Тауберовы теоремы с остатком для кратных общих рядов Дирихле и их приложения

ВЬйййЩ
В диссертационной работе дано изложение теории тауберовйх теорем с остатком для кратных общих рядов Дирихле, также их приложения. Тауберозь* теоремы или теореш тауберова типа появились н связи с теорией суммирования расходящихся рядов.
Никакой метод не в силах суммировать слипком' быстро расходящиеся •сядь: или сгк-лком медленно расходящиеся рядил. Теоремы, в которых ссухестьяяетоя е-тст принцип, называются теоремами таубероза типа.
..В 189? году математик из Вены А.Таубер [51] -утверждал , что если ряд
со
" У Gm хт - f (ОС)
✓ J 1
ГПеО
сходится При ■ i X j < i ,
tim f (x) = S
X ■*” 1-0
ir
П1 G m ^ 0 m -------------------
•TO ' ■ .• / r ‘ . ' ■
то / Qm сходится к S
гг5=_о ' у V v.'-т. • ! НУ У• •"-
Прямое обращение известной теЬремы Абеля о непрерывности
степенного пяда:
суо
если 2 Qm сходится к S , то
т«о
См>
Elm ат хт « S : х'м'° tfco
:ie всегда верно. Око верно лишь при определённых ограничениях, накладкзаеукх на общий, член ряда, т.е. , при выполнении так на-звзаешх некоторых тауберозых условий. Условие m dm—-0 называется тауберовымУ • • у •• у .
со
Теоремы.где пс заданной асимптотике ряда ^ ат при •:
х ™ q находится асимптотика гп~°
- З -X °m, n-
00 >
. ■ гп^П
при определённых тэубероьых условиях называются тауберсвыми теоремами для. степенных рядов.
m о
іах едите я г. с кмпто т и ка
Л О*
0-т ^ т ї СГ-*-*Э
г
ат , т- X- ~
Х|П,'-ХС - .
при определённых тауберовых условиях^называются теоремами тгубе, ревг типа для общих, рядов Дирихле. .
Б 190*7 год^- тауберова теорема для общих рядов Дирихле была доказана Яандау [35] : если
ОС7 .
Ха"е'Хт(Г
т=о
СХОДИТСЯ при А СГ> 0 , ат - вещественны •ДУ-- \
Лр>с? А.гп+1> Ат , Хт—, оо при т— <»>
РСсг) —- Б • при сґ-^- +0 (£)
"" б'
А. гг, “ Л.
\ К ■ /' (3)*
‘ГО ряд У а т СХОДИТСЯ к б
•V ' ^/г\ '■••‘І' : • •
іаусерово условие (б; тем сильнее, чем медленнее
так а...
»если Ат=т;
m ~ 0 ( піг)
ат = 0 і, m fogт ) ’ ес'’1И = tog т.
В 1910 году Литтльвуд [34] доказал теорему предыдущую, заменив условие/ (3) . , условием . У у.
- 4 -
О / Хщ " ^т-1 I
V Ат у . п (4)
3 1914 голу Харди и Литтльвуд доказали [59] теорему Ландау, заменив условие (3) односторонним тауберовым условием
л _ Ч -АшЛАпЫ-
п° *т > (5)
причем Ат+1 ~ Ат , . ' ■ . 4
С о)
Литтльвуд в [36]-. указывает, что теорема его'Берна и без условия (б). Однако, доказательство этого момента в 1968 году опубликовал впервые Аканца-Рау [л] .. Пример , показывающий необходимость условия (6) при доказательстве теоремы с условием; (5) принадлежит Анаида-Рау [о] . В 1939 году 0.5x052 [42]
и Днаидв-Рау [з] доказали,чао если
]раП1е'зи<г ~ Оу; х>о, ат* о ;
т=о • -
ТО Л гг. необходимо удовлетворяет условию (6) . Это условий играет существенную роль при получении тауберовых теорем с остат-
*• 1 г
.ком. В 1936 году 0. Бхоэг [50] доказал: если
5>те“Хга<г — з, о' —- + о >
чт»
ит е т«о
выполнено (6) И / :
Сіт ат^о , (7)
ев • т—•«»
д~п ' '
ТО ряд СХОДИТСЯ К Б .
'•6' П"°'; '••• ' . г -і
у га теорема содержит ъ себе теорему Харди-Литтльвуда [59] , поскольку условия (5) И : (6) влекут (7) . ’/Г.
В •, 1946 году Редкагояал [З?] доказал теорему с еуммиро -айяием Рисса первого порядка: если
- 5 ~
Є"*"*
т=о СГ—- О
уі выполнены условия (5) к (о). , то
со . ; • .• У, .; _ .
огп = 5 (Р, А, ж) л ж = 1 ^
т*о
З 1951 году появилась монография Харди Г. [60] , где изло-жены классические таубероьы тосрены. Подсчёт остатков к ним изучен в [47] . Получение основных результатов в этом направлений" связано с методом Карамата, усовёршанствованным А.Г.Постникова [39] , Г.Фройдом [56] , Я-.Коревааром [34] М.А.Субханкуловкм і45.] . А.Г.Постников усовершенствовал метод, используя равно -мерное приближение функций алгебраическим# полиномами. Метод Ка-рлмата-Фрссдда-КореБаара основан наг одностороннем Ц прибдиже -нии функций одной переменной алгебраическими полиномами с учетом быстроты приближения и величины суммы модулей коэффициентов ал-арс копирующих полиномов. Б этом направлении работы А.Г.Постникова [зэ] , Г.Фройда [бб] , Я.Коревэара [34] появились в пяти -десятые годы одновременно. Б работах Г.Пройда, Я.Корзпаара,
А.Г,Постникова и И.Л.Субханкулона обобщены и уточнены классичес-
■ л ■ ' . ' * *. '/ У ■: '• •' * г-
кие таубероьы теоремы Литтльвуда и Харди-Яиттльвуда.
Тауберозы теоремы находят применение в различных областях математики и приводя? к весьма глубоким результатам. Точность многих асимптотических формул , например, в теории чисел, в спектральной теории, гармоническом анализе, математической физике, теории вероятности и теории дифференциальных уравнений зависит от точности остатка применяемых для этой цели тауберосых теорем [40] #/ І43]Д52] . ■ , у /•••у/'-ШШ
холи а теореме условие ка сумку ряда накладывается в некоторой комплексной области, то её называют комплексной тауберавой теоремой . Первая комплексная теорема с остатком для степенных
V. - 6 - ■
рядов была получена А.Г.Постниковым [39] . В 1966 году К.Б.Ворс-, з дин [о] защитил диссертацию ” Абелевы и тауберовы ■ теоремы для стеленного ряда ” . В этой работе сделан перенос веществен -гпо: абелевых и некоторых тауберовых теорем в комплексную область В 1964 году.' М.А.Субхаикулов впервые получил результат с остатком для обобщённых рядов Дирихле в комплексной области.
[45] ( одномерный случай ). •
Сравнительно мало исследованы тауберовы теоремы с остатком для: рядов Дирихле, причём для кратных общих рядов Дирихле эта теория вообще не рассматривалась.
Двойные ряды изложены в монографии А.Й.Янушаускас [б4] Абсолютная сходимость кратных рядов Дирихле рассмотрена, в стать кк Е.П.Громова [з] - [ю] . Без каких-либо ограничений
ш /характер? сходимости рассмотрена сходимость двойных рядов Ду, ~
рихле в [С2] , [бЗ] . Многомерным таубероьым теоремам лосзл-
щены работы [6], [10] , [12] , [&] , [44] , [54] , [об] ,
[51] , [бЗ] .
Ослако, вышеуказанные работы совсем не касались вопросов,
связанных с остаточными членами ь многомерных тауберовых теоріє -
%
нах. леоремн Хардк-Диттльвуде, Кноппа , Дуранона Ведия, Делаюка выделяют Только главный член роста искомой асимптотики и не со -держат никакой информаций с порядке отклонения искомой веяйчикы от- глазного члена асимптотики. Вот эти трудные вопросы изучаются, в исследуемой работе. Подсчёт остатков классических тауберовых уеорак приведён в работах [із] , [іб] - [і§] , но они являют-
ся теоремами тауберова типа с остатком для кратных степенных
-•-о*'
т.
іауберезы теорег/к с остатком для кратных обобщенных рядов ^йрихле^переке были рассмотрены в 70-е года автором и некоторые
'..■ям ;д
Работы
; -ком.:для кратных .<
ш"
> • .79 с-г >' *>■ 7 ЛА> *5Л'^ЧД> • Гг - •'•*.*г- ,«3 тгд. , -Г; V, и?-! о ч-*чл у-# л г. •^д л,'Г- :. г >з <-*> * .,> 1.5Х<А<ч;
•- . . ’• - ' - • .• . ■ ••
/:о от их результатов’ приведены.'' в ^работах [60 ’ - ;[23] .
’Й’-^нг.ая диссертационная работа-посвящена теоремам.• тауберова -/•-.. типа с остатком■ для коатных общих рядов Дирихле и их приложоки- \:Ш
в' '‘"'Л!*'' *•— -••-*--•••-* • -•■ •«' |
' - гХ, ^ . .. - У ‘ -' 6 .'^3 уД*)/3
. I. Построить теорию тауберовых теорем с оста^:6щ
общих рядов Дирихле. ; •
ительные.тауберовы теоремы с остатком для .>ш-Д .
тегралов Стилтьеса и кратных общих рядов Дирихле.
4р;:; .. . р- - :.у : .
3. Получить двусторонние и - односторонние комплексные .^ауберовьц;
С . теорехър с остатком, для-кратных .общих-рядов Дирихле. . . уШ
4 . Оюследовать'тауберовы теореш с остатком для крат72>1Х Обю;1х :-х
* .< •.
оядов Диоихде при средних Риссацёлых неотрицательных.поряд-
‘ •; Р .. - - ' ' . • -.-• Ч . ' , ' ■
- ков. •
' ' у:-М
5. Получить -тауберовы 'теоремы со' степенной • функцией в' главном
. - ■ • • • •- , - 7 ■ .Д..; • • ... • ? ... • :
• члене роста. . ••
. 6,.-.Дать•ярше-не^иё-: полученных. результатов :
ра-Дирихле .. | ' У
ов К;кратным рядам Тейло^ДдДД ■
•рУ-.З’.у// й'
•УУШЩяШ
ми-*\л*клтж*1--^1, мм аиоа&ТСЯ;.
.. .. . . ..
ДхМДОстрота прибдоения и. оценка ‘модулей коэффициентов аппроксими- :нчЩ
- - -. 4. ' • ■ 'У.:.;УУ
рущего. полинома.'. Этот метод получен автором в: математической ■ Д6 Д Д
• школе, тауберовых теорем-Субханкулова.
"'■У :' Ш : .у • • : * . ' ■у^-уМШI
б ч Научная новизна Д" Гірк изу>
. ------------ —-■■■..■ — ; ■ .Г •
*МЙ7 коатгікх обпіих рядЬв' Дирихле бьл
■■ •
Г-'$у>Ґі> -Яі:<■■&*.&У?І$І:•
изучений; -действителЬньос теорем- для :Ч'гЧ-Ч;-
•"тауберош. іШії)Ш&Ш
к общих рядов' Дирихле, полу- . .
•' V. •■■■ • ■■'' _■ ■ - ■. - Ч
. автором, даляются: соверЯдщ
ШШШї $£& большой научный интерес
коосфициентов ; кратных рядов /Тейлб^5д5
Ч -' 7-
Вопросы 'тауоешвых ' тео юем с -остат^®
Щ - Ц ***, -,
ком при с редних Рисе а как
ш. • * - . ..
• • - 9 -
• . ' . ' •• . ' ■
Эффективность-ТауберОВЫХ, теорем С остатком /ДЛЯ КраТНЫХ; Об'М
щйх рядов Дирихле заключается в том, что классические _те;ореЭаг/Э'/Щ:
V ( '..'О ' Ч;Д"' У У, ;■ -’.'•Д ' ■■ у''-'-}.' У ■' ’• ‘ ‘ : . Г/.'/-.' ■*. -
тзубесова - типа -для "общих. рядов- .Дирихле, для рядов Тей лора-Дирих •;
‘ 5 ■ • • .
•яе ,ддля/.степ9нных: рядов 'вытекают -как следствий
:-ЛЛ" * "••■•»--А.'-' *Л •• • ' .V.----'■“*
. Достоверность .результатов-Все результаты и выводы данной. ’//.
—а—-----------------—
исследовательской ..работы' / строго до казаны и обоснованы с по-
' ' ■' л'-Г'УО '
0...Д СИ У-Ы/0:- У
мощью математических• занных леммо : .
ческих-методов, указанных выше, множеством
ШШШШШШШмй ШШйШШШШтж
РІГТіІГ ТТ О СлфГ* С7 • '•‘А?’* 5^,олї*й.лі</їїіі
рем . Это ’ отмечается в. примечаниях. Также. приведён пример -неу -
■ - • . ■ • 7 лучшаемасти; теорем ;у
’•» 'Ь' у у?Гл$■**
.'О.? ■“& ' :■ - • :д-П; ;;:П-00/•'
... . 1 бл Я.
Практическая ценность, -Тауберовы теоремы с. остатком для
х рядов. '/'Тейлора-Дирихле''.
,;кра тныхд сте ленных ря до в /,/; для кратных держатся в- тех. теоремах которые получены автором;' Каждая- гла
жложение.
. ва раб о ты . находит при ложен* ие ЙЖЫ . .. I
".-'•п.'-'-'.- о-ц'П...-•'Д.. .'•••- '.••• •' -■•" •. Д •. ••".-.•• : " Х-ПД6Э- ,'. - ;-0 .' у
; .' -г •• 1 -5., , - - ••; '•
- детоды исследования автора,/используеше при постооения тео-;.-. -і:
• рии тауберовых террэм с- .остатком для кратных общих рядов - Дирихле0"д
в дальнейшем :могут быть применены в получении тауберовых-теорем .1
' ' , ' . .. '■ • для кратных рядов. Фурье,. ■ •
Аппробацпя. работа.. Основные результаты работы докладывалисй^Ш
- • - •- -- •. / - -УіУУуууш
у. -обсуждались, на. научных,;семинарах :
кафедр, общей математики, математического' анализа
і тгу (г. - душШеУ:(ШттЩШж
;•••-' лттил л.. ' п- • т? ..ь.-.ж-і.;-
вы математического анализа1
SSfe3W
тшШт&тш \ mm wm
vсигонометричес ких рядов” .• МГУ.• ( р. - Москва. 1985 г. - рук. профг .. л
“ 8 : ч' " В •
, / •' Б.Н.Чубариков'.) -
- на и/сем.. " Аналитическая теория чисел и‘ео .приложения■ -ШШМ
. ; / ". .--г----'.- '
Щ СССР.и МГУ (г.Москва, 1988. г. рук. профессора:. А.А.Кара^ба
Г.И>Архипов," Б.Н.Чубариков )
- • : ' '
каф. математического анализа ЛГУ ( г. 'Санкт-Петербург;> I9S8. г:.:
рук. проф. Г.И.Натанеон )
■ ■ . '
- на и. сем,- и Аналитическая теория чисел"- ЛОМИ {.( 'г. Санкт- 4
Д8' ’ -7 ; ' V . '• р :' '' ' ■ : 8.. 8/ \8;; • • ' .-у. щУщ
. . Петербург*. 1983 г. рук. проф. А.,ВШалышев); щ
• ■ . * . .г * - ... • ■
- на и. Сем. " Спектральная теория: дифференциальных, операторов";
МГУ ( г. Москва- , 1986' г. ,1938 г. .рук. проф. Б.А.Садовни - . .88
8 V ■ '•
ЧИЙ ) -. -
- щ н. се?.:. " •. Нес.амо с о пряженные операторы-" МГУ ( г. Москва,
1888 г'. , рук. доктср'; физ.-мат,' и. .А.А.Шкаликов )
• . ‘ -. . - . Результаты-исследования, также' сообщались и докладывались :
ЦЩ '''■ Щ О--. •■-. -О". \.8уД- . .• ... : ' ■ > : , -'.V*.,
- на научны:-:' конференциях проф.-прей, состава ДГПУ. С г. Душану.7Щ|
Щ . у • о .. . • . . Д.-о-.. :■
Щ/ б е, ежегодно--) •- .V . ■ у. ;
Ш . - ■ ,3' ' ' •. ■ 1
- на всесоюзной летней математической школе-конференции*Л1Г < 88
. • У-.-.:, ,ОД:-'3''88..л,'•>:- • Су, -7?'у/;У у... у/У
СССР и. АР Таджикистана.. (; г .Душанбе, "1986 г., рук.
С? С.Б.Стечкин)
- ' ' ' '' , . ■ ■■ ■; • • 8 /.• -• .83.о—
- ка всесоюзной научной конференции, поев'. 275-летию- со. дня ро.чд.-
М.3.Ломоносова (г. Москва, 1986 г., пред.’ проф. А. А.Карацуба). ;8.-'v.
- на Всесоюзной научной конференции."Современные-^ пооблемы тео^
: ' ' ... М-; h Ж ;:8.
• рии. функций" С: r .,,ßaity, . 1989 ,г. к
л»7 ' - ' -V -•* - * .. ’ _Л • ‘ »- < > ■ •' ~Г.' -У *. ч’-, •--'''.v., *л< ' ■ - ‘ •*.: "Х* ( .»VXiP
\ ’
- на Всесоюзных й -Всероссийских, научных конференциях,геглгеновс-’^А^
. них; чтениях v г. % Санкт-Петербург, 1978, 1983,-1965,;
- на. Всесоюзной научной'.'конференйии " По теории- приближения фЗоп--К1:ий ", поев. 70-летию А.Ф.Тю/ана ( 181спропетр0вскф:1^0^Ш^н|
Д- У,^-.УУ'.У: /•''7'У .. . • УД .V.. . У-у. ‘ - - \<?с> '■ •< - • ■ ■■ -•
V’’ ТТ — ! - ' '.-.’ЧУ /-ДУ" ' ■ ’’-У ' *
.- на Республиканской _нау»5кр-практииеской ^конференции молодых :'М,уууу. учёных-и специалистов Таджикистана ( г.; Курган-1^бе, 1991 :п*ур:Рй
1~й докл. совм. ■ с - Н »М .Мамараджабовой£-й докл.. -X * Дж .Худо-д V у4
■' . £ " ’ : >' - ; • • ■ ’ ■ ■ ч • .■■ " у: • V ;:УУ
ёровым, ,3-й докл. -•А.С.Абдухоликовой)
• .. .
- на. Республиканской няучно-тфактическои конф. молодых учен. и
специалистов "Таджикистана (-.:г. Ленинабад -Ходжент, 199С г ., .у.
докл. совм.: с К.М.Мамраджа'бовой),
' ' • • у . о' ■ " •
•. •' - Р- на Международной-' научной: конференцииМ""'Дифференциаль?ие .й
' у. .. . Й " РЙЙ
интегральные уравнения. . Математическая физика' и'специальные , Щ функции и ( г'. Самара!"’1991с г . ) . />Д
- на Международной уузадачи вычислите
юй научней' конференции 11 Теория приближения кгельной математики % (.г! Днепропетровск,
-О- . ' ' . У ' ■' уУ.у
... • ; • . ; •"'•■. ' У;.:'-
\
Публикации.' Основные результаты диссертации .опубликованы.-Лу
. в 2д работах и в монографии ". Тауберовы теоремы с остатком для
кратньгх общих .рядов Дирихле ".
Структура .и объём диссертаций. Диссертация состоит'..из вье^ї йй
■ "дения , списка основных обозначений, пяти глав, списка'литера
• •• У. '■ У- У
туры и оглавления. .Объём диссертации";:., 265 • страниц:. машинописи : у
'&у? . У. • ... уУ •' •' ' ' . . У' ■ У :. . ' у.М '■ ■ ' - -
ного текста.
-КДкаждой главе даны краткие необходимые пояснения результат •'■ тов и методы их получения. ^
В главе I изучаются действительные тауберовы теоремы с ос-.
". ' : . -• татком для кратного интеграла Стилтьеса и кратных общих7рядов -с
Дирихле. Метод исследования здесь-основан ка іі приближения . оункций 'двух переменных алгебраическими полиномами. Этот метод д;:/:
‘ . «У* ' -■
. пройда -Г.
■ V ’Д ґг?:‘}Д. -
■ - .
ь'М ./ї.'&у . ‘-*-4 ' » V/ -' •;УУ , 1'-.' •/Д .У'1 . - с'. УД
. ' - ' ; • . у .».V •/* • . "... ■ /:; ’ .■ .- УдМУ
' : У-. У' ■ .у/1 ;уйЗ&ййл!,;.‘ лУ* У’-*.. ' ' * • • V* • Л4-’ л *• у ■.... ?уУ
-У ' ? * у.'-'/': ?.'-л ’Д-У л'УДЪ ■
ЙШ1'
ттттт
В- § Г.I ‘ Приведены .необходимые- обозначения к. определения..-■_■■■■
, " • *&>•:•
у у 1.2 получены .действительные ,та.убероьы теоремы.
' § I.3'посвящается частным случаям предыдущих теорем.
. приведём.некоторые.из результатов стой главы:
Т е о р е м а 1.1.1 • Г.усть и X (Л ,-9)
функгии .ограниченной вариации;, Г (С,0) = 0 ; и пусть абсолютно сходяшийсл: при .• 0 и П > 0 кратный интетрал/Стилтъесз
ЦШ$ ш
у до в летзоряе т., уСЛО Е.ИЮ,
тай сц'>
возрас тающая функция я • у до в ле т воряющая ус л о в ню
Тогда
ги.+р)Г(-у+.6) Г,(к+0 Г(сМ) 1 Г.(Х+р+к*1) Г(у+11 й-И)Щ
ГО)Г(р)
Щр ; о>о V р>о , 5>;о ; ';к>о;у;.;,•
о § о уелые ; соответствующие постоянные в. оценке 0 ааг
~ ; :'»и
висят .только /от : , Р 1 К , Ї. й • > ^ •
• Т с о-’р Є м а І.2.2 ‘Пусть кратный/общий ряд Дирихле,
■ •• •• .• : • •: •
■■ - оо . оо • ' '• і Л ■■ • •
т=о п=о
Ш■ '■ №Ш!Й0ШШ0$М
^ ' л ^ - -*- ---—ъ* •1 • —'•■у* * **^***• 1 -с^Уу ул 'у>«гі г.у.ухі-•; і,. «ід
приі т
'.
с^ Х0<А1 <• * • < Агп
Ат **“
Мп
Ип
а шп . - вещественны; Абсолютно сходится при и удовлетворяет условию"
при п 1 (Г > о
я
п>о
' •!'•■* 'ьч'.-'Нь И®
»: • • ‘У£у*/> £££ ж
; СҐ,Г| — ■*• О
'>ЖУ .»?7& !кЩ 9&ШЦ*(зм1
Щ я - - -■ : " • •
и пусть выполнено .одно'из следующих^условийп
■• . . • ••'•■' ' ' ■■■ ■
5.шл^ С ^ Бтп > г Н0, (5тп < к0), 5гпп = 0 (0 •
Тогда :-л
тп
п<у
+
,~К-1
на*
(К
ндьу г і +' ..
©Т й-п'й 'ШШЩШШШ
О (1 \ ]
. , х , у 'ШЩщШї ; ШшШ
к^о И (1^0 - -целые’ неотрицательные;, постоянные -оценке Л ;‘
заьксжт от: К и- СІ. ; 15',(и) те что й в тесіреме г.2.1 .
'■■■'■'■■■: • ' ‘ ' -7
•здесь.
а
е ро вы те о ремьі
• •23,^7
ъш§т~, ШШ&
■ ■
ТО В
. ' * *'4,1 ».■*•*•'
£ф7Длаве^
остатком; для кратных. :общих; рядов Дирихле /. у
.-Эффективность.;таких теорем заключаетсяв.,реоудь'.;';
■7 тэте имеем степенное'понижение/б.:остатке, в то время как,:В;
;'•■ действительных'тауберсзьгх теоремах. - . лишь, логарифмическое - - . •
Следствием полученных, теорем в результате уточняются ИЗ 7':У.| вестные классические;’ тауберовы. теоремы Харди-Литтльвуда и Кноп-; 77.
Й5., также' обобщается на многомерный случай один из результатов.- ■ •: .Щ ;:г.Л.Субханкулова. . і • •,
, . Б § 2.1. Приведены вспомогательные предложения, где ..дока-7 <Ж&
■ ■ ; V ' :~
зызается лемма ; 2.1.2 , она является ос-новной ибо . она, применяет : | р;|
ся в доказательстве всех теорем главы II.•; § 2.2 лссв.ящён ком- 7 7.$;| плексідімтеоремам типа Таубера с остатком для общих кратных ря~-77У7| дсб Дирихле. 3. § 2.3 приведены приложения. .74
77',- -Р^врдем■.некоторые ;из’результатов;і главы'\0Ш ■
I е о р е м а 2.271 Пусть ...
| ж'" - •' *...ш
. ы= г| <-9і у .зд;
> ГП -о
Ь; •• уь.'.і У'"'\.•.’б.!Р > - -Д. V,./•
Яе V >
Ф ■.;& ШШМЬШт, Ы&р >■ 7 ЭДщшШЙ
со
со
Г(.5,М) =
гпп
“Хт5-Рп^
гп
;: -.оД'рЩІІ.--7 КпУ--ч’
абсолютно сходится при Ке Э > 0 и области С:
0
^ Сгп% 0 < о», -о < 1, р||рщ
Шфщш
ШтъЩШ
арБлетворяет: оценке
I
-л■■■•': :<Ч- ‘ >7 Мг».
.‘/.V/ :*7 •■ 7 7? ’ -:Л • 7 *{.'77 5\ 7 1 *->2Г;7»..0
: •«»}• Л.'Р Г_/ *•' *•' «г. • . ; .• /»
.. ^ ;;; ^ . - с. - 7 "’•г ; Л-* ': # *•> .
. . • •
*^'лг^>77 > •й' . ■
шшшшт
feft; : : ' * л <i Lp° ^гіи-ШіїШШй Ш. ÉliS
■ ‘
йкШЙЩм <&?&№*>* -л- >
жФ>Ьа®.&/;+- Kr/H-dh ■: -1 ••/?
іу1^іС01. fi lOC{llV/— иииг
ИР
І1УЙШУ с0 +
•л:У У--.: .- • ■ . .^УуУТУ У•; - •'•,-.;.. УУ :-у. ; 77-' , ■ 727.У:-, ' -: , •■ •
^bÉyyyl: О +Ш т Ш ШШШ V =ü ш
7; - У ^." 2 - у У У '
у7 • 7 (7 >с7, m >a hidu czkz>.:—— fi<-x
Ш\;‘: 77:' ' : ■ '■ 7 ;; ; . |5 ■ • I •
Щт: :(yyfi О +(ІЙ;Ш ШСШШШ
2227.-■>л'г •-..; . V у. :у7уу у- / уУу. •.
./7'УУ;-у.ч,;•■ : ■•• -у, - - ■ ; •.. ‘ ■ . . .-, Ы
С'гп < І MdLI
:>
V ,ЇУш
w.-
ЛУї/ ОС 5
ш.
ЯІ
Й
оо.+
У‘
^illilll у уу у* Ч)у=
ULU
D
Ші§У;ЮШУУУУ
feS^y--, : . . •■-
SSt. ®Р> . июНШ
"; '•' - .'. v.-" •.,' яВК'.і-ПГ у-і-ч'У■•;.:•' v.... ' • . -.". •'- '•■: .•.'••
у у 7 CZ'Z'Z) . '•
/.'277v// ; ; ;
іШЁшЁШЯ-Шт Ш:* ^ж% вМ^Р;-
' І > аУ 0
•У; V- V. ! '* ;Чч*-J Г ’ч*-^
у.>2>о
, ^
■ ш 0- -
— ; Uiу
Ц
Z':
ri'+ :vr
Ul
г
•>1(
>
u Ul
gl
r‘ '■'
. • •. у-; • \гч ъ\
хч
/ c
V ->c "со ^ a Kdu
oo -f
о > с'ч 4 г >
л
(0 •
(V < d U < Û ltdli
oo + — ('X с ,
I « 1
• I
V.J
-4,</x ' *})\j~ UUI
f\>uri
D
L-Л
oJJO1
°z U1M
“In * 7 » 3 * Mrt “
4
I. і
(•О II) і Oyd 1(9^Л>0 . :2'
*i Q
T— r- »
4 ( L. 4,
« I-u*. lÀt , /
"VilCJ 1 T\’nv ’■ W’^L* ■П7/* JO.u . .. . ІГГ.
■їсилч 0JQ4 оіоокя л ( g'y'z ) хяъотоА. jGcdep^j. оі’Юл;-. * IV:*;; HaCcIodi. ниєоіґоЛ’ ада гшэнкоияз чьэЛ'г. VV*T s л s d с о т.
/ -
6 і-ЛОЧміЛО«W*> 0*>-=;>v* Ws* »*}) V
О-
Р сс, у --*•* + сю и < Т, р < б
при
А. ( 2, X, і|, 10, >), , *у ) выражена формулой ік.І.О) .
З главе III изложены одно ото ронике* тауберовы теорем с остатком . <:тс такие теоремы, к которых тауберош условия на ксоуриниенти кратного общего ряда Дирихле наложены односгорой -образом.
Доказательстве таких тзорем несколько сложнее , поэтому пседпаритсльнз до называются с соответетвугсщшли тауберсБи.ми ус -дозиг.'п, каложенкыми на коэффициенты рядов , затем .цсказквазтся соответствующие таубероьы теореми с остатком для крвтных о би; их рядов Дирихле . Это Б $5 3.1 , 3.. 3 5 3.3 доказан
СЯІ; однсстгротеорем тауберова типа с остатком для кратных рядок То:::.ора-Диріїлле, что является применением теорем § 3.£ .
5 3.4 песолжён обобщению односторонней комплексной тауберсзои •т з. с гао г 'г-т с остатком М. А .Су бланку лова на многомерный случай.
Приведем некоторые из результатов:
Т е о р s к а . Пусть выполнены все условия тоо -
темы 3.3.3 , креме условий ; Z.Z.Z) и ( .о.;:.с), вместо них
соответственно выполнены следующие односторонние -тсуборовы тео-условил
О < СО < X =£ і
(
13 -
л >— 0 < » <б«Н .
чт.п ' ц.
Тогда спраеедкись: утге^денкя теорем *.£.4, .
Т е о р е у. а 3.3.2 Пусть кратный ряд Тейлора-Дирихле
{ (3,'д/) ®- V ^ Орг.п^ гп=о л «о
абстх.отпс сходится яри Яе 5 > О , Ре'//>0 , и в области & >
определённо* условиями : ' 4
у ГУ'гЛ'с г во ряс ? оценке
о
■ *7 г*, т \
■ч с . о. 1;
V г** г ?г,
I. Л
ы<т. с <т а I
V < о, о
.! СТПч
ГГ.* Ж Г; «С у
и < Т , V < 0 ,
г 3 А \ , X. у до, Д , )г) вы ранена фо скулой (2.1.0 .
3 четвертой гласе работы доказаны коуплоксаые тауоерогв: тес:-;: я; с осIа?хс •/ плл эбцих и кроткая общих рядов Дирихле с скссобскиуи средними яр;: це--ьп: и неотрицательных порядках , ккрчтцо, такие теореггы называет теоре,/.г.г/л ?;ша (К, А, к)
У [ р: , А , Ц , К , 0 ) , из последних легко получить теоре-
(
- -
Следствием полученных теорем уточняются и обобщаются извести: ос су: I ъ т а ты Деланна, Ду района Ьедил, Харди- Лит? льву да.
гЗ 5 4.1 приведены основные ЛЭ1СМЫ. § 4.2 посвящен таубер
зк>/ тсорэмау типа ( Д . X > К ) и (К, А , И , К , с! ) з 5 4.3 - прнлсгьенкя к кратным и искратныч? рядам Текяора-Ди , подучены теорема типа ( Рч , т , К ) и П , К . с1 ) . Приведём некоторые результаты '
из главы 1У :
Т е э р е м а 4..сЛ Пусть общий ряд Дирихле
<г-о
X"
гп-о
О “ и г- и }
О ^ А г, < А, < ••• < Ат А гн •— оо при т
абсолютно сходится при Ке Б > 0 и о области С
V1 * С» СГи , С < и < 1 , 0 < (Г * СГ0 < 1 / 0
уПО влетзоряегопсние
- + С(15Г) , 15| — + О
— с*о
И Г’ч'СТЬ
. I/ ?■ т" А т-1 п < » <т . , . ,.
гп}<^ . и 1 , и> < I# -ч4.й.1;
т
Ги } 7
V К > 0 , иолом
г
- 20 -
с _
X •• <о при и) .
если
< х если
если
* э о о е м а 4.2.2 Пусть ьыполнеии а все условия тес г.г:/ы Л.2.1 . ксс\'Э условия (4.2.1) , и еместо него выполнено
0 < X < 1
гп
Тогда справедливы утверждения теорем 4.2.1
Теорема 4.2.3 Пусть кратный общхх ряд Дирихле Р (Ь^ \\у) абсолютно сходится при Яе 5 > 0 , К е \\; > О , и в
С
О <Г| * г|0< у
удиг-егкоря?;!- условию \Х.с.1, , лусть виполкекы уелоькк , (<;.2.4) таусероьы узлоплл теоре:.Ъ! £.2.'с г.р-Тогда для У’л >0 , Й58 0 - целых
при р >ц}7 р > V ,
- 21 -
4- !
і •
-і oo
, оJ < T , p < 5
при fi * Ll> , P
x.u
при p > w , p* v(
Am'.* /. Un
4 *
! і !4''‘' 'r-fJ‘s ) ; x.tj — • ,
U<T, p<§ при (3=£W, P>v
А (1,РД) — E + 0{P(x)Q(y)f
I J
X" ^ если К >
Р(х) л х~*ло если к < <1
Спх если К
ц"* пели 0. Си) ^ 1 если
Сп ц если а -
(4.2
. е с ? е ;/ г 4.2.6 / типа (. Я , А , Ц , К , Г-мсть ь раг.-ки общий ряд Д'/рмоле Г ($, ^') абсолютно схедг/ при Ке 5 > 0 , Ке\У>0 и н области & :
Рс'^ О! < СП^, 0<и<1,0<\,<)
у.:;-'тес ряет ус лоза» к?..2.1) , пусть выполнены условия
Я! гг
И
0^Т<1
0< |<1 .
^ »_< . 1 . л
I ■' ~Г» rr.li • • ‘
V
к > 0 , с1 ^ 0 - иелых
п
\ fjç
\\<а ’сг> >гі ти $ >о {
A t . СхО "Γ і «
rw"r>
'ts<d'cr)<d H^LI
X
- S?
(4.2.0)
О '). Q/м) клра/м*знк фо uw лами ( і. 2.3), к 4. *•.. 4 )
• Иу • •-* vv/ - г / / n s /
і сор s ;V a 4.0. і / тяііа i. К , m» К ) /
іусіь ряд іейло^-дмрйхле
-!П S
0-e s — б 4- t і
■осэтутно сходится now ре S>0 11 13 области Q
о
і.
j j.i j ;• Ji j с. • С p *•* * О L 6 и КС
|A* N
>1 пусть
m (nn+1)' ’ ' (4.3.1.)
!~г.цз лри Vk£0 ’ целок
X — 4- CO
X
где r (x) ььракена формулой (і. .£)
і с о р с а і.с-,3 / типа ч R » m > . ^
пусть кратный ряд Тейбора-Дирихле |(Q \\/) абсолютно сходится яря R?S>0 И Rew>0 “ з ойлзсти :
41 Сэ*", /eu Сю l'"« 0<СО, V<1, 0£б~<5о<- ту
У ДО JЛС'ГС0Р'ЯСТ уел Л1 ЛЮ К? .3.?.) у, пуст
rrv * С у * С »V ^ і • (2.3
о fk >0* 0 <. V< і 4 !. (2.3.
Тог- ддк целых V к>0 и о > О