- г -
СОДЕРЖАНКЕ
Стр.
В В Е Д Е Н И Е ............................................. 3
ГЛАВА I. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ФОРМЕ ПРИНЦИПА МАКСИМУМА ПОНТРЯГИНА В ПРОЦЕССАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
УРАВНЕНИЯМИ ................................... 25
§ 1.1 Постановка задачи и вспомогательные факты 25
§ 1.2 Необходимые условия оптимальности для автоном-
ных и неавтономных систем с терминальным критерием качества типа максимума ................ 40
§ 1.3 Минимизаций интегральных функционалов .......... 53
§ 1.4 Задача о минимуме максимального отклонения.... 57
ГЛАВА П. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ ТИПА НЕРАВЕНСТВ ...................................................... 61
§ 2.1 Необходимые условия оптимальности типа нера-
венств для задач с терминальным функционалом
типа максимума ................................ 61
§ 2.2 Процессы, описываемые экстремально-дифференциальными уравнениями, зависящими от параметра. 76
§ 2.3 Минимизация интегральных критериев качества ... 81
§ 2.4 Процессы, описываемые экстремально-дифференци-
альными уравнениями с запаздывающим аргументом ........................................... 88
ГЛАВА Ш. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ПРОЦЕССАХ, ОПИСЫВАЕМЫХ ЭКСТРЕМАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ ......................................... 99
§ 3.1 Теорема существования оптимального управления
в задаче с терминальным функционалом типа
максимума ..................................... 99
§ 3.2 Существование оптимального управления в про-
цессах, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями с негладким критерием качества типа Больца ................................. 107
ЛИТЕРАТУРА .................................................... 116
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ
Одним из наиболее разработанных разделов математической теории оптимальных процессов является теория необходимых условий оптимальности, фундаментальным результатом которой является принцип максимума Л.С.Понтрягина [бО].
Как известно, основные результаты в теории оптимальных процессов и, в частности, необходимые и достаточные условия оптимальности получены в предположении дифференцируемости по переменным состояния правых частей уравнений и функционала. Причем предположение о гладкости использовалось существенно и входило в формулировку конечных результатов.
Многочисленные задачи, возникающие, например, в космической навигации, при управлении производством, экономикой, при распределении ресурсов, в марковских процессах принятия решений и т.д. требуют разработки методов исследования задач оптимизации, которые пригодились бы при исследовании также и негладких систем.
К настоящему времени негладкие задачи изучены сравнительно мало из-за неприменимости известных методов. Поэтому представляет прикладное и практическое значение вывод необходимых условий оптимальности и исследование существования оптимального управления в негладких задачах.
Исследованию негладких задач управления посвящена работы [5-7,16,23-27,35-38,41,44,54,67,79,87,88] и др., в которых для рассматриваемых задач получены различные необходимые условия оптимальности первого порядка. Главная трудность при выводе необходимых условий оптимальности для негладких задач опти-
- 4 -
мизации состоит в построении сопряженной системы. В этих работах вводом по разному понятия сопряженной системы получены необходимые условия оптимальности первого порядка типа принципа максимума.
В частности, негладкими являются задачи управления, связанные с экстремально-дифференциальными системами, возникающие в марковских процессах принятия решений; в задачах на узкие места, в экономических задачах и т.д.
Ясно, что необходимые условия оптимальности имеют содержательный смысл в том случае, когда оптимальное управление существует в заданном классе функций. Поэтому возникают вопросы изучения существования оптимальных управлений в различных системах.
Первые теоремы существования оптимальных управлений относятся к линейным задачам быстродействия и были установлены в работах Р.В.Гамкрелидзе [зз], Р.Веллмана, И.Гликсберга и О.Гросса[1з] Н.Н.Красовского [48] и др.
Отметим, что первая теорема существования оптимальных управлений применительно к нелинейным задачам принадлежит А.Ф.Филиппову [71] .
Доказательству теорем существования в некоторых обыкновенных системах без предположения о выпуклости множества допустимых скоростей системы посвящены работы Л.Нейштадта [85] , Б.Т. Поляка [б1] .
Для систем, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями условие выпуклости множества допустимых скоростей (условие Филиппова), вообще говоря, не выполняется из-за наличия операции максимума, поэтому методы доказательства теорем существования оптимального управления, связанные с условием
- 5 -
Филиппова, не применимы и представляют большой интерес.
Диссертация посвящена получению необходимых условий оптимальности и исследованию вопросов существования оптимального управления для процессов, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями.
Она состоит из введения и трех глав.
Первая глава состоит из четырех параграфов и посвящена выводу необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина в процессах, описываемых экстремально-дифференциальными уравнениями с нефиксированным временем.
В § I.I дана постановка задачи и приводятся вспомогательные факты.
В § 1.2 рассматривается задача минимизации функционала
J (и) - тсix
Б
при ограничениях
x(t)= max xU0):x„, (2)
uU) £ U с Ra- (3)
Здесь 3c0t)£ R - вектор фазовых переменных, U(i)€ Uc вектор управления, to» эсо заданы, не фиксирован, QcR5*
заданные компактные множества, - т - мерная
вектор-функция, непрерывная в Q х R"i U вместе с (с^х.и.) , а ф(сс,^)заданная скалярная функция, непрерывная в Rmx ß вместе с а матрицы 1-run. I max f ограни-
nm TT 4eRCxyu)X oeRU,a)
чены в К *U, где V
- 6 -
£ (oc,u) = jcj^G Q. : КПСXX |(<^foc,u) = |(c^x,u)|. (4).
В системе (2) подразумевается, что максимум берется отдельно для каждой компоненты, т.е. набор параметров для каждой компоненты отличен от соответствующего набора для любой другой компоненты, Отметим, что уравнения типа (2) впервые введены и исследованы в [14] Р.Веллманом в связи с исследованием марковских процессов принятия решения, В дальнейшем уравнения вида (2), следуя [47] , будем называть экстремально-дифференциальными уравнениями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Управление U(-l), te [to,tJназовем допустимым управлением, если оно измеримо, ограничено и принимает значения из некоторого непустого множества Uc R\
Под решением системы (2), соответствующим допустимому управлению uct) , tfcfto,^]# понимается абсолютно непрерывная кп - мерная вектор-функция ûc(t)* удовлетворяющая начальному условию XЦо) = Х0И системе (2), ПОЧТИ ВСЮДУ на [to,li]*
При сделанных выше предположениях каждому допустимому управлению uCt), te [to,ii] соответствует единственное решение хCt) системы (2), определенное на [to,tt]e
Допустимое управление, являющееся решением задачи (1)-(3), будем называть оптимальным управлением, а соответствующее решение системы (2) оптимальной траекторией. Заметим, что, несмотря на гладкость функций ф(х,£)по х , в связи с нали-
чием операции максимума, правая часть системы (2) и функционал (I) не являются гладкими по х . Поэтому рассматриваемая задача является негладкой задачей управления.
- 7 -
Введем обозначения
Н (*,ц,р) = Р1 max fc<j,,x,u), р е Ж(x,p)r та* Н(а.цр),
Ч-€(3- ueU
5 (xlt,)) = | £> е в ■' max Ф Сэс C-ti), I) = ^ ( ЗС c-t,^, 6) V .
Ъе В J
Доказана
ТЕОРЕМА I. Пусть (сс^.C-t), u.^(-t), t,*)- решение задачи (I)-(3). Тогда найдется m - мерная вектор-функция pit) такая, что
а) вектор-функция p(t) удовлетворяет сопряженному уравнению
pet) =- A'lt) p(i), p(-tw)=-c, (5)
б) ПОЧТИ при всех t€.[to,t,*]
H(*«C«,u,iUp(t>) = max Н(х,н),и, рш), (6)
ueU
в) гамильтониан рШ) непрерывен на отрезке
[to, 1„] И
~Я (ОС* Ctn<), Pit,о = о, (?)
где Act) - некоторая измеримая ограниченная (тх т) матричная функция, С - некоторый постоянный вектор такие, что
mLn (х(Л>хха)>и*и))< А СО* max f х (q,x*(t), и, ш), (8) Яе R(3c.(t),ue(t)) Ч,сШх«а>,и*и))
- 8 -
min Фх (**(*„),&) * С < max ф* (x*(t,*), g). O):
&£ BCocxC-t,,)) {,€ 6U*(t,*))
Далее, в этом же параграфе аналогичная задача рассматривается для неавтономных систем вида
xU) = max |(cj^-l,a:(i),u(t)), x(-t0) = x0j (Ю)
где m - мерная вектор-функция | (cj,,t, ос, и) непрерывна в Q* [Uвместе с |х(9,Дх,и), и
функции min fx(q,t,x,u), max
qeR(t,x,u) q,eR(l,x,u.)
yrun. I (ДД, Dc>u) ) macc li u) ограничены в
cveRU.oc.u) q,£ RU.x.u.)
[ -t0, i, 1 »r«u,
RU.x.u) = : ^ах |(ДАХ.“) =
Положим Я ^ Q,
H(t,x,u.p) = p' mcxoc f (q,,t,x,u),
Q
К (t,x,p) = max H(l,x.u.,p) U € U
Доказана
ТЕОРЕМА 2. Пусть (x*(t),U*(t), i*#) - решение задачи (I),
(3>,(10). Тогда существует m, - мерная вектор функция P(t) такая, что
а) вектор-функция р(Л) удовлетворяет сопряженному уравнению
- 9 -
pu)=-A'umo, p(tm) = - c, (id
б) почти при всех t £ [to.li*]
= max H(t,x,U),u,plt)) (12)
ueU
в) гамильтониан (t, x#(t), p(t))непрерывен на отрезке
[ to, t,* ] И
'Ж (Дц , x (-ti*), p(tix)) -o (13)
где Alt) - некоторая измеримая ограниченная функция, такая, что
mim Altb max ^(дДхли “-*(-(•>) (14)
ДЄ Rlt,x»lt). “*(*>) ДЄ R(.t,x*(t),u»U))
и С - некоторый постоянный вектор, удовлетворяющий неравенствам (9).
В § 1.3 рассматривается следующая задача минимизации функционала
г1
](a): max j F Iа, t,xU), u.(t)) dt (15)
а є 1 і
t0
при ограничениях (3), (II), где Л - компактное множество из RK, функции Fla,t,x,u), F^la.l.x.u) , F^ (a.t.x.u) непрерывны на А * [to.t, ] * Rm * U, mLn. Ft (. a.l.x.u.),
ає Klt.x.u.)
- 10 -
max FtCa,t.*,u), mm Fx (a.Rx.u), max Fx(a,i,x,u) a£ K(i,x,u) aeK(t,x,u) a€Klt,a,u)
ограничены в [t0>t,] x R^x U .
Имеет место
ТЕОРЕМА 3. Пусть (x*(t),u#(t);-k1#)- решение задачи (3, (10), (15). Тогда найдется т - мерная вектор-функция pit) такая, что
а) вектор-функция pit) удовлетворяет сопряженному уравнению
p(t) = - A'(t)P(t) + k,(t), Р(1,*)го, (16)
б) ПОЧТИ при всех t £ [-to.il* ]
Н (t, x*(t),u*(±), p(t)) = max H (t,x*et),u, p(i)) (I?)
ue U
в) гамильтониан (1,х*Ц),р(1))непрерывен на отрезке
И
?€ ("t 1 x> X(ii*), P("tt*)) - 0, (18)
где hflt)- некоторая измеримая ограниченная вектор-функция, такая, что
fiat a Fac ц*ш)< h^lDt max (&Лэе* (Ц Li*lt)),
clg К U,fc*it),ue(t)) a е KU,** (t), u*(t))
- Київ+380960830922