ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .......................................................... 3
ГЛАВА I. ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА ТЕЖЯКОВА-БАВРИНА I РОДА С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ В СЛУЧАЕ БИЦИЛИНДРА В ПРОСТРАНСТВЕ С2............................................................ 9
§ I. Предварительные сведения................................. 9
§ 2. Дифференциальные свойства интегралов типа Темлякова в
случае бицилиндра ...................................... 15
§ 3. Свойства интегралов типа Темлякова-Баврина I родя I по-
рядка с фиксированной точкой в случае бицилиндра ... 21 ГЛАВА П. СТРУКТУРА ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ МНОЖЕСТВ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ХАРАКТЕ-
РИСТИКАХ ...............................................37
§ 4. Интеграл с нулевой характеристикой V = 0..................37
§ 5. Структура определяющих множеств в общем случае 50
ГЛАВА Ш. ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА ТЕМЛЯКОВА-БАВРИНА I РОДА I ПОРДЦКА С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ...............................60
§ 6. Свойства оператора^.......................................61
§ 7. Операторная связь интегралов в случае нулевой и бесконечной характеристики ............................................ 68
§ 8. Операторная связь интегралов в общем случае ............. 78
ГЛАВА ІУ.КЛАСС ФУНКЦИЙ, ПОРОЖДЕННЫЙ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ
ОПЕРАТОРАМИ В СЛУЧАЕ БИЦИЛИНДРА..........................85
§ 9. Решение некоторых функциональных уравнений и краевых
задач в случае бицилиндра................................85
§ 10. Класс функций, порождённый интегро-дифференциальными
операторами в случае бицилиндра ........................ 97
§ II. Краевые задачи для уравнений с особыми плоскостями .105
ЛИТЕРАТУРА.........................................................ИЗ
3
ВВЕДЕНИЕ
Теория функций многих комплексных переменных - сравнительно молодая область математики,но уже имеющая богатые связи со многими её разделами. Нашла эта теория и приложения,например,в квантовой теории поля (см* [п] ),в математической статистике (см* [17]).
Интегральные представления играют важную роль в комплексном анализе. Они являются основным аппаратом для исследования свойств голоморфных функций и решения краевых задач. В теории функций многих комплексных переменных известны интегральные представления Мартинелли-Бохнера,А.Вейля и другие. Однако это не снимает задачу получения интегральных представлений и исследования их для специальных классов областей. Так,для функции двух комплексных переменных, аналитических в полных двоякокруговых областях,А.А.Темляковым (см. 1зз1 - [з&] ) были получены интегральные представления,которые в математической литературе носят его имя (см. [38] , [43"\ ).
Внутренний интеграл в интегральных представлениях Темлякова есть интеграл Коши одного комплексного переменного. Поэтому интеграл Темлякова и интегралы типа успешно применялись при изучении экстремальных свойств функций (см.работы И.И.Баврина ^4] , [б! ), для изучения граничных свойств функций двух комплексных переменных (см.работы JI.А.Айзенберга [i] ),для решения краевых задач для функций двух комплексных переменных (см.работы В.И.Боганова, Г.Л.Луканкина [ю] , [II] ) и дифференциальных уравнений в частных производных (см.работы В.Я.Ольхина [30] ).
В работах Л.А.Айзенберга (см. [2] ),Ли Че Гона (см. [19] ), Опяля и Сичака (см. [44] ),И.И.Баврина (см. Ы - [8] ) интегральные представления Темлякова получили распространение на случай
4
п(пъ 2) комплексных переменных.
И.И.Бавриным [б] -[*81 был разработан операторный метод в теории интегральных представлений. Благодаря этому методу удалось решить ряд важных задач в теории интегральных представлений Темлякова. Так (см [91 ) получены обобщённые интегральные представления, восстанавливающие функцию,голоморфную в области по значениям довольно общих операторов от неё на границе или её части (см. Сб1 , [7] , [8] ). Эти представления хотя и сохранили тесную связь с интегралом Коши,ещё более подчинены специфике определяющей области. Кроме того,поведение интегралов типа,образованных на основе интегральных представлений,входящих в общее интегральное представление Темлякова-Баврина,имеет качественные отличия от поведения интегралов типа Темлякова (см,,например, [13] - [141 ).
Исследования интегралов типа Темлякова-Баврина велись как в направлении увеличения порядка (см. [20J ),так и в направлении расширения классов определяющих областей. Так,интегралы типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина с определяющими неограниченными областями изучались в работах [l5l , [211 .
Интегральные представления Темлякова сохраняются и для функций, аналитических в бицилиндре (см. [l\ ). Интегралы типа Темлякова хорошо изучены в случае двоякокруговых областей,а именно областей типа ( Т ),учениками Темлякова,например,методом линейных дифференциальных операторов (см. [411 ). Бицилиндр не принадлежит к типу областей ( Т ) в смысле определения из [il и интегралы типа Темлякова не были изучены для случая бицилиндра.
Применение операторного метода позволило И.И.Баврину (см. [9]) получить интегральные представления с фиксированными точками для функций,аналитических в поликруге,которые достаточно полно отражают специфические особенности поликруга.В случае двух комплекс"
5
ных переменных для бицилиндра из общих интегральных представлений Темлякова-Баврина с фиксированными точками получается интегральное представление Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой.
Интегральные представления с фиксированной точкой в ядре ранее исследовались для некоторых областей (см,например, ^301 )• Случай бицилиндра ранее не рассматривался. Поэтому исследование интегралов Темлякова и интегралов с фиксированной точкой Темлякова-Баврина для случая бицилиндра представляется актуальной задачей.
Цель диссертационной работы. Конкретные задачи исследования состояли в следующем:
1. Исследовать интеграл типа Темлякова для случая бицилиндра^ именно получить формулы для его вычисления вне области аналитичности и применить их для исследования дифференциальных свойств.
2. Установить зависимость свойств интеграла,полученных методом интегро-дифференциальных операторов для бицилиндра,от положения фиксированной точки в С .
3. Получить формулы,представляющие интеграл типа Темлякова-Баврина вне области аналитичности.
4. Установить связь между интегралами типа Темлякова и типа Темлякова-Баврина для случая бицилиндра.
5. Решить с помощью исследуемых интегралов некоторые краевые задачи с краевым условием в операторной форме.
Перейдем к изложению по главам основных результатов работы.
Первая глава (§§1-3) посвящена изучению интегралов типа Темлякова и интегралов типа Темлякова-Баврина I рода I порядка в бицилиндре Е и вне его.
В § I приводятся основные сведения из теории интегральных
6
представлений Темлякова,формулы,представляющие интеграл вне бицилиндра Е.
В § 2 интеграл типа Темлякова I рода исследуется методом линейных дифференциальных операторов. Получено дифференциальное уравнение,которому удовлетворяет интеграл типа Темлякова.
В § 3 строятся интегралы типа Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой в случае бицилиндра. Выясняется поведение этих интегралов как в области Е,так и вне её. Установлено, что интеграл с фиксированной точкой в бицилиндре Е представляет аналитическую функцию в области Е. Если фиксированная точка расположена вне области Еэто при нулевой и бесконечнойхарактеристи-ке в некоторых случаях аналитичность интеграла не теряется. В этом же параграфе установлены формулы,представляющие интеграл ( 3.2 ) вне бицилиндра Е,которые указывают на неголоморфный характер изучаемых интегралов.
Во второй главе ( §§ 4 - 5 ) изучается структура определяю-щих множеств гЧ I ( l = 1,2,3,4) при различных характеристиках интеграла. ^
В § 4 изучается структура множеств К в случае нулевой характеристики ( ^) =0). Установлено,что в разбиении прос-
2 —
транства С \Е на подобласти,в которых справедливо определённое интегральное представление,участвуют и аргументы фиксированной то-
IV 3» )
чки. Структура множеств N ь не изменяется,если фиксиро-
ванная точка принадлежит области Е. Здесь же установлена структу-
\У ( 3*, Нг )
ра множеств i для бесконечной характеристики (у = +<*?).
В § 5 исследуется поведение интегралов типа Темлякова-Баврина I рода I порядка с фиксированной точкой в общем случае,то есть характеристика О* V ^ + с*?. В разбиении пространства С^\Е на подобласти участвуют и аргументы и модули фиксированной точки.
Получены формулы,позволяющие вычислять интеграл вне бицилиндра Е.
В третьей главе ( §§ 6 - 8 ) интегралы ( 3.2 ) исследуются методом линейных дифференциальных операторов.
В § б вводится оператор
Я - £ ((а,-г,“)^ * (V ^ ((+
который для интегралов с фиксированной точкой играет особую роль.
Здесь же приводятся его свойства.
В § 7 установлена дифференциальная связь между интегралами
типа Темлякова-Баврина с фиксированной точкой и интегралами типа
Темлякова для нулевой и бесконечной характеристики. Для исследова-
£
ния вводится замена переменной »гДе \
А* И-* (А -1|«1-
В § 8 получена операторная связь между интегралами с фиксированной точкой и интегралами типа Темлякова в общем случае,то есть характеристика \) ^ 0, )) Ф +оо. Для исследования вводит-
ся замена переменной Ь = т- ,где
' ^ I -к
2° ^2.
* + 11:1-11x1 С05Д
7 I
В четвертой главе ( §§9-11 ) обобщённые интегральные представления,полученные с помощью интегро-дифференциальных операторов, специфических для бицилиндра (см. )»применяются к решению некоторых функциональных уравнений и краевых задач.
В § 9,используя свойства интегро-дифференциальных операторов,решаются функциональные уравнения типа краевых задач,в которых известно не значение функции на остове бицилиндра Е,а значение некоторых операторов от функции. В этом же параграфе решаются краевые задачи с краевым условием в операторной форме. Решением таких
задач являются обобщённые интегральные представления,получающиеся из интегральных представлений,построенных И.И.Бавриным.
В § 10 рассматривается класс функций,порождённый интегро-дифференциальными операторами,специфическими для бицилиндра. Установлены дифференциальные и интегральные связи с интегралом типа Коши для случая двух комплексных переменных. Эти функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям,играющим такую же роль,как и условие Коши-Римана для аналитических функций.
В § II,используя интегральное представление Темлякова I ро-
на остове. Интегральное представление ( 3.1 Применяется к решению аналогичной задачи: по значениям на остове некоторого дифференциального оператора с фиксированной точкой восстановить значение функции в области.
Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа УГЛИ после окончания аспирантуры Московского областного педагогического института имени Н.К.Крупской. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [22] - [2б] и доложены на научно-исследовательском семинаре по теории функций многих комплексных переменных при Московском областном педагогическом институте имени Н.К.Крупекой,а также на научных семинарах в Казанском и Саратовском государственных университетах,во П Саратовской зимней школе по теории функций и приближений.
да для бицилиндра,определяется значение функции ти Е,если известно поведение дифференциального оператора
облас-
9
ГЛАВА I
ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ТИПА ТЕМЛЯКОВА-БАВРИНА I РОДА С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ В СЛУЧАЕ БИЦИЛИНДРА В ПРОСТРАНСТВЕ С2
§ I. Предварительные сведения
Интегральные представления Темлякова справедливы и для функций, аналитических в бицилиндре Е,хотя бицилиндр не принадлежит классу областей типа ( Т ).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ I Л. Ограниченная область ^ с dl ( ^ 7 I ) является областью типа ( Т ) (<50 в ( Т ) ),если существуют положительные действительные функции
1^1 — ('б) L s 1|в1,|П,
непрерывные для *L А С{'Г= ('£*,.••, ) :
£< + ...+ 'Гп. = 1 , Т* *0 , * о j
и такие,что
В качестве определяющей области в пространстве будем рассматривать бицилиндр Е:
Е I ^ Л < К1 , 1*И< \
положив для простоты =1. Под определяющей областью
(см. [141 ) понимается область,в которой справедливо интегральное представлением основе которого составлен интеграл типа. Интеграл типа Темлякова I рода в случае бицилиндра имеет вид
10
4 ф (
( 1.1 )
где
о о Ц1= \
6 i
+ (* -Ъ) Зг £ ,
а функция К$(’Ь,^) принадлежит классу ^ .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Функция '$(£,^>) принадлежит классу ^ ,если она непрерывна по совокупности переменных Ь ,
^ ,2 Ж - периодическая по £ »удовлетворяет условию Гельдера по ^ »независимо от £ (см. [ А } ).
Из результатов Л.А.Айзенберга (см. [I] ) следует,что интеграл ( 1.1 ) представляет собой аналитическую функцию в бицилиндре Е,непрерывную в его замыкании Е. Вне области Е интеграл ( 1.1 ) представим формулой
4'-
1 Л
где
ф(г)Ь)у)с1'сЛ * \ \ф(г,£,ы)^сИ
КъЛч
5
13 И
(2,, гг)
с 'Т7
Й*-Н'Е'<*): 'з , г.+/.И<дж-иу},
- Київ+380960830922