- 2 -
ОГЛАВЛЕНИЕ
стр.
ВВЕДЕНИЕ.................................................. 4
ГЛАВА I. а-ГИПЕРГОЛОМОРФНОСТЬ КВАТЕРНИОННЫХ ФУНКЦИИ И НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ КВАТЕРНИОННОГО АНАЛИЗА....................................... 12
1.1. Обобщенная система уравнений Коши-Римана с комплексным параметром.................................. 12
1.2. Обобщенная система уравнений Коши-Римана с кватернионным параметром, обобщенные голоморфные векторы в смысле А.В.Бицадзе 22
1.3. Краевые задачи для а-гиперголоморфных функций. 31 ГЛАВА 2. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ВО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ
МАКСВЕЛЛА И ДИРАКА................................. 40
2.1. Оператор Гельмгольца с кватернионным
параметром....................................... 40
2.2. Связь а-гиперголоморфных кватернионных
функций с гармоническими электромагнитными полями в однородной изотропной среде............ 49
2.3. Связь а-гиперголоморфных кватернионных функций с гармоническими во времени решениями уравнения Дирака........................................ 55
2.4. Некоторые краевые задачи для гармонических электромагнитных и спинорных полей........... 67
ГЛАВА 3. ГИПЕРКОМПЛЕКСНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ, СИСТЕМЫ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, ПОРОЖДЕННЫЕ ОПЕРАТОРАМИ ТИПА ФУЕТЕРА....................................... 75
- 3 -
3.1. Гиперкомплексная факторизация некоторых уравнений математической физики......................... 75
3.2. Системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, порожденные операторами типа Фуетера............................................ 82
ЛИТЕРАТУРА.................................................. -87
- 4 -
ВВЕДЕНИЕ
В связи с применением аппарата теории функций комплексного переменного был достигнут наиболее существенный прогресс в решении двумерных задач математической физики. Среди возможных пространственных обобщений двумерной теории все более видное место в последнее время занимает кватернионный анализ.
Введенный в [65], [55], [34] в связи с требованием факторизации оператора Лапласа, аналог условий Коши-Римана естественным образом привел к понятиям кватернионных аналогов интеграла типа Коши, оператора сингулярного интегрирования, Т-оператора, рассмотренным впервые в [7], [8]. Для них оказались справедливы теоремы, обобщающие известные результаты теории функций комплексного переменного. В [7] были показаны и первые применения интегральных теорем кватернионного анализа в пространственной теории упругости.
Список применений в различных областях математической физики продолжает стремительно расти. В [60], [61], [62] продемонстрирована возможность переформулировки классической электродинамики в терминах кватернионного анализа. В [22], [2], [36] решены некоторые пространственные задачи теории упругости методами кватернионного анализа. Связь ряда гидродинамических и геофизических моделей с кватернионными интегральными и дифференциальными уравнениями показана в [48], [13], [70]. В [5], [26] (см. также имеющиеся там ссылки) симметрийный анализ уравнения Дирака для свободной
I
частицы сю сттином 1/2 и ненулевой массой покоя существенно упрощен с использованием его кватерниошшх формулировок.
Обозначим через и(к), *и(г) множества вещестненннт и комплексных кватернионов, соответственно.
а-гиггерголоморфными мы называем кватернионные фушции, .удовлнтворяющие уравнению
ШЧГа-О, (0.1)
3
где Е - оператор Мойсила-Теодореску, 1к -
к = 1 к
стандартные базисные кватернионы, о^н(с), Т: (р3—♦ (Н(с).
При а=0 уравнение (0.1) совпадает с известной (см., например, [9], [10], (501, [24], [67]) системой
Моисила-Теодореску, впервые рассмотренной в Г64], [65] и являющейся простейшим пространственным аналогом системы уравнений Коши-Рамана. Многочисленные приложения системы Моисила-Теодореску привели к различным многомерным обобщениям ([53], [173, [18], [231, [16], 141). Для
О-гиперголоморфных в нашей терминологии или просто гилюрголоморфных функций (термин (67]; в [57] они называются регулярными) доказаны аналоги формулы Бореля- Помпейю, интегральной формулы Коши, теоремы Коши, теоремы Морера
и.т.д. Современное состояние развития методов кватернионного анализа, в основном, отражено в монографиях [573 , Г541 (во второй из них большее внимание уделено обобщению результатов на случай алгебры Клиффорда).
Настоящая работа посвящена построению новых интегральных представлений, решению некоторых краевых задач для а-гиперголоморфных функций, а также применениям полученных результатов к различным физическим объектам.
- 6 --
Таким, как гармонические электромагнитные и сиинорчне поля; решения пространственных уравнений теории упругости;
ИНСТННТОНЫ.
Случай оес (с - поле комплексных чисел) рассмотрен в параграфе 1.1, который, по сути, является вводным. Уравнение (О.!) при ас-К, Г: г* • > ьн(К) было исследовано в [56], [Б73 (отметим еще работы 1681, [691, где изучался клиффордов
аналог уравнения (0.1) при сир, не совпадавший, однако, е ко.') в кватерниоином случае). Поэтому предложения 1.1.1 -
7.1.3 а их следствия, обобщающие такие факты из комплексного анализа, как формула Боре л я-Помпе йю, формулы Сохоцкого, интегральная формула Коши, инволютивность оператора сингулярного интегрирования и др. получены естественным перенесением соответствующих результатов из [561, [571 на случай аес, Г: гг3 - --» гн (с). Необходимо заметить, что
предложения 1.1.4, 1.1.5, обобщающие интегральную теорему Коши и теорему Морера, при а-0 ранее были доказаны в Г71. Отметим также предложение 1.1.6, утверждающее, что алгебра операторов, порожденная операторами сингулярного интегрирования, соответствующими различным параметрам оес, совпадает с алгеброй, рассмотренной в [67]..
Центральным фактом параграфа 1.2 является теорема
1.2.1, утверждающая, что все результаты п.1 Л, относящиеся к случаю ом:, справедливы и в общем случае сын(с). Однако это стало возможным после соответствующего доопределения кватернионных интегральных операторов (формулы (1.2.11)-(1.2.13)), в котором участвуют операторы, введенные в п.Т.Т.
В н.1.3 с использованием результатов п.1.2
- 7
рассматриваются краевые задачи для а-годіершломорфних функций, аналогичные задаче аналитического продолжения і; і е орда функций комплексного переменного и простейшей задаче Гильберта (см., например. ?РЛ1. (371). (Три этом дается
необходимое и достаточное условие разрешимости задачи о-гипері оломорфного продолжения и, в случае существования, строится решение задачи. Показано, что обобщенная задача Гильберта в классе функций из пространства Лизоркина однозначно разрешима, и ее решение также строится в явном виде.
Введем оператор №*' умножения справа на комплексный кватернион А.: М Т:=ГА., А.*.гн(<с). Тогда естественным образом : озникаоч уравнение Гельмгольца с кватернионным параметром
(А+кЧі-О, (0-2)
. а7 а2 а* п
где А-1+ —• -* оператор Лапласа, так как
«>Х4 *х*
А+«^-(Б^)(П-Ма), если А--о*. Уравнению (0.3) посвящен п.2.1. В частности, ігри АлД* уравнение (0.2) представляет собой обычное уравнение Гельмгольца. Причем в этом случае а - необязательно комплексное число. Любопытно, что и ггри А.-0 можно выбрать ненулевое ех, чем удалось воспользоваться для декомпозиции ядра оператора Лапласа (‘изопема 2.1.2). Важнейшим уіворяиіонием параграфа является теорема 2.1 Л о декомпозиции ядра оператора Гельмгольца с произвольным квач-орнионным параметром (в частности, делителем нуля). Из теорем 2.Т.Т и теоремы 2.Т.2 с использованием результатов і 'Л.Р немедленно получаются новые интегральные представления
- Київ+380960830922