладкости многообразия Л'2з полных пар нульмерных подсхем длины 2 и 3 гладкой алгебраической поверхности, найден метод получения чисел Бетти многообразия X4^ при условии, что последнее гладко, а поверхность допускает действие одномерного комплексного тора, и проведешл вычисления в случае комплексной проективной плоскости и гладкой квадрики. Также рассмотрено детерм и наш нос разрешение особенностей универсальной подсхемы в 5 х Н*+\ и показано, что оно изоморфно многообразию Хи-
Пусть 5 - гладкая неприводимая проективная алгебраическая поверхность над алгебраически замкнутым Полем к нулевой характеристики, Я,,- — 1П1Ь,У5 схема Гильберта нульмерных подсхем длины сI (<йгочий) в 5. Длина нуль мерной подсхемы 3 в 5 определяется стандартным образом как ЦЗ) = \{Ог)-Схема параметризует всевозможные подсхемы 3 с 5,1(3) = т.е. существует взаимно однозначное соответствие между подсхемами 3 длины с/ в 5 и точками г в //*; этот факт позволяет нам обозначать как 7 точку в //*. если исключена путаница.
Известно [1,2|, что схема Гильберта Уточни в 5 является гладким неприводимым многообразием размерности ЭД
Теперь, следуя (3), образуем произведение Н^х X Н^.. и ограничимся открытым подмножеством в нем вида
О := {(34п3^)\%ъ приведены, 3^ П 3^ - 0}.
В каждой точке (3^у3л2) € С определено теоретико-множественное объедине-ние 3^уа2 подсхем 3^ и 3*2- Имеется рациональный морфизм
/:#* х //* ¥ (0.1)
корректно определенный на С как регулярное отображение сложения наборов
точек:
I :(341 > 34г) I—► 3+х +|*2 = 3+% и 3^7
Минимальная конструкция, разрешающая морфизм (0.1) - многообразие полных пар ~ была построена в частном случае Л, = 1.^ = Л Г.Эллингсру-
дом (4) и в общем случае А.С.Тихомировым [З]. Гладкость Хм доказана разными авторами различными методами в работах (3 - 5].
В работе Дж.Чи результат достигается докатьными вычислениями. Разработанная ею техника, с некоторыми видоизменениями, использована в настоящей диссертации в комбинации с действиями тора, определенными локально, для доказательства гладкости многообразия Х%3.
В [4] использовано действие максимального тора в вЦЗ) на Р2 х //,у, где Н* - схема Гильберта Л -точий проективной плоскости.
2
В [3] доказательство гладкости Х\* основано на изучении рангового отображения Кодаиры-Спеисера в смысле Хиршовица (6); здесь существенно то, что пучок идеалов Тг универсальной подсхемы Г С S х //.у обладает двучленной локально свободной резольвентой.
Гладкость Х?2 доказана А.С.Тихомировым в уже цитированной работе, где нм получены уравнения слоя морфизма Хп #2 * Н2 над наиболее специальной точкой. Там же им сформулирована гипотеза о гладкости многообразий полных пар Xdxdi А** любых
Настоящая диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы (25 названий).
В главе 1 настоящей диссертации описана конструкция многообразия полных пар Xи доказана гладкость многообразия А'2з-
В главах 2 - 4 ИССЛСДуетея топология многообразий полных пар XjtJ^ при малых dj,i = 1,2 и Поверхности S специального вида комплексной проективной плоскост и Р2 и гладкой квадрики Р3хРЕ. Основным инструментом здесь являются клеточные разбиения, которые, согласно теории А.Бялыннцкого-Бирюлн (7.8], могут быть индуцированы действием одномерного тора, если исследу емое многообразие неособо.
В главе 2 фиксируется действие тора на Р2 и явно вычисляются соответствующие ему клеточные разбиения схем Гильберта //*, Л < 5 (йомнй на F2. Цель згой главы - получить семейства подсхем, соответствующие каждой клетке в разбиении Hj при выбранном действии тора.
В главе 3 доказывается инвариантность многообразий полных пар нульмерных подсхем в Р^ относительно действий тора; описывается техника вычисления их клеточных разбиений, индуцированных данным действием тора, а также, используя результаты главы 2, вычисляются клеточные разбиения многообразий .Yia, X&9 А», и подсчитываются их числа Бетти. Ранги групп Чжоу (а значит, и числа Бетти - [9]) в случае Хп были вычислены ранее А .С.Тихомировым и Т. Д .Тропшной в [10] методом бирациональных перестроек многообразия А'22. Числа Бетти .V22, полученные при помощи действия гора, согласуются с [10].
В главе 4 проводятся вычисления в случае гладкой квадрики чисел Бетти схем Гильберта Н,и d < 5 и Л'щ, А'22. При этом используются результаты глав 2 и 3.
Наконец, в главе 5 строится дстермннантнос разрешение Г -4 Г универсальной подсхемы в S х #*+1 и доказывается его изоморфизм с Хц.
Результаты, подученные в диссертации, являются новыми. Они докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского в 1998 - 1999 гг. и конференции молодых ученых г. Ярославля в 1998 и 1999 гг. Основные из них содержатся в работах автора (11 - 17].
3
Глава 1. Конструкция многообразий полных нар Xjtd3.
Гладкость Хм.
§0. Конструкция.
Пусть S -гладкая неприводимая проективная алгебраическая поверхность над алгебраически замкнутым нолем к нулевой характеристики, и H.i схема Гильберта нульмерных подсхем /пины </ в 5, где длина нульмерной подсхемы Z определяется как t(Z) — х(Ох). Образуем произведение //,*, х Hdi и рассмотрим в нем график инлидешшк
•'м» = {(*t»2a) € Hdl х Hdt\Zjt П Zjj f 0}
со структурой приведенной подсхемы. Здесь zd означает точку в схеме Гнл1>~ берта 11 j, d = di,dt, соответствующую подсхеме Zj длины d в $.
Следуя [3], назовем многообразием полных пар раздутие //,/, х 7/j,
с центром и пусть ij : Xdldj -> //«, х Hdj - соответствующий морфизм
раздутия.
Так как codim Га,* = 2, то
О := {(*4,г*) G Я* * //*|SuppZ* П SuppZ* = 0}
- плотное открытое множество в X**, и = 2(d, 4- d3) для
(г*, ) t /). Имеет мес то следующая естественная с гратификация многообра-
зия .Y**:
S<°>: = Хц*
5(,): = <Г'(Г**) С S<0>
S(2) : = {(«*,**) € //д х //^SuppZ* = SuppZ* = {точка}}
С
Случай х = (xrfl,a:*,x) € сводится к добавлению точки, если SuppZ* П
SuppZ* = {точка}, - ситуация, изученная А.(’.Тихомировым [3], Г.Эллингсру-дом [4], Дж.Чи [5] - либо к случаю меньших длин, в частности, если d\ ~ 2, d2 = 3, то происходит редукция к X», рассмотренному в [3]. Представляет интерес случай х € - это многообразие бнфлагов Г**а подсхем
Zd, С Zd,u-j 3 2* с носителем в точке.
§1. Проверка гладкости А».
Целью настоящего параграфа является проверка в случае dt = 2, d3 = 3 справедливости гипотезы А.С.Тйхомирова(3]о гладкости многообразия полных пар А** нульмерных подсхем гладкой неприводимо»! проективной алгебраической поверхности.
1.0. Касательное пространство к многообразию в точках 5(2). Пусть Z* задастся в окрестное! и U С S носителя SuppZ* идеалом /*, Z*
4
идеалом /<(_,, 2а,х+идеалом /. Имеют место следующие отношения включения:
/^,/^2 с / с и, п /^2
Искомое касательное пространство является подпространством в касательном пространстве к произведению Тг( Ил, х //^, х //4+4) = Ф 7'1<2 //4 ф
+., //.у, +.уг - Касательное простраяство к схеме Гильберта Тел11^ суть Нош(/^ /?//„■). Так как вопрос о гладкости но существу локален, то можно заменить 5 на аффинную окрестность V ^ А2 носителя подсхем /,1х и 2л.г на <9 и положить Н = £(х,у], где х,у локальные координаты в V.
Для получения уравнений искомого каса тельного пространства рассмотрим, например, включение I С Оно индуцирует сюръскцию /?// -у Я! 1л, и отображения групп гомоморфизмов
фЛх : 11ош(/, П/1) -У Нош(/,/г//^)
: Нога(/4, Я//л,) —У Нош( /, Я//*,)
04 = Фъ - Ч>4Х '■ 11ош(/. П/1) ф Нош(/^,, Й//4) —у Нош(/, П/Ь,) Условие принадлежност и элемента / (£ / идеалу /4 дает:
?(/) “ 74,(Л = 0(тос1/ж ) Ут/ 6 Нот(/. Н/ /). У>/4 € Нот(/^,/2//л,) (1.1.1)
Аналогично.
ф<Ь : 11от(/, Л//) —♦ Нот(/, ВД,)
: Нот(/*, й//4) -у Нот(/, #//4) й* = -0* : Нот(/,Л//)фИот(У^,Я//*) -У Ноп>(/,Л//*)
пИ) ~ %*(/) = 0(пю<1/^) Уг/ 6 Нот(/,й//),У^ € Нот(Д*а, Я//*3) (1-1.2)
Далее, имеется включение /4/4 С /. Оно дает замкнутся' условие на Я44. Обозначим посредством X произведение //4 х //4 X //.у, +4 и рассмотрим ПрООКЦИИ
5 5 х А’ Л X
Пусть Г|, Га,Г универсальные циклы в 5 х А' с пучками идеалов 1хЛчЛ, соответствующие подсхемам /4, #4, /С Согласно теоремам А и П Серра (относительный вариант), существует обильный пучок £ на 5. такой, что П'р.(1 ’&& Ч’С) = 0 при » > 0 и морфизм вычисления р'р.{1Л © д*£) -> ^2* © д*£ сюръ-ектнвеп. Заметим, что пучок !•' := р.{%\1г 0 <}■£) локально свободен как Ох -модуль. Пусть Ф * СКВООНое отображение
р'Г сЛ1,Хг0^'С -> 0г©д*£
Применяя к нему функтор />.. получим р.ф : Е -у р.(0г &<?*£)• Здесь пучок В := рДОг©1 <•/’£) локально свободен ранга <й ■+
5
Для дальнейшего удобно ввести следующие обозначения: фг := /*'(х) := F ® к{х), Z, := Г|«х{с),
Надо проверить замкнутость множества
Л/ : = {х е Л'| : /''(х) 0Os -* 0гя &£ - нулевой морфизм}
= {х G А'[ <4Ux{x} : I.^Uxfx) -> О/' - кулевой монизм}.
фг включае тся в коммутативную диаграмму
/•(х) ® £ //°(oz, 0 с) @ а
\ 1 ео
При этом 6Г — Оэкнпвалем гно vr = 0. Применяя к H"tO-/,($C)<%Os пэомор<))аэм замены базы, получим коммутативную диаграмму
F(x)<2>Os h H°(Oz. <8>C)®Os
|| bch t—
fF\s*{ ж) pir^lx]) P*E\sx{r)
Отсюда следует, что фх = 0 эквивалентно = 0. Морфизм p.v|{*} предста-
вляет собой морфизм локально свободных пучков, множество нудей которого М замкнуто.
Итак, существует гомоморфизм
0 : Иош(/, Hfl) ф Horn(/<*,, /?/ld{) Ф Hom(/iaf R/Ij2) -> Нот(/«*, /j2. И/1)
Пусть fdnfa “ образующие идеалов 1^ и /j2, взятые по одной из каждого.
Условие принадлежности элемента /<г,/<*2 идеалу I дает
nAMU + A.te(W - 4iUM s 0(mod/) (1.1.3)
В дальнейшем для краткости будем обозначать
Т := Нот(/, H/I),
7^, := Hom(/d,,/?//d|), Т\ := Нот(/^,й//^),
1.1. Алгоритм для базисов. Для вычисления локальных уравнений касательного пространства к многообразию полных пар в точках, соответствующих подсхемам с носителем в точке, требуется знать базисы /'. 7j, 7„.. Алгоритм для их получения дан в [5j. Приведем здесь некоторые результаты из [5], необходимые для дальнейшего. Чгоби описать /^гомоморфизм /:/—>/?//, надо указать масс, в который переходит каждая образующая /. В дальнейшем ограничимся к — С: согласно принципу Лсфшеца, все результаты, полученные
6
для С, верны и для любого поля к нулевой характеристики. Как и в [5], будут рассматриваться только идеалы, порожденные мономами. [Уго не ограничивает общности, т.к. верна следующая
ЛЕММА 1.1.1 Пусть /ь/з,...>// “ набор идеалов, задающих подсхемы длины А{ на проективной алгебраической поверхности $. 1'огда существу-ет (локальио) такое, действие одномерной диагональной подгруппы Т С' группы тора С*2 С GL|3) на S, что при индуцированном его действии на открытом подмножестве в Нх Н^г X ••• хН{( предельная (неподвижная) точка соответствует набору подсхем, задаваемых идеалами, порожденными мономами.
СОГЛАШЕНИЕ 1.1.1. Идеал, порожденный мономами, будем наливать мономиальным.
Доказательство. Ввиду локальности ситуации будем считать аффинную окрестность U С «S вложенной как аффинную плоскость в Р2 и рассматривать такие действия
Те Хо
(m,n) : Ту ГтХу Vw. n € 7j
. . l~*Zt
В аффинной карте U = {хо / 0. х = Ху/тв* у =; zx/za} -уго действие дает
Гт2
гпу
Результат действия тора (го.п) на образующую /* = Е^У идеала /*
суть
(ю,л)/***(я, у) = При I = 0 эта образующая переходит в сумму
членов удовлетворяющих условию минимальности !УП + ]п = шіп.
Покажем, что существует такое действие (т,в), что іт + дм минимнэиру-сгся при единственных і и ) для каждой образующей р™ каждого идеала /*. Каждый моном х'у7 изображается точкой в плоскости переменных іу). Проведем прямые через все пары таких точек, соответствующих мономам каждой образующей. Вычисляем угловые коэффициенты к ■= —п/п». В качестве параметров искохсого действия можно взять любы«* п\*п\ такие, что п‘1 тп* Є Ч {п/тп I -п/ ш = к — угловой коэффициент некоторой прямой}. □
В работе Вриансоиа [18] приведена классификация подсхем с носителем в точке с точностью до аналитического преобразования. При этом аналитические типы подсхем длины 2,3 задаются мономиальными идеалами. Вместе с тем, существуют немономиальные аналитические типы идеалов кодлины 5, но они специализируются подходящими диагональными действиями (т,л) одномерною тора в монохшальные идеалы, а именно:
(m,n):[ÿ2 + r\xy)
(г3.2-у, у3) при Зш < 2п. {г4, ту. у2) при ЗIII > 2п.
7
- Київ+380960830922