Исследование метода инвариантного погружения в задачах оптимизации

- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
ВВЕДЕНИЕ............................................. 5
I. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДВУХТОЧЕЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ.................................................... 10
1.1. Краткий обзор методов решения линейных граничных задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений....................... 10
1.2. О разрешимости линейных граничных задач для систем дифференциальных уравнений первого порядка...................................... 18
1.3. Единая терминология метода инвариантного погружения................................... 19
1.4. Описание метода инвариантного погружения
для многомерных линейных граничных задач ... 21
1.5. Доказательство эквивалентности ............... 41
1.6. Алгоритм метода инвариантного погружения для решения линейной многомерной граничной задачи. Численный эксперимент....................47
1.7. О сходимости,устойчивости и погрешности метода инвариантного погружения для многомерных линейных граничных задач ................... 51
1.8. Оценка сложности алгоритмов решения многомерных линейных граничных задач на основе метода инвариантного погружения ....................... 55
1.9. Решение многомерных линейных граничных задач с условиями на одну функцию с помощью метода инвариантного погружения ................ 59
- 3 -
1.10. Сравнительный анализ метода инвариантного погружения с другими методами решения многомерных линейных граничных задач.Численные эксперименты .............................. 65
1.11. Выводы...................................... 75
2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ДВУХТОЧЕЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ............................................... 77
2.1. Существующие методы решения граничных задач для систем нелинейных дифференциальных уравнений .................................. 77
2.2. О разрешимости нелинейных граничных задач 83
2.3. Описание метода инвариантного погружения
для многомерных нелинейных граничных задач . . 84
2.4. Доказательство эквивалентности .............. 91
2.5. Алгоритм решения нелинейной граничной задачи на основе метода инвариантного погружения 95
2.6. Оценка сложности алгоритма решения многомерных нелинейных граничных задач ........... 96
2.7. О сходимости,устойчивости,погрешности метода инвариантного погружения для многомерных нелинейных граничных задач .................. 99
2.8. Численный эксперимент,поставленный для проверки работы предложенной вычислительной схемы.Сравнительный анализ метода инвариантного погружения и некоторого итерационного процесса ............................................102
2.9. Выводы....................................108
3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В СОЧЕТАНИИ
- if -
С ПРИНЦИПОМ МАКСИМУМА Л.С.ПОНТРЯГИНА.......................НО
3.1. Задачи оптимизации и их классификация . III
3.2. Сведение задач оптимального управления к задаче о минимизации конечного значения переменной состояния ........................ 115
3.3. Сведение задачи о минимизации конечного значения переменной состояния к нелинейной граничной задаче ............................ 120
3.4. Применение метода инвариантного погружения для решения задачи о минимизации конечного значения переменной состояния....................121
3.5. Выводы.........................................124
4. О РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ ..................................................... 125
4.1. Линейные задачи оптимального управления
с квадратичным функционалом ...................... 125
4.2. Одна задача динамики космических аппаратов..............................................130
4.3. Задача Майера для систем линейных по фазовой переменной и по управлению ............... 136
4.4. Задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями в форме неравенств . . . 144
4.5. Выводы.................................. 149
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..........................’.....................150
Список литературы .... .................................. 152
Приложение I. Листинги программ ... ...... 158
Приложение 2. Акты о внедрении результатов работы 219
ВВЕДЕНИЕ.
Современный этап научно-технической революции характеризуется постоянно возрастающим вниманием к проблемам управления.Теория управления получила дальнейшее развитие благодаря появлению электронно-вычислительной техники,которая позволила создавать сложные алгоритмы управления.Развитие теории управления в последнее время определяла идея оптимизации.Задачи оптимизации по своему смыслу являются вариационными,но их усложняет необходимость учета при построении оптимальных процессов различного рода ограничений,задающих замкнутые области допус -тимых изменений переменных.Это и определяет особенности, которыми характеризуются направления развития теории оптимальных систем.Часть методов теории оптимальных систем базируется на аппарате классического вариационного исчисления и теории приближенных вычислений,другая часть -методы,специально созданные для теории оптимальных систем. Но в настоящее время в теории оптимизации существует разрыв мевду теоретическими исследованиями задач оптимизации и практикой их решения.Несмотря на то,что разработаны условия оптимальности в форме принципа максимума Л.С.Понт-рягина и принципа динамического программирования Р.Веллмана, на практике используются в основном методы направленного перебора,разностные и градиентные метод и другие, непосредственно не связанные с условиями оптимальности.
Трудности всех классических методов решения задач оптимизации происходят из-за необходимости составления вспомогательной системы дифференциальных уравнений,которые
- Ь -
вместе с исходными уравнениями связей ведут к решению некоторой двухточечной граничной задачи.Существующие методы решения граничных задач (конечно-разностный метод, метод пристрелки,метод дифференциальной прогонки и другие) весьма трудоемки,имеют свои проблемы получения численного решения граничной задачи и,кроме того,весьма часто неустойчивость счета не позволяет получить достаточно точное решение задачи.Особенно серьезные трудности возникают при численном решении задач оптимального управления в связи с тем,что в граничную задачу,получаемую в результате использования принципа максимума Л.С.Понтрягина,входит сопряженное уравнение.Поэтому,даже если управляемый объект собственно устойчив,что обычно и предполагается, то решения сопряженной системы неустойчивы,т.е. при достаточно больших значениях длины интервала интегрирования значения сопряженных переменных могут быть настолько велики, что вызовут переполнение разрядной сетки ЭВМ. В связи с этим понятна актуальность задачи разработки но -вых,более эффективных методов решения граничных задач, устойчивость вычислительного процесса которых не зависит от устойчивости исходной граничной задачи.
Для численного решения граничных задач может быть применен метод инвариантного погружения,суть которого состоит в сведении граничных задач к задачам Коши,т.е. в том,чтобы сформулировать задачу Коши,решение которой единственным образом определяет решение граничной задачи и наоборот.Такое сведение становится возможным благодаря введению новых переменных состояния - параметров, погружению (включению) данной конкретной задачи в семейство подобных ей задач и рассмотрению взаимосвязи между
- 7 -
близкими задачами семейства.Одним из главных достоинств метода является тот факт,что несмотря на то,что исходная граничная задача численно неустойчива,эквивалентные задачи Коши имеют численно устойчивое решение.
Впервые идеи метода инвариантного погружения были высказаны советским ученым В.А.Амбарцумяном в 1943 году и развиты Чандрасекхаром,который и ввел понятие "принцип инвариантности11.Затем метод инвариантного погружения активно разрабатывался зарубежными учеными Веллманом, Калаба,Касти,Уингом,Прейзендорфом,Алспо,Кагивада и другими.В Советском Союзе до последнего времени (до появления работ П.И.Монастырного) метод инвариантного погружения не входил в арсенал численных методов решения граничных задач.За рубежом особенно интенсивно развивался прикладной аспект метода инвариантного погружения,который успешно применялся для решения задач теории нейтронной диффузии,переноса лучистой энергии,распространения волн и многих других физических задач.
Существуют различные вычислительные схемы метода инвариантного погружения:для случая системы из двух скалярных уравнений,для линейных и нелинейных граничных задач,для решения интегральных уравнений и т.д.Особенно сложны и интересны вопросы применения метода инвариантного погружения к многомерным граничным задачам,которые не позволяют непосредственно использовать технику метода инвариантного погружения.Вычислительные схемы для многомерных граничных задач были предложены Алспо,Каги-вадой,Бретеникером,Мейером.Однако все они имеют некоторые недостатки:одни - трудоемки, с помощью других нельзя по-
- 8 -
лучить достаточно точное решение задачи.
В данной диссертационной работе рассматриваются вопросы применения метода инвариантного погружения для многомерных граничных задач,а также вопросы применения метода инвариантного погружения в сочетании с принципом максимума Л.С.Понтрягина и принципом динамического программирования для решения некоторых классов задач оптимального управления.В диссертации приводятся новые результаты,полученные в направлении обобщения метода инвариантного погружения на граничные задачи для линейных и нелинейных многомерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
В первой и второй главах диссертации приводятся новые вычислительные схемы метода инвариантного погружения для линейных и нелинейных многомерных граничных задач соответственно.Здесь же дается доказательство эквивалентности полученного семейства задач Коши и граничной задачи, приводятся результаты нескольких численных экспериментов, поставленных для проверки работы предложенных вычислительных схем,дается сравнение этого метода и других численных методов решения подобных граничных задач,исследуются вопросы сходимости, устойчивости,погрешности метода инвариантного погружения,оценены временная и емкостная сложности предложенных алгоритмов.
В третьей главе показано,как метод инвариантного погружения совместно с принципом максимума Л.С.Понтрягина может быть применен для решения задач оптимального управления, сводящихся к задаче о минимизации конечного значения переменной состояния.
В четвертой главе определяется достаточно широкий
- 9 ~
класс задач оптимального управления,которые решаются с помощью метода инвариантного погружения (совместно с принципом максимума и принципом динамического программирования), приводятся алгоритмы решения двух распространенных задач оптимального управления.
Все предложенные алгоритмы реализованы на алгоритмическом языке Ф0РТРАН-1У.Тексты программ даны в приложении I.
По теме диссертационной работы опубликовано три статьи,две статьи находятся в печати (депонирование).
Работа выполнена на кафедре автоматизации сложных систем факультета прикладной математики-процессов управления Ленинградского государственного университета им.
А.А.Жданова.
Материалы диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры автоматизации сложных систем и численного анализа ЛГУ им.А.А.)Кданова,научной конференции факультета прикладной математики-процессов управления (1981 год),на ХУ1 конференции Управление динамическими системами" (Ленинград,1984 г.).
- 1и
I.ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИНВАРИАНТНОГО ПОГРУЖЕНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДВУХТОЧЕЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ.
1.1. Краткий обзор методов решения линейных граничных задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
у-АСх)у + 4(^)у 4 (1ДЛ)
с разделенными граничными условиями
%(ё) = ^._к, /* к+^А+ё,..., п.
Существующие методы численного решения граничных задач можно разделить на три большие группы:а)конечно~разностный метод, б)методы пристрелки,в)методы сведения к задаче Коши,метод дифференциальной прогонки,метод сопряженного оператора,метод инвариантного погружения и другие.
Суть конечно-разностного метода [ 29,39,46] состоит в замене производных,входящих в дифференциальное уравнение и в граничные условия,соответствующими разностными выражениями. Решение полученной системы алгебраических уравнений каким-либо известным способом и даст решения граничной задачи.Итак,на первом этапе на отрезке интегрирования [$>&] выбирается некоторая система точек (некоторая сетка).Если сетка равномерная, то + , к =о, I,..., V ; ,
А/ - целое число.На втором этапе граничная задача заменяется сеточной задачей (системой алгебраических уравнений).На третьем этапе полученная сеточная задача решается каким-либо численным методом.В связи с высокой размерностью матрицы ко-
II
эффициентов в системе линейных алгебраических уравнений оказывается невозможным применять традиционные методы решения таких систем (методы обращения матриц,исключения и т.п.) [46 ], требующие больших объемов вычислений.Системы линейных алгебраических уравнений,полученные при использовании разностных методов решения граничных задач,имеют специальный вид:они являются трехдиагональными или клеточно-трехдиагональными,пятидиагональными и т.п.Системы алгебраических уравнений с такими матрицами удобно решать методами разностной прогонки.Комбинация методов прогонки и итерационных методов составляет метод блочной итерации [4б] .Наиболее часто применяемый для этих целей метод матричной прогонки обладает рядом недостатков,ограничивающих область его применения.Зто необходимость обращения на каждом шаге некоторой матрицы и необходимость запоминания большого количества прогоночных коэффициентов.В связи с этим все матрицы,подлежащие обращению,должны быть неособенными и хорошо обусловленными (в случае плохой обусловленности матриц окажется невозможным получить приемлимое решение) [17,24] .Устойчивость метода матричной прогонки установлена только для некоторых частных случаев.Для достижения хорошей точности решения с помощью метода конечных разностей необходимо уменьшать размер ячеек сетки,что приводит к решению больших систем линейных уравнений и увеличивает затраты памяти ЭВМ.
В отличие от конечно-разностного метода методы пристрелки приводят к небольшим системам линейных уравнений,но вычислительные затраты для того,чтобы получить эти уравнения очень велики.Суть метода пристрелки [б,24,45] состоит в том, чтобы оценить недостающие значения искомых функций,не заданные в граничных условиях, и получить возможность интегри-
-12-
рования системы дифференциальных уравнений "вперед” (в сторону возрастания аргумента от X - О. ) и "назад" (в обратном направлении),Если оценки были верны,то полученные решения будут совпадать во внутренних точках отрезка интегрирования.Если решения не совпадают,то первоначальные оценки постепенно улучшают до тех пор,пока решения не совпадут.
Для линейных граничных задач метод пристрелки будет эквивалентен такому методу.Рещается П + 1 задача Коши [45*]
удовлетворял граничным условиям исходной граничной задачи. Этот метод имеет недостаток,связанный с неустойчивостью реше-
Для того,чтобы преодолеть эту трудность используется метод параллельной пристрелки.В этом методе отрезок интегрирования
ния,которая может проявиться,если матрица бы одно положительное собственное значение
имеет хотя
разбивается некоторым образом на меньшие отрезки Л г Х0<Ху<
и записывается система уравнений
Интегрируя эти уравнения и уравнение
- ІЗ -
äj(£)Aj (o]~ I ; j =n,
на отрезке [О,і] и численно решая некоторую линейную систему алгебраических уравнений относительно й х и вычисляя X; + (X = О ),получают значения функции у(хг~ 4) 9 Исследования показали /~457*что можно найти такое число и положение точек Xi разбиения отрезка ,которое
обеспечит достаточно хорошую обусловленность системы алгебраических уравнений [ 17,44] .Но в связи с необходимостью выбора достаточно малого mjxx Aj возникает другая трудность вычислительного характера, т.к. при Aj-+~0 увеличивается размер системы алгебраических уравнений.
Метод дифференциальной прогонки [?э] или факторизации [k] позволяет переносить любое из граничных условий в произвольную точку отрезка интегрирования [&, $], з том числе и в начальную точку Х~й,ч?о позволяет свести граничную задачу к задаче Коши.При машинной реализации метода прогонки могут возникнуть трудности,связанные с быстрорастущими решениями исходной или сопряженной системы,в случае,если процедура переноса граничных условий является неустойчивой.Существующий метод A.A.Абрамова /*37J позволяет преодолеть эти трудности,делая процедуру переноса граничных условий устойчивой.
При использовании метода сопряженного оператора граничная задача (I.I.I),(I.I.2) записывается в векторно-матричной форме
У « А(х)У Ffx). (I.I.3)
Здесь Y и Г - векторы-столбцы размерности /7 .Сопряженная к данной система будет такой [39]
и
2 =ДТ(х) 7., (1-1.0
где 2 - вектор-столбец размерности •
Для поиска недостающих ( п-т ) начальных условий используется следующее соотношение ^
гТ(1)У(1) -1 тм УМ --/г УсИ (1.1.5)
о
Уравнение (1.1.4) интегрируется #7-/77 раз от /=■ В до уг а ,причем каздый раз используются различные наборы начальных условий при 4 = Т .Затем с помощью полученных (/?-/?7) наборов решений и уравнения (1.1.5) получают (л-/?7 ) неизвестных начальных условий [ 39] .
Этот метод может применяться только для систем уравнений, интегрируемых назад устойчиво.
Метод сведения граничной задачи к задаче Коши позволяет записать граничные условия задачи с помощью фундаментальной матрицы системы и свести исходную граничную задачу к задаче Коши [ 46 ] .Метод будет подробно описан ниже.Он требует как можно более точного вычисления вектора начальных условий.В вычислительной схеме этого метода возможно сильное накопление погрешностей,что не позволит получить точное решение граничной задачи.
Несмотря на разнообразие существующих методов проблема решения граничных задач остается по-прежнему острой,так как одна часть методов очень трудоемка,,а методы другой не обладают устойчивостью счета.
Для того,чтобы преодолеть трудности,возникающие при решении граничных задач из-за неустойчивости решения,можно применить метод инвариантного погружения,позволяющий переформулировать граничные задачи как задачи Коши.
- Г5 -
Это делается за счет введения некоторых параметров и погружения (включения) исходной граничной задачи в семейство подобных ей задач,обладающее следующими свойствами:решение каждой задачи семейства удовлетворяет одной системе дифференциальных уравнений,одному и тому же правому граничному условию,все задачи семейства различаются только значениями параметров погружения [39 ] .
Первые идеи метода инвариантного погружения были высказаны в 1943 году Амбарцумяном В.А..который предложил новый подход к изучению процессов атмосферного рассеяния [2]. Затем этот подход был значительно расширен Чандрасекхарой и получил название "принцип инвариантности" [51,59] .Затем метод инвариантного погружения разрабатывался Веллманом и Калабой [50-53] ,Касти [25] .Уингом [49,54,55] , Алспо, Кагивадой [48] .Прейзендорфом [59,60] .Бритеникером [58] и другими зарубежными учеными.Метод инвариантного погружения использовался ими для решения прикладных задач астрофизики, математической физики [48,49,52,55-57] и многих других.
В последнее время математическая теория метода инвариантного погружения разрабатывалась Касти,Калабой,Алспо,Кагивадой, советским ученым П.И.Монастырным.который предложил единую терминологию метода инвариантного погружения [38 ] и другими.В работах [ 25,54;49]показано,каким образом метод инвариантного погружения позволяет переформулировать линейные и нелинейные граничные задачи,состоящие из двух скалярных уравнений в задачи Коши,как метод может быть применен для решения интегральных уравнений Фредгольма и некоторых вариационных задач.
Вычислительная схема метода инвариантного погружения для решения многомерной линейной однородной граничной зада-
-16 -
чи,возникающей при решении некоторой проблемы механики,приводится в работе [48] .В этой работе показано, как многомерная граничная задача может быть сведена к задаче Коши для матричного уравнения Риккати.В схеме,предлагаемой для конкретной физической задачи остается открытым вопрос о получении окончательного решения задачи.В работе [58] предлагается схема расширенного (двойного) инвариантного погружения, когда вместо исходной граничной задачи рассматривается задача двойной размерности.Для этой задачи двойной размерности применяется модифицированный метод инвариантного погружения. Эта схема обладает рядом достоинств:она дает достаточно точное решение граничной задачи,численное решение задачи Коши образует устойчивый численный процесс и не зависит от граничных условий.Но очевидно,что подобный метод значительно увеличивает объем необходимых вычислений.
Вычислительная схема,предложенная Мейером [45] отличается от схем метода инвариантного погружения для линейных граничных задач,упоминавшихся выше.Мейер предложил алгоритм для решения такой линейной граничной задачи:
ц - А(х)и + В(х)1? + 4±(Х),
= С(х) и + <&(*)& + 4г(х),
, где и, - вектора размерности /гг \ Т? / ^ - вектора
размерности £ , гу? А,В,С,© - матрицы соответст-
вующего порядка.
Вычислительная схема такова:
1)проинтегрировать до & систему уравнений Риккати
и'*е>(*) + А(*)и- и®(х) - иС(х)и>
17-
и(&)*0
2)проинтегрировать до х=6 линейную систему дифференциальных уравнений
и?'= [А(х) - и(х)С(х)]цу-игх)£(х) + ^(/), ъ>(а)= а,;
3)проинтегрировать линейную систему дифференциальных уравнений
г?'= [СМ 1Т(у) + Ъ(х)]& + О(х) ьУ(х) + /г (х)г &(4>)= Ог
от X = & до х= а .
Решение граничной задачи получается таким образом
С/(х)~ и(х)т>(х) + ы(х) ; у. (х) = а.{X), 1-12, ■■■> т<п;
(я »
Уту(у) * у-г
Недостатком этого алгоритма является интегрирование уравнения на третьем шаге в обратном направлении в связи с тем, что здесь требуется информация с первого шага,для запоминания которой может не хватить памяти ЭВМ.Трудности могут возникнуть и при решении уравнения Риккати,решение которого может стать неограниченным при определенных условиях.Кроме того,эта вычислительная схема не дает хорошей точности решения и предлагается в основном для получения хорошего начального приближения для более точных методов.
В этой главе предлагаются новые вычислительные схемы метода инвариантного погружения для решения многомерных неоднородных линейных граничных задач.
18 -
1.2*0 разрешимости линейных граничных задач для систем дифференциальных уравнений первого порядка.
Рассмотрим следующую линейную граничную задачу
х =Аа)х. + $(<:), 0$6*Т <1.2.1)
с условиями
А<х(0) + Агх(Т) = о( (1*2.2)
где А({) - матрица размера Л хп .элементы которой интегрируемые функции Бремени АрА£ - постоянные матрицы
размера и х п , х , Ы - вектора-столбцы размерности п , 9 (Ь) - скалярная функция.
Рассмотрим также однородную задачу,соответствующую задаче (1.2.1),(1.2.2):
х = А(Ь) ос7 (1.2.3)
А 1 х (О) + Аг х ( Т) = О- (1.2.4)
Теорема I [ 18] : задача (1.2.1),(1.2.2) имеет единственное решение тогда и только тогда,когда нулевое решение соответствующей однородной задачи (1.2.3),(1.2.4) единственно.
Граничная задача (1.2.1),(1.2.2) может быть приведена к однородной увеличением порядка системы на единицу [46] :
у = А (£)у , (1-2.5)
А, у(0) + Аг у(т) = с! (1.2.6)
где А(О.АрА2 - матрицы размера ( п+1 ) * ( и +1 ), а у - вектор размерности п + I .
Рассмотрим задачу сопряженную к задаче (1.2.5),(1.2.б):
19 -
г=-АТ(£]г (1.2.7)
ъ(0)=А*и/)2(Т)=А^и}{ (1.2.8)
причем,если хотя бы одна из матриц , А2 имеет обратную, то вектор и/ можно исключить.
Теорема 2 [ 4б1 :если сопряженная задача (1.2.7),(1.2.8) имеет только нулевое решение,то исходная граничная задача
(1.2.1),(1.2.2) имеет единственное решение.
На практике используются следующие достаточные признаки разрешимости граничной задачи.
Теорема 3 [46] :для существования единственного решения граничной задачи достаточно,чтобы выполнялось неравенство:
*1 II а а)Исн мен А. > упах е °
л а
где тСл А| - наименьшее собственное значение матрицы А^ , - наибольшее собственное значение матрицы
*2*2 .
1.3. Единая терминология метода инвариантного погружения.
Рассмотрим граничную задачу для системы дифференциальных уравнений
2 = 4 (£,±)> (1.3.1)
^ (гга), г(1)) = 0>
2»[а.Ы
4: Га.ьа
3*[а,43 — Я".
- 20 -
Согласно работе [зв] сопоставим этой задаче параметризованную задачу
г = Ч (г, Ь,£)г а «с I
У (г (а), г (гг), ег) = О.
(1.3.2)
г: [а,г] *[а,ё] * Пг-^Нп,
Ч: [а,г]*яп* Кр-+Яп,
1Р: Яп х цп х — Цп, а £**6,
|=(а<, аР)ек?
б - (о*, параметры.
Примем следующие определения,введенные Монастырным П.И^Зв] Определение I. Параметрической оболочкой р+Ч,*^)
граничной задачи (1.3.1) называется (Р + Ч,* ^) - параметрическое семейство задач (1.3.2).
Определение 2. Граничная задача (1.3.1), рассматриваемая при £'='£*, £ = § и & - б'(° называется сечением оболочки Г (т7 р + ц +- */) и обозначается
I ('Го, р -*-<2,^ ^)• Процесс замены задачи
(1.3.1) на задачу (1.3.2) называется полным погружением задачи (1.3.1) в оболочку Р+ Я, + ^ .Если
же существуют такие предельные значения 'Е' = 'Е *= & $
* , (э =■ <э* , что сечение £ (%"* 0 ф +
товдественно совпадает с граничной задачей (1.3.1), то погружение называется полным инвариантным. Сечение оболочки Цъ01^ , е(°}р+(2+4) называется явным в том случае, если оно представляет собой задачу Коши, в противном случае оно называется неявным.